Bài toán min - max số phức

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.. Xem hướng dẫn trên lớp..[r]

(1)

BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC

Kỹ năng:

 Phương pháp đại số  Phương pháp hình học  Phương pháp bđt modun  Phương pháp casio

Một số tính chất cần nhớ

1. Mơđun số phức:

 Số phức z a biđược biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM 

được gọi mơđun số phức z Kí hiệu 2 2

z = a + bi = a + b  Tính chất

 z  a2b2  zz  OM  z 0, z , z 0z0  'z z  z z '  , ' 0

'  '  z z

z

z z  z  z'  z z '  z  z'  kz  k z k , 



 Chú ý: z2  a2b22abi  (a2b2 2) 4a b2 a2b2  z2  z2 z z Lưu ý:

 z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1 kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1 kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1kz k2 0  z1z22  z1z2 2z12  z2 2

 z2  z z  z2  z  2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)

    

z a bi z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB vớiA a b B c d  ,  , , 

x a  2  y b 2 R ho2 ặc

  

z a bi R

Đường trịn tâm I a b , bán kính  ;  R

  2 2

   

(2)

   z a bi R

  2 2

2     

r x a y b R hoặc

   

r z a bi R

Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a b , bán kính l ;  ần lượt

, r R

 

2

   

 

  



y ax bx c c x ay by c

Parabol

   

 

2

2 1

 

 

x a y c

b d

1 2

     

z a b i z a b i a

 1 Elip

 2 Elip 2aAB A a b,  1, 1 ,B a b 2, 2 Đoạn AB nếu2aAB

 2  2

2

 

 

x a y c

b d

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm Min

z Khi ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b  

2

0

1

2

2 

  

  

   



Min

z z a b

a b

z i

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm 

z Ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với

   

A a; b ,B c;d

  

   

2 2

2

,

2

  

 

  

Min

a b c d z d O AB

a c b d

Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di  Khi ta biến đổi

          

z a bi z c di z a bi z c di

(3)

   

       a bi   c di      

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R 0 z z  0 R Tìm

Max Min

z , z Ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a; b  bán kính R 

2

0

2

0

       

 

      

 

Max

Min

z OI R a b R z R

Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

i i

 

      (Chia hai vế cho i )

z b R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

c di z a bi R z a bi R 2R 2

c di c di c d

 

       

  

Hay viết gọn 0 1

0

z R

z z z R z

z z

     (Chia hai vế cho z0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip

TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z Elip:

2

2 2

y x

1 a a c 



2

 

 

 

 

Max Min

z a

z a c

TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z 2 2a Thỏa mãn 2a z1z2

Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có

(4)

Đặt

2 2

z z 2c

b a c

        

Nếu

0

z z

z

2



  Max

Min P a P b     

(dạng tắc)

Nếu

 

1

0

z z

z a

2

z z k z z

           Max Min z z

P z a

2

z z

P z a

2                Nếu  

0

z z

z a

2

z z k z z

           Max z z

P z a

2



  

Nếu z0z1  z0z2 1 2

Min

z z

P z b

2



  

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số

Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp

Dạng 3: Tả phí lù

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z3i  z 2 i Tìm s ố phức có mơđun nhỏ nhất?

A z 1 2i B 5   

z i C

5

 

z i D z  1 2i Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x y , 

       2   2 2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4 2

 y  x  y  x y  x y  x y

 

2

2 2 2

2 5

5 5

 

             

 

z x y y y y y y

Suy

5 

z

5

   

(5)

Vậy 5

 

z i

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x y, 

       2   2 2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4

 y  x  y  x y  x y 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z3i  z 2 i đường thẳng : 2  1

d x y

Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A

Phương án B:

5   

z i có điểm biểu diễn 2;

5

 

 

 

  d nên lo ại B Phương án D: z  1 2i có điểm biểu diễn 1; 2d nên loại B

Phương án C:

5

 

z i có điểm biểu diễn 1;

5

 

 

 

  d

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào dữ kiện ban đầu không nên biến đổi)

Cách 3: Tính nhanh

Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình :x2y 1

Vậy  

min 2

1 5

,

5



   



z d O

Cách 4: Công thức tính nhanh

BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z Tìm zmin ?

2

0

1

2

2 

  

  

   



Min

z z a b

a b

z i

BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm  z ?

   

2 2

2

  



  

Min

a b c d z

a c b d

Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z3 z3 8 Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhỏ z Khi M m

A 4 B 4 C 7 D 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách : Đại số

(6)

Ta có 8 z3  z3  z  3 z  2z  z 4 Do Mmax z 4

Mà z3  z3 8 x 3 yi  x 3 yi 8 x32y2  x32y2 8 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

 2  2  2  2  2

8 1. 3  1 3   1  3   3  

 

 

x y x y x y x y

 2   2 

8 2 18 2 18 64

  x  y   x  y  

2 2

7 7

x y   x y   z  Do Mmin z 

Vậy M m  4

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip

   

1

2

2 2

3; , 0,

1

16

4

  

 



 

     



 



      



 

F F

y x

a

b a c

Do 4

7

  



   



  



Max Min

z a

M m

z b

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức z thỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta ln có     Tập hợp điểm biểu diễn z Elip

2

2  2 1 y x

a a c 

2

 

 

 

 

Max Min

z a

z a c

Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn

  z i

A. 13 2 B.4 C.6 D. 13 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i  x y3i

Theo giả thiết x2 2  y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường trịn tâm I2; 3 bán kính R1

Ta có z  1 i x yi   1 i x 1 1y i  x1 2  y12 Gọi M x y  ;  H1;1    

2

1

   

HM x y

M1 I

H

(7)

Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn

Phương trình :

3    

  

x t

HI

y t, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:

2

9

13

    

t t t nên ; , ;

13 13 13 13

   

   

   

   

M M

Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn w  z 1 i

Ta có z 2 3i  1 z 2 3i  1 z 1 i 3 2i  1 w 2  i 1 (Đường tròn tâm

3, ,  1

I R )

Vậy w    3222   1 13

Max OI R

Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  R0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn I a b , , bkR )

2

     

 

    

 

Max

Min

z OI R a b R

Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z a bi   z a bi 

Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

 

 z i A

iz Mệnh đề sau đúng?

A. A 1 B. A 1 C. A 1 D. A 1

Hướng dẫn giải Chọn A.

Cách 1: Đặt Có a a bi a b  , , a2b21 (do z 1)

   

 

2

2 2

2

2 2

   



  

    

a b i a b

z i A

iz b ai b a

Ta chứng minh  

 

2

2 2

4

1

 



 

a b

b a

Thật ta có  

     

2

2 2

4

1 2

2

 

         

 

a b

a b b a a b

(8)

Chọn

1

2

1

1 2 34

1

2 17





    



 

z

z i

A A

iz

z

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 15i z

A 5 B 4 C 6 D 8

Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: A 15i  1 5i  1 6

z z z Khi z i A6 Chọn đáp án C

Cách 2: A 15i  z5i  z5i

z z

Theo  1 5 5  1 5  52  1 6

Max

z z i i z i

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu thức M z2 z 1 z31

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2 C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Hướng dẫn giải

Ta có: M z2 z  1 z3 1 5, z 1 M5Mmax 5 Mặt khác:

3 3 3

3

1 1 1

1 1,

2 2

1

     

      



z z z z z

M z

z

min

1 1

     

z M M

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho số phức z thỏa z  Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P z i z A.3

4 B.1 C.2 D

2 Hướng dẫn giải

Ta có 1 | |   i    P

z z Mặt khác:

