Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.. Xem hướng dẫn trên lớp..[r]
(1)BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC
Kỹ năng:
Phương pháp đại số Phương pháp hình học Phương pháp bđt modun Phương pháp casio
Một số tính chất cần nhớ
1. Mơđun số phức:
Số phức z a biđược biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM
được gọi mơđun số phức z Kí hiệu 2 2
z = a + bi = a + b Tính chất
z a2b2 zz OM z 0, z , z 0z0 'z z z z ' , ' 0
' ' z z
z
z z z z' z z ' z z' kz k z k ,
Chú ý: z2 a2b22abi (a2b2 2) 4a b2 a2b2 z2 z2 z z Lưu ý:
z1z2 z1 z d2 ấu xảy z1 kz k2 0 z1z2 z1 z d2 ấu xảy z1 kz k2 0 z1z2 z1 z d2 ấu xảy z1kz k2 0 z1z2 z1 z d2 ấu xảy z1kz k2 0 z1z22 z1z2 2z12 z2 2
z2 z z z2 z 2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)
z a bi z c di (2)
(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB vớiA a b B c d , , ,
x a 2 y b 2 R ho2 ặc
z a bi R
Đường trịn tâm I a b , bán kính ; R
2 2
(2) z a bi R
2 2
2
r x a y b R hoặc
r z a bi R
Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a b , bán kính l ; ần lượt
, r R
2
2
y ax bx c c x ay by c
Parabol
2
2 1
x a y c
b d
1 2
z a b i z a b i a
1 Elip
2 Elip 2aAB A a b, 1, 1 ,B a b 2, 2 Đoạn AB nếu2aAB
2 2
2
x a y c
b d
Hypebol
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm Min
z Khi ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b
2
0
1
2
2
Min
z z a b
a b
z i
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm
z Ta có
Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với
A a; b ,B c;d
2 2
2
,
2
Min
a b c d z d O AB
a c b d
Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng
Ví dụ 1:
Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Khi ta biến đổi
z a bi z c di z a bi z c di
(3)
a bi c di
iz a bi iz c di z z z b ai z d ci
i i
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0 z z 0 R Tìm
Max Min
z , z Ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a; b bán kính R
2
0
2
0
Max
Min
z OI R a b R z R
z OI R a b R z R
Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R
i i
(Chia hai vế cho i )
z b R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
c di z a bi R z a bi R 2R 2
c di c di c d
Hay viết gọn 0 1
0
z R
z z z R z
z z
(Chia hai vế cho z0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip
TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2a , a c Khi ta có Quỹ tích điểm M x; y biểu diễn số phức z Elip:
2
2 2
y x
1 a a c
2
Max Min
z a
z a c
TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1 z z 2 2a Thỏa mãn 2a z1z2
Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có
(4)Đặt
2 2
z z 2c
b a c
Nếu
0
z z
z
2
Max
Min P a P b
(dạng tắc)
Nếu
1
0
0
z z
z a
2
z z k z z
Max Min z z
P z a
2
z z
P z a
2 Nếu
0
z z
z a
2
z z k z z
Max z z
P z a
2
Nếu z0z1 z0z2 1 2
Min
z z
P z b
2
PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số
Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp
Dạng 3: Tả phí lù
Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh
Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z3i z 2 i Tìm s ố phức có mơđun nhỏ nhất?
A z 1 2i B 5
z i C
5
z i D z 1 2i Hướng dẫn giải
Chọn C
Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x y ,
2 2 2
3 3
z i z i x y i x y i x y x y
6 4 2
y x y x y x y x y
2
2 2 2
2 5
5 5
z x y y y y y y
Suy
5
z
5
(5)Vậy 5
z i
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yi x y,
2 2 2
3 3
z i z i x y i x y i x y x y
6 4
y x y x y x y
Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z3i z 2 i đường thẳng : 2 1
d x y
Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A
Phương án B:
5
z i có điểm biểu diễn 2;
5
d nên lo ại B Phương án D: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2d nên loại B
Phương án C:
5
z i có điểm biểu diễn 1;
5
d
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào dữ kiện ban đầu không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh
Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình :x2y 1
Vậy
min 2
1 5
,
5
z d O
Cách 4: Công thức tính nhanh
BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z Tìm zmin ?
