Sự phát mình của giải tích không trơn cũng đồng thời dep lứng yêu cầu bức thiết trong sự phát triển nội bại "của giai tÍch toan học ¿ đồi hơi mỡ rộng đổi tượng nghiên cửu ra ngoài lớp ả
Trang 1
VIÊN KHOA Học VIỆT-NAM
VIÊN TOẠN HỌC
PHAM HUY BIEN
CAC ANH XA LipscHiTz
BIA PHUONG VA BAI TOAN
cUuc TRI TONG GUAT Vol
RANG BUSc BAOHAM THỨC
Mz hidu chuyên nganh — 1.01.02
(Tot tit an aha Ph a0 Khon is)
Trang 2Người hướng aan khoa học : “Hiến sĩ Phạm Hữu Sạch
Phổ tiễn si Nguyễn Khoa Sơa
Người nhận xết 1 : Pram Soin Cain
Người nhận xết 2 : Pham Ô„z¿ FCP 1£,
Vii Khoa hoe tink bn VA Melba
` đơ quan nhận xet +
Tuận øn sẽ được bao vệ tại Hội đồng chấm luận øn nhà nước
hợp tại
vao hội gio, ngey thang nắm 1982
Gố thể tÌm hiểu luận án tại Thư viện Quấc địa và Thư viện
Viện Toán học.
Trang 3~1~
>
( (iãt tich không trdn xa đời do nhu cẩa brong thực
ĐIỂM, nhất lã trong kinh bẼ, phải xổ lý ng:
cảng nhiều những bài boốn bổi ưu được mô bể bởi những hâm
số không khả vi, không 181, va thường cht thỏa mãn điều kign Lip-
achitz Sự phát mình của giải tích không trơn cũng đồng thời dep
lứng yêu cầu bức thiết trong sự phát triển nội bại "của giai tÍch
toan học ¿ đồi hơi mỡ rộng đổi tượng nghiên cửu ra ngoài lớp ảnh
xạ kha vi, vốn đã được nghiên cửu kỹ lưỡng Do đổ, mặe đồ mới hiện trong thời gian không lâu, giai tích không trom đã thu
% được nhiều sự quan tâm va trở thành một trong những vấn đề
ơi sự nhất trong giai sich tng đụng trong vòng mười năm qua.’ Mo
u bằng những công trình nghiên cứu cua Clarke (1973)' v8 những
sổ Lipschits địa phương , lý thuyết giai tẾhh không trơn đã
i that triển mạnh mẽ nhờ sự thức đẩy của rất nhiều người, trong đồ
ae
we /7ụ a 48 nhung nha tean hoc quen biết trong giai tích ứ tỉng đụng như : E-
- Tế Halkin, Warga, Eockafellar, ViVere Nhing nghién cửu về
L 4M đế: tÝch khổng trơn tập trung trên hai hương chÍnh có liên quan
mật thiết với nhau Hường thử nhất nghiên cửu những vấn as chung của giải tÍch không trơn như ; về tính khả vi hầu khắp cua một số
lớp b©ầm không trơn, về những nguyễn lý biển phân, nguyễn lý điển
bất động cho những ảnh xạ không trơn, và đặc biệt là về việc mở
rộng các nguyễn lý của giai tÍch cổ điển cho những anh xạ không
kha vi Buong thử hai giai quyết cac bài toán tẾt ưu với những
ròng buộc không trơn, không 134, :
Myc đích cua luận ăn Là nghiên cửu một sổ nguyên tỷ cơ bản của giad tich cac anh xa khong khả vì và ứng đụng của chúng trong
1ÿ thuyết cac bai boan cực trị, cụ thế 1s giai quyết nhưng van đề
88u ‡
Trang 4a) Ne rộng ba nguyên 13 cơ bản cua giai vích cổ até (bao gồm : Nguyễn lý gh xạ tran địa "hương, Nguyên lý anh xạ ngược và
