CHƯƀNG 3 Ä’á»™ THá»− DẀNG PHẲNG CHƯƠNG 3 ĐỒ THỊ DẠNG PHẲNG Bùi Tiến Lên Đại học Khoa học Tự nhiên 01/01/2017 NỘI DUNG Đồ thị phẳng Định nghĩa 3 1 Một đồ thị vô hướng được gọi là đồ thị phẳng (pl[.]
NỘI DUNG CHƯƠNG ĐỒ THỊ DẠNG PHẲNG Bùi Tiến Lên Đại học Khoa học Tự nhiên 01/01/2017 Đồ thị phẳng Đồ thị phẳng (cont.) Quy ước cắt Định nghĩa 3.1 Một đồ thị vô hướng gọi đồ thị phẳng (planar graph) tồn cách vẽ đồ thị mặt phẳng cho hai cạnh cắt (cross) d c I I Hai cạnh có đỉnh chung khơng xem cắt Mỗi cách vẽ đồ thị mặt phẳng cho khơng có cạnh cắt gọi biểu diễn phẳng (planar representation) đồ thị a d c a b b d a b b (a) Cách vẽ không phẳng c (a) hai cạnh cắt (b) Cách vẽ phẳng Graph Theory c (b) hai cạnh khơng cắt Hình 3.2: Các cạnh cắt khơng cắt Hình 3.1: Hai cách vẽ cho đồ thị K4 Spring 2017 a Spring 2017 Graph Theory Đồ thị phẳng (cont.) Đồ thị phẳng (cont.) Định nghĩa 3.2 Quy ước Một đồ thị phẳng biểu diễn phẳng đồ thị tạo miền (region) Có hai loại miền: hữu hạn vơ hạn Các đỉnh đường biên viết theo thứ tự cho dọc theo đường biên theo thứ tự miền bao quanh phía bên tay phải I I I I Miền hữu hạn phần mặt phẳng giới hạn chu trình sơ cấp mà khơng chứa bên chu trình sơ cấp khác a Miền vơ hạn phần mặt phẳng nằm bên tất miền hữu hạn e b Chu trình sơ cấp bao quanh miền gọi đường biên Chu trình sơ cấp tiếp giáp với miền vô hạn gọi đường biên ngồi c d Hình 3.3: Các đỉnh đường biên viết theo quy ước a b c d e Spring 2017 Graph Theory Đồ thị phẳng (cont.) Spring 2017 Graph Theory Đồ thị phẳng (cont.) Tính chất 3.1 Một đồ thị phẳng G 5 (a) đồ thị có miền F∞ = {6, 5, 2, 1} F1 = {1, 2, 3} F2 = {1, 3, 4, 6} F3 = {2, 5, 4, 3} F4 = {4, 5, 6} Là đồ thị thưa I Là đồ thị màu Đồ thị phẳng có nhiều ứng dụng xây dựng, thiết kế mạch VLSI I (b) đồ thị có miền F∞ Hình 3.4: Các miền đồ thị Spring 2017 Graph Theory Spring 2017 Graph Theory Phép biến đổi đồng phôi Phép biến đổi đồng phôi (cont.) Định nghĩa 3.4 Định nghĩa 3.3 Hai đồ thị gọi đồng phôi tồn chuỗi biến đổi đồng phôi biến đồ thị thành đồ thị Phép biến đổi đồng phôi (homeomorphism) bao gồm I I Tách cạnh thành hai cạnh (thêm đỉnh) Gộp hai cạnh có chung đỉnh bậc thành cạnh hay (bỏ đỉnh) b c a b (a) đồ thị K5 a (a) cạnh đỉnh (b) cạnh đỉnh Hình 3.6: Đồ thị K5 đồ thị đồng phơi (b) cạnh đỉnh Hình 3.5: Biến đổi đồng phôi cạnh Spring 2017 Graph Theory Spring 2017 Graph Theory Phép biến đổi co Một số nhận xét tính phẳng đồ thị Định nghĩa 3.5 Nhận xét Phép biến đổi co (shrink) phép biến đổi gộp đỉnh (”xóa cạnh”) Tính