1

| |  i   

z z

Vậy, giá trị nhỏ P là1

2, xảy z 2 ; i giá trị lớn P

2 xảy

 z i

(9)

Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i Ta có:

  2 2

1

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2

         

2 2

2 sin 3cos 26 sin cos 26 17 sin ;

 z i   t    t   t t   t   

max

26 17 26 17 26 17 17

   z i    z i    

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun lớn số phức z2 i Ta có  1 3  2  1 3  1242 3 3  17

Max

z i z i i z (đáp án A)

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 1z 3 1z

A 15 B C 20 D 20

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z  1 x2y2  1 y2  1 x2   x  1;1  Ta có: P 1z 3 1z  1x2y2 3 1x2y2  2 1 x3 1 x 

Xét hàm số f x  1 x3 1 x; x  1;1  Hàm số liên tục  1;1 với

 1;1

 

x ta có:  

     

1

0 1;1

5

2

        

 

f x x

x x

Ta có:  1 2;  1 6; 20 max 20

 

      

 

f f f P

Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)

Từ z 1, đặt sin

cos  

   

 

x t

z x yi

y t Thay vào P dùng mode đáp án D Cách 3: Hình học (Xem video live thầy)

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2  z 1 Tính giá trị

M m A 13

4 B

39

4 C 3 D

13 Hướng dẫn giải

Gọi z x yi; x;y Ta có: z  1 z z 1

Đặt t z1, ta có 0 z  1 z1 z  1 2  t 0;  Ta có   

2

1 1 2

2 

          t

(10)

Suy z2 z  z2 z z z  z z 1 z  2x12  2x1  t2 3 Xét hàm số f t  t t23 ,t 0;  Bằng cách dùng đạo hàm, suy

  13   13

max ;

4

   

f t f t M n

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

4  

z z Khẳng định sau đúng?

A 3

6

 

 z  B 1  z  1.

C 1  z  1. D 2

3

 

 z  Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u v  u v , ta

2

2 z   4 z 4   4 z  z 2 z  4 0 z  1.

2 2 2

2 z  z  z 4  z 4 z 2z  4 0 z  1.

Vậy, z nhỏ 1,  z  i i z lớn 1,  z i i Chọn đáp án B

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z A  B 11 5 C 5 D 5

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z 1 2i 2x1 2 y22 4 Đặt x 1 sin ;t y  2 cos ; t t 0; 2

Lúc đó: z2 1 sin t 2  2 cost2  9 4 sint8 cost 9 428 sin2 t  ;  

 

2

9 sin  ; 5

         

 

 

z t z

max

z   đạt 5 10

5

  

 

z i

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z Ta có  1 2  1222 2 2  5

Max

z i z

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm mơđun lớn số phức z

A B C D 3

(11)

Ta có:

1  10 1  10  2 2 42

1  

                

 i

i z i i z z i x y

i Đặt

2 sin ; cos ; 0;

      

x t y t t

Lúc đó:

  2 2     2 2    

2

2 sin cos 25 sin cos 25 sin ;

             

z t t t t t

 

2

25 20 sin  5; 5

      

 

z t z

max

z  đạt z 3 i Chọn đáp án B

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm môđun lớn số phức z

Ta có 1  10 10

1

 

          

 

i

i z i z z i

i i

2

2 5

    

Max

z

Câu 14: Gọi z x yi x y ,  số phức thỏa mãn hai điều kiện z22 z22 26

3

2

 

z i đạt giá trị lớn Tính tích xy

A 

xy B 13

2 

xy C 16

9 

xy D

2  xy Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt z x iy x y ,  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x2y2 9. Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

3

18 18 sin

4

2

  

       

 

P z i t

Dấu xảy sin 3

4 2

   

         

 

t  t z i

Chọn đáp án D

Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Tìm mơđun nhỏ số phức

 z i

A B C D 3

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x;y

(12)

min

2 18

 z i   z 3 i Chọn đáp án C

Cách 2: z 2 4i  z2i  z2i 2 6i  z2i4i  w 6  i  w 4 i Trong w z 2i (quay dạng toán 1)

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun nhỏ số phức z 1 i

A B 2 C D

Cách 1: Gọi z x yi; x;y   z i x1  y1i Ta có:

  2 2

1 9

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2

   

2 2

min

1 3sin 3cos 10 cos 2

 z i  t    t   t  z i   z i  ,

 

z i

Chọn đáp án C

Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)

Ta có  1 2 3   1   3  1  12 3 2

Min

z i z i i z i

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  biểu thức

2

   

M z z i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z i

A z i 2 41 B z i 3

C z i 5 D z i  41

Gọi z x yi; x;y Ta có: z 3 4i  5  C : x3 2 y42 5: tâm I3; 4 R

Mặt khác:

     

2 2 2 2

2   :

                 

 

 

M z z i x y x y x y d x y M

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d  C có điểm chung

 ;  23 23 10 13 33

2 

d I d R M   M   M

  2 2

max

4 30 5

33 41

5

3

     



          

 

    

 

x y x

M z i i z i

y

x y

Chọn đáp án D Câu 18: Cho số phức

 ,

1

 

 

  

m i

z m

m m i Tìm mơđun lớn z

A B C.1

(13)

Hướng dẫn giải Ta có:

  2 max

1

1 ;

1 1

 

          

    

m i m i

z z z z i m

m m i m m m

Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ là:

A 1 B 1 C 2 D 2

Hướng dẫn giải Chọn A

y

x 1

1

O

I

M

Cách 1: Gọi z x yi , ,x y

Ta có: z 2 2i  1 (x2) ( y2)i  1 (x2)2(y2)2 1

Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z đường tròn ( )C tâm (2; 2)

I bán kính R1

 2

2

1

    

z i x y IM , với I2; 2 tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm

0;1 , 2; 2

N Oy I với đường tròn (C)

min    1

IM IN R

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ Ta có  2 2  1      2 1   2212 1 5 1

Min

z i z i i z i

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z2i1  z i Tìm s ố phức z biểu diễn điểm Msao cho MA ngắn với A1, 3

A.3i B.1 3 i C.2 3 i D. 2 3i Hướng dẫn giải

Gọi M x y ,  điểm biểu diễn số phức z x yi x y R  ,   Gọi E1, 2  điểm biểu diễn số phức 2 i

(14)

Ta có : z2i1  z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF x y:   2

Để MA ngắn MAEF M M3,1z 3 i => Đáp án A.

Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i 

  

w z i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng:

A B C D Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi z x yi x y,    z 2ix1  y2i

Ta có: z 1 2i  5 x1 2  y22  x1 2 y22 5

Suy tập hợp điểm M x y bi ;  ểu diễn số phức z thuộc đường trịn  C tâm I1; 2  bán kính R

Dễ thấy O C , N 1; 1   C Theo đề ta có:

 ;   

M x y C điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

   

1 1

          

w z i x yi i x y i

  2 2

1 1

       



z i x y MN

Suy z 1 i đạt giá trị lớn MNlớn

Mà M N,  C nên MNlớn MN đường kính đường trịn  C I trung điểm MNM3; 3 z 3 3i z  32  3 3

Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  Tìm giá trị lớn T  z i  z 2 i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Hướng dẫn giải

Chọn B

       

2 1 1

            

T z i z i z i z i

(15)

       

         

 

2 2

2

1 1

1 1 1

2 2 4

       

        

   

