Bai toan min max so phuc co loi giai chi tiet 1

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018 Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ trường tồn quốc q thầy nhóm Vận Dụng Cao Kỹ năng:  Phương pháp đại số  Phương pháp hình học  Phương pháp bđt modun  Phương pháp casio Một số tính chất cần nhớ Mơđun số phức:   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất   z  a  b  zz  OM  z  0, z   , z   z   z.z '  z z '  z z  ,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z ' z' z'  kz  k z , k   2  Chú ý: z  a  b  2abi  ( a2  b )2  4a b2  a  b  z  z  z.z Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2  z1  z2  z  z z  z 2 2  2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x , y Quỹ tích điểm M ax  by  c  (1) (1)Đường thẳng :ax  by  c  z  a  bi  z  c  di (2) (2) Đường trung trực đoạn AB với A  a , b  , B  c , d    x  a   y  b   R Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  R2 Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R  x  a   y  b Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z  a  bi  R Hình vành khăn giới hạn hai đường trịn đồn tâm I  a; b  , bán kính r   x  a    y  b   R r  z  a  bi  R r, R Parabol  y  ax  bx  c c  0   x  ay  by  c  x  a   y  c  1 Elip   1 b2 d2 z  a1  b1i  z  a2  b2 i  2a  x  a   y  c  b2 d2   Elip 2a  AB , A  a , b  , B  a , b  1 2 Đoạn AB 2a  AB Hypebol 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b      1 2  z Min  z0  a  b   z  a  b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với  A  a; b  ,B  c;d   z Min  d  O , AB   a2  b2  c  d2 2  a  c  b  d Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  a  bi c  di iz  a  bi  iz  c  di  z   z  z  b   z  d  ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường trịn TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  z  R Tìm z , z Min Ta có Max    Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường tròn tâm I a; b bán kính R     2 z  Max  OI  R  a  b  R  z0  R   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z  a  bi R  (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện  c  di  z  a  bi  R  z  cadibi Hay viết gọn z z  z1  R  z   R R  c  di c  d2 z1 R  (Chia hai vế cho z ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a , a  c Khi ta có   Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip:    y2 x2  1 a2 a2  c2 z  Max  a   2  z Min  a  c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z  2a Thỏa mãn 2a  z1  z Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z  2a , z1  z  2a z1 , z  c,  ci ) Tìm   Max, Min P  z  z Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  z1  z  2c Đặt  2  b  a  c Nếu z  z1  z 0 PMax  a (dạng tắc)  P  b  Min  z1  z a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z a PMax  z    P  z  z  z  a  Min   z1  z a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   Nếu z  z1  z  z PMax  z  z1  z a PMin  z  z1  z b PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp Dạng 3: Tả phí lù Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z  3i  z   i Tìm số phức có mơđun nhỏ nhất? A z   2i B z    i 5  i 5 Hướng dẫn giải C z  D z  1  2i Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z  x  yi  x , y    2 z  3i  z   i  x   y   i   x     y   i  x   y     x     y    y   4x   y   x  y    x  y    x  y   2 z  x  y   y  1  y  