chất phẳng hay không phẳng đồ thị không ảnh hưởng e b f e f I I ab c a d (a) đồ thị trước co a b c I d 10 Cạnh khuyên =⇒ bỏ cạnh khuyên Các cạnh song song =⇒ bỏ cạnh song song (chỉ giữ lại cạnh) Các phép biến đổi đồng phôi (b) đồ thị sau co a b Hình 3.7: Phép biến đổi co Spring 2017 Graph Theory 11 Spring 2017 Graph Theory 12 Định lý Euler Định lý Euler (cont.) Bổ đề 3.1 Định lý 3.1 (công thức số cạnh, số miền số đỉnh đồ thị phẳng) Cây có n đỉnh đồ thị phẳng có số cạnh e = n − số miền f = Cho đồ thị phẳng, liên thông gồm n đỉnh, e cạnh f miền ta có cơng thức sau: Chứng minh Sinh viên tự chứng minh f =e−n+2 (3.1) Chứng minh Cho G đồ thị liên thông phẳng có n đỉnh, e cạnh f miền I I I Spring 2017 Graph Theory 13 Định lý Euler (cont.) I Đồ thị dạng thỏa công thức Euler I Vậy đồ thị ban đầu phải thỏa công thức Euler Nếu G có chu trình bỏ cạnh chu trình Khi số cạnh e giảm một, số miền f bớt một, số đỉnh giữ nguyên Tiếp tục trình bỏ cạnh khơng thực đồ thị cuối Spring 2017 Graph Theory 14 Định lý Euler (cont.) Bổ đề 3.2 Một đồ thị đơn, phẳng liên thông gồm n đỉnh, e cạnh (e ≥ 3) f miền ta có bất đẳng thức sau e≥ f (3.2) Chứng minh Xét đồ thị phẳng, đơn, liên thông G (Lưu ý suy luận cho miền vơ hạn) Spring 2017 Graph Theory 15 I Mỗi miền bao cạnh I Mỗi cạnh kề nhiều miền I Do Spring 2017 2e ≥ 3f ⇒ e ≥ f Graph Theory 16 Định lý Euler (cont.) Định lý Euler (cont.) Hệ 3.1 I Do Một đồ thị đơn, phẳng liên thông gồm n đỉnh, e cạnh (e ≥ 3) f miền ta có bất đẳng thức sau e ≤ 3n − e ≥ e − n + ⇒ e ≤ 3n − (3.3) Chứng minh I Theo định lý Euler ta có f =e−n+2 I Theo bổ đề trước ta có e≥f Spring 2017 Graph Theory 17 Định lý Euler (cont.) Graph Theory 18 Định lý Euler tổng quát Hệ 3.2 Một đồ thị đơn, phẳng liên thông gồm n đỉnh, e cạnh (e ≥ 4), f miền chu trình có độ dài ≥ ta có bất đẳng thức sau e ≤ 2n − (3.4) Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Spring 2017 Spring 2017 Định lý 3.2 Cho đồ thị phẳng gồm n đỉnh, e cạnh, f miền p thành phần liên thơng ta có công thức sau: f =e−n+p+1 (3.5) Chứng minh Sinh viên tự chứng minh Graph Theory 19 Spring 2017 Graph Theory 20 Định lý Euler tổng quát (cont.) Định Lý Kuratowski Nhận xét Định lý 3.3 Công thức Euler cho khối đa diện lồi Đồ thị đủ K5 đồ thị không phẳng Định lý 3.4 Đồ thị phân đôi đủ K3,3 đồ thị không phẳng Định lý 3.5 Điều kiện cần đủ để đồ thị liên thơng có tính phẳng đồ thị khơng chứa đồ thị đồng phôi với K5 K3,3 Hình 3.8: Năm khối đa diện lồi Spring 2017 Graph Theory 21 Định Lý Kuratowski (cont.) Spring 2017 Graph Theory 22 Định Lý Kuratowski (cont.) Nhận xét Hai đồ thị K5 K3,3 hai đồ thị không phẳng đơn giản I Nếu xóa đỉnh cạnh đồ thị phẳng I Đồ thị K5 đồ thị không phẳng có đỉnh I Đồ thị K3,3 đồ thị khơng phẳng có cạnh Spring 2017 Graph Theory (a) đồ thị K5 (b) đồ thị K3,3 Hình 3.9: Hai đồ thị không phẳng đơn giản K5 K3,3 23 Spring 2017 Graph Theory 24 Định Lý Kuratowski (cont.) Định Lý Wagner Chứng minh Phương pháp chứng minh phản chứng Định lý 3.6 I I Giả sử đồ thị K5 phẳng Đồ thị có số đỉnh n = số cạnh e = 10 Theo hệ e ≤ 3n − 6; 10 ≤ 3.5 − vơ lý Vậy ta có điều phải chứng minh Điều kiện cần đủ để đồ thị liên thơng có tính phẳng đồ thị khơng chứa đồ thị co thành K5 K3,3 Giả sử đồ thị K3,3 phẳng Đồ thị K3,3 có số đỉnh n = số cạnh e = Đồ thị K3,3 có chu trình từ cạnh trở lên theo hệ e ≤ 2n − 4; ≤ 2.6 − vơ lý Vậy ta phải có điều chứng minh Spring 2017 Graph Theory 25 Spring 2017 Graph Theory 26 Kiểm tra tính phẳng đồ thị Ví dụ minh họa Có nhiều phương pháp để kiểm tra tính phẳng đồ thị Chứng minh đồ thị Peterson không phẳng I Sử dụng định lý Euler I Sử dụng định lý Wagner I Sử dụng định lý Kuratowski I Sử dụng định lý Kuratowski I Sử dụng định lý Wagner I f Sử dụng thuật toán Demoucron, Malgrange and Pertuiset (DMP) a j e g b d c i h Hình 3.10: Đồ thị Peterson Spring 2017 Graph Theory 27 Spring 2017 Graph Theory 28 Ví dụ minh họa (cont.) Ví dụ minh họa (cont.) Áp dụng định lý Wagner Áp dụng định lý Kuratowski I Thực phép co lần I Loại bỏ số cạnh I Đồ thị kết K5 I Đồ thị kết đồng phôi với K3,3 f f a j e b d af g ej a j bg e c i di ch i Hình 3.11: Đồ thị kết sau thực phép co lần Spring 2017 Graph Theory g b d h f a j e c d c i h g b h Hình 3.12: Đồ thị kết loại bỏ cạnh 29 Spring 2017 Graph Theory Thuật toán DMP Thuật toán DMP (cont.) Một số giả thiết đồ thị G = (V , E ) cần kiểm tra tính phẳng Định nghĩa 3.6 G đồ thị đơn, vơ hướng G có |E | ≤ 3|V | − G đồ thị liên thông Cho đồ thị G = (V , E ) đồ thị G = (V , E ) S gọi mảnh (segment) đồ thị G theo G thỏa hai điều sau I G đồ thị song liên thông 30 I Nó cạnh khơng thuộc E có hai đỉnh thuộc V Nó thành phần liên thông đồ thị G − V với cạnh nối với G Định nghĩa 3.7 Các đỉnh mảnh gọi đỉnh tiếp xúc (contact vertex) thuộc đồ thị G Spring 2017 Graph Theory 31 Spring 2017 Graph Theory 32 Thuật toán DMP (cont.) Thuật toán DMP (cont.) g Định nghĩa 3.8 Một miền đồ thị G miền tiếp nhận (admissible face) mảnh chứa tất đỉnh tiếp xúc mảnh e f c d Định nghĩa 3.9 Đường đi-α (α-path) mảnh