Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 31 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
31
Dung lượng
1,82 MB
Nội dung
Nêu Phương Pháp Giải Các Bài Toán Tổng Quát Và Các Ví Dụ Minh Họa Các tốn tổng qt : Nguyễn Văn Quý- Admin STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Phương pháp giải ví dụ minh họa làm tập thể thầy STRONG Bài tốn 1: P Bài tốn 1a: Trong khơng gian cho hai điểm A, B , mặt phẳng đường thẳng d P 1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian cho hai điểm A 1; 2; , B 1;1; , mặt phẳng P : x y z Tìm P tọa độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ A 0;1;1 , B 2;1;1 P : x y z 3 Ví dụ 2: Trong khơng gian cho hai điểm , mặt phẳng Tìm tọa P độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ Bài toán 1b: Trong không gian cho hai điểm A, B đường thẳng d 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Các ví dụ minh họa x 1 y z d: Oxyz 2 hai điểm A 4;1;1 Ví dụ 1: Trong không gian , cho đường thẳng B 3; 6; 3 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ x 1 y z 1 d: 2 hai điểm A 1;1;1 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng B 1; 4;0 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Bài toán 2: Cho hai điểm A, B đường thẳng ( d ) Tìm (d ) điểm M để 2 a ( MA MB ) đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA MB b đạt giá trị nhỏ MAB c Tam giác có diện tích nhỏ �x t � () : �y 2 t �z 2t � Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) 2 a Tìm điểm M ( ) cho : MA MB đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA MB b Tìm điểm M ( ) cho : đạt giá trị nhỏ c Tìm điểm M ( ) cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Bài A 3; 2;3 ; B 1;0;5 Ví dụ 2: a Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y z 2 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho MA2 MB đạt giá trị nhỏ d: A 0;1;5 ; B 0;3;3 b Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng uuur uuur x y 1 z d: MA MB 1 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho đạt giá trị nhỏ A 1;5; ; B 3;3; c Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y 1 z 1 Gọi C điểm đường thẳng d cho diện tích tam giác ABC nhỏ Khoảng cách điểm A C d: Bài toán 3: Bài toán Cho điểm A đường thẳng d A , Q d Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: x 1 y z d : A 1; 4; Oxyz 1 Viết Bài 1:Trong không gian cho điểm đường thẳng phương Q chứa d cho d A , Q lớn , nhỏ trình mặt phẳng x 1 y z d : A 0;0;1 Viết Bài 2:Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng phương trình mặt phẳng Q chứa d cho d A , Q lớn , nhỏ Bài toán P chứa d tạo với đường Bài toán 4: Cho hai đường thẳng d , d � Viết phương trình mặt phẳng thẳng d � góc lớn Bài tập ví dụ: d: x 1 y z x y 1 z d� : 1 1 Lập phương trình d: x y 1 z 1 x2 y2 z 2 d� : 2 1 Lập phương Bài 1: Cho hai đường thẳng P chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d �một góc lớn mặt phẳng Bài 2: Cho hai đường thẳng P chứa đường thẳng d tạo với đường thẳng d �một góc lớn trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d , tạo với đường thẳng d �( d �khơng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng song song với d ) góc lớn Bài tốn 4.1 Viết phương trình mặt phẳng P chứa d: x 1 y 1 z 2 tạo với đường thẳng x 1 y z 1 d� : góc lớn �x 2t � d : �y 2 4t x 1 y z d� : �z t � 1 1 Viết phương trình mặt Bài