y  y    y     5 5  2 Suy z  2 y    x  5 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  i 5 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z  x  yi  x , y    Vậy z  2 z  3i  z   i  x   y   i   x     y   i  x   y     x     y    y   4x   y   x  y    x  y   Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z  3i  z   i đường thẳng d : x  2y   Phương án A: z   2i có điểm biểu diễn  1;    d nên loại A  2 Phương án B: z    i có điểm biểu diễn   ;   d nên loại B 5  5 Phương án D: z  1  2i có điểm biểu diễn  1;   d nên loại B 1 2  i có điểm biểu diễn  ;    d 5 5 5 (Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào kiện ban đầu khơng nên biến đổi) Cách 3: Tính nhanh Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình  : x  y   Phương án C: z  Vậy z  d  O ,    1 2  5 2 Cách 4: Cơng thức tính nhanh BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z Tìm z ?  1 2  z Min  z0  a  b  z  a  b i  2 BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z ? z Min  Câu 2: a2  b2  c  d2 2  a  c  b  d (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z   z   Gọi M , m giá trị lớn nhỏ z Khi M  m A  B  C Hướng dẫn giải D  Chọn B Cách : Đại số Gọi z  x  yi với x; y   Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có  z   z   z   z   z  z  Do M  max z  Mà z   z    x   yi  x   yi    x  3  y2   x  3  y2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có   x  3  y   x  3  y2  1 2  12  x    y   x    y       2 x  y  18  2 x  y  18  64      x2  y   x2  y   z  Do M  z  Vậy M  m   Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)   F1  3;  , F2  0,      x2 y   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip    a    16    b  a  c         z a4 Max Do   M m  4  z Min  b  Cách 3: Tổng quát Cho số phức z thỏa mãn z  c  z  c  a ,  a  c  ta ln có  Tập hợp điểm biểu diễn z Elip y2 x2  1 a2 a2  c z  Max  a   2  z Min  a  c Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn z   i A 13  B C Hướng dẫn giải D 13  Chọn D Cách 1: Gọi z  x  yi ta có z   3i  x  yi   3i  x    y   i 2 Theo giả thiết  x     y    nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường tròn tâm I  2;  bán kính R  M2 Ta có z   i  x  yi   i  x     y  i  Gọi M  x; y  H  1;1 HM  2  x     y  1  x     y  1 M1 I H Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường tròn  x   3t Phương trình HI :  , giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn: y   t  9t  4t   t       nên M   ;3 ;3 ,M2  13 13 13  13 13    Tính độ dài MH ta lấy kết HM  13  Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Giá trị lớn w  z   i   Ta có z   3i   z   3i   z   i   2i   w   2i  (Đường tròn tâm I  3, 2  , R  ) Vậy w Max  OI  R  32  2    13 Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  R  , ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường tròn I  a , b  , bk  R ) 2 z  Max  OI  R  a  b  R  2  z Min  OI  R  a  b  R  Ngoài ta ln có cơng thức biến đổi z  a  bi  z  a  bi Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z  Đặt A  2z  i Mệnh đề sau  iz đúng? A A  B A  C A  D A  Hướng dẫn giải Chọn A Cách 1: Đặt Có a  a  bi ,  a , b     a  b  (do z  ) a   b  1 i a   2b   2z  i A    2  iz  b    b   a2 Ta chứng minh Thật ta có a   2b  1 1   b   a2 a   b  1   b a 2 2   a   2b  1    b   a  a  b  Dấu “=” xảy a2  b2  Vậy A  Cách : Trắc