Nghiên cứu và thiết kế bộ điều khiển có thời gian xác lập hữu hạn cho hệ phi tuyến

TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - oOo - LUẬN VĂN THẠC SĨ Nghiên cứu thiết kế điều khiển có thời gian xác lập hữu hạn cho hệ phi tuyến Nguyễn Trọng Tuấn Tuan.NT202927M@sis.hust.edu.vn NGÀNH KỸ THUẬT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA Giảng viên hƣớng dẫn: PGS TS Nguyễn Hoài Nam Trƣờng: Điện – Điện tử Chữ GVHD HÀ NỘI, 7/2022 ký LỜI CẢM ƠN Trong lời luận văn tốt nghiệp này, em muốn gửi lời cảm ơn biết ơn chân thành tới tất ngƣời hỗ trợ, giúp đỡ em kiến thức tinh thần trình thực luận văn Trƣớc hết em xin chân thành cảm ơn thầy PGS TS Nguyễn Hồi Nam mơn Điều khiển tự động, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn, nhận xét, tận tình bảo, giúp đỡ chúng em suốt q trình làm luận văn, để em hoàn luận văn cách tốt Xin chân thành cảm ơn tới tất thầy cô nhiệt tình dạy bảo, truyền đạt kiến thức cho em suốt thời gian học tập dƣới mái trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội, đặc biệt với thầy cô Bộ môn Điều khiển tự động, thầy cô quan tâm, định hƣớng tạo điều kiện thuận lợi cho em học tập, nghiên cứu thực luận văn Cuối xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, ngƣời thân giúp đỡ, động viên em nhiều trình học tập làm luận văn Em cố gắng để hoàn thiện luận cách tốt nhất, nhƣng hạn chế thời gian nhƣ kiến thức nên tránh khỏi thiếu sót, mong đóng góp thầy bạn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 07 tháng năm 2022 Sinh viên Nguyễn Trọng Tuấn TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung luận văn chủ yếu tập trung nghiên cứu điều khiển ổn định thời gian cho đối tƣợng SISO đặc biệt trọng vào đối tƣợng thuộc nhóm Euler – Lagrange Mục tiêu điều khiển bao gồm: Ổn định hệ thống, hệ thống đạt tới giá trị đặt thời gian cho phép Phần đầu luận văn đề cập tới điều khiển thời gian xác lập cố định (Fixed – Time Stability Controller) Chúng ta đề cập tới khái niệm ổn đinh thời gian xác lập cố định từ khái niệm ta xây dựng điều khiển ổn định thời gian xác lập cố định cho hệ SISO hệ Euler – Lagrange Phần luận văn đề cập tới điều khiển thời gian xác lập (Arbitrary Convergence Time Controller) Luận văn nêu khái niệm ổn định thời gian xác lập, điều kiện để hệ thống đƣợc coi ổn định thời gian xác lập từ điều kiện ta xây dựng điều khiển cho hệ SISO hệ Euler – Lagrange Và phần cuối luận văn, mô điều khiển để kiểm chứng nhƣ thấy rõ đƣợc hiệu điều khiển Cụ thể luận văn đối tƣợng đƣợc đem mô bao gồm: Con lắc ngƣợc cánh tay máy bậc tự Từng nội dung đƣợc thực thể chƣơng: Chƣơng 1: Tổng quan Chƣơng 2: Bộ điều khiển ổn định thời gian xác lập cố định Chƣơng 3: Bộ điều khiển ổn định thời gian xác lập tùy ý Chƣơng 4: Kết mô Chƣơng 5: Kết luận đƣa hƣớng phát triển Nguyễn Trọng Tuấn MỤC LỤC CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan 1.2 Xây dựng vấn đề khái niệm mở đầu 1.2.1 Hệ SISO (Single Input Single Output) 1.2.2 Hệ Euler – Lagrange 1.2.3 Một số cơng thức tốn CHƢƠNG 2: BỘ ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH THỜI GIAN XÁC LẬP CỐ ĐỊNH 2.1 Một số khái niệm 2.2 Bộ điều khiển ổn định thời gian xác lập cố định 2.2.1 Thiết kế cho hệ SISO 2.2.2 