T x y i x y i

x y x y

x y

Vậy maxT4

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i A 132 B 4 C 6 D 13 1

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải

Cách 1: Đặt z a bi a b , , ta có z 2 3i  1 a2  b3i 1

 2 2 32  2 2 32  

 a  b   a  b  

Đặt sin cos    

  

a t

b t (vì  

2

sin cos

  t t ) Khi z  1 i a1  1b i 

 1 2 2

 a  b  xét biểu thức Pa1 2 1b2 Ta có a1 2  1b2 sint3 2 cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4

sin2 cos2  13 sin 4 cos

14 sin cos

    

   

t t t t

t t P

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta 6 sint4 cost2 6242sin2tcos2t

6 sin cos 2 52 sin cos 52 13 14 13

 t t   t t  P 

Vậy z  1 i a1 2 1b2  14 13   13 1 2  13 1. Chọn A.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i

Ta có z 3i   1 z 3i   1 z i   3 2i 1

2

Max

z i 13

       

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho số phức z w, thỏa mãn

2 ,

z  i  z i wiz Giá trị nhỏ biểu thức w A

2 B 2 C 2 D

3 2 Lời giải

Cách 1: Đặt za bi a b  , , z 2 2ia 2 b2i z4iab4i Nên ta có  2  2  2

2 2

(16)

Khi    2  2

1 1 1

wiz  a bi i    b ai w  a  b  a  a Dễ thấy  

2

2 1 2 1 min 2.

2 2 2

 

           

  w

a a a w Chọn A

Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (dạng 1)

Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN – 2017)Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z

A 10 B 5 C 4 D 5 Hướng dẫn giải

Gọi z x yi , x y,  Theo giả thiết, ta có z4  z4 10

 4  4 10  42  42 10  

 x yi  x yi   x y  x y   Gọi M x y ,  ;  F14; 0 F24; 0

Khi   MF1MF2 10 nên tập hợp điểm M z  đường elip  E

Ta có c4; 2a10a5 b2 a2c2 9 Do đó, phương trình tắc  E

2

1 25 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 minz OB OB ' 3 Chọn D.

Câu 26:Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Biết số phức z x yi ,

x y,  có mơđun nhỏ Tính Px2y2

A P10 B P8 C P16 D P26 Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi , x y,  Ta có z 2 4i  z2i  x2  y4i  xy2i

  2 2  2

2

 x  y  x  y x2 4x 4 y28y16x2 y2 4y4

4 16

 x y  y x

Do z  x2y2  x2 4x2  2x28x16  2x2282 Dấu " " xảy x2y2 Vậy P2222 8 Chọn B.

Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Câu 27:Tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện 1

 

 

 i

z

i

A max z 1 B max z 2 C max z  D max z 3 Hướng dẫn giải

Ta có 1 1 1  

3  

             

 

i

z iz i z z i

(17)

Vì  i 0 1 nên max z r1r2   1 Chọn B.

Câu 28:(THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện

1i z  1 7i  Tìm max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6 Hướng dẫn giải

Ta có 1  1 3 

1 

           

 i

i z i i z z i

i

Vì 3 4 i0 5 nên maxz r1r2  1 3242 6 Chọn D.

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt

 

 z i A

iz Mệnh đề sau đúng?

A A 1 B A 1 C A 1 D A 1

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Từ giả thiết, ta có 2  2

2 

        

 z i

A A iz z i A Azi z i

iz

 

2

2 

     

 A i

A i z Ai z

Ai Mà  

2

1 2

2 

       

 A i

z A i Ai

Ai

Đặt A x yi x y   , ,    2x2y1i    y xi

 2  2

2 2 2 2

4 2 4 4

 x  y  y x  x  y  y x y  y x y  Vậy môđun A x2y2 1 Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta ln có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2  

Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z z  z2 Khi

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2

2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z đpcm

(18)

Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

 Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2  

Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z z  z2 Khi

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2

2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z đpcm

 Áp dụng   , ta z1z2 2 z1z2 4 z1z2 4 3  1 z1z2 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta P z1  z2  2z12 z222 26 Chọn B.

Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn

  

22 5   1 2 3 1

z z z i z i

Tính min| |w , với số phức w  z 2i A min| |

2 

Lời giải

Ta có z22z5z12 4z1  2 2i z 1 2i z  1 2i 

Khi đó, giả thiết      1

1

  

           

    



z i

z i z i z i z i

z i z i

TH1 Với z 1 2i, ta có w  z 2i 1 2i 2 2i  1 w 1 TH2 Với z 1 2i  z3i1   , đặt z x yi x y , , ta có

   2  3  1 2 22  1 2 32

2   x  y i  x  y i  x  y  x  y y 

Do 2 2  22

2

              

w z i x i i x i w x Chọn A

Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z1 3

z Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z

A 3 B C 13 D 5

(19)

Ta có

2

1  1  1

          

   

a z a z z z

z z z z

 2  2

2

2 2

2

1

   



 z z z   z z z z

z z z

Khi    

2

4 2 4

;

2                     

a a a a

z z a z z z

Vậy 2 4

max ; 13

2

  

 

a a  a a     

z z M m a Chọn C.

Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn 1 2 i z  10  2 i

z Mệnh đề

nào sau đúng? A 3

2 z  B

1

2 z 2 C z 2 D  z

Lời giải

Cách Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10  2 i 1 2 i z   2 i 10

z z

   

10 10

2 2

 z  z i  i  z   z  i 

z z

Lấy môđun hai vế   , ta    z 2 2  2z 12  10 z

Đặt t z , ta có t2 2 2t12  10 t25t2 510t4t22 0  t 1. t

Vậy môđun số phức z bằng 1

2

  z 

Cách Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết câu 26) để tìm z Cách 3. Đặt z a bi a b ,  c z , thay vào đẳng thức cho

     2

2

10 10

1 2 2

10 10

2

                          a bi

Gt i c i i c i

a bi c

a b

c i c

c c

Suy 2

2

10 10

2

10 10

2 1

                        a a c c c c b b c c c c

nên      

2

4

10 10

2 

    a b 

c c

Giải ta có c 1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do

(20)

Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn , 

M M Số phức z(4 ) i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Bi,  ết , , , 

M M N N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z4i5 A 1

2 B

2

5 C

1

2 D

4 13 Lời giải

Gọi M x y ; M x' ;y       

 

4 ;

4 3

' ;

  



      

  

 

N x y x y

i z x y x y i

N x y x y

Dễ thấy MM'NN vng góc v' ới Ox nên để MM N N' ' hình chữ nhật

Khi   2 2

' '

' ' 5

 



             

 

 

MM NN

MN M N x y z x xi z i x x

MN Ox

Ta có   2 2  2

min

1 1

5

2 2 2

          

x x x z i Chọn C

Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  Tìm giá trị lớn biểu thức

2

    

T z i z i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Lời giải

Đặt z x yi x y , , ta có z1   x 1 yi   x12y2 

 2 2 2  

1 2 2

 x y  x  x y  x y  x  Lại có T  z i  z  2 i xy1i  x 2 y1i

 2   2 2

2 1 2 1 2 2 1 2 4 2 5

 x  y  x  y  x y  y  x y  x y Kết hợp với   , ta T  2x2y2 2 x2y  2x y 2 2 x y   Đặt t x y, T f t  2t2 2 t với t  1;1 

Ta có        

max

1

' ; ' 1

2

       

 

f t f t t f t f

t t Chọn B.

Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z1  Tính giá trị lớn biểu thức

2

    

T z i z i

A maxT8 2. B maxT8. C maxT4 2. D maxT4

Hướng dẫn giải Chọn C

(21)

1 2

     

z x yi

 2 2  

1 2 *

 x y  x y  x

Lại có: T  z i  z  2 i xy1i  x2 y1i

 2   2 2

2 1 2 1

 x  y  x  y

2 2 1 2 4 2 5

 x y  y  x y  x y Kết hợp với  * , ta được:

2 2 2

     

T x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta

12 12 2 2 2 2 6 2 2 2 4

         

 

T x y x y

Vậy maxT4

Câu 38: Cho wsin icos với

2 

   thỏa mãn w21 2 w Giá trị

2018

26 w

 

  

 

P

A.P232018. B.P 232018. C.P232018i. D.P292018. Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: w2 1 sin icos2  1 cos 2 isin 2  w21  2 cos  

2

2 w  sin  cos  2

Từ giả thiết: w21 2 w cos

4       

2    

w 2 w 2 w2

2 2

  i   i  

Vậy P232018

Câu 39: Cho số phức z1  2 i z, 2 2i số phức zthay đổi thỏa mãn z z 12 z z 2 16 Gọi Mvà mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2 m2

A 15 B 7 C 11 D 8

Lời giải

Chọn D

Gọi Mlà điểm biểu diễn z

Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 trung điểm AB

2 2 2

1 16 16

      

z z z z MA MB

2

2 2

2 16

2

  AB 

MA MB MI MI2

(22)

y

x M2

M1

I O

Ta lại có : IM IO OMIM IO  1 OM3

Do : 2

max 3 

z M M

1  1 

z M M

2

8 M m  Bài tương tự

Câu 40: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  1 i z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức 1

z z ?

A m 1 B m2 C m2 D m2 2 Lời giải

Chọn D

Đặt z1  a bi a b; ,  z2   b ai

   

1

z z  a b  b a i

Nên z1z2  a b  2 b a 2  2.z1 Ta lại có 2 z1  1 i z1   1 i z1 

1 2

 z   Suy z1z2  2.z1 2 2 Dấu " " xảy

1 1 a b

Vậy mmin z1z2 2 2

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,  thỏa điều kiện z22  z22 26 z2 5i lớn Tính T x y

A T  2 B T  2 C T   2 D T 2 Lời giải

Chọn A

Giả sử z x yi x y; , 

(23)

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C tâm gốc tọa độ O, bán kính

 R

Ta có z2 5i  x22y 52

Vì  

2

2  9 nên điểm N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y ;  điểm thuộc  C ,      

2 5

      

z i x y MN

Suy z2 5i lớn MN lớn MN đường kính  C M2; 5 Vậy z  2 5i

Câu 42: Cho z1, z2là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i  2iz, biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức: P z1z2

A.

2 

P B. P C.

2 

P D. P Lời giải

Chọn D.

HD: Cách 1 Ta có: 2z i  2iz  2z i  2iz2 (2z i )(2z i ) (2 iz)(2iz)

2

4 2 2

 z z iz iz i   iz iz i z z  z z

1

1 1

z z  z   z   z  z2 1

Chú ý: a a a2  2z i (2z i )(2z i ) (2 z i )(2z i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1, z2 đường tròn tâm O bán kính R1

Gọi M z1( ), 1 M z2( )2 OM1 OM2 1

Ta có: 1 2  1 2  2 1   1 1 2   

z z OM OM M M OM M

Mà 1 2  1 2     

z z OM OM OM OMvới M điểm thỏa

mãn OM MM1 2 hình thoi cạnh 1OM 3P

Cách 2 Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i 2x(2y1)i 2iz  2 y xi

Khi đó: 2 2 2

2

2 (2 1) ( 2) 1

1

 



               

   z

z i iz x y y x x y z

z

Sử dụng công thức z1z2  z1z22 2z12  z2 2 z1z2 3 z1z2  Chọn D.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z 2 i Tính giá trị tổng SM2 m2

A S82 B S34 C S68 D S36

Lời giải

y

O x

M

(24)

Cách 1: (Phương pháp hình học)

Đặt số phức z x iy, x y,  có điểm biểu diễn hình học P x y ,  Ta có z 1 2i  x1 2 y22 4x1 2 y22 16 Vậy tập hợp điểm P đường tròn tâm I1; 2, bán kính R4 Ta có z  2 i x2 2 y12 AP, với A 2; 1

Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:

max

min

3 4

      

 

     

 

M AP AP IA R

m AP AP IA R

Vậy ta suy SM2m2 3 4  2 4 2 68 Cách 2: (Phương pháp đại số)

Công cụ bản: z1  z2  z1z2  z1  z2 , với số phức z1, z2 Áp dụng, ta có:

   

2 3 3 4

                

z i z i i z i i M

   

2 3 3 4

                

z i z i i z i i m

Vậy ta có SM2m2 3 4  2 4 2 68

Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z z z, ,1 2 thỏa z1  z2 6 z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 1 2  1  2

2

      

P z z z z z z z z z z

A. 30 B. 36 C. 50 D. 50

Lời giải Chọn B.

Gọi A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, , từ giả thiết ta suy tam giác OAB vuông cân O tốn quy tìm giá trị nhỏ P 2MA MB MO MA MO MB   Ta chứng minh toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, ta có

 

1

   

MB MC MC MA MA MB

bc ca ab

Chứng minh: dùng toán kinh điển  

2 2

     

  xyc yza zxb x MA y MB z MC

x y z

Đặt x a ;y b ;z c

MA MB MC

 

   aMB MC bMC MA cMA MB x y z

MA MB MC

và 2

 

   aMA bMB cMC

xyc yza zxb abc

(25)

Áp dụng toán ta có P36 2, chọn B

Ta chứng minh tốn   ngơn ngữ số phức.

Gọi tọa độ điểm A B C M, , , mặt phẳng phức u v w x, , , a v w , b w u ,  

c u v , MA x u , MB x v , MC x w Khi bất đẳng thức   tương đương

     

  

     

x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v

  

     

   

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v Mặt khác :

  

           

    

           

x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v

Mà   

  

     

  

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v nên suy  

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

     

P z i z i

A B 3 C D 4

3 Lời giải

(26)

Gọi điểm biểu diễn z M Khi M nằm đường tròn tâm I0; ,  R1 Gọi tọa độ điểm A ; ,  B 2; 3  đó:

2 2

       

P z i z i MA MB Gọi ;

2

 



 

 

K ta có:

2

 

IK IM IM IA Vậy IMK IAM hai tam giác đồng dạng Khi đó: MA 2MK

Vậy P 2MK MB 

Theo bất đẳng thức tam giác: P 2MK MB  2BK Vậy Min P  2BK3

Câu 46: Với hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1z2 2, tìm giá trị lớn P z1  z2

A P4 B P2 26 C P 5 D P34 2

Lời giải

Chọn B.