nghiệm Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z 1 2z  i Chọn  34  A 1 1 A   iz z 1 17 Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức A   A B C Hướng dẫn giải 5i 5i Cách 1: Ta có: A   1    Khi z  i  A  z z z 5i z D  Chọn đáp án C Cách 2: A   z  5i 5i   z  5i z z Theo z   z  5i  5i   z  5i Max  52   Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn M max giá trị nhỏ M biểu thức M  z  z   z  A M max  5; M  B M max  5; M  C M max  4; Mmin  D M max  4; Mmin  Hướng dẫn giải Ta có: M  z  z   z   , z   M   M max  Mặt khác: M   z3 1 z  1 z   z3   z3   z   z3  1, z  1  M   M   Chọn đáp án A Câu 7: Cho số phức z thỏa z  Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P  A B C zi z D Hướng dẫn giải i i 1 Ta có P      Mặt khác:     z | z| z | z| Vậy, giá trị nhỏ P , xảy z  2i ; giá trị lớn P xảy 2 z  i Câu 8:  Chọn đáp án A Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  2i A 26  17 B 26  17 C 26  17 D 26  17 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y     z  2i  x   y   i Ta có: 2 z   i    x  1   y    Đặt x   sin t; y  2  3cos t; t   0;  2  z  2i    sin t    4  cos t   26   sin t  cos t   26  17 sin  t    ;       26  17  z  2i  26  17  z  2i max  26  17   17  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z  2i Ta có z   2i    z  2i    4i   z Max  12     17 (đáp án A) Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức P   z   z A 15 B C 20 Hướng dẫn giải D 20 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    Ta có: z   x  y   y   x  x    1;1 Ta có: P   z   z  Xét hàm số f  x   2   x   y    x   y  1  x   1  x    x   1  x  ; x    1;1 Hàm số liên tục   1;1 x   1;1 ta có: f   x   1  x   với   x     1;1 1  x   4 Ta có: f  1  2; f  1  6; f     20  Pmax  20  5  Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)  x  sin t Từ z  , đặt z  x  yi   Thay vào P dùng mode đáp án D y  cos t  Cách 3: Hình học (Xem video live thầy) Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính giá trị M m A 13 B 39 C 3 D 13 Hướng dẫn giải Gọi z  x  yi ;  x  ; y    Ta có: z   z.z  Đặt t  z  , ta có  z   z   z    t  0;  Ta có t    z   z    z.z  z  z   x  x  t2  Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Suy z  z   z  z  z.z  z z   z   x  1  2x   t  Xét hàm số f  t   t  t  , t   0;  Bằng cách dùng đạo hàm, suy 13 13 ; f  t    M n  4  Chọn đáp án A max f  t   Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   z Khẳng định sau đúng? A 1 1  z 6 B   z   1 1  z 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u  v  u  v , ta C   z   D 2 z  4  z   4  z  z  z    z   2 z  z  z    z   z  z    z   Vậy, z nhỏ  1, z  i  i z lớn  1, z  i  i  Chọn đáp án B Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z A 9 B 11  C  Hướng dẫn giải D 56 Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    Ta có: z   2i    x  1   y    Đặt x   sin t ; y  2  cos t ; t   0;  2 Lúc đó: z    sin t    2  cos t     sin t  cos t     sin  t    ;       z   sin  t     z     ;      zmax   đạt z   10   i 5  Chọn đáp án A Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm mơđun lớn số phức z Ta có z   2i   z Max  12  2      Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn   i  z   2i  10 Tìm mơđun lớn số phức z A B C Hướng dẫn giải D  Cách 1: Gọi z  x  yi ;  x  ; y    10 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ,  x , y    z 1  z   