tốn 4.2.Cho hai đường thẳng , Bài toán 5: Câu Câu P : x y z đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z d : 2 hai điểm A 1; 2; 2 , B 2;0; 1 Viết phương trình mặt phẳng Q P góc nhỏ chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng A x y z 10 B x y 3z C x z D x y z A 1;1;0 B 2;3; Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm , mặt phẳng : x y z Gọi P góc mặt phẳng qua hai điểm A , B tạo với P có dạng ax by cz d ( a, b, c, d �� nhỏ Phương trình mặt phẳng a, b, c, d ) Khi tích a.b.c.d bao nhiêu? A 120 B 60 C 60 D 120 Bài toán Câu 6a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng lớn A 2;3;1 B 1; 1;0 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn A 0; 2; 1 B 2; 1;1 Ví dụ 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y 1 z 2 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Câu 6b Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A 0; 1; , B 2;1;1 đường thẳng x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ �x t � d : �y 1 t �z A 1; 2; B 1; 2; 2 � Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt cách điểm B khoảng nhỏ Bài toán 7: P , điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M P cho: Bài toán 7: Cho uuur uuur uuuu r m MA n MB k MC 2 a) m.MA n.MB k MC nhỏ b) nhỏ A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M d: 2 mặt phẳng Oyz cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ Câu A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M P : x 2y z 2 cho MA MB MC đạt giá trị lớn A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r MA 2MB 4MC mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r P : x y z cho MA 5MB 3MC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng Bài toán mặt phẳng S : x a Bài toán 8.1 Cho mặt cầu x b x c r2 2 , mp : Ax By Cz D Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ đến mặt cầu đạt max đạt ? Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu S : x 1 y z 3 49 2 mặt phẳng là: Tìm điểm M thuộc cho khoảng cách từ M đến mp a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? S : x a Bài toán 8.2 Cho mặt cầu x b x c R2 : x y z 72 đường thẳng d : �x x0 a1t � �y y0 b1t , t �� �z z c t S cho khoảng cách từ � Tìm điểm M mặt cầu đến đường thẳng d đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ nhất? Bài tập minh họa S : x 2 Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu y z 2 đường �x t � d : �y t �z 6 t S cho khoảng cách từ M đến đường thẳng � thẳng Tìm điểm M thuộc d là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Phungthan.ddn@gmail.com Bài toán 1: P Bài tốn 1: Trong khơng gian cho hai điểm A, B , mặt phẳng đường thẳng d P 1/ Tìm tọa độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng P 1/ Xét vị trí tương đối hai điểm A, B so với P - Nếu A, B nằm hai phía so với khơng tồn điểm M P - Nếu A, B nằm phía so với : P Tìm điểm A�đối xứng với A qua B Viết phương trình đường thẳng A� I A� B � P Gọi P MB �A� B Với điểm M thuộc ta có MA MB MA� � Chu vi tam giác MAB MA MB AB �A B AB B AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� Các ví dụ minh họa A 1; 2; , B 1;1; P :x y z20 Ví dụ 1: Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng Tìm P tọa độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng P suy A, B nằm phía so với �x t � �y t �z t P Gọi đường thẳng qua A vng góc với Đường thẳng có