Vì hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1z2 2 nên

1

2

1

8

2

   



  



  



z i z

z z

 

1

2

1

4

2

   

 

   



 

 

z i

z z

 *

Gọi A, B hai điểm biểu diễn hai số phức z1 z2 từ  * suy A B, nằm đường trịn  C có tâm I4; 3, bán kính R1 AB đường kính đường trịn  C Như P z1  z2 OA OB

Ta có  

2 2

2 52

2



      

OA OB AB

OI OA OB

Suy 52OA2OB2 2OA OB OA OB 2 OA2OB2 2OA OB 52 52 104 

1 104 26

P z  z OA OB   Dấu xảy OA OB 

Câu 47: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn

1  z z

A 4 B 2 C 3 D 3

x y

3

4 B

O

I

1

(27)

Lời giải

Chọn A

Ta có iz 2 i 1 i z i 1 1 z i 1 1 Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2

Ta có z1  z2 22z12 z2 2  z1z22  z1z2 16  z1  z2 4 Dấu xảy 

z z  MNOI

Câu 48: Cho hai số phức z,  thỏa mãn z1  z 3 2i ;  z m i với m tham số Giá trị m để

ta ln có  2 là:

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

Đặt z a ib a b, ,  có biểu diễn hình học điểm M x y ; 

1

   

z z i  x 1 iy  x 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y  3 Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2

  2 12

(28)

Nên MI2 d I ,  5

 

 m   2m4 10

2 10

  

 

   

 m m

3     

 

m m

Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho zlà số phức thỏa mãn z  1 i Tìm giá trị lớn biểu thức

2

     

P z i z i

A.18 B 14 10 C 38 10 D 16 10 Lời giải

Chọn C

Gọi z x yi x y ; ,M x y ;  điểm biểu diễn số phức z

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy M thuộc đường trịn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; , E0; 2 trung điểm AB Khi

2

     

P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32 MA2MB2

2 2

2  ME  AB

2 10

 ME 

Do E nằm ngồi đường trịn, nên MEMaxEI R  2 10PMax 38 10 Cách :

2

     

P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32=2x22y28y18

2

2 18

 x  y  y P Suy tọa độ điểm M thỏa mãn

   

2

2 18

1

     

 

   

 

x y y P

x y

   

 

2

1

: 12 22

    

  

    

 

x y

x y P

Hệ có nghiệm d I ,  R  P38 8 10 38 10 P38 10 38 10

PMax  

(29)

đổi thỏa mãn zz12 zz22 16 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2

A.15 B.7 C.11 D.8

Lời giải: Chọn D.

Cách 1:

Gọi số phức z x yi với x y, 

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường trịn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2

Ta có | |z minOMmin, | |z maxOMmax Đường thẳng OI có phương trình y0

OIcắt( )C điểm phân biệt A B, có tọa độ nghiệm hệ 2

2

0

x y x

y

    

  

(1, 0); ( 3, 0)

A B

 

Ta có OA OM OB nên | |z minOA,| |z maxOB

Khi 2

9

M m   

Cách 2:

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2  z 1

Ta có: z  z  1 1

min

z

  , z  z   1

max

z

 

Cách 3:

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2

Ta có OMmin  OIR , OMmax OIR

min

z

  ,

max

z 

CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức

2

M m

Mn



A.12 B.1

2 C.

4

3 D.8

Lời giải: Chọn C

Gọi số phức z x yi với x y, , | |z  x2y2 Ta có: z 2 4i  x22(y4)2 5 2

15 4( )

x y x y

    

(30)

Do

2

M m

Mn





Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i |z 3 |i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z2i Giá trị biểu thức 2

M m

A.25 B.35 C.15

2 D.20

Lời giải: Chọn B.

Gọi z x yi (với x y, ) có điểm M x y( ; ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có z  1 i z 3 2i 

x 12 y 12 x 32 y 22

        

x 12 y 2 x 32 y 2

             (1)

Số phức z2i x y2i có điểm Mx y; 2 biểu diễn z2i mặt phẳng tọa độ Đặt A(1; 3), (3; 4)B , từ (1) ta có AMBM

Mặt khác AB nên M thuộc đoạn AB Khi

max

M  z i OB5 ,

2

m z i OA 10 Vậy 2

35

M m 

Nhận xét:

- GTLN, GTNN câu dạng đạt đầu A B, - Một sai lầm thường gặp đánh giá  

min ;

z d O AB góc OAB góc tù nên khơng tồn điểm M đoạn AB cho OM  AB

Câu 53:(Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P z22 z i Khi modun số phức

wM mi

A.2 314 B. 1258 C.3 137 D.2 309 Lờigiải

Chọn B

Cách 1: Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 3 4i  x3 2 y42 5 Ta có P4x2y3 4x32y4P23

Ta có 4 32 42 20 3 2 42100

 

 

x y x y

Suy 10P23 10 13P33 suy M33,m13 ta w33 13 i

w  1258

Cách 2: Gọi z x yivớix y,  .

(31)

Lại có: P z22 z i x22y2x2y12P04x2y 3 P0, phương trình đường thẳng : 4x2y 3 P0

Ta thấy M  C

Điều kiện để  cắt  C là:  ,  23 10 23 10 13 33

2 

   P         

d I R P P

Suy ra: m13,M33và w33 13 i w  1258 Cách 3:

Gọi z x yi với x y, 

Ta có Px22y2x2y12 4x2y3 suy

 

 P x

y

Từ        

2

2 2

3 5

2

   

               

 

P x

z i x y f x x

Ta có   2 3 4 11 10 16

   

        

 

P x

f x x P x

  0, 1,6

    

f x x P Suy y0,1P1,7

Thay x y, vừa tìm vào f x  ta 0, 2P1,6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 Ta giải P33 P13 Đây tương ứng GTLN GTNN P

Vậy M33,m13 Khi đó,   1258

Câu 54:Biết số phức z x yi, x y,  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z  z 4 3i biểu thức

1

     

P z i z i đạt giá trị nhỏ Tính Px2y A 61

10  

P B 253 50  

P C 41  

P D 18

5  

P

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết z  z 4 3i  x yi  x4  y3i

  2 2

2

4

 x y  x  y

2 2 8 16 6 9

x y x  x y  y 25

 x y 

Ta có P x1 2 y12  x2 2 y32

Xét điểm E1;1; F2; 3  M x y ;  Khi đó, PME MF

Bài tốn trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 cho ME MF đạt giá trị nhỏ

Vì 8xE 8yE25 8  xF8yF250 nên hai điểm E F, nằm phía đường thẳng  Gọi E điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE qua điểm E1; 1  có VTPT    3; 4   

EE

n u nên có phương trình

   

(32)

Gọi H giao điểm EEvà  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

8 25

   



  



x y x y 71

25 19 50 

     

     x y

suy 71; 19 25 50

 

 

 

 

H



E đối xứng với E qua H nên

117 25 44 25 

 

         

E

x y

Ta có ME + MF = ME + MF E F

Dấu xảy Mlà giao điểm E F đường thẳng  Đường thẳng E F qua điểm F2; 3  có VTPT 31;167



EE

n có phương trình

   

31 x2 167 y3 0  31 +167 + 439 = 0x y

Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 31 167 439

8 25

   



  



x y

67 50 119

50 

     

     x y

Vậy 61

10

   

P x y

Câu 55: Gọi z z1, 2 nghiệm phương trình z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  Biết w số phức thỏa mãn w 2  i 2 Tìm GTNN biểu thức P wz1  wz2

A 1 3 B 2 3 C 2 D. 6 Lời giải.