2
0
1
2
2
Min
z z a b
a b
z i
BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm z ?
2 2
2
2
Min
a b c d z
a c b d
Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z3 z3 8 Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhỏ z Khi M m
A 4 B 4 C 7 D 4
Hướng dẫn giải Chọn B
Cách : Đại số
(6)Ta có 8 z3 z3 z 3 z 2z z 4 Do Mmax z 4
Mà z3 z3 8 x 3 yi x 3 yi 8 x32y2 x32y2 8 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
2 2 2 2 2
8 1. 3 1 3 1 3 3
x y x y x y x y
2 2
8 2 18 2 18 64
x y x y
2 2
7 7
x y x y z Do Mmin z
Vậy M m 4
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)
Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip
1
2
2 2
3; , 0,
1
16
4
F F
y x
a
b a c
Do 4
7
Max Min
z a
M m
z b
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức z thỏa mãn z c z c 2 ,a a c ta ln có Tập hợp điểm biểu diễn z Elip
2
2 2 1 y x
a a c
2
Max Min
z a
z a c
Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn
z i
A. 13 2 B.4 C.6 D. 13 1
Hướng dẫn giải Chọn D
Cách 1: Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i x y3i
Theo giả thiết x2 2 y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường trịn tâm I2; 3 bán kính R1
Ta có z 1 i x yi 1 i x 1 1y i x1 2 y12 Gọi M x y ; H1;1
2
1
HM x y
M1 I
H
(7)Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn
Phương trình :
3
x t
HI
y t, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:
2
9
13
t t t nên ; , ;
13 13 13 13
M M
Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 1
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn w z 1 i
Ta có z 2 3i 1 z 2 3i 1 z 1 i 3 2i 1 w 2 i 1 (Đường tròn tâm
3, , 1
I R )
Vậy w 3222 1 13
Max OI R
Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi R0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn I a b , , bkR )
2
2
Max
Min
z OI R a b R
z OI R a b R
Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z a bi z a bi
Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2
z i A
iz Mệnh đề sau đúng?
A. A 1 B. A 1 C. A 1 D. A 1
Hướng dẫn giải Chọn A.
Cách 1: Đặt Có a a bi a b , , a2b21 (do z 1)
2
2 2
2
2
2 2
a b i a b
z i A
iz b ai b a
Ta chứng minh
2
2 2
4
1
a b
b a
Thật ta có
2
2
2 2
2 2
4
1 2
2
a b
a b b a a b
(8)Chọn
1
2
1
1 2 34
1
2 17
z
z i
A A
iz
z
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 15i z
A 5 B 4 C 6 D 8
Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: A 15i 1 5i 1 6
z z z Khi z i A6 Chọn đáp án C
Cách 2: A 15i z5i z5i
z z
Theo 1 5 5 1 5 52 1 6
Max
z z i i z i
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu thức M z2 z 1 z31
A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2 C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2
Hướng dẫn giải
Ta có: M z2 z 1 z3 1 5, z 1 M5Mmax 5 Mặt khác:
3 3 3
3
1 1 1
1 1,
2 2
1
z z z z z
M z
z
min
1 1
z M M
Chọn đáp án A
Câu 7: Cho số phức z thỏa z Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức P z i z A.3
4 B.1 C.2 D
2 Hướng dẫn giải
Ta có 1 | | i P
z z Mặt khác:
1
1
| | i
z z
Vậy, giá trị nhỏ P là1
2, xảy z 2 ; i giá trị lớn P
2 xảy
z i
Chọn đáp án A
(9)Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i x y2i Ta có:
2 2
1