phương trình : � �x t �x �y t �y � � � � � �z t �z � t 1 � H 0;1;1 H �( P ) , tọa độ nghiệm hệ � �x y z � Gọi A� P 1; 0;0 Gọi A�đối xứng với A qua , �x 1 2t � �y t uuur � A� B 2;1; B : �z 2t Ta có , phương trình đường thẳng A� � �x � �y � �� �x 1 2t �z �y t � � � � z t �1 � � � t �I�; ; � � � I A B � P � �5 5 � , tọa độ nghiệm hệ �x y z Gọi Ta có x A y A z A xB y B z B P MB �A� B Với điểm M thuộc ta có MA MB MA� � Chu vi tam giác MAB MA MB AB �A B AB B AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� A 0;1;1 , B 2;1;1 P : x y z 3 Ví dụ 2: Trong không gian cho hai điểm , mặt phẳng Tìm tọa P độ điểm M thuộc cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả:Phùng Văn Thân; Fb: Thân Phùng x y A z A xB y B z B P Ta có A suy A, B nằm phía so với �x t � �y t �z t P Gọi đường thẳng qua A vng góc với Đường thẳng có phương trình : � �x t �x �y t �y � � �� � �z t �z � t � H 1; 0; H �( P ) , tọa độ nghiệm hệ � �x y z � Gọi A� P 2; 1;3 Gọi A�đối xứng với A qua , �x � �y t uuur � A� B 0; 2; 2 B : �z t Ta có , phương trình đường thẳng A� �x � �y � � �x �� �y t �z � � � � 3� �z t � �I� 2; ; � t � I A� B � P � x y z 2 � � � � , tọa độ nghiệm hệ Gọi P MB �A� B Với điểm M thuộc ta có MA MB MA� � Chu vi tam giác MAB MA MB AB �A B AB B AB M �I Chu vi tam giác MAB nhỏ A� tanbaobg@gmail.com Bài tốn 1: Trong khơng gian cho hai điểm A, B đường thẳng d 2/ Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho chu vi tam giác MAB nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo 2/ Trường hợp 1: Đường thẳng AB vng góc với đường thẳng d Ta làm sau: qua A, B vng góc với d + Viết phương trình mặt phẳng + Sử dụng mệnh đề: chu vi tam giác MAB nhỏ M giao điểm với đường thẳng AB d kết luận M điểm cần tìm + Xác định giao điểm M Trường hợp 2: Đường thẳng AB khơng vng góc với đường thẳng d Ta làm sau + Tham số hố điểm M theo phương trình đường thẳng d cho Tính độ dài MA; MB + Sử dụng mệnh đề: Chu vi tam giác MAB nhỏ MA MB nhỏ + Tìm giá trị nhỏ biểu thức MA MB kết luận Chú ý Người ta thường tìm giá trị nhỏ MA MB bất đẳng thức hàm số Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng B 3; 6; 3 d: x 1 y z 2 hai điểm A 4;1;1 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo uuur r AB 7;5; 4 u 2; 2;1 Ta có Chọn véc tơ phương d uuu rr Vì AB.u nên d AB mặt phẳng qua A, B vng góc d Suy phương trình là: Gọi : 2x y z Vì A B cố định nên chu vi tam giác MAB nhỏ MA MB đường thẳng AB nhỏ Điều xảy M giao điểm M 2m; 2 2m;3 m �d , m �� Giả sử Thay tọa độ điểm M vào phương trình ta Vậy 2m 2m m 1 � m 2 M 3; 2;1 điểm cần tìm Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng d: x 1 y z 1 2 hai điểm A 1;1;1 B 1; 4;0 Tìm điểm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ Lời giải Tác giả: Đỗ Tấn Bảo; Fb: Đỗ Tấn Bảo M 2m; 2m;1 m �d , m �� Giả sử Khi uuuu r 2 � � �AM 2m 2; 2m 1; m �AM 9m 12m 3m �� r �uuuu �BM 2m; 2m 2; m 1 �BM 9m 6m 3m 1 � A B MAB Vì cố định nên chu vi tam giác nhỏ MA MB nhỏ f m 9m 12m 9m 6m Điều xảy biểu thức đạt giá trị nhỏ r r r � �u AM ; v BM u 3m 2;1 � � � �r r �r u v 3;3 v 3m; � � Đặt r r r r f m u v �u v Do r r Dấu xảy u hướng v Điều xảy �1 � M �; ; � 3m 1 3m � m Suy �3 3 � �1 � M �; ; � Vậy �3 3 �là điểm cần tìm f m Cách khác để tìm giá trị nhỏ dùng hàm số sau: 9m 9m f� m 9m 12m 9m 6m 3m 3m f� m � 9m 12m 9m2 6m (*) 3m 3m �0 � �m � 3 Điều kiện cần để t