Các tính chất của tích vô hướng chi tiết nhất I Lí thuyết tổng hợp Với các vectơ a,b,c khác vectơ 0 và số thực k tùy ý ta có Các tính chất của tích vô hướng a b b a= (tính chất giao hoán) a(b c) a b a[.]
Các tính chất tích vơ hướng chi tiết I Lí thuyết tổng hợp - Với vectơ a,b,c khác vectơ số thực k tùy ý ta có: Các tính chất tích vơ hướng: a.b = b.a (tính chất giao hốn) a(b + c) = a.b + a.c (tính chất phân phối) ( ka ).b = k ( a.b ) = ( kb ).a 2 a 0 ; a =0a =0 - Từ tính chất trên, ta có: ( a + b = a + 2a.b + b ( a − b = a − 2a.b + b ) ) 2 2 2 (a + b)(a − b) = a − b II Các công thức - Với vectơ a,b,c khác vectơ số thực k tùy ý ta có: a.b = b.a a(b + c) = a.b + a.c ( ka ).b = k ( a.b ) = ( kb ).a 2 a 0 ; a =0a =0 (a + b) ( ) 2 2 2 = a + 2a.b + b a − b = a − 2a.b + b (a + b)(a − b) = a − b III Ví dụ minh họa Bài 1: Cho tam giác ABC M điểm khác A, B, C Chứng minh rằng: MA.BC + MB.CA + MC.AB = Lời giải: VT = MA.BC + MB.CA + MC.AB = MA(MC − MB) + MB(MA − MC) + MC(MB − MA) = MA.MC − MA.MB + MB.MA − MB.MC + MC.MB − MC.MA = MA.MC − MA.MB + MA.MB − MB.MC + MB.MC − MA.MC = (MA.MC − MA.MC) + (−MA.MB + MA.MB) + (−MB.MC + MB.MC) = + + = = VP MA.BC + MB.CA + MC.AB = (điều cần phải chứng minh) Bài 2: Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh a Tính giá trị biểu thức P biết rằng: P = AB2 + BC2 + 2DC.BC Lời giải: Xét tam giác ABC vuông cân B (do ABCD hình vng) : Áp dụng định lí Py-ta-go ta có: AC2 = AB2 + BC2 = a + a = 2a AC = 2a = a Ta có ABCD hình vng nên ta có AB // DC AB = DC AB = DC 2 P = AB2 + BC2 + 2DC.BC = AB + BC + 2AB.BC = (AB + BC)2 = AC = AC2 = (a 2)2 = 2a P = 2a Bài 3: Cho hình thoi ABCD cạnh a Chứng minh (AD − DC)(AD − BA) = Lời giải: Do ABCD hình thoi nên ta có: AB // DC AB = DC AB = DC Xét đẳng thức: (AD − DC)(AD − BA) = VT = (AD − DC)(AD − BA) = (AD − AB)(AD + AB) = AD − AB VT = AD2 − AB2 = a − a = = VP (AD − DC)(AD − BA) = (điều cần phải chứng minh)