Nguyễn lý hàm Ẩn) cho những anh xạ không kha vi troug khổng gian
vô hạn chiều
b) Ủng dụng những kết qua’ tim duge vao vige nghién cửu nệt
nổ tÍnh chất về cầu truc của hÌnh néa phấp tuyển - một khái niện
quan trọng trong ly thuyết các bài toán cực trị, & thể ta xết
hai vấn đề sau :
~ Tính hÌnh nón pháp tuyển của tập hợp che đươi dụng
{x / r(x) <0} trong đổ £ lỀ bầm sỔ lápsehibs địa phương,
= Gilat quyết vấn đề cus Hoàng Tuy về việc xây đựng non pháp
tuyến đổi với tập lồi ¢ mot điểm bếp kỷ thông qua những pháp tuyển
don gian o nhifmg diem ma non nay chi gem 1 tia duy nhat
sa aw ee + ‘ + oe :
c) Nghién cuwu mgt so tinh chat cơ ban của cac anh xạ da tri
Tipschits dja phương va ing, dụng của chứng trong việc giai quyết
bai toan cực trị tổng quát với rang buộc bào hồm thức,
Két qua mơi nhận được trong luận an 1à :
ˆ , * + ¿ £ 28 « ' T +
- Ba nguyên ly e¢ ban cua giai tích cổ điển (néu œ tren) được shững mình cho một lớp ảnh xụ không khe #Ì Đhyo
lớp ảnh xạ Iipschitz địa phương trong không sian Panach
Những keb qua đa biet trươc đạy xang quanh van de nay (
£37) nơi chỉ đề cặp ấn lớp enh xạ Tápsehits địa phương
không gian hữu hạn chiều, cho nên xết qua của chúng ta là mơ rộng
thực sự nưững vất qua này không chỉ về mặt sổ chiều sủa khôngg an
mà ồn vỀ lớp hàm được xet Đặc biệt, khi ấp đụng cho lớp hin
1ipsohitz địa phương trong không gian hữu hẹn chiều ta sẽ được
, những kết qua sâu sắc hơn những kết qua tương tự trong £27 £2
Trang 5- 535 ~
- Việc ứng dụng nhưng xết qua tin được ở tren cho phép ta
tnh được hình nón phấp tuyển đổi với tập hợp {x/ #(x)<0} thông
qua dưới vì phân của hàm £, và tÌm được cầu tra lời khẳng định
cho vấn đề mà giao sử Hoàng ‘Tyy néu ra
- Tin được một sé tinh chat quan trong của các ảnh ` xạ đa
trị Iápschity địa phương, trong đó đực biệt là mối liên quan giua
_đạo hầm Clarke của anh xạ đa trị theo nghĩa Aubin /^# 7 với toạn
tử liên bợp của anh xạ đa trị theo nghĩa Pshenichnyi /”5 7 , và
Nguyên lý ảnh xạ trăn địa phương đổi với anh xe đa trị Lipschitz
địa phương Việc ứng đụng những kết qua tÌm được vào bai toan cực
trị tổng quất đã đem lại những kết qua sêu sốc Nhiều gia thiết
chặt che đặt lên các ảnh xạ đa trị trong bồi toán này của các tac
gia truce dy aa được giam nhẹ Kết qua tÌm được bao hãm tất ca
các kết qua đã biết trươc đây vỀ bài boan nhy `
Với những nội dung trên, luận ăn bao gỗm phần mở đều, hai chương trình bay kết qua nghiên cứu va phan tài liệu đân
Ð O Phần mở đầu giới thiệu ngắn gọn tỉnh bÌnh phát triển
của giai tfeh không trơn, những phương pháp tiếp cận, những phương
hưởng nghiên cửu, và sau đo giới thiệu sơ lược nội dung cơ bản a?