nghiệm (*) Khi (*) � 3m 9m 6m 3m � m 3m 3m � � �� �� 3m 3m � � m � � m Đối chiếu điều kiện Bảng biến thiên: 9m 12m � 3m 3m 1 2 Do f m m nhỏ �1 � M �; ; � Vậy �3 3 �là giá trị cần tìm Bài tốn 2: honghacma@gmail.com Bài Cho hai điểm A, B đường thẳng ( d ) Tìm (d ) điểm M để 2 a ( MA MB ) đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA MB b đạt giá trị nhỏ c Tam giác MAB có diện tích nhỏ �x t � () : �y 2 t �z 2t � Ví dụ 1: Trong hệ trục Oxyz, cho đường thẳng hai điểm A(1; 4; 2), B(1; 2; 4) 2 a Tìm điểm M ( ) cho : MA MB đạt giá trị nhỏ uuur uuur MA MB b Tìm điểm M ( ) cho : đạt giá trị nhỏ c Tìm điểm M ( ) cho diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Lời giải a M �() nên M (1 t; t ; 2t ) uuur � �MA (t;6 t; t) � �uuur �MB (2 t ; t ; 2t ) MA2 MB (t ) (6 t ) (2 t) ( 2 t ) (4 t ) (4 2t ) 12t 48t 76 12(t 2) 28 �28 2 Vậy Min(MA MB ) 28 t � M (1;0; 4) uuur � �MA (t; t; t) �uuur uuur uuur MB ( 2 t ; t ; 2t ) � MA MB (2t 2;10 2t ; 4t ) � b uuur uuur � MA MB (2t 2) (10 2t ) (6 4t ) 24t 96t 140 2 Xét hàm số f (t ) 24t 96t 140 24(t 2) 44 �44 uuur uuur Min MA MB 11 Vậy t � M ( 1; 0; 4) uuu r c Ta có AB ( 2; 2; 2) � AB SABM d (M; AB).AB Vậy diện tích tam giác MAB đạt giá trị nhỏ khoảng cách từ M đến AB đạt giá trị nhỏ Khi khoảng cách từ M đến AB độ dài đoạn vng góc chung AB ( ) �x t ' � �y t ' �z t ' Phương trình đường thẳng AB � M �( ) nên M (1 t ; t ; 2t ) N �AB � N (1 t '; t '; t ') Giảusử uuu r uuur uur � MN t ' t ;6 t � t 4; t � 2t u AB (1; 1;1), u (1;1; 2) , � 22 uuuu r uuur t' � � MN u ( t t ') (6 t t ') t ' t � � � AB �� �� r uu r �uuuu (t t ') t t ' 2(2 t ' 2t ) � 19 � �MN u t � 12 38 M ( ; ; ) 7 Vậy Tác giả:Trương Hồng Hà ; Fb:Trương Hồng Hà hieule1031993@gmail.com A 3; 2;3 ; B 1;0;5 Ví dụ 2: a Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm đường thẳng x 1 y z 2 Tìm tọa độ điểm M điểm đường thẳng d cho MA2 MB đạt giá trị nhỏ uu r uu r rLời giải Gọi I điểm thỏa mãn cho IA IB I trung điểm AB d: Khi uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r2 uuu r uu r uur uu r uur2 MA2 MB MA MB MI IA MI IB 2MI 2MI IA IB IA IB AB 2 2 MA MB đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ M hình chiếu I lên đường thẳng d 2MI �x t � d : �y 2t �z 2t � Phương trình tham số đường thẳng uuu r I 2; 1; ; M �d � M t 1; 2t ;3 2t � IM t 1;3 2t ; 2t 1 Ta có Cách 1: uuur 2 2 IM t 1;3 2t; 2t 1 � IM t 1 2t 2t 1 9t 18t 11 t 1 �2 MI đạt giá trị nhỏ t � M 2; 0; Cách 2: uu r ud 1; 2; 2 Ta có uuu r uu r IM ud � 1 t 2t 2t 1 � 9t � t Ta có hệ phương trình � M 2; 0; 5 Lấy K điểm thuộc d , vẽ đường thẳng Kt // d � M �K gọi H , I hình chiếu vng góc M P d Lấy M �Kt MH MI � � sin d � , P cos KMH KM KM Khi Vậy góc d P lớn H trùng I uuu r Hay P mặt phẳng nhận IM làm vectơ pháp tuyến Q Hay P mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng (chứa d , song song với d � ), r uur uuu r uur � � n� ud , ud � , ud � � � � � VTPT mặt phẳng P cần tìm x 1 y 1 z d: 2 tạo với đường thẳng Bài tốn 4.1 Viết phương trình mặt phẳng P chứa x 1 y z 1 d� : góc lớn Lời giải r uur uuu r uur � � n� ud , u d � , ud � 3;12; 3 3 1; 4;1 � � � � Ta có P qua điểm A 1; 1; nên có phương trình x 1 y 1 z � x 4y z trichinhsp@gmail.com �x 2t � d : �y 2 4t x 1 y z d� : �z t � 1 1 Viết phương trình mặt Bài tốn 4.2.Cho hai đường thẳng , phẳng P chứa d tạo với d �một góc lớn Lời giải Tác giả: Nguyễn Trí Chính; Fb: Nguyễn Trí Chính �x 2t � d : �y 2 4t r �z t a 2; 4;1 A 1; 2;3 � có véc tơ phương d qua x 1 y z r d� : 1 1 có véc tơ phương b 1; 1;1 d �đi qua B 1;6; uuur r r r r � � 5; 3; AB 2;8; 1 a , b � � Có a b khơng phương, có , r r r uuu � � a , b AB 10 24 36 �0 ar.br 5 �0 Có � � , Suy d d �chéo khơng vng góc Có d � P , Lấy N �d , qua N vẽ đường thẳng cho ∥ d � MH P Lấy điểm M � , vẽ MK d K , H Có N , M , K , yếu tố cố định, MH thay đổi MH �MK Có Có � , P MNH d� sin d � , P MH MK � const MN MN , , P d� sin d � , P � MH MK H K lớn � uuuu r P MK Suy véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ur , chứa d MN m Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ur r r ur r ur r � � m a �, b � 5; 3; Có m a , m b Suy r P Gọi n véc tơ pháp tuyến mặt phẳng r �r ur � r r r r n � a , m � 11;1; 26 Thì n a , n m Suy P Mặt phẳng qua điểm A 1; 2;3 P Nên phương trình mặt phẳng Bài tốn 5: Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com Câu có vec tơ pháp tuyến r n 11;1; 26 là: 11x y 26 z 69 P : x y z đường thẳng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y z d : 2 hai điểm A 1; 2; 2 , B 2;0; 1 Viết phương trình mặt phẳng Q P góc nhỏ chứa đường thẳng d tạo với mặt phẳng A x y z 10 B x y 3z C x z D x y z Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Hải; Fb:Nguyen Dinh Hai Chọn A P Q Khi góc P Q nhỏ Gọi giao tuyến hai mặt phẳng d uu r r uu r r uu r � n , u P n 1;1; 1 ud 1; 2;1 � u � d � � 1; 2; 3 Ta có có véctơ pháp tuyến uuur uu r uu r � n u , u Q Q �d � � 8; 2; 4 4;1; 2 Suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng � Q : x 1 y z � x y z 10 Email: nguyen.dinhhai.908@gmail.com Câu A 1;1;0 B 2;3; Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai điểm , mặt phẳng : x y z Gọi P mặt phẳng qua hai điểm A , B tạo với góc P có dạng ax by cz d ( a, b, c, d �� nhỏ Phương trình mặt phẳng a, b, c, d ) Khi tích a.b.c.d bao nhiêu? A 120 B 60 C 60 D 120 Lời giải Tác giả: Nguyễn Đình Hải; Fb:Nguyen Dinh Hai Chọn D P Q Khi góc P Q nhỏ Gọi giao tuyến hai mặt phẳng AB uu r r uuur r uuu r � n P n 1; 2; AB 1; 2; � u � �, AB � 2;0;1 Ta có có véctơ pháp tuyến uuur uuur uu r � 2;5; 4 n Q � AB , u Q � � Suy véctơ pháp tuyến mặt phẳng Phương trình mặt phẳng � 2x y 4z Q : 2 x 1 y 1 z � 2 x y z a.b.c.d 5 4.3 120 Vậy Bài toán Congnhangiang2009@gmail.com Câu 6a Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng lớn Phương pháp giải � d B, BH �AB Gọi H hình chiếu B � d B, lớn AB Cách 1: P mặt phẳng xác định điểm A đường thẳng d � � P Do qua A cắt d cách B khoảng lớn AB uur uuur � u AB Do AB uur uur � P � u nP Do uur uur uuur u � nP , AB � � � � chọn uur uuuu r uur � nP � AM � , ud � Bước 1: Lấy M �d suy tìm uur uur uuur u � nP , AB � � � Bước 2: Gọi Bước 3: viết phương trình đường thẳng qua A có vecto phương Chú ý: kiểm tra xem có cắt d khơng? Cách 2: uur uur uuur u � nP , AB � � � Q qua A vng góc AB Do qua A AB nên nằm mặt phẳng Q qua A vng góc AB Bước 1: dựng C d � P Bước 2: tìm giao điểm Bước 3: viết phương trình đường thẳng qua A C A 2;3;1 B 1; 1; Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Cách 1: P mặt phẳng xác định A d Gọi M 1;0; �d Lấy uuuu rhai điểm AM 1; 3;1 uu r ud 2;3; 1 uur uuuur uur � � nP � �AM , ud � 0;1;3 uuu r AB 1; 4; 1 uur uur uuur � u � nP , AB � � � 11; 3;1 x y z 1 �: 11 3 uu r uur � u 11; 3;1 u Ta có khơng