Chọn D

Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 1 2i  z 1 2i x0suy tập hợp điểm biểu diễn 1,

z z trục tung

Giả sử A B, điểm biểu diễn cho z z1, 2, ta có z1z2  AB Giả sử w a bi a b R ,   M điểm biểu diễn cho số

phứcw, ta ców 2  i 2 (a3)2(b2)2 4suy tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w đường trịn tâm I3; 2 bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E hình chiếu vng góc I lên trục tung, ta thấy P nhỏ E trung điểm AB suy

6

 

MA MB , 6

2

 

MinP

(33)

2

     

P z i z i

A 18 B 38 10 C 18 10 D 16 10 Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi z x yi x y , 

Ta có: z  1 i 2 x yi   1 i 2x1 2 y12 4

2 2

2 2 2

x y  x y  x y  x y (*) Theo ra:

2 2

             

P z i z i x yi i x yi i

  2  2  2 2  2 2

2 18

 x  y  x  y  x y  y

Thay (*) vào P ta được:

   

4 12 22 12 38

       

P x y x y

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta

     2 2   2 2  2 2

4 1 12 1 38 12  1  1 38 12 38 10 38  

 

 

x y x y

Vậy Pmax 8 10 38

Câu 57: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn

1  z z

A 4 B 2 C 3 D 3

Lời giải

Chọn A

(34)

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2

Ta có z1  z2 22z12 z2 2  z1z22  z1z2 16  z1  z2 4 Dấu xảy 

z z  MNOI

Câu 58: Xét số phức z a bi a b,  thỏa mãn z 2 3i 2 Tính P2a b

1

    

z i z i đạt giá trị lớn

A P1 B P 3 C P3 D P7 Lời giải

Chọn B

Gọi z x yivới x y, 

Ta có: z 2 3i 2 2x2 2 y32 8 Suy ra, tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn cho số phức z hệ tọa độ Oxy đường tròn  C tâm I2; 3 bán kính R

Gọi A 1; 6, B7; 2 J3; 2 là trung điểm AB

Đặt P z 1 6i  z 7 2i suy PMA MB  2MA2MB2 (BĐT Bunhiacopxki) Phương trình đường trung trực của AB là:

2    

   

x t

y t Ta có:

2

2 2

2

   AB

MA MB MJ với J trung điểm AB Vì M chạy đường trịn , J cố định nên MJIJR Do P2 4 IJ R2AB2 nên Pmax  IJ R2AB2

Dấu « = » xảy MAMB ba điểm M I J, , thẳng hàng Điều thỏa mãn nhờ 

IA IB

Do đó: M  C , tọa độ M nghiệm hệ:

 2  2  2  2

3

2

3

2 5

x t x t x x

y t y t y y

t t

x y t t

          

 

   

          

   

     

 

       

 

 

Mặt khác :

4; 5   2 130

M P MA MB M0;1PMA MB 2 50. Vậy đểPMax thìM4; 5 Suy 2a b  3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 z2là số phức có mơ-đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1và z2

A 8i B 4 C 8 D 8

(35)

Chọn D

Gọi z x yi x y, ,  M x y ;  điểm biểu diễn số phức z

Theo giả thiết z2 4 i 2  x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4 Suy M  C : x2 2 y42 4

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 4 i 2 đường trịn  C có tâm

2; 4

I bán kính R2

Đường OI có phương trình y2x cắt đường trịn  C hai điểm 10 20 5;

5

   

 

 

A ,

10 20 ;

5

   

 

 

B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có mơđun lớn nhất, điểm B biểu diễn số phức có mơđun nhỏ

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi (a b,  b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b2 z3 z đạt giá trị lớn

A P4 B P2 C P2 D P2

Lời giải

ChọnC

Cách 1:

Từ giả thiết có a2b2 1b2  1 a2 0 với a  1; 1 z z 1 Ta có z3 z 2

2

 z z  z z

2

 z z  z  2bi2a2b22abi

 2  

2

 a b  b ab i 2 a2b22b2ab2

 22 2 2

2

 a b b  a 2 2a21 2 1a22a12 2 4a3a2 4a2 Xét f a 4a3a2 4a2, với   1 a

 

12

   

f a a a ; f a 012a2 2a 4

 

1

1;1

2

1;1



    

 

    

(36)

Suy

 1;1  

1 13 max

2

 

 

  

 

a f a f , đạt

1  

a ,  b

Vậy 2

2

 

     

 

P a b

Cách 2:

Ta có zcosx i sinxz3 cos 3x i sin 3x Vì b0 nên sinx0, cosx  1; 1 Khi

3 2

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos cos 2 sin sin 

 x x  x x i

cos cos 2 2 sin sin 2

 x x  x x

2 sin sin  2 cos sin 2

  x x  x x

2 2

4 sin sin sin sin cos sin

  x x x x x x

2

4 16 sin cos sin

  x x x

 2  2

4 16

  t t t  16t34t2 16t8 với tcosx  1;1 Đặt f t 16t34t216t8, t  1;1

 

48 16

    

f t t t

 

1

1;1

2

1;1



    

 

    

t t Bảng biến thiên:

 1;1  

1

max 13

2  

 

   

 

t f t f

1 cos

  t  x

Khi đó:

2

1

2

       

a

a b

Vậy 2

2

 

     

 

P a b

t 1

2



3

 

f t  0  0 

  f t

13

a 1

2



3

 

f a  0  0 

  f a

13

(37)

Nhận xét: đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức

1

 

P z z A

2 

P B P C

2 

P D P

Lời giải

Chọn D

Cách

+ Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i  2iz  2x2y1i  2yxi

 2  2

2 2 2

4x  2y1  2y x 4x 4y 4y  1 4y y x

2

1

1 1

x y   z   z  z 

+ Sử dụng cơng thức: z z1, 2 ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2 Suy P

Cách

+ Biến đổi: iz2  i iz 2  z2i

Ta có 2z i  z2i  2z i  z2i2  z  1 z1  z2 1 + Sử dụng công thức bình phương mơ đun

 

2 2 2 2 2

1  2 1, 

mz nz m z mnz z cos z z n z

Trong z z1, 2 góc MON với M, N điểm biểu diễn số phức z z1, 2 mặt phẳng phức

   

2 2

1 2 2 2

1

1 , ,

2

          

z z z z z z z z cos z z cos z z

Vậy P2  z1z2  1 z12 z2 22 z1 z cos z z2  1, 23P

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:T  z i  z 2 i

A maxT 8 B maxT4 C maxT4 D maxT 8

Lời giải Chọn B

Đặt z x yi x y R ,  , ta có z1   x 1 yi   (x1)2y2 

 12 2 2 2 1

 x y  x y  x (*)

Lại có T z i  z  2 i x(y1)i  x 2 (y1)i

2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 1)

 x  y  x  y  x y  y  x y  x y

(38)

2( ) 2( ) 2(2( ) 2( ))

            

T x y x y x y x y

Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5z i  z 1 3i 3z 1 i Tìm giá trị lớn M biểu thức: z 2 3i ?

A 10

3 

M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải

Chọn C

2 2 2

5 x (y1)  (x1) (y3) 3 (x1) (y1)

2 2 2

5 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)

 x  y  x  y  x  y

2 2 2

25 ( 1)  10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)   x  y   x  y  x  y 

2 ( 1)2 20 2 5

x  y   z i 

2 (4 2) 2 5

             

P z i z i i z i i

Câu 64: Cho hai số phức z, thỏa mãn z1  z 3 2i ;  z m i với m tham số Giá trị m để ta ln có  2 là:

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

1

   

z z i  x 1 iy  x 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

  2 12

 x m  y  MI2 với Im; 1  Mà ta có MId I ,

Nên MI2 d I ,  5

 

 m   2m4 10

2 10

  

 

   

 m m

3     

 

m m

Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn 1

3 2

   z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức P z i 2 z 4 7i

(39)

Gọi z x yi, x y,  Ta có 1

3

   z

z i  z1  z3i    

2 2 2

2

 x y  x  y

2 4 6 7 0

x y  x y 

Lại có P z i 2z 4 7i  x2 y12 2 x4 2 y72

4 8 72

 x y   x y

Mặt khác  

2

4x8y8 2 4x8y72 5.80  4x8y8 2 4x8y7220 Suy P20

Câu 66: Cho số phức z a bi (a,b số thực) thỏa mãn z  z 3 4i có mơđun nhỏ giá trị Pa b là?

A

4 B C D

Lời giải Chọn D.