Thiết kế cho hệ Euler-Lagrange 2.3 Kết luận chƣơng 11 CHƢƠNG 3: BỘ ĐIỀU KHIỂN ỔN ĐỊNH THỜI GIAN XÁC LẬP TÙY Ý 12 3.1 Một số khái niệm 12 3.2 Bộ điều khiển thời gian xác lập tùy ý 13 3.2.1 Bộ điều khiển chiếu thời gian xác lập tùy ý 13 3.2.2 Bộ điều khiển trƣợt thời gian xác lập tùy ý 21 3.3 Kết luận chƣơng 23 CHƢƠNG 4: KẾT QUẢ VÀ MÔ PHỎNG 24 4.1 Mơ hình lắc ngƣợc 24 4.1.1 Bộ điều khiển thời gian xác lập cố định 24 4.1.2 Bộ điều khiển thời gian xác lập tùy ý 26 4.1.3 So sánh điều khiển 29 4.2 Mơ hình cánh tay máy hai bậc tự 32 4.2.1 Bộ điều khiển thời gian xác lập cố định 32 4.2.2 Bộ điều khiển thời gian xác lập tùy ý 34 4.2.3 So sánh điều khiển 37 4.3 Nhận xét kết 40 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình Biến trạng thái tín hiệu điều khiển hệ thống Hình Góc nghiêng tốc độ quay ứng với điều khiển thời gian xác lập cố định 25 Hình Mặt trƣợt hệ thống 26 Hình Góc nghiêng tốc độ quay ứng với điều khiển chiếu thời gian xác lập 27 Hình Góc nghiêng lắc ngƣợc ứng với điều khiển trƣợt thời gian xác lập 28 Hình Tốc độ quay lắc ngƣợc ứng với điều khiển thời gian xác lập 28 Hình Góc nghiêng lắc ngƣợc ứng với điều khiển 30 Hình Tốc độ quay lắc ngƣợc ứng với điều khiển 30 Hình Đáp ứng đầu khớp thứ 33 Hình 10 Đáp ứng đầu cùa khớp thứ hai 33 Hình 11 Mặt trƣợt hệ thống 34 Hình 12 Đáp ứng đầu khớp một, khớp hai, giá trị đặt ứng với khớp 35 Hình 13 Đáp ứng đầu khớp thứ 36 Hình 14 Đáp ứng đầu khớp thứ hai 36 Hình 15 Đáp ứng đầu khớp thứ ứng với điều khiển 38 Hình 16 Đáp ứng đầu khớp thứ hai ứng với điều khiển 38 DANH MỤC BẢNG BIỂU Bảng Tham số điều khiển ứng với mô hình lắc ngƣợc 29 Bảng Tham số điều khiển ứng với mơ hình cánh tay máy hai bậc tự 37 DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT Từ viết tắt Tên đầy đủ Ý nghĩa SISO Single Input Single Output Hệ thống vào MAS Multi Agent System Hệ thống đa tác tử HGV Hypersonic Gliding Vehicles Hệ thống phƣơng tiện lƣớt siêu CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan Trong năm gần đây, hệ thống điều khiển ngày phức tạp nhƣ đại nhiều ví dụ nhƣ hệ MAS hệ HGV, hệ thống công nghiệp Vậy nên vấn đề cải thiện điều khiển để hệ thống hoạt động tốt phù hợp với hệ thống phức tạp nói Một yếu tố đƣợc quan tâm nghiên cứu thời gian đáp ứng hệ thống Các điều khiển truyền thồng nhƣ PID, điều khiển trƣợt hay điều khiển chiếu, … chƣa quan tâm tới thời gian đáp ứng hệ thống từ làm ảnh hƣởng nhiều tới đáp ứng hệ thống nên tối ƣu yếu tố thực cần thiết Đã có nhiều cơng bố nghiên cứu tồn giới chủ đề Khởi điểm hội tụ thời gian xác lập hữu hạn (finite-time convergence), đƣợc phát triển Bhat Bernstein [1] sau đƣợc áp dụng vào nhiều điều khiển khác nhƣ [2], [3] Ổn định thời gian xác lập hữu hạn đảm bảo hệ thống động học tiến tới giá trị cân với thời gian xác lập hữu hạn Tuy nhiên nhƣợc điểm điều khiển phụ thuộc vào điều kiện ban đầu hệ thống Để khắc phục nhƣợc điểm lý thuyết hội tụ thời gian xác lập cố định (fixed-time convergence) đời Nó đƣợc giới thiệu Polyakov [4] đƣợc phát triển nhiều tác giả khác nhƣ [5], [6], [7], [8], [9] Với việc áp dụng lý thuyết ổn định thời gian xác lập cố định vào điều khiển hệ thống động học đƣợc xác định khoảng thời gian mà chúng đạt tới điểm