z i x y
Đặt x 1 sin ; t y 2 3cos ; t t 0; 2
2 2
2 sin 3cos 26 sin cos 26 17 sin ;
z i t t t t t
max
26 17 26 17 26 17 17
z i z i
Chọn đáp án A
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun lớn số phức z2 i Ta có 1 3 2 1 3 1242 3 3 17
Max
z i z i i z (đáp án A)
Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 1z 3 1z
A 15 B C 20 D 20
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z 1 x2y2 1 y2 1 x2 x 1;1 Ta có: P 1z 3 1z 1x2y2 3 1x2y2 2 1 x3 1 x
Xét hàm số f x 1 x3 1 x; x 1;1 Hàm số liên tục 1;1 với
1;1
x ta có:
1
0 1;1
5
2
f x x
x x
Ta có: 1 2; 1 6; 20 max 20
f f f P
Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)
Từ z 1, đặt sin
cos
x t
z x yi
y t Thay vào P dùng mode đáp án D Cách 3: Hình học (Xem video live thầy)
Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 z 1 Tính giá trị
M m A 13
4 B
39
4 C 3 D
13 Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x;y Ta có: z 1 z z 1
Đặt t z1, ta có 0 z 1 z1 z 1 2 t 0; Ta có
2
2
1 1 2
2
t
(10)Suy z2 z z2 z z z z z 1 z 2x12 2x1 t2 3 Xét hàm số f t t t23 ,t 0; Bằng cách dùng đạo hàm, suy
13 13
max ;
4
f t f t M n
Chọn đáp án A
Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
4
z z Khẳng định sau đúng?
A 3
6
z B 1 z 1.
C 1 z 1. D 2
3
z Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức u v u v , ta
2
2
2 z 4 z 4 4 z z 2 z 4 0 z 1.
2 2 2
2 z z z 4 z 4 z 2z 4 0 z 1.
Vậy, z nhỏ 1, z i i z lớn 1, z i i Chọn đáp án B
Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z A B 11 5 C 5 D 5
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z 1 2i 2x1 2 y22 4 Đặt x 1 sin ;t y 2 cos ; t t 0; 2
Lúc đó: z2 1 sin t 2 2 cost2 9 4 sint8 cost 9 428 sin2 t ;
2
9 sin ; 5
z t z
max
z đạt 5 10
5
z i
Chọn đáp án A
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z Ta có 1 2 1222 2 2 5
Max
z i z
Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1i z 6 2i 10 Tìm mơđun lớn số phức z
A B C D 3
(11)Ta có:
1 10 1 10 2 2 42
1
i
i z i i z z i x y
i Đặt
2 sin ; cos ; 0;
x t y t t
Lúc đó:
2 2 2 2
2
2 sin cos 25 sin cos 25 sin ;
z t t t t t
2
25 20 sin 5; 5
z t z
max
z đạt z 3 i Chọn đáp án B
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1i z 6 2i 10 Tìm môđun lớn số phức z
Ta có 1 10 10
1
i
i z i z z i
i i
2
2 5
Max
z
Câu 14: Gọi z x yi x y , số phức thỏa mãn hai điều kiện z22 z22 26
3
2
z i đạt giá trị lớn Tính tích xy
A
xy B 13
2
xy C 16
9
xy D
2 xy Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt z x iy x y , Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x2y2 9. Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
3
18 18 sin
4
2
P z i t
Dấu xảy sin 3
4 2
t t z i
Chọn đáp án D
Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4i z2i Tìm mơđun nhỏ số phức
z i
A B C D 3
Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x;y
(12)min
2 18
z i z 3 i Chọn đáp án C
Cách 2: z 2 4i z2i z2i 2 6i z2i4i w 6 i w 4 i Trong w z 2i (quay dạng toán 1)
Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun nhỏ số phức z 1 i
A B 2 C D
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi; x;y z i x1 y1i Ta có:
2 2
1 9
z i x y
Đặt x 1 sin ; t y 2 3cos ; t t 0; 2