z  3i   z  3i  x2  y  4x  y   Ta có  x  1 Lại có P  z  i  z   i  x   y  1  2  y  x2   y    x  4   y  7 2  x  y   4 x  y  72 Mặt khác  x  y   4 x  y  72   5.80  x  y   4 x  y  72  20 Suy P  20 Câu 66: Cho số phức z  a  bi ( a , b số thực) thỏa mãn z  z   4i có mơđun nhỏ giá trị P  a.b là? A B C D Lời giải Chọn D Ta có: 2 a  bi  a  bi   4i  a  b2   a     b    6a  8b  25   a  25  8b Mô đun số phức z là: 2 100  b    225 15  25  8b  z  a b    b2    36   2 Số phức z  b   a  P3 Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z  1  i B z  2  2i C z   2i D  2i Lời giải Chọn C Gọi số phức z có dạng z  a  bi z thỏa mãn z   4i  z  2i 39 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  a   b  4 i  a   b   i 2   a     b    a2   b    a  4a   b2  8b  16  a  b  4b   a  4b  16  ab Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 16   a  b   12  12   a 2  b2  z  a2  b2   z 2 a b   Dấu  xảy   1  a  b   z   2i a  b  Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i Số phức z có mơ đun bé B A C 2 D Lời giải Chọn C Đặt z  x  yi  x , y    Khi z   4i  z  2i  x  yi   4i  x  yi  2i 2   x     y    x   y    4 x  y  16   x  y   Số phức có mơ đun nhỏ khoảng cách từ O đến đường thẳng  : x  y   40 z Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404  d O;    2 2 Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Giá trị lớn biểu thức P  z1  z2 là: A 26 26 B D  C Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2    Từ giả thiết : z1  z2   OM  ON   OI  với I trung điểm đoạn thẳng MN   z1  z2   OM  ON   MN  Ta có 2 2 MN OM  ON MN  OM  ON  2OI    13 P  z1  z2  OM  ON  P  12  12 OM  ON  26 Vậy Pmax  26 OI   Câu 70:   Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  z2  z1  z2  Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 Khi mơ đun số phức M  m.i : A 76 B 76 C 10 Lời giải Chọn A Ta gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1; z2   D 11  Từ giả thiết : z1  z2   OM  ON   OI  với I trung điểm đoạn thẳng MN   z1  z2   OM  ON   MN  Ta có OI  MN OM  ON MN 2 2  OM  ON  2O I    20    2 2 P  z1  z2  OM  ON  P   OM  ON  40 Vậy max P  10  M     P  z1  z2  OM  ON  OM  ON  Vậy P   m Suy M  m.i  40  36  76 41 Câu 71: Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cho số phức z thỏa mãn i.z   Giá trị lớn biểu thức P  2z   4i  z   5i là: A B.3 C D Lời giải Chọn C Ta gọi M ( x; y) điểm biểu diễn số phức z i.z    5  x   y  3  Suy M ( x; y )  C  I (0;3); R    2   Khi đó: P  2z   4i  z   5i  z     2i  z   5i  MA  MB ,   với A   ;  ; B 1;5          Ta có: IA    ; 1 ; IB  1;2  suy IB  2.IA    5 MB    MA2  MB  15  MI  2   (Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ           MI  MA  AB  MA  AB  MA  MB  MA  MA  MB 3 3 Suy ra:   4 4  MI  MA2  MB  MA.MB.cos MA, MB  MA2  MB  MA.MB.cos AMB 9 9 9 2  MA  MB  AB  4 2 2  MA2  MB  MA.MB    MA  MB  AB 9 MA MB 3    2MA2  MB  3MI  AB  15 )   Vậy P  MA  MB  2.MA  MB   12  2MA2  MB   45  Theo định lý Stewart ta có: 5MA2          3i 3i  , z2    Gọi z số phức thỏa mãn 3z  3i  Đặt 2 2 M , n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T  z  z  z1  z  z2 Tính modun số Câu 72: Cho hai số phức z1  phức w  M  ni 21 Lời giải A B 13 C 3 D  3 Giả sử z  x  yi ,  x , y  R  Ta có 3z  3i   x   y    1(C )    42 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 1 3  3 Gọi K  x; y  , A  ; ,B  ; điểm