cân mà không cần phụ thuộc vào điều kiện ban đầu hệ thống Tuy nhiên, nhƣợc điểm lớn hai điều khiển nêu ta khơng biết đƣợc xác thời gian mà điều khiển đƣa hệ thống đạt giá trị cân Ví dụ nhƣ điều khiển thời gian xác lập cố định, ta biết thời gian xác lập vƣợt giá trị cụ thể mà khơng biết xác giá trị thời gian xác lập Chính lý thuyết ổn định thời gian xác lập tùy ý (Arbitrary Time Convergence) [10] đời nhằm cải thiện khuyết điểm lý thuyết hội tụ thời gian xác lập cố định Tuy nhiên, theo [10] nghiên cứu trƣớc đó, đối tƣợng nghiên cứu dừng lại hệ thống vào thơng thƣờng (Single Input Single Output) cịn hệ thống phức tạp nhƣ hệ nhiều vào nhiều (Multi Input Multi Output) hay hệ thống Euler – Lagrange lý thuyết chƣa đƣợc áp dụng Vậy nên luận văn này, lý thuyết đƣợc áp dụng cho điều khiển để chúng thực chức hệ thống phức tạp vừa kể Nguyễn Trọng Tuấn 1.2 Xây dựng vấn đề khái niệm mở đầu 1.2.1 Hệ SISO Trong toàn luận văn, ta sử dụng hệ SISO phi tuyến bậc hai sau:  x1  x2    x2  f  x   g  x  u  d    y  h  x Trong x   x1, x2   điều khiển đầu vào, vector trạng thái hệ thống, u  tín hiệu f  x  f  0  0, g  x   với x  (1) g  x  hàm liên tục thỏa mãn , y đầu hệ thống, h  x  phƣơng trình đầu hệ thống d nhiễu bên hệ thống thỏa mãn d  t    1.2.2 Hệ Euler – Lagrange Để luận văn mang tính tổng quát, ta sử dụng hệ cánh tay robot n bậc có dạng nhƣ sau: H (q)q  V (q, q)  G(q)  d  M (2) Trong đó:  H11 H    H n1 H1n  V1   g1        , V    , G    lần lƣợt ma trận quán tính hệ Vn   g n  H nn  thống, ma trận quán tính ly tâm, ma trận vector trọng trƣờng  M1  M    ma trận mô men đặt vào cấu chấp hành nối  M n  robot  q1  q    vector trạng thái hệ thống ứng với nối robot  qn   d1     d    nhiễu tác động lên nối robot    dn  Nguyễn Trọng Tuấn Hình 10 Tín hiệu điều khiển ứng với điều khiển Hình 11 Hình ảnh phóng to tín hiệu điều khiển ứng với điều khiển Nguyễn Trọng Tuấn 31 4.2 Mơ hình cánh tay máy hai bậc tự Xét mơ hình cánh tay máy hai bậc tự sau [19]:     H q q  V q, q  G q  M (71) Trong đó, ma trận hệ phƣơng trình động lực học robot có dạng nhƣ sau:  h12222  2h11212  H12   g1  H H   11 ; V  ; G       h21112    H 21 H 22   g2  (72) Với: H11  m1a12   m2  mt   a12  a22  2a1a2 cos   H12  H 21   m2  mt   a22  a1a2 cos   H 22   m2  mt  a22 h122  h112  h211    m2  mt  a1a2 sin  g1  m1 ga1 cos1   m2  mt  g  a1 cos1  a2 cos 1     g   m2  mt  ga2 cos 1      M    tín hiệu điều khiển ứng với khớp robot     q    góc quay khớp khớp   Tham số mơ hình đƣợc cho nhƣ sau: m1  2.5kg , m2  1.5kg , mt  0.5kg , a1  0.25m , a2  0.15m 4.2.1 Bộ điều khiển thời gian xác lập cố định  d1  t   0.5sin  0.1t  Với tín hiệu nhiễu ứng với khớp có dạng:   d  t   0.2sin  0.1t  với tín hiệu điều khiển (24) tham số điều khiển đƣợc cho nhƣ sau: k1  k2  k3  k4  ,   ,   2,   0.5 Ta có kết mơ nhƣ hình dƣới Ta thấy thời gian xác lập mặt trƣợt hình thỏa mãn bất     1 1 phƣơng trình (25)  T      0.5101 k   k 2k2    0.5 2*5 1.5        21.51 n 1   Nguyễn Trọng Tuấn 32 Thời gian xác lập hệ thống chƣa tới 1s Điều cho ta thấy điều khiển đáp ứng tốt tốn mà ta đặt Hình 12 Đáp ứng đầu khớp thứ ứng với điều khiển thời gian xác lập cố định Hình 13 Đáp ứng đầu cùa khớp thứ hai ứng với điều khiển thời