Ta có:

3

    

a bi a bi i a2b2 a3 2 b42

6 25

 a b  25

6 

a b

Mô đun số phức z là:

2

 

z a b

2 25

6

  

   

 

b

b  

2

100 225

36

 

 b 15

6 

Số phức

min  2

z b

2

 a P3

Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z  1 i B z  2 2i C z 2 2i D 2 i

Lời giải Chọn C.

(40)

   

  2 2  2

2 2

2

4 16 4

4 16

      

         

  

a b i a b i

a b a b

a a b b a b b

a b a b

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki

 2  2 2 2 2 2 2

16 a b  1 a b  z a b 8 2

 z

Dấu  xảy 1 2

4 

 

      

   

a b

a b z i

a b

Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Số phức z có mơ đun bé

A.3 B 2 C. 2 D 4

Lời giải Chọn C

Đặt z x yi x y ,  Khi z 2 4i  z2i  x yi  2 4i  x yi 2i

  2 2  2

2

 x  y x  y  4x4y16 0 x y  4

(41)

 

min

4

; 2

2

   

z d O

Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Giá trị lớn biểu thức P z1  z2 là:

A. 26 B. 26

2 C.9 D.

1



Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2 Từ giả thiết : z1z2 5 OMON 5

  5

2 OI    vớiI trung điểm đoạn thẳngMN

1

z z   OM ON 1 MN 1

Ta có

2 2

2

OM ON MN

OI   

2

2O

2

MN I

OM ON

    13

1

P z  z OM ON P2 1212OM2ON226 Vậy Pmax  26

Câu 70: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1  z2 Khi mơ đun số phức

Mm i :

A 76 B.76 C.2 10 D.2 11

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2

Từ giả thiết : z1z2 6 OM ON 6OI 3với I trung điểm đoạn thẳngMN 2

z z   OM ON 2  MN 2 Ta có

2 2

2

OM ON MN

OI   

2

2O

2

MN I

OM ON

    20

1

P z  z OM ON P2 1212OM2ON2 40

Vậy maxP2 10M

P z  z  OM ON  OM ON 6 Vậy minP6m

(42)

Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn

i z  Giá trị lớn biểu thức P 2z 1 4i  z 1 5i là: A.2 B.3 C.3 D.

2

Lời giải

Chọn C.

Ta gọi M x y( ; )là điểm biểu diễn số phứcz

5

2

i z   32

x y

    Suy ( ; ) (0;3);

M x y C I R 

 

 

Khi đó:

2z i

P    z  i z

2 i z i

      2MA  MB , với 1; ; 1;5

2

A  B

 

Ta có: 1;

IA   

 



 

;IB 1; suy IB 2.IA

Theo định lý Stewart ta có: 5 5

2 2

MA  MB  MI  

 

2

2MA MB 15

  

(Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ

MI MAAB

   1

MA AB

  1 

3

MA MB MA

   3MA 3MB    Suy ra:

 

2 2

.cos ,

9 9

MI  MA  MB  MA MB  MA MB 2 cos AMB 9MA 9MB 9MA MB

  

2 2

2

4

9 9

MA MB AB

MA MB MA MB

MA MB

   

    

 

2 2

2

3MA 3MB AB

  

2

2MA MB

  2

3

MI AB

  15)

Vậy P2 MA  MB  2.MAMB   22122MA2MB2  45 3

Câu 72: Cho hai số phức 1 , 2

2 2

  i    i

z z Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i  Đặt ,

M n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T  z  z z 1  z z 2 Tính modun số phức wM ni

A.2 21

3 B. 13 C.

4

3 D.4

Lời giải

Giả sử z x yi x y R Ta có , ,  

2

3 3 1( )

3

 

      

 

 

(43)

Gọi  ; , 1; , 1;

2 2

   



   

   

K x y A B điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2 Ta tìm Max – Min TOK OA OB 

Ta có A B O, , thuộc đường tròn ( )C ABO TMin2OA2 Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK   KAKB OK

4

2 2.2

3

T  KA R TMax

2

4 21

w

3

 

     

 

 

Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z i  z 1 3i 3 z 1 i Tìm giá trị lớn M z 2 3i ? A 10

3 

M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải

Chọn D

Gọi A1; , B 1; ,  C 0;1C trung điểm AB Suy

2 2

2 10

2



 MA MB  AB    

MC MA MB MC

Mặt khác 5z i  z 1 3i 3z  1 i 5MCMA3MB 10 MA2MB2

 

2

25 10 10

 MC  MC  MC

Mà z 2 3i  z i    4i  z i   2 4i MC2 54 Dấu “ = “ xẩy z  2 5i

Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]

Cho số phức z thỏa mãn 2

     



z i z i

z i Tìm giá trị nhỏ biểu thức

  P z i

A

2 

P B P C D

3 Lời giải

Chọn A

Áp dụng tính chất: z z 1 2 z z 12 2 z2 2 z12

Ta có: 2 2 12 12 2

2

 

              

 

 

 z i z i z i z i z i

z i

4

(44)

Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018]Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện

1 1

2 z  i z z 2i z2 i 10 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1z2 ?

A 10 1 B 3 1 . C 101 1 . D 101 1

+) Gọi z1  a bi a b; , 

Nên    

2

1 1

2 2 2

4

           a

z i z z i a b b b

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol

4  x y +) Gọi z2  a bi, a b, 

Khi z2 i 10  1 a10 2 b12 1

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn   C x10 2 y12 1 tâm I10;1 bamns kính r1

x y

N I

1 M

1

z z nhỏ MN nhỏ Ta có: MN IN IMMNIM IN IM1 Nên MN nhỏ IM nhỏ

Ta có:    

2

2 10 1 4 4 45

4

   

          

   

x x

IM x x

45

IM 

Do MN3 1

Vậy z1z2 MN3 1  z1z2 min 3 1

(45)

1 z z

A m2 2 B m 1 C m2 D m2

Lời giải

Chọn A

Ta có z1z2  z1iz1  1i z 1  2.z1

Đặt z1  a bi với (a b, ) theo đề ta có a1 2 b12 4(*) Ta cần tìm GTLN

2

 

m a b

Đặt ta2b2 Ta có: (*)4a22a 1 b22b 1 2(a b ) 2 t Mà a b 2 12 ( 1) 2 a2b2(**) nên

 2

2t 4(a b ) 8t t212t 4  6 2  t Kết hợp với ta2b2 0 suy 0  t

Suy m 2t  12 2 2 2 Dấu "=" xảy (**) xảy

11   a b

a b Kết hợp (*) ta z1   1 i Vậy giá trị lớn m 2 2

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 2 1 4

iz i Tìm giá trị lớn biểu thức T  2iz13z2

A 313 16 B 313 C 313 8 D 313 5 Lời giải

Chọn A

I2

I1 N

M

Ta có z13i5 2  2iz1 6 10i 4

Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn  T1 có tâm I1 6; 10 có bán kính R14

(46)

Ta thấy 2iz13z2  2iz1  3z2  MN

T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M, I1, I2, N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MNI I1 2R1R2  313 16

Câu 78: Cho hai số phức z w, thỏa mãn

1 2

   

 

    

 

z i

w i w i Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức  

P z w

A. min 2

 

P B. Pmin  1 C. min 2

 

P D. min 2

2  

P

Lời giải

Chọn C.