cua luận an,
ñ 4 Chương I nghiễn cửu cao anh xạ đơn trị không Kha vi trong không gian Banach Vấn đề trung tâm của chương nay la me rộng 5 nguyên lý eơ bạn sua giai tích cổ điển (bao gồu Nguyên 1ÿ
Ẩn) cho những ảnh xạ này, Những kết qua đã biỂt trước đây xung quanh vấn đề này mới chỉ đề cập đến lớp ảnh xạ Idpschits địa
Trang 6phương trong không gian bửu hạn shiều (xem /”2 7, / 73 7), bởi vÌ
oãe phương pháp tiếp cận được đưa ra trong để đôi hoi {nh kha
vi hầu khẩn nơi của cao ảnh xạ được xet Mot trong những van đề bhen chốt sua chương nay là đứa rs nộệt phương pháp tiếp sận thích
hợp với lợp ảnh xạ ta xét, sao eho nổ có vaễ vượt qua trở ngại
nêu trên (tức 1a không đôi hoi cac anh xạ thả vì ở điểm nào)những vẫn bao hàm được c&c phương pháp tiếp cận nêu trên ẻ đây ta chọn phương pháp tiếp cận cua giao av Hoang Ty, xap xi ảnh xa f£:X OY
tại mỗi điểm x € X bơi một họ lỗi, đồng các ảnh xạ tuyển tính liên
tụo ẤF(x) C 1(X,Y) thỏa mãn các bnh chất sau đây :
Với mỗi số đương Ê tồn bại lân cận Ú của điểm x sao cho nếu,
Z4: * Ev thi tin duge phan tu A & At(x) thỏa mãn điều kiện
Sau :
fl T4) - œ2} ~ Axi- xa) J < eff x4° Xp i
Định nghĩa "tập tiếp cận" Af(x) được giáo su Hoang Tay đưa
ra trong chuyén 48 "Giai tich Iipechite" (bại trường hề Rha brang
4999) co tính gợi ys Gác tÍnh shất cua nở hầu như chưa được nghiên
cửa trước đố Toàn bộ phần đầu của chương I đã được giành để xâm
4.4 Tạ chỉ za rằng đạo ham suy rộng theo nghĩa - Fourciau
trong /”?_7 và Tneobian suy rộng theo nghia Clarke faz 15 những
thÍ dụ đực biệt của "tập tiếp cận", nà sân sic hơn ba oo kết qua
8au ‡
Mệnh đề Với mỗi tập FC R” có đệ đo O và ảnh xe Lipschitz
địa phượng f: R” —> RE” tập Ôp£Œ) xao định như sau
Syf() « °°) tin Vitx,) / x, —> x© Ne} ,
Bn -> OD (n 3m)
*
Trang 7-5~
(trong đổ E 1À tập cáo điểm kha vi của 7), là tiếp cận ảnh xạ £
ted điểm %
“to của phếp tính tuyến tÍnh như đạo bàm (mệnh đề 4.5, 1.*, 1.5 )
ta chứng mình được rằng nguyên lý biến phần (nguyễn tý cực trị) cũng con đứng cho tập tiếp cặn, cụ thể ta 06
Mệnh a3 Gia su him số £ từ không gian Benech phần xe X
vào trường sổ thực R đạt cực tiểu địa phương bại điểm E, Khi Ấy
nếu tập Ả?Œ) 1à tiếp cận f tại X thi ta co
oe Ar - ,
Nguyên ly lấy đạo hàm hầm số xep phát biểu như sau :
Mệnh đề Gia sử ảnh xạ h: X —>Y la Lipschitz địaphương tại
điỂn X € X, ảnh xạ 6: Ï —% 2 là khả vi mạnh tại điển Ÿ = f(X) và
e6 dgo ham la A Khi đổ nếu An(2) la tip tiép cia bh tat X thỉ
bao đồng của tập
acAn@) = {acs /BE Anco}
1à tiếp cận anh xạ f = ø°h bại điểm xX