gian xác lập cố định Nguyễn Trọng Tuấn 33 Hình 14 Mặt trượt hệ thống ứng với điều khiển thời gian xác lập cố định 4.2.2 Bộ điều khiển thời gian xác lập tùy ý 4.2.2.1 Bộ điều khiển chiếu thời gian xác lập tùy ý  d1  t   Với tín hiệu nhiễu ứng với khớp có dạng:   d  t   với tín hiệu điều khiển (54) tham số điều khiển đƣợc cho nhƣ sau: 1  2  3  4  thời gian xác lập hệ thống t f  ta thu đƣợc kết nhƣ hình 15 Ta thấy hệ thống hội tụ điểm cân khoảng thời gian 3s Điều cho thấy điều khiển thực tốt yêu cầu đặt Nguyễn Trọng Tuấn 34 Hình 15 Đáp ứng đầu khớp một, khớp hai, giá trị đặt ứng với khớp ứng với điều khiển chiếu thời gian xác lập tùy ý 4.2.2.2 Bộ điều khiển trƣợt thời gian xác lập tùy ý  d1  t   0.5sin  0.1t  Với tín hiệu nhiễu ứng với khớp có dạng:   d  t   0.2sin  0.1t  với tín hiệu điều khiển (68) tham số điều khiển đƣợc cho nhƣ sau: 1  2  , k1  k  thời gian xác lập hệ thống t f  2.5 ta thu đƣợc kết nhƣ hình 16, hình 17 Thời gian xác lập hệ thống 2.5s Điều cho ta thấy điều khiển đáp ứng tốt toán mà ta đặt Nguyễn Trọng Tuấn 35 Hình 16 Đáp ứng đầu khớp thứ ứng với điều khiển trượ thời gian xác lập tùy ý Hình 17 Đáp ứng đầu khớp thứ hai ứng với điều khiển trượt thời gian xác lập tùy ý Nguyễn Trọng Tuấn 36 4.2.3 So sánh điều khiển Trong phần này, nhƣ phần trƣớc, sau mô để thấy đƣợc khả thi điều khiển, ta đem chúng so sánh với Ở để thể dễ so q1d  Tham số điều khiển đƣợc lấy q2 d  sánh, ta lấy giá trị đặt  nhƣ bảng dƣới Hình 18, hình 19 dƣới kết mô ứng với khớp cánh tay máy ứng với điều khiển Ta thấy có vọt lố khoảng thời gian đầu, nhiên điều khiển đáp ứng tốt yêu cầu đề từ ban đầu điều khiển Hình 20, hình 21 kết mơ tín hiệu điều khiển ứng với khớp điều khiển Ta thấy tín hiệu điều khiển điều khiển thời gian xác lập tùy ý thời điểm ban đầu cao, cao nhiều so với hai điều khiển lại Tuy nhiên sau đó, ba điều khiển giúp hệ thống điểm cân mà ta mong muốn Bảng Tham số điều khiển ứng với mơ hình cánh tay máy hai bậc tự STT Tên điều khiển Tham số điều khiển Bộ điều khiển chiếu thời 1  2  , k1  k  , t f  2.5 gian xác lập tùy ý Bộ điều khiển thời gian xác k1  k2  k3  k4  ,   ,   2,   0.5 lập cố định Bộ điều khiển trƣợt thời gian 1  2  , k1  , k  15 , t f  2.5 xác lập tùy ý Nguyễn Trọng Tuấn 37 Hình 18 Đáp ứng đầu khớp thứ ứng với điều khiển Hình 19 Đáp ứng đầu khớp thứ hai ứng với điều khiển Nguyễn Trọng Tuấn 38 Hình 20 Tín hiệu điều khiển khớp thứ ứng với điều khiển Hình 21 Tín hiệu điều khiển khớp thứ hai ứng với điều khiển Nguyễn Trọng Tuấn 39 4.3 Nhận xét kết Kết mô cho ta thấy, hai điều khiển đáp ứng tốt yêu cầu mà ta đề Đối với điều khiển thời gian xác lập cố định:  Ổn định hệ thống  Mặt trƣợt hội tụ gốc tọa độ khoảng thời gian cho phép  Đáp ứng đầu bám với giá trị đặt Đối với điều khiển thời gian xác lập:  Ổn định đƣợc hệ thống  Đáp ứng đầu xác lập giá trị mong muốn khoảng thời gian mà ta yêu cầu Nguyễn Trọng Tuấn 40 CHƢƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ HƢỚNG PHÁT TRIỂN Nhìn chung em hoàn thành đƣợc mục tiêu đề thiết kế điều khiển thời gian xác lập điều khiển thời gian xác lập cố định cho hệ Euler Lagrange Kết chạy mô với điều khiển tốt nhiên tồn hạn chế từ hƣớng phát triển nhƣ sau:  Kết hợp bù nhiễu đầu