2 2
min
1 3sin 3cos 10 cos 2
z i t t t z i z i ,
z i
Chọn đáp án C
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có 1 2 3 1 3 1 12 3 2
Min
z i z i i z i
Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i biểu thức
2
2
M z z i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z i
A z i 2 41 B z i 3
C z i 5 D z i 41
Hướng dẫn giải
Gọi z x yi; x;y Ta có: z 3 4i 5 C : x3 2 y42 5: tâm I3; 4 R
Mặt khác:
2 2 2 2
2 :
M z z i x y x y x y d x y M
Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d C có điểm chung
; 23 23 10 13 33
2
d I d R M M M
2 2
max
4 30 5
33 41
5
3
x y x
M z i i z i
y
x y
Chọn đáp án D Câu 18: Cho số phức
,
1
m i
z m
m m i Tìm mơđun lớn z
A B C.1
(13)Hướng dẫn giải Ta có:
2 max
1
1 ;
1 1
m i m i
z z z z i m
m m i m m m
Chọn đáp án A
Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ là:
A 1 B 1 C 2 D 2
Hướng dẫn giải Chọn A
y
x 1
1
O
I
M
Cách 1: Gọi z x yi , ,x y
Ta có: z 2 2i 1 (x2) ( y2)i 1 (x2)2(y2)2 1
Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z đường tròn ( )C tâm (2; 2)
I bán kính R1
2
2
1
z i x y IM , với I2; 2 tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm
0;1 , 2; 2
N Oy I với đường tròn (C)
min 1
IM IN R
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ Ta có 2 2 1 2 1 2212 1 5 1
Min
z i z i i z i
Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z2i1 z i Tìm s ố phức z biểu diễn điểm Msao cho MA ngắn với A1, 3
A.3i B.1 3 i C.2 3 i D. 2 3i Hướng dẫn giải
Gọi M x y , điểm biểu diễn số phức z x yi x y R , Gọi E1, 2 điểm biểu diễn số phức 2 i
(14)Ta có : z2i1 z i MEMF Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF x y: 2
Để MA ngắn MAEF M M3,1z 3 i => Đáp án A.
Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i
w z i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng:
A B C D Hướng dẫn giải:
Chọn B
Gọi z x yi x y, z 2ix1 y2i
Ta có: z 1 2i 5 x1 2 y22 x1 2 y22 5
Suy tập hợp điểm M x y bi ; ểu diễn số phức z thuộc đường trịn C tâm I1; 2 bán kính R
Dễ thấy O C , N 1; 1 C Theo đề ta có:
;
M x y C điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:
1 1
w z i x yi i x y i
2 2
1 1
z i x y MN
Suy z 1 i đạt giá trị lớn MNlớn
Mà M N, C nên MNlớn MN đường kính đường trịn C I trung điểm MNM3; 3 z 3 3i z 32 3 3
Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 Tìm giá trị lớn T z i z 2 i
A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Hướng dẫn giải
Chọn B
2 1 1
T z i z i z i z i
(15)
2 2
2 2
2
2
1 1
1 1 1
1 1 1
2 2 4
T x y i x y i
x y x y
x y x y
x y
Vậy maxT4
Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i A 132 B 4 C 6 D 13 1
(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải
Cách 1: Đặt z a bi a b , , ta có z 2 3i 1 a2 b3i 1
2 2 32 2 2 32
a b a b
Đặt sin cos
a t
b t (vì
2
sin cos
t t ) Khi z 1 i a1 1b i
1 2 2
a b xét biểu thức Pa1 2 1b2 Ta có a1 2 1b2 sint3 2 cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4
sin2 cos2 13 sin 4 cos
14 sin cos
t t t t
t t P
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta 6 sint4 cost2 6242sin2tcos2t
6 sin cos 2 52 sin cos 52 13 14 13
t t t t P
Vậy z 1 i a1 2 1b2 14 13 13 1 2 13 1. Chọn A.
Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i
Ta có z 3i 1 z 3i 1 z i 3 2i 1
2
Max
z i 13
Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho số phức z w, thỏa mãn
2 ,
z i z i wiz Giá trị nhỏ biểu thức w A
2 B 2 C 2 D
3 2 Lời giải
Cách 1: Đặt za bi a b , , z 2 2ia 2 b2i z4iab4i Nên ta có 2 2 2
2 2
(16)Khi 2 2
1 1 1
wiz a bi i b ai w a b a a Dễ thấy
2
2 1 2 1 min 2.
2 2 2
w
a a a w Chọn A
Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (dạng 1)
Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN – 2017)Cho số phức z thỏa mãn z4 z4 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z
A 10 B 5 C 4 D 5 Hướng dẫn giải
Gọi z x yi , x y, Theo giả thiết, ta có z4 z4 10
4 4 10 42 42 10
x yi x yi x y x y Gọi M x y , ; F14; 0 F24; 0
Khi MF1MF2 10 nên tập hợp điểm M z đường elip E
Ta có c4; 2a10a5 b2 a2c2 9 Do đó, phương trình tắc E
2
1 25
y x
Vậy max z OA OA ' 5 minz OB OB ' 3 Chọn D.
Câu 26:Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z2i Biết số phức z x yi ,
x y, có mơđun nhỏ Tính Px2y2
A P10 B P8 C P16 D P26 Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi z x yi , x y, Ta có z 2 4i z2i x2 y4i xy2i
2 2 2
2
x y x y x2 4x 4 y28y16x2 y2 4y4
4 16
x y y x
Do z x2y2 x2 4x2 2x28x16 2x2282 Dấu " " xảy x2y2 Vậy P2222 8 Chọn B.
Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Câu 27:Tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện 1
i
z
i
A max z 1 B max z 2 C max z D max z 3 Hướng dẫn giải
Ta có 1 1 1
3
i
z iz i z z i
(17)Vì i 0 1 nên max z r1r2 1 Chọn B.
Câu 28:(THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện
1i z 1 7i Tìm max z
A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6 Hướng dẫn giải
Ta có 1 1 3
1
i
i z i i z z i
i
Vì 3 4 i0 5 nên maxz r1r2 1 3242 6 Chọn D.
Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt
z i A
iz Mệnh đề sau đúng?
A A 1 B A 1 C A 1 D A 1
(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải
Từ giả thiết, ta có 2 2
2
z i
A A iz z i A Azi z i
iz
2
2
A i
A i z Ai z
Ai Mà
2
1 2
2
A i
z A i Ai
Ai
Đặt A x yi x y , , 2x2y1i y xi
2 2
2 2 2 2
4 2 4 4
x y y x x y y x y y x y Vậy môđun A x2y2 1 Chọn A.
Câu 30: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2 8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn
1
P z z
A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải
Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta ln có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2
Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z z z2 Khi
2
1 2 2 2
1 1 2 2 1 2 2
2
1 2
2
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z đpcm
(18)Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2 8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn
1
P z z
A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải
Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2
Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z z z2 Khi
2
1 2 2 2
1 1 2 2 1 2 2
2
1 2
2
z z z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z z z
z z z z z z đpcm
Áp dụng , ta z1z2 2 z1z2 4 z1z2 4 3 1 z1z2 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta P z1 z2 2z12 z222 26 Chọn B.
Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn
22 5 1 2 3 1
z z z i z i
Tính min| |w , với số phức w z 2i A min| |
2
w B min| | 2w C min| | 1w D min| | w
Lời giải
Ta có z22z5z12 4z1 2 2i z 1 2i z 1 2i
Khi đó, giả thiết 1
1
z i
z i z i z i z i
z i z i
TH1 Với z 1 2i, ta có w z 2i 1 2i 2 2i 1 w 1 TH2 Với z 1 2i z3i1 , đặt z x yi x y , , ta có
2 3 1 2 22 1 2 32
2 x y i x y i x y x y y
Do 2 2 22
2
w z i x i i x i w x Chọn A
Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z1 3
z Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z
A 3 B C 13 D 5
(19)Ta có
2
1 1 1
a z a z z z
z z z z
2 2
2
2 2
2
1
z z z z z z z
z z z
Khi
2
4 2 4
;
2
a a a a
z z a z z z
Vậy 2 4
max ; 13
2
a a a a
z z M m a Chọn C.
Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn 1 2 i z 10 2 i
z Mệnh đề
nào sau đúng? A 3
2 z B
1
2 z 2 C z 2 D z
Lời giải
Cách Từ giả thiết, ta có 1 2 i z 10 2 i 1 2 i z 2 i 10
z z
10 10
2 2
z z i i z z i
z z
Lấy môđun hai vế , ta z 2 2 2z 12 10 z
Đặt t z , ta có t2 2 2t12 10 t25t2 510t4t22 0 t 1. t
Vậy môđun số phức z bằng 1
2
z
Cách Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết câu 26) để tìm z Cách 3. Đặt z a bi a b , c z , thay vào đẳng thức cho
2
2
10 10
1 2 2
10 10
2
a bi
Gt i c i i c i
a bi c
a b
c i c
c c
Suy 2
2
10 10
2
10 10
2 1
a a c c c c b b c c c c
nên
2
2
4
10 10
2
a b
c c
c c
Giải ta có c 1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do
(20)Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn ,
M M Số phức z(4 ) i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Bi, ết , , ,
M M N N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z4i5 A 1
2 B
2
5 C
1
2 D
4 13 Lời giải
Gọi M x y ; M x' ;y
4 ;
4 3
' ;
N x y x y
i z x y x y i
N x y x y
Dễ thấy MM'NN vng góc v' ới Ox nên để MM N N' ' hình chữ nhật
Khi 2 2
' '
' ' 5
MM NN
MN M N x y z x xi z i x x
MN Ox
Ta có 2 2 2
min
1 1
5
2 2 2
x x x z i Chọn C
Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 Tìm giá trị lớn biểu thức
2
T z i z i
A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Lời giải
Đặt z x yi x y , , ta có z1 x 1 yi x12y2
2 2 2
1 2 2
x y x x y x y x Lại có T z i z 2 i xy1i x 2 y1i
2 2 2
2 1 2 1 2 2 1 2 4 2 5
x y x y x y y x y x y Kết hợp với , ta T 2x2y2 2 x2y 2x y 2 2 x y Đặt t x y, T f t 2t2 2 t với t 1;1
Ta có
max
1
' ; ' 1
2
f t f t t f t f
t t Chọn B.
Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z1 Tính giá trị lớn biểu thức
2
T z i z i
A maxT8 2. B maxT8. C maxT4 2. D maxT4
Hướng dẫn giải Chọn C
(21)1 2
z x yi
2 2
1 2 *
x y x y x
Lại có: T z i z 2 i xy1i x2 y1i
2 2 2
2 1 2 1
x y x y
2 2 1 2 4 2 5
x y y x y x y Kết hợp với * , ta được:
2 2 2
T x y x y
Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta
12 12 2 2 2 2 6 2 2 2 4
T x y x y
Vậy maxT4
Câu 38: Cho wsin icos với
2
thỏa mãn w21 2 w Giá trị
2018
26 w
P
A.P232018. B.P 232018. C.P232018i. D.P292018. Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: w2 1 sin icos2 1 cos 2 isin 2 w21 2 cos
2
2 w sin cos 2
Từ giả thiết: w21 2 w cos
4
2
w 2 w 2 w2
2 2
i i
Vậy P232018
Câu 39: Cho số phức z1 2 i z, 2 2i số phức zthay đổi thỏa mãn z z 12 z z 2 16 Gọi Mvà mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2 m2
A 15 B 7 C 11 D 8
Lời giải
Chọn D
Gọi Mlà điểm biểu diễn z
Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 trung điểm AB
2 2 2
1 16 16
z z z z MA MB
2
2 2
2 16
2
AB
MA MB MI MI2
(22)y
x M2
M1
I O
Ta lại có : IM IO OMIM IO 1 OM3
Do : 2
max 3
z M M
1 1
z M M
2
8 M m Bài tương tự
Câu 40: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 1 i z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức 1
z z ?