phương với d nên thỏa mãn Cách 2: Q mặt phẳng qua A vng góc với AB Gọi uuu r AB 1; 4; 1 Ta có � Q x y 3 z � Q : x y z 15 C Q �d Gọi C �d � C 2t;3t; t 12 C � Q � 2t 12t t 15 � t 13 uuur � 11 � � AC � ; ; � 13 13 13 � � uuur � 11 � AC � ; ; � 13 13 13 �làm vectơ phương � Ta có qua A nhận x y z 1 �: 11 3 A 0; 2; 1 B 2; 1;1 Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm , d: x 1 y 1 z 2 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách đường thẳng điểm B khoảng lớn Lời giải Tác giả : Hoàng Thị Thanh Nhàn, FB: Hoàng Nhàn Gọi P mặt phẳng xác định A d M 1; 1; 2 �d Lấy uuuu rhai điểm AM 1;1; 1 uu r ud 2;1;3 uur uuuur uuur � � nP � �AM , AN � 4; 1;3 uuu r AB 2;1;2 uur uur uuur uu r � 5; 2;6 � u � n , AB u 2;1;3 P � � không phương với d nên thỏa mãn x y z 1 �: 6 nguyenminhduc.hl@gmail Câu 6b Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A , B đường thẳng d Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Phương pháp giải Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng Do qua A cắt d nên � P Ta có d B, BK �BH d B, nhỏ K �H hay qua hai điểm A H Do uur uuur � u k AH , (k �0) Chú ý: Ta phải kiểm tra xem đường thẳng có cắt đường thẳng d khơng? ( Do D d nằm uur uur u ,u ( P ) mặt phẳng nên d khơng phương cắt đường thẳng d ) A 0; 1; B 2;1;1 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng x 1 y z 1 Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Ducminh Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu d: vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng Do qua A cắt d nên � P d B, BK �BH Ta có d B, nhỏ K �H Do uur uuur � u k AH , (k �0) M (1;0; 2) �d Lấy uuuu r uur AM (1;1;0), ud 2;1; 1 Ta có uuuu r uuuu r uur � � n( P ) � AM � , ud � (1; 1; 3) hay qua hai điểm A H uuuu r uur � AM , ud � � (1; 1; 3) , � Phương trình mặt phẳng ( P) : 1( x 0) 1( y 1) 3( z 2) � x y 3z �x t � �y t (t ��) �z 3t Phương trình đường thẳng BH � H t ;1 t ;1 3t Tọa độ điểm ứng với tham số t thỏa mãn: t t 3(1 3t ) � t 11 u u u r �21 10 � �21 21 14 � � H � ; ; �� AH � ; ; � �11 11 11 � �11 11 11 � uur 11 uuur u AH 3;3; 2 Chọn uur uur u ,u Dễ thấy d không phương nên cắt đường thẳng d x y 1 z 2 Vậy phương trình đường thẳng �x t � d : �y 1 t �z � A 1; 2; B 1; 2; 2 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm , đường thẳng Viết phương trình đường thẳng qua A , cắt d cách điểm B khoảng nhỏ Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Đức ; Fb: Ducminh Gọi ( P) mặt phẳng qua điểm A chứa đường thẳng d Gọi H , K hình chiếu vng góc điểm B mặt phẳng ( P) đường thẳng Do qua A cắt d nên � P d B, BK �BH Ta có d B, nhỏ K �H hay qua hai điểm A H Do uur uuur � u k AH , (k �0) M (2; 1; 2) �d Lấy uuuu r uur uuuu r uur AM , ud � AM (1; 3; 2), ud 1;1;0 � � (2; 2; 2) , � Ta có uuuu r uuuu r uur � n( P ) � AM , ud � � (1;1; 1) 2� Phương trình mặt phẳng ( P) : 1.( x 1) 1.( y 2) 1.