biểu diễn số phức z , z1 , z2  2   2      Ta tìm Max – Min T  OK  OA  OB Ta có A , B, O thuộc đường trịn (C ) ABO  TMin  2OA   Ta có KA.OB  OA.BK  AB.OK  KA  KB  OK Gọi K thuộc cung OB  T  KA  2.2 R   TMax 4 3 21  w    22      Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z  i  z   3i  z   i Tìm giá trị lớn M z   3i ? A M  10 B M   13 C M  D M  Lời giải Chọn D Gọi A  1;  , B  1; 1 , C  0;1  C trung điểm AB Suy MC  MA  MB2 AB2   MA2  MB2  MC  10 Mặt khác z  i  z   3i  z   i  MC  MA  MB  10 MA2  MB  25 MC  10 MC  10  MC    Mà z   3i  z  i   2  4i   z  i  2  4i  MC   Dấu “ = “ xẩy z  2  5i Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46] Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z   2i  Tìm giá trị nhỏ biểu thức z  2i P  z  2i A P  B P  C D Lời giải Chọn A 2 Áp dụng tính chất: z  z1  z  z1  z  z1 Ta có: 2 2  z   2i  z   2i   z  2i   z  2i    z  2i    z  2i  z  i  z  i    P  z  2i  43 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn điều kiện z1  i  z1  z1  2i z  i  10  Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 ? A 10  B  101  C D 101  Lời giải Chọn B +) Gọi z1  a  bi;  a , b    Nên z1  i  z1  z1  2i  a   b  1   2b    b  Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol y  a2 x2 +) Gọi z2  a  bi ,  a , b    2 Khi z2  i  10    a  10    b  1  2 Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn  C   x  10    y  1  tâm I  10;1 bamns kính r  y M N I x z1  z2 nhỏ MN nhỏ Ta có: MN  IN  IM  MN  IM  IN  IM  Nên MN nhỏ IM nhỏ 2  x2   x2  Ta có: IM   x  10            x    45     2  IM  45  Do MN   Vậy z1  z2  MN    z1  z2 Câu 76:   [2D4-4] Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1   i  z2  iz1 Tìm giá trị lớn m biểu thức 44 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 z1  z2 A m  2  B m   C m  2 Lời giải D m  Chọn A Ta có z1  z2  z1  iz1   i z1  z1 2 Đặt z1  a  bi với ( a , b   ) theo đề ta có  a  1   b  1  (*) Ta cần tìm GTLN m  a2  b2 Đặt t  a  b Ta có: (*)   a  a   b  2b   2(a  b)   t Mà  a  b   12  ( 1)2 a  b (**) nên 2  t     4(a  b)2  8t  t  12t      t   Kết hợp với t  a  b  suy  t   Suy m  2t  12   2  a b Dấu "=" xảy (**) xảy   a  b Kết hợp (*) ta z1  1    i  1 Vậy giá trị lớn m 2    Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  3i   iz2   2i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  2iz1  3z2 A 313  16 B 313 C 313  Lời giải D 313  Chọn A M N I1 I2 Ta có z1  3i    2iz1   10i  Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn  T1  có tâm I1  6; 10  có bán kính R1  Mặt khác, iz2   2i   3 z2   3i  12 nên điểm biểu diễn số phức 3z2 điểm N nằm đường trịn  T2  có tâm I  6;  có bán kính R2  12 45 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta thấy 2iz1  3z2  2iz1   3 z2   MN T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M , I1 , I , N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MN  I1 I  R1  R2  Câu 78: 313  16  z   2i  Cho hai số phức z , w thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức  w   2i  w   i P  zw A Pmin  2 B Pmin   C Pmin  2 D Pmin  2 Lời giải Chọn C Cách : Giả sử z  a  bi  a , b    , w  x  yi  x, y    z   2i    a     b    (1) 2 2 w   2i  w   i   x  1   y     x     y  1 Suy x  y  P  zw   a  x  b  y    a  x  b  x Từ (1) ta có I  3;  , bán kính r  Gọi H hình chiếu I d : y   x x   t Đường thẳng HI có PTTS  y   t M  