A m 1 B m2 C m2 D m2 2 Lời giải
Chọn D
Đặt z1 a bi a b; , z2 b ai
1
z z a b b a i
Nên z1z2 a b 2 b a 2 2.z1 Ta lại có 2 z1 1 i z1 1 i z1
1 2
z Suy z1z2 2.z1 2 2 Dấu " " xảy
1 1 a b
Vậy mmin z1z2 2 2
Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; , thỏa điều kiện z22 z22 26 z2 5i lớn Tính T x y
A T 2 B T 2 C T 2 D T 2 Lời giải
Chọn A
Giả sử z x yi x y; ,
(23)Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C tâm gốc tọa độ O, bán kính
R
Ta có z2 5i x22y 52
Vì
2
2 9 nên điểm N2; 5 thuộc đường tròn C
Gọi M x y ; điểm thuộc C ,
2 5
z i x y MN
Suy z2 5i lớn MN lớn MN đường kính C M2; 5 Vậy z 2 5i
Câu 42: Cho z1, z2là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i 2iz, biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức: P z1z2
A.
2
P B. P C.
2
P D. P Lời giải
Chọn D.
HD: Cách 1 Ta có: 2z i 2iz 2z i 2iz2 (2z i )(2z i ) (2 iz)(2iz)
2
4 2 2
z z iz iz i iz iz i z z z z
1
1 1
z z z z z z2 1
Chú ý: a a a2 2z i (2z i )(2z i ) (2 z i )(2z i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1, z2 đường tròn tâm O bán kính R1
Gọi M z1( ), 1 M z2( )2 OM1 OM2 1
Ta có: 1 2 1 2 2 1 1 1 2
z z OM OM M M OM M
Mà 1 2 1 2
z z OM OM OM OMvới M điểm thỏa
mãn OM MM1 2 hình thoi cạnh 1OM 3P
Cách 2 Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i 2x(2y1)i 2iz 2 y xi
Khi đó: 2 2 2
2
2 (2 1) ( 2) 1
1
z
z i iz x y y x x y z
z
Sử dụng công thức z1z2 z1z22 2z12 z2 2 z1z2 3 z1z2 Chọn D.
Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z 2 i Tính giá trị tổng SM2 m2
A S82 B S34 C S68 D S36
Lời giải
y
O x
M
M
(24)Cách 1: (Phương pháp hình học)
Đặt số phức z x iy, x y, có điểm biểu diễn hình học P x y , Ta có z 1 2i x1 2 y22 4x1 2 y22 16 Vậy tập hợp điểm P đường tròn tâm I1; 2, bán kính R4 Ta có z 2 i x2 2 y12 AP, với A 2; 1
Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:
max
min
3 4
M AP AP IA R
m AP AP IA R
Vậy ta suy SM2m2 3 4 2 4 2 68 Cách 2: (Phương pháp đại số)
Công cụ bản: z1 z2 z1z2 z1 z2 , với số phức z1, z2 Áp dụng, ta có:
2 3 3 4
z i z i i z i i M
2 3 3 4
z i z i i z i i m
Vậy ta có SM2m2 3 4 2 4 2 68
Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z z z, ,1 2 thỏa z1 z2 6 z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1 2 1 2
2
P z z z z z z z z z z
A. 30 B. 36 C. 50 D. 50
Lời giải Chọn B.