Cách :

Giả sử z a bi a b, , wx yi x y, 

  

z i a3 2  b22 1 (1)

1 2

    

w i w i x1 2 y22 x2 2 y12 Suy x y 0

  2 2   2 2

         

P z w a x b y a x b x

Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y:  x Đường thẳng HI có PTTS

2    

  

x t

y t

3 ; 

   

M HI M t t

  2 1

  

M C t

1

1 

   

     t t

1

2 ;

2

 

     

 

t M ,

2   MH

1

3 ;

2

 

     

 

t M ,

2   MH

Vậy min 2

 

(47)

Cách :

  

z i điều cho thấy M z  nằm hình trịn tâm I3; 2 bán kính

1 2

    

w i w i điều cho thấy N w  thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng  trung trực đoạn AB với A 1; , B 2;1 

:

 x y 

(Minh hoạ hình vẽ)

O y

x

1

2

-2 -1

B

A

I M N

Δ O

y

x

1

2

-2 -1

N

M I

  

P z w MN

 

min

3 5 2

,

2

 

     

P d I R

Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1  a bi z2  c di số phức thỏa mãn:

1 4

z z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T ac bd cd  Hãy chọn khẳng định M

A.M11; 15 B. M15;17

C. M11; 12 D. Không tồn M

Lời giải Chọn A.

Ta có

 

2

1

10

 

 

 

  z

z c d

2 4

5

  

  

   

a b c d Khi đó:

  

T ac bd cd  a2b2c2d2c(5c)2 c25c2 5c c 2 Đặt f c( ) 2 c210c25 5 c c

Ta có  

2 10

5

2 10 25



   

 

c

f c c

c c  

2

2 10 25

2

2 10 25

    

 

 

   

 

c c

c

c c

5  c Bảng biến thiên:

(48)

Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 13,

4

  

M

Dấu xảy

2          a b c d

Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn

3   z z ax  

M m z

z Khẳng định sau đúng?

A.M  1; 2 B. 2;7

2

 

 

 

M

C. 1;5

2

 

 

 

M D.M2 M5

Lời giải Chọn C.

Ta có

3

1 1

3

   

    

   

z z z z z z

3

1 1

3

   

        

   

z z z

z z

z

3

1 1

3

   

         

   

z z z

z z z 1              z z z z

Mặt khác:

3

1 1

3

   

      

   

   

z z z z

Suy ra: 1     z z

z z Đặt

1

  

t z

z ta được:

3

  

t t t2t12 0  t Vậy M2

Câu 81: Cho số phức z x yi với x y, số thực không âm thỏa mãn

1 

  

z

z i biểu thức

    2 2 1                 

P z z i z z z i z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M mi

A.3 B.1 C. D 2

c 

2



 



f c  

(49)

Ta có

1 

  

z

z i  z3  z 1 2i x y 1

    2 2 1                 

P z z i z z z i z i 16x y2 8xy x y(  ) 16x y2 8xy Đặt txy ta có  

2

4



 t x y 

Tính giá trị lớn nhỏ P16t28t, với 0;1

 

  

 

t ta Pmax 0; Pmin  1 Vậy

 

M mi

Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 1 , 2

2 2

    

z i z i

Gọi zlà số phức thỏa mãn 3z 3i  Đặt M m, giá trị lớn nhỏ biểu thức

1

    

T z z z z z Tính mơ đun số phức wM mi A 21

3 B 13 C

4

3 D

Lời giải Chọn A.

Giả sử M A B, , biểu diễn số phức zx yi z z , ,1 2 Từ giả thiết 3z 3i  3ta có: ( )2

3

  

x y

NênMthuộc đường tròn tâm 0; ,

3

 



 

 

I R

Ta có T MO MA MB  Để Tmin M trùng O A B, , nên

2

min

1

2 2

2                 

T OA

Để Tmaxthì OMmax (MA MB )max nên OM2R M nằm cung nhỏAB 0;

3

 

 

 

M Do 2

2

3 3

                    max

T OM MA

Vậy

2

2 2 21

w 3           

M m

(50)

Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:

 

2

max 2 ,

    

 

  

 

iz i z

w i w

Tìm giá trị nhỏ z w A.

2 B.

13

2 C.

5

2 D.

1 Lời giải

Chọn B

Gọi M N, điểm biểu diễn z w, với M x y ;  Ta có iz2i2  z1  z 2 2i  z1

  2 2  2

2 2

 x  y  x y   x y  Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ

:

  x y  không chứa O, kể bờ

Ta có maxw 2 ,i w suy

 

2 2 , 2;

2

      

 



 

 

 



w i NI I

w NO

Do đó, N thuộc phần chung hai hình trịn

I; 2 O; 2

Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E1; 1 Do đó, N1; 1

Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N 

Ta có    

 2

2 4.1 13 ,

2

   

  

 

d N

Vậy 13

2

 

z w

Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 iz2 1 2i 4 Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz13z2

A. 313 16 B. 313 C. 313 8 D. 313 5 Lời giải

(51)

Đặt 2iz1  a bi, 3 z2  c di a b c d ; ; ; , gọi A a b B c d ;  , ;  Có z13i5 2

2 

 a bi i 

i  a6  10b i 4    

2

6 10 16

 a  b  nên

 



A I có tâm I6; 10  bán kính R4 Có iz2 1 2i 4

3 

   

 c di

i i  3d  c6i 12 c6 2 d32 122 nên

 



B J có tâm J6; 3, bán kính R 12

Có T  2iz13z2 a c   b d   a c  2 b d 2 AB

Do A I , B J , IJ 313 R R 16 nên ABMax R R IJ 16 313

Câu 85: Xét số phức z a bi a b,( , ) thỏa mãn z 3 2i 2 Tính a b biết biểu thức

1 2

     

S z i z i đạt giá trị nhỏ

A 4 B 2 C 4 D 3

Lời giải: Chọn A

Giả thiết z 3 2i 2( ) : (T a3)2 (b2)2 4

Gọi A( 1; 2), (2; 5), B M a b( ; ) điểm biểu diễn số phức z1   1 ,i z2 2 , i z3  a bi

Bài toán trở thành: Tìm M( )T cho biểu thức

 

S MA MB nhỏ

Ta có MA (a1)2(b2)2  a2b22a4b5

2

2 4

 a b  a b

2

2 ( 2) ( 2)

 a  b  MC với C(2; 2)

O

I J A

B

M

-1 2

(52)

Ta có MA2MB2(MB MC ) 2 BC dấu “=”xảy B M C, , theo thứ tự thẳng hàng

Phương trình đường thẳng BC x: 2

M giao của BC ( )T M(2; 2 3) a b 4 

Câu 86: Cho số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn z1  z2  z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

    

P z z z z z

A P6 2 B P3 2 C P6 2 D

2

 

P

Lời giải Chọn C

6 6

6 2

600 600

M '

A '

A

O B

M

Chọn A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện z1  z2  z1z2 6  OA OB 6, AB6 Suy ta có tam giác OAB vng cân O

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: B, 60 0 :  

Q A A

 

M M

Do tam giác BMM AMA M , BM MM

Suy P z  z z 1  z z 2 OM AM BM OM MM    A M OA Dấu " " xảy O M M A, , ,  thẳng hàng

Khi tam giác OBA có OB6, BA BA6 OBA 1050 Từ suy OA OB2BA22OB BA .cos1050 6 2 Vậy minP6 2

(53)

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

1

   

z z i  x 1 iy  x 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

  2 12

 x m  y  MI2 với Im; 1  Mà ta có MId I ,

Nên MI2 d I ,  5

 

 m   2m4 10

2 10

  

 

   

 m m

3     

 

m m

Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn 1

3

   z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức P z i 2 z 4 7i

A. 20 B.10 C. 12 D 4

Gọi z x yi, x y,  Ta có 1

3 2

   z

z i  z1  z3i    

2 2 2

2

 x y  x  y

2

4

x y  x y 

Lại có P z i 2z 4 7i  x2 y12 2 x4 2 y72

4 8 72

 x y   x y