HI  M   t ;  t   t  M   C   2t     t     1  5 t   M3 ;2   , MH  2   1  5 t  3 M3 ;2  , MH  2  Vậy Pmin  2 46 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cách : z   2i  điều cho thấy M  z  nằm hình trịn tâm I  3;  bán kính w   2i  w   i điều cho thấy N  w  thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng  trung trực đoạn AB với A  1; 2  , B  2;1  : x  y  (Minh hoạ hình vẽ) y y M N B O M I x -1 A I x -1 O 3 N -2 -2 Δ P  z  w  MN Pmin  d  I ,    R  32 1 2 Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1  a  bi z2  c  di số phức thỏa mãn: z12  z1  c  d   10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T  ac  bd  cd Hãy chọn khẳng định M A M   11; 15  B M  15;17  C M   11; 12   D Không tồn M Lời giải Chọn A 2  z12  a  b  Ta có   c  d  z c  d  10      Khi đó: T  ac  bd  cd  a 2  b2 c  d  c(5  c )  c    c   5c  c   Đặt f (c )  2c  10c  25  5c  c   2c  10c  25   c   2c   2c    2  2c  10c  25  2c  10c  25  Bảng biến thiên: Ta có f   c   4c  10 47 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 c  f c   f c 2  Dựa vào   25  bảng biến thiên ta 25  13, a  b   Dấu xảy  c  d   1 Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn z   M  max z  Khẳng định sau đúng? z z có M    A M  1;  7 2 B M   2;     5 C M   1;   2 D M  M  Lời giải Chọn C 3  1  1  1  1 Ta có  z    z    z    z    z     z   z z z z z z     3  1  1  1  1  z    z    3 z     z    3 z    z z z z z     3 Mặt khác:  1  1 1 3 z  z    3 z    z  z z z z   1 Suy ra: z   z   Đặt t  z   ta được: z z z t  3t     t   t  1   t  Vậy M  Câu 81: Cho số phức z  x  yi với x , y số thực không âm thỏa mãn 2  i  z  z   z   i   z   i   Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ    P Môđun M  mi A B C D P  z z z3  biểu thức z   2i 48 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Lời giải Chọn B Ta có z3   z   z   2i  x  y  z   2i P  z2  z 2  i  z  z   z   i   z   i    16 x y  xy( x  y )  16 x y  xy     x  y Đặt t  xy ta có  t    1 Tính giá trị lớn nhỏ P  16t  8t , với t   0;  ta Pmax  ; Pmin  1 Vậy  4 M  mi  Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức z1  3  i , z2    i 2 2 Gọi z số phức thỏa mãn 3z  3i  Đặt M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức T  z  z  z1  z  z2 Tính mơ đun số phức w  M  mi A 21 B 13 C D Lời giải Chọn A Giả sử M , A , B biểu diễn số phức z  x  yi , z1 , z2 Từ giả thiết 3z  3i  ta có: x  ( y  )2  y   Nên M thuộc đường tròn tâm I  0; ,R  3  Ta có T  MO  MA  MB Để Tmin M trùng O , A , B nên M B I 2 1   Tmin  2OA            Để Tmax OM max ( MA  MB)max nên OM  R M nằm  M  0;  Do cung nhỏ AB   3  Tmax A - O 1 x 2 1    OM  MA  2       3     2   21 Vậy w  M  m    2   3 2 49 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:  iz  2i   z   max w   2i , w  Tìm giá trị nhỏ z  w  A 13 B  Lời giải C D Chọn B Gọi M , N điểm biểu diễn z , w với M  x; y  Ta có iz  2i   z   z   2i  z  2   x     y     x  1  y  2 x  y   Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ  : 2 x  y   không chứa O , kể bờ Ta có max w   2i , w  suy    w   2i   NI  , I  2;     w   NO  Do đó, N thuộc phần chung hai hình trịn  I ;  O;  Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E  1; 1 Do đó, N  1; 1 Ta thấy z  w  MN nên z  w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N  Ta có d  N ,    Vậy z  w  2  1  4.1   2  13 4  13 Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1  3i   iz2   2i  Tìm giá trị lớn biểu thức T  2iz1  3z2 A 313  16 B 313 C 313  Lời giải D 313  Chọn A 50 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Đặt 2iz1  a  bi , 3 z2  c  di  a; b; c ; d    , gọi A  a; b  , B  c ; d  Có z1  3i    2 a  bi  3i     a     10  b  i    a     b  10   16 nên 2i A   I  có tâm I  6;  10  bán kính R  Có iz2   2i   i 2 c  di   2i     d    c   i  12   c     d    12 nên 3 B   J  có tâm J  6;  , bán kính R  12 Có T  2iz1  3z2  a  c  b  d   a  c   b  d   AB Do A   I  , B   J  , IJ  313  R  R  16 nên ABMax  R  R  IJ  16  313 Câu 85: Xét số phức z  a  bi ,(a , b  ) thỏa mãn z   2i  Tính a  b biết biểu thức S  z   2i  z   5i đạt giá trị nhỏ A  B  Lời giải: C  D Chọn A Giả thiết z   2i   (T ) : (a  3)2  (b  2)2  Gọi A( 1; 2), B(2; 5), M(a; b) điểm biểu diễn M số phức z1  1  2i , z2   5i , z3  a  bi Bài tốn trở thành: Tìm M  (T ) cho biểu thức S  MA  MB nhỏ Ta có MA  ( a  1)2  (b  2)2  a  b2  2a  4b  B A -1 O J I  a  b  4a  4b   ( a  2)2  (b  2)2  MC với C (2; 2) 51 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Ta có MA  MB  2( MB  MC )  BC dấu “=”xảy B, M , C theo thứ tự thẳng hàng Phương trình đường thẳng BC : x  M giao của BC (T )  M (2;  3)  a  b   Câu 86: z1  z2  z1  z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn P  z  z  z1  z  z2 A P   B P   C P   D P  2 Lời giải Chọn C A' A 600 M' 6 M O 600 B Chọn A , B, M điểm biểu diễn số phức z1 , z , z , Dựa vào điều kiện z1  z2  z1  z2   OA  OB  , AB  Suy ta có tam giác OAB vuông cân O Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: Q B ,600 : A  A   M  M Do tam giác  BMM   AM  AM  , BM  MM  Suy P  z  z  z1  z  z2  OM  AM  BM  OM  MM   AM   OA Dấu "  " xảy O , M , M  , A thẳng hàng   1050 Khi tam giác OBA có OB  , BA  BA  OBA Từ suy OA  OB2  BA2  2OB.BA.cos1050   Vậy P   Câu 87: Cho hai số phức z ,  thỏa mãn z   z   2i ;   z  m  i với m   tham số Giá trị m để ta ln có   là: 52 Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 m  B  C 3  m  D  m  m    m  A  m   Lời giải Chọn B Đặt z  a  ib ,  a , b    có biểu diễn hình học điểm M  x; y  z   z   2i  x   iy  x    y   i   x  1  y2   x  3   y    2 x   x   y   x  y   Suy biểu diễn số phức z đường thẳng  : x  y   Ta có:    z  m  i   x  m    y  1 i  2  x  m    y  1 Mà ta có MI  d  I ,      MI  với I  m; 1 Nên MI   d  I ,     2 m    2m   10 2 m   10  m  3    m    10 m    Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn A 20 z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P  z  i  z   i  z  3i C 12 B 10 D Lời giải Chọn A Gọi z  x  yi ,  x , y    z 1  z   z  3i   z  3i  x2  y  4x  y   Ta có  x  1 Lại có P  z  i  z   i  x   y  1  2  y  x2   y    x  4   y  7 2  x  y   4 x  y  72 Mặt khác  x  y   4 x  y  72   5.80  x  y   4 x  y  72  20 Suy P  20 53 ...  Chứng minh Sử dụng công thức z1  z2   z1  z2  z1  z2 z.z  z Khi z1  z2  z1  z2 2 2  z1 z1  z1 z2  z1 z2  z2 z2  z1 z1  z1 z2  z1 z2  z2 z2     z1 z1  z2 z2  z1  z 2... ? ?1  x   ? ?1  x    x   ? ?1  x  ; x    1; 1 Hàm số liên tục   1; 1 x   ? ?1; 1 ta có: f   x   ? ?1  x   với   x     ? ?1; 1 ? ?1  x   4 Ta có: f  1? ??  2; f  ? ?1? ??... sin 2 x  cos 2 x sin x   16 sin x cos x  sin x   16  t t   t  16 t  4t  16 t  với t  cos x   ? ?1; 1     Đặt f  t   16 t  4t  16 t  , t   ? ?1; 1  t     ? ?1; 1  f 