Gia thiết về tỉnh Lipschitz địa phương sữa ảnh xạ h là điều kiện đủ để cổ qui bỂo nêu trên nhưng không 1ã điều kiện cần » đỡ
đó cần bhiết đứa ra lớp ảnh xạ có tập tiếp cặn *onfnh qui đổi với chuẩn,
mạ biết rằng nếu không gian Banach Y lồ phạn xạ thÌẰ cổ thể tin được thong Y một chuẩn tương đương với chuẩn ban đầu và kha
vi tại mọi điểm khảo 0 Ta ludn gia thiét chan dugs xet trong Y
13 chuẩn này,
nh nghĩa Tập tiếp cận Antz) của ảnh xạ h: X —>ïY tạt
điển E được gọi la chẾnh qui đổi với chuẩn nếu với mỗi điển y,EY,
Trang 8J„# ~h()¿ ta co bao đồng của tap ‡*#e AnŒ) 1ä tiếp cặn hàm số
f(x) = |, + hE)|| tạt điểm X, trong đồ ba ký hiệu ÿ” là đạo
ham của chuẩn ÍÏy tại điểm Fey, + hŒ) #9,
Rõ ràng lợp anh xạ cố tập tiếp cận chỉnh qui đổi với chuẩn
1Ề thực sự rộng hơn lợp ảnh xạ Iápsehitz địa phương ThẾ dự nó
bao hem ca bam 86 co thé văng nhanh vỗ cùng ở một điển như hem
Lf: RR, f(x) = x1⁄2„ Ngoei những tÍnh chất kế trên: để đi tới
kết qua chíÍnh, we đã chứng minh bổ đề hÌnh hẹo sau đây, tuy đơn
gian nhưng không tầm thường chút nào :
BỂ đề 2.1 Nếu A€ L(Y,Y) ảnh xạ hình s3u đơn vị BíOltron Bo_ de 2.4
không gian X 1én m$t tap chứa qua cầu tâm O bạn kính ¥ trong
không gian ï, thì với mỗi số dương €<X, mỗi toan tử Ay thos
man điều kiện || Ay Alet 88 anh xẹ qua cầu B lân một tập chứa
qua cầu tâm 0 ban kfnh (¥-€) trong không gian Y
402, Phần thử hai của chương ï được giành để trlnhvay những
kết qua co ban : Ba nguyén lý của giai tích cổ điển được ue rong cho lớp ảnh xạ ®"chÍnh qui đổi với chuẩn” từ một không gian Banach phan xạ X vào không gian Banach phan xạ Y Nguyên lý anh xạ trần
địa phương phạt biểu nhu sau :
Định lý 2.1 Gia at dnb xạ f tỪ tập mỡ Uc©X vào không gian
Y thốn món cáo điều kiện sau :
Vơi mỗi x đu gần 8 € U ta tÌm được tập biếp cận Ar(x) thoa
mãn điều kiện chÍnh qui đối với chuẩn sao cho ¡
(1) ánh xạ đa trị x —> Áf(x) 1ä nửa liên tục trên tại a,
(1) 0€Cine Í \, A[BR trong để B 1ã qua sầu đơnvị trong
thi để ảnh xạ £ 1a tran địa phương tai qiỗn ay tức la
Trang 9f(a) € int r(U)
Định Lý được chứng minh nhờ psuyên lý biến phân Fkeland, bổ
đề 2.4 và những tÝnh chất của bập tiếp cận rầm thấy ở phần trên,
Bổ đề 2.4 cũng cho thấy rằng brong trường hợp tập Arca) la
compact thi giả thiẾt (ii) Lương đương với gia thiết mỗi phần tử
Ae Arta) 1a mgt anh “g lén Brong trường : hợp X, Y 1a cac không gian atu hạn chiều, ta tấy À£(x) là tập "đạo hòa suy rộcz" theo
nghĩa Pourelau /72 7 thÌ điều kiện (1) được tự động thỏa men về
taco két qua của P?ourclau trong ¿5 _7› nấu lấy Àf(x) 1à tập Ja-