vào với điều khiển thời gian xác lập cố định để chạy ổn định với mơi trƣờng có nhiễu đầu vào  Chạy kết hợp với điều khiển thông minh nhƣ Mờ, Nơ –ron  thật Tối ƣu điều khiển để áp dụng mơ hình Nguyễn Trọng Tuấn 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sanjay P Bhat, Dennis S Bernstein, "Finite-Time Stability of Continuous Autonomous Systems," SIAM Journal on Control and Optimization, vol 38, pp 751-766, 2000 [2] EmmanuelMoulay, EmmanuelMoulay, "Finite time stability and stabilization of a class of continuous systems," Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 323, no 2, pp 1430-1443, 2006 [3] YiguangHong, "Finite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems," Systems & Control Letters, vol 46, no 4, pp 231236, 2002 [4] A Polyakov, "Nonlinear Feedback Design for Fixed-Time Stabilization of Linear Control Systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol 41, no 11, pp 2106-2110, 2012 [5] ChuanChen, LixiangLi, HaipengPeng, YixianYang, LingMid, HuiZhaoe, "A new fixed-time stability theorem and its application to the fixed-time synchronization of neural networks," Neural Networks, vol 123, pp 412419, 2020 [6] ChengHua, JuanYua, ZhanhengChen, HaijunJiang, TingwenHuang, "Fixedtime stability of dynamical systems and fixed-time synchronization of coupled discontinuous neural networks," Neural Networks, vol 89, pp 7483, 2017 [7] Sergey Parsegov, Andrey Polyakov, Pavel Shcherbakov, "Nonlinear fixedtime control protocol for uniform allocation of agents on a segment," 51st IEEE Conference on Decision and Control, pp 7732-7737, 2012 [8] AndreyPolyakov, LeonidFridman, "Stability notions and Lyapunov functions for sliding mode control systems," Journal of the Franklin Institute, vol 351, no 4, pp 1831-1865, 2014 [9] Zongyu Zuo, Qing-Long Han, Boda Ning, "Fixed-Time Cooperative Control of Multi-Agent Systems," Springer, 2019 Nguyễn Trọng Tuấn 42 [10] Anil KumarPal, ShyamKamal, Shyam KrishnaNagar, BijnanBandyopadhyay, LeonidFridman, "Design of controllers with arbitrary convergence time," Automatica, vol 112, 2020 [11] Sergei E Parsegov, Andrey E Polyakov, Pavel S.Shcherbakov, "Fixed-time Consensus Algorithm forMulti-agent Systems with Integrator Dynamics," in IFAC Workshop on Distributed Estimation and Control in Networked Systems, Rhine-Moselle-Hall, Koblenz, Germany, 2013 [12] Mark Spong, Mathukumalli Vidyasagar, Robot dynamics and control, India: Wiley (January 1, 1989), 2008 [13] Emmanuel Moulay, WilfridPerruquetti, "Finite time stability and stabilization of a class of continuous systems," Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol 323, no 2, pp 1430-1443, 2006 [14] Sanjay P Bhat, Dennis S Bernstein, "Finite-Time Stability of Continuous Autonomous Systems," SIAM Journal on Control and Optimization, vol 38, no 3, pp 751-766, 2000 [15] A Polyakov, "Nonlinear Feedback Design for Fixed-Time Stabilization of Linear Control Systems," IEEE Transactions on Automatic Control, vol 57, no 8, pp 2106-2110, 2012 [16] Zongyu Zuo, Qing-Long Han, Boda Ning, Fixed-Time Cooperative Control of Multi-Agent Systems, Springer, 2019 [17] Anil KumarPal, ShyamKamal, Shyam KrishnaNagar, Bijnan Bandyopadhyay, LeonidFridmanc, "Design of controllers with arbitrary convergence time," Automatica, vol 112, no 108710, 2020 [18] L.