( z 4) � x y z �x s � �y s ( s ��) �z 2 s Phương trình đường thẳng BH � H s; s : 2 s Tọa độ điểm ứng với tham số s thỏa mãn: s s (2 s) � s 2 uuur � H 1;0;0 � AH 2; 2; 4 uur uuur u AH 1;1;2 Chọn uur uur u ,u Dễ thấy d không phương nên cắt đường thẳng d x 1 y z Vậy phương trình đường thẳng Bài toán 7: Hahoangduong30@gmail.com lanh78vb@gmail.com P , điểm A, B, C Tìm tọa độ điểm M P cho: Bài toán 7: Cho uuur uuur uuuu r m MA n MB k MC 2 a) m.MA n.MB k MC nhỏ b) nhỏ A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Câu Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M 2 mặt phẳng Oyz cho MA MB MC đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I x; y; z Gọi điểm thỏa mãn: IA IB IC 1 x x x � �x 1 � � y 2 y 1 y � �y � I 1;1; 2 � � � 1 z z z �z 2 � Khi : IA2 IB IC 1 16 36 16 16 uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MA2 MB MC MI IA MI IB MI IC Câu MI IA2 IB IC 2 2 Với điểm I cố định, IA IB IC 16 điểm M mặt phẳng Oyz cho MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng Oyz M 0;1; Vậy lanh78vb@gmail.com A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M P : x 2y z 2 cho MA MB MC đạt giá trị lớn Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uur uur uur r I x; y ; z Gọi điểm thỏa mãn IA IB IC mặt phẳng 1 x x x � �x � � y 2 y 1 y � �y 5 � I 7; 5; � � �z 1 z z z � � Khi IA2 IB IC 36 49 25 16 16 52 uuu r uu r uuu r uur uuu r uur � MA2 MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA2 IB IC 2 Với điểm I cố định, IA IB IC 52 điểm M mặt phẳng P cho MA2 MB MC đạt giá trị lớn � M hình chiếu I mặt phẳng P Gọi đường thẳng d qua I vuông góc với mặt phẳng �x t � � d : �y 5 2t �z t � P M hình chiếu I mặt phẳng P giao điểm P d �x t �y 5 2t � � t 5 2t t � z t � � �x y z � t � M 9; 1;3 Vậy Câu M 9; 1;3 A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r MA 2MB 4MC mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I x; y ; z Gọi điểm thỏa mãn IA IB IC � 1 x x x �x 13 � � y 2 y 1 y � �y 2 � I 13; 2;7 � � �z 1 z z z � Khi � uuur uuur uuuu r uuu r � MA 2MB 4MC MI MI uuur uuur uuuu r MA MB MC Với điểm I cố định điểm M mặt phẳng Oxz cho đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng Oxz Vậy Câu M 13;0; A 1; 2; 1 B 3; 2;1 C 5; 1; Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm , , Tìm điểm M uuur uuur uuuu r P : x y z cho MA 5MB 3MC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng Lời giải Tác giả: Vũ Thị Ngọc Lánh, Face: Lánh Vũ Thị Ngọc uu r uur uur r I x; y ; z Gọi điểm thỏa mãn IA IB 3IC � x 5 x 3 x �x 1 � � y 2 y 1 y � �y 11 � I 1; 11; � � �z 1 z z z � � Khi uuur uuur uuuu r uuu r � MA 5MB 3MC MI MI uuur uuur uuuu r MA MB MC P cho Với điểm I cố định điểm M mặt phẳng đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I mặt phẳng P P Gọi đường thẳng d qua I vng góc với mặt phẳng �x 1 t � � d : �y 11 t �z 2t � M hình chiếu I mặt phẳng P giao điểm P d �x 1 t �y 11 t � � 1 t 11 t 4t � �z 2t � �x y z � t � M 0; 10; M 0; 10; Vậy Bài toán cunconsieuquay1408@gmail.com S : x a Bài toán 8.1 Cho mặt cầu x b x c r2 2 , mp : Ax By Cz D Tìm điểm M mặt cầu cho khoảng cách từ đến mặt cầu đạt max đạt ? Lời giải Nguyễn Thị Thanh Mai ; Fb: Thanh Mai Nguyen Giả sử mặt cầu có tâm I a; b; c , bán kính r Gọi H hình chiếu I lên mp IH R � S � � * TH1: + Gọi : , cắt S hai điểm M 1; M đường thẳng qua I vng góc với d M , d M1, + Giả sử Σ� M S : d M1, Suy ra: d M , d M2, đạt max M1 điểm thuộc mặt Vậy M điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp đạt IH R � S � H : Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng cầu có khoảng cách đến mp * TH2: + H , cắt S hai điểm H ; M đường thẳng qua I vng góc với + Khi * TH3: d H , min; d M , max IH R � S � H , R r IH : C tâm H bán kính R r IH đường thẳng qua I vuông góc với , cắt S hai điểm M 1; M ( + Gọi M thuộc tia HI) M điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp đạt max tập C điểm thuộc mặt cầu có khoảng cách đến mp hợp tất điểm thuộc đường tròn Mặt cầu cắt với mp theo giao tuyến đường tròn tức đạt Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: S : x 1 mặt cầu y z 3 49 2 mặt phẳng : x y z 72 Tìm điểm M thuộc cho khoảng cách từ M đến mp là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Lời giải S có tâm I 1;2;3 bán kính r 1 3.2 6.3 72 62 + d I , 22 32 62 + r 49 � S � � �x 1 2t : � �y 3t , t �� �z 6t đường thẳng qua I vng góc với , � + S + Giao điểm nghiệm hệ phương trình �x 1 2t �y 3t � M 1; 1;9 � �� �z 6t M 3;5; 3 � � 2 � x 1 y z 3 49 � d M1, + d M 2, a) Vậy 2.1 1 6.9 72 22 32 62 3 3.5 3 72 22 32 62 M 3;5; 3 � S M 1; 1;9 � S b) Vậy thongqna@gmail.com 13 ; 111 lớn khoảng cách từ M đến mp nhỏ khoảng cách từ M đến mp S : x a Bài toán 8.2 Cho mặt cầu x b x c R2 2 đường thẳng d : �x x0 a1t � �y y0 b1t , t �� �z z c t S cho khoảng cách từ � Tìm điểm M mặt cầu đến đường thẳng d đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải Trần Văn Thông; Fb: Trần Thông I a; b; c Mặt cầu có tâm , bán kính R Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d Khi sảy trường hợp sau S d khơng có điểm chung Trường hợp 1: IH R hay S Không Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tínhtổng quát, ta giả sử HM HM S , ta có M H �d M ; d �M 1H , dấu xảy M �M Với M thuộc mặt cầu M �M Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M �M đạt giá trị nhỏ M �M S d tiếp xúc với Trường hợp 2: IH R hay S Khơng tính Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tổng quát, ta giả sử M �H S , ta có M H �d M ; d �0 , dấu xảy M �M Với M thuộc mặt cầu M �H Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M �M đạt giá trị nhỏ M �H S d cắt hai điểm A B Trường hợp 3: IH R hay S M nằm Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu tia HO Khi M H �d M ; d �0 d M ; d M 2H Hơn nữa, d M ;d M �A M �B M �M Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d đạt giá trị lớn M M đạt giá trị nhỏ M �A M �B Bài tập minh họa Bài Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho: mặt cầu S : x 2 y z 2 đường �x t � d : �y t �z 6 t S cho khoảng cách từ M đến đường thẳng � thẳng Tìm điểm M thuộc d là: a) lớn nhất? b) nhỏ nhất? Lời giải S có tâm I 2;0;2 bán kính r Mặt cầu Gọi H hình chiếu vng góc I lên d u.uu r H t ;1 t ; t HI t ; 1 t ;8 t Vì H �d nên Khi uur uu r Mà IH d suy HI ud � t t t � t 2 H 1;3; 4 S d khơng có điểm chung Khi đó, ta tìm IH 54 R nên �x t � �y t �z 2t Đường thẳng IH có phương trình � S Gọi M ; M giao điểm đường thẳng IH mặt cầu �x t �y t � �z 2t � 2 � x y z 6 M ; M � Khi đó, tọa độ điểm thỏa mãn hệ M 1;1;0 ; M 3; 1;4 Giải hệ ta tìm Khi M H , M H Với M thuộc mặt cầu M �M S , ta có �d M ; d �2 , dấu sảy M �M M �M 3; 1; Vậy khoảng cách từ M đến đường thẳng d lớn nhỏ M �M 1;1;0 ... d: Bài toán 3: Bài toán Cho điểm A đường thẳng d A , Q d Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: x 1 y z d : A 1; 4; Oxyz 1 Viết Bài. .. A 0;0;1 Viết Bài 2:Trong không gian Oxyz cho điểm đường thẳng phương trình mặt phẳng Q chứa d cho d A , Q lớn , nhỏ Bài toán P chứa d tạo với đường Bài toán 4: Cho hai... Ta có Bài toán 3: tuthinguyen2310@gmail.com Bài toán Cho điểm A đường thẳng d A , Q d Viết phương trình mặt phẳng Q chứa d có lớn , nhỏ Bài tập minh họa: A 1; 4; Bài 1:Trong