cobian suy Tong theo rghia Clarke “27 thì điều kiện (1) cũng tự động thỏa mãn và ta cố kết quả mới vỀ nguyễn lý anh xạ trần địa
phương đổi với Jacobian suy rộng, Đặc t'iệt nếu ta lay Artz) 18
typ Jacobian "khuyết" Ở,7(x) như trong mệnh đề 1.1 thÌ ta cố kết
qua sâu sỐc hơn ca hai kết qua nêu trên Nguyễn lý sơ bạn thử
hai, nguyên lý ảnh xg nguge, phat biểu nhữ sau :
Định lý 2.2 Nếu trong gia thiết của định Lý 2.1 ba — thay
điều kiện (ii) bởi điều kiện sau đây :
(ii)! mi ton te ae Af(a) là khả nghịch, và tập hợp
[Arca] t= 3a ae Atay} 1a df chin,
thÌ tần bại lân cận U, của đ$ếểm a, lân cận Y, của điểm f(a) va
ảnh xạ Lipschitz địa phương 6: vy _> uy, sao cho anh xa fog là
ảnh xạ đồng nhất trên Vy
Đễ thấy rằng trong brường hợp À£(a) tš tgp compact thÌ tập
[À£(@)| ^Í là tự động bị chặn, bởi vÌ hàn số A r—>[ AˆÍƒ 1B
liền tục Ch 7 ring trong gia tuiết định 1ý 2.2 te không đồi hoi
ảnh xạ £ LỀ lápselits địc phương, buy nhiên ba vẫn - khẳng _ định
được tính lảpsohibs địa ¡hương của anh xạ ngược g, nhờ điều kiện
Trang 10by ohyin của tập |Á?(a) | "” tồn tại vÝ dụ aon giản cho thấy
Ât(a) số thể không bị chặn (khi f không 1à Iápschitz địa phương
tại ø) nhưng [Azce)] ~Í 1Š bị chặn và áo đổ ảnh xạ ngược của nó
la Iäpschitz địa phương, Co thé ching minh được rằng tập
sẽ [Arca] 1à tập tiếp cận anh xe fÐÍ ai điểm yo* f(a) (xen
_ nhận xê% 2.8) Cũng như định lý 2.1, định lý 2.2 mở rộng thực sự
các kết qua tương bự trong / 72 7, /75_7
Ssu khi đưa ra khói nigm t@p tiếp cận riêng theo từng biến
đổi với ảnh xạ nhiều biến (tương tự như khái niệm đạo hèm riêng)
ta chứng minh được nguyên lý hàm ẩn phat biểu như sau :
Định lý 2.3 Cho ảnh xe f: XxY —> Y và 5= (Xuÿ) € XxY
thỏa mãn phường trình ?(ŒX¿Ÿ) = 0 GIÁ sử với mỗi điểm 2 trong một lần cận não đổ của điểm %5 ve tÌm được tập biếp cận chÝnh qui đổi
_ vơi -huẩn Afiz) thoa man cae abu kign sau :
(1) anh xa Ả£(.) 1À nủa liên tục trên tại điểm 5,
(41) mỗi ảnh xạ B€ Àyz@) 15 một đẳng cấu trong Ý và các tập
{Ð 1⁄5€ À£Œ)}, {PB 2A/(A,8‹ A£G) | là bị chặn,
Khi đồ tồn tại lân cận Ÿ của điển ÿ, lân cận U của điểm X và ảnh
xa tƒ: Ú —> V Iipsehibsz địa phương tại X va thỏa mạn cáo điều
kiện sau ¡`
độ thể chúng minh được rằng tập Số {-B (4,5) € Ar} Lb
tiếp cận anh xạ ̓ tai aida x= R
4.2 Phần cuối cũng cua chương T nhằm ing dans những xất
qua tì được vào việc giải quyết hai vấn đề Vấn đồ thử nhất nay
sinh troug xi ngiiÊn cửa cao bài boan cực brị, đó là việc tim
tình nốn phạp tuyển của tập răng buộc M cho dười đạng