-X Wang, A course in fuzzy systems and control, Prentice-Hall International, Inc, 1997 [19] N M Tiến, Điều khiển Robot Công Nghiệp, Nhà xuất Khoa Học Kỹ Thuật, 2007 [20] N D Phƣớc, Phân tích điều khiển hệ phi tuyến, Hà Nội: Nhà Xuất Nguyễn Trọng Tuấn 43 Bách Khoa Hà Nội, 2015 [21] Zhi-Ye Zhao, Xiao-Zheng Jin, Xiao-Ming Wu, Hai Wang, Jing Chi, "Neural network-based fixed-time sliding mode control for a class of nonlinear Euler-Lagrange systems," Mathematics and Computation, vol 415, 2022 [22] S E Parsegov, A E Polyakov , P S Shcherbakov, "Fixed-time Consensus Algorithm for Multi-agent Systems with Integrator Dynamics," Distributed Estimation and Control in Networked Systems, vol 46, no 27, pp 110-115, 2013 [23] Minh HoangTrinh, Nam HoaiNguyen, Chuong VanNguyenb, "Comments on “Design of controllers with arbitrary convergence time” [Automatica 108710]," Automatica, vol 122, 2020 [24] Anil KumarPal, ShyamKamal, Shyam KrishnaNagar, BijnanBandyopadhyay, LeonidFridman, "Authors’ Reply To: (CI 20-0229) Comments on Design of controllers with arbitrary convergence time [Automatica 108710]," Automatica, 2020 [25] A K Behera, B Bandyopadhyay, "Robust sliding mode control: An eventtriggering approach," IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, vol 64, no 2, pp 146-150, 2016 [26] J G J S V Utkin, Sliding mode control in electromechanical systems, CRC Press, 2017 [27] C Edwards and S Spurgeon, Sliding mode control: theory and application, CRC Press, 1998 [28] Z Man, X Yu, "Terminal sliding mode control of MIMO linear systems," IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, vol 44, no 11, pp 1065-1070, 1997 [29] Y Feng, X Yu, Z Man, "Non-singular terminal sliding mode control of rigid manipulators," Automatica, vol 387, no 12, pp 2159-2167, 2002 [30] X Yu, Z Man, "Fast terminal sliding-mode control design for nonlinear dynamical systems," IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Nguyễn Trọng Tuấn 44 Fundamental Theory and Applications, vol 49, no 2, pp 261-264, 2002 [31] Z Zuo, "Non-singular fixed-time terminal sliding mode control of nonlinear systems," IET control theory & applications, vol 9, no 4, pp 545-552, 2014 [32] Emmanuel Moulay, Vincent Léchappé, Emmanuel Bernauau, Frank Pleastan, "Robust fixed-time stability: application to sliding mode control," IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL, vol 67, no 2, pp 1061 - 1066, March 30, 2021 Nguyễn Trọng Tuấn 45 ... điều kiện để hệ thống ổn định thời gian xác lập tùy ý Và nhờ lý thuyết ta thiết kế điều khiển chiếu thời gian xác lập tùy ý điều khiển trƣợt thời gian xác lập tùy ý cho hệ SISO hệ Euler – Lagrange... điều khiển thời gian xác lập cố định Nguyễn Trọng Tuấn 33 Hình 14 Mặt trượt hệ thống ứng với điều khiển thời gian xác lập cố định 4.2.2 Bộ điều khiển thời gian xác lập tùy ý 4.2.2.1 Bộ điều khiển. .. khiển trƣợt thời gian xác lập tùy ý đƣa hệ thống điểm cân nhiên tín hiệu điều khiển lại dạo động so với điều khiển lại Bộ điều khiển thời gian xác lập cố định có tốc độ xác lập nhanh điều khiển cịn