đường nối hai đỉnh tiếp xúc mảnh e c f d g a b (a) đồ thị G c a d (b) đồ thị G b (c) mảnh S1 e f (d) mảnh S2 Hình 3.13: Các mảnh đồ thị Spring 2017 Graph Theory 33 Thuật toán DMP (cont.) Graph Theory 6 9 e (b) đồ thị G f c d g c d (a) đỉnh đồ thị G 0 Hình 3.14: Hãy xác định mảnh đồ thị Graph Theory 34 Thuật toán DMP (cont.) (a) đồ thị G Spring 2017 Spring 2017 a b (b) c, d đỉnh tiếp xúc S1 e f (c) e, f đỉnh tiếp xúc S2 Hình 3.15: Các đỉnh tiếp xúc mảnh 35 Spring 2017 Graph Theory 36 Thuật toán DMP (cont.) e f c Thuật toán DMP (cont.) d c d c d a b a b g c d (a) miền đồ thị G a b (b) {c,d,e} miền tiếp nhận S1 e f (c) {d,e,f} miền tiếp nhận S2 (a) đường {c,a,d} Hình 3.17: Các đường đi-α S1 Hình 3.16: Các miền tiếp nhận mảnh Spring 2017 Graph Theory 37 Thuật toán DMP (cont.) Spring 2017 Algorithm Thuật toán Demoucron, Malgrange and Pertuiset 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: Chọn chu trình G G while G’ 6= G Xác định mảnh G − G Xác định miền tiếp nhận mảnh if tồn mảnh miền tiếp nhận then Dừng, đồ thị G khơng phẳng Chọn mảnh miền tiếp nhận mảnh (ưu tiên mảnh có miền tiếp nhận) Nhúng đường đi-α mảnh vào miền tiếp nhận Cập nhật G = G + α Đồ thị G phẳng Spring 2017 Graph Theory Graph Theory 38 Ví dụ minh họa thuật toán DMP Cho đồ thị G 1: (b) đường {c,a,b,d} 39 d e f a b c Hình 3.18: Áp dụng thuật tốn DMP để kiểm tra tính phẳng đồ thị G? Nếu đồ thị phẳng vẽ biểu diễn phẳng đồ thị? Spring 2017 Graph Theory 40 Ví dụ minh họa thuật tốn DMP (cont.) d Ví dụ minh họa thuật toán DMP (cont.) e f d e f b c a b c Hình 3.19: Đồ thị G Hình 3.20: Đồ thị G − G Spring 2017 Graph Theory 41 Định lý biểu diễn phẳng Spring 2017 Graph Theory 42 Graph Theory 44 Tài liệu tham khảo Định lý 3.7 Một biểu diễn phẳng đồ thị ln ln biến đổi thành biểu diễn phẳng khác cho miền hữu hạn trở thành miền vơ hạn g a d e h d a h e c b g f c f b Hình 3.21: Biến đổi biểu diễn phẳng Spring 2017 Graph Theory 43 Spring 2017 ... Hai đồ thị K5 K3,3 hai đồ thị không phẳng đơn giản I Nếu xóa đỉnh cạnh đồ thị phẳng I Đồ thị K5 đồ thị khơng phẳng có đỉnh I Đồ thị K3,3 đồ thị khơng phẳng có cạnh Spring 2017 Graph Theory (a) đồ. .. diện lồi Đồ thị đủ K5 đồ thị không phẳng Định lý 3.4 Đồ thị phân đôi đủ K3,3 đồ thị không phẳng Định lý 3.5 Điều kiện cần đủ để đồ thị liên thơng có tính phẳng đồ thị khơng chứa đồ thị đồng phôi.. .Đồ thị phẳng (cont.) Đồ thị phẳng (cont.) Định nghĩa 3.2 Quy ước Một đồ thị phẳng biểu diễn phẳng đồ thị tạo miền (region) Có hai loại miền: hữu hạn