Gọi A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, , từ giả thiết ta suy tam giác OAB vuông cân O tốn quy tìm giá trị nhỏ P 2MA MB MO MA MO MB Ta chứng minh toán tổng quát
Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, ta có
1
MB MC MC MA MA MB
bc ca ab
Chứng minh: dùng toán kinh điển
2 2
2 2
xyc yza zxb x MA y MB z MC
x y z
Đặt x a ;y b ;z c
MA MB MC
aMB MC bMC MA cMA MB x y z
MA MB MC
và 2
aMA bMB cMC
xyc yza zxb abc
(25)Áp dụng toán ta có P36 2, chọn B
Ta chứng minh tốn ngơn ngữ số phức.
Gọi tọa độ điểm A B C M, , , mặt phẳng phức u v w x, , , a v w , b w u ,
c u v , MA x u , MB x v , MC x w Khi bất đẳng thức tương đương
x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v
x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v Mặt khác :
x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v
Mà
x v x w x w x u x u x v
u v u w v w v u w u w v nên suy
Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
2 2
P z i z i
A B 3 C D 4
3 Lời giải
(26)Gọi điểm biểu diễn z M Khi M nằm đường tròn tâm I0; , R1 Gọi tọa độ điểm A ; , B 2; 3 đó:
2 2
P z i z i MA MB Gọi ;
2
K ta có:
2
IK IM IM IA Vậy IMK IAM hai tam giác đồng dạng Khi đó: MA 2MK
Vậy P 2MK MB
Theo bất đẳng thức tam giác: P 2MK MB 2BK Vậy Min P 2BK3
Câu 46: Với hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2 8 6i z1z2 2, tìm giá trị lớn P z1 z2
A P4 B P2 26 C P 5 D P34 2
Lời giải
Chọn B.
Vì hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2 8 6i z1z2 2 nên
1
2
1
8
2
z i z
z i z
z z
1
2
1
4
4
2
z i
z i
z z
*
Gọi A, B hai điểm biểu diễn hai số phức z1 z2 từ * suy A B, nằm đường trịn C có tâm I4; 3, bán kính R1 AB đường kính đường trịn C Như P z1 z2 OA OB
Ta có
2 2
2 2
2 52
2
OA OB AB
OI OA OB
Suy 52OA2OB2 2OA OB OA OB 2 OA2OB2 2OA OB 52 52 104
1 104 26
P z z OA OB Dấu xảy OA OB
Câu 47: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn
1 z z
A 4 B 2 C 3 D 3
x y
3
4 B
O
I
1
(27)Lời giải
Chọn A
Ta có iz 2 i 1 i z i 1 1 z i 1 1 Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1
Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2
Ta có z1 z2 22z12 z2 2 z1z22 z1z2 16 z1 z2 4 Dấu xảy
z z MNOI
Câu 48: Cho hai số phức z, thỏa mãn z1 z 3 2i ; z m i với m tham số Giá trị m để
ta ln có 2 là:
A
3
m
m B
7
m
m C 3 m7 D 3m7
Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib a b, , có biểu diễn hình học điểm M x y ;
1
z z i x 1 iy x 3 y2i x12y2 x3 2 y22
2 4
x x y 2x y 3
Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y 3 Ta có: 2 z m i 2 x m y1i 2
2 12
(28)Nên MI2 d I , 5
m 2m4 10
2 10
2 10
m m
3
m m
Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho zlà số phức thỏa mãn z 1 i Tìm giá trị lớn biểu thức
2
2
P z i z i
A.18 B 14 10 C 38 10 D 16 10 Lời giải
Chọn C
Gọi z x yi x y ; ,M x y ; điểm biểu diễn số phức z
Do z 1 i 2x1 2 y12 4 suy M thuộc đường trịn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; , E0; 2 trung điểm AB Khi
2
2
P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32 MA2MB2
2 2
2 ME AB
2 10
ME
Do E nằm ngồi đường trịn, nên MEMaxEI R 2 10PMax 38 10 Cách :
2
2
P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32=2x22y28y18
2
2 18
x y y P Suy tọa độ điểm M thỏa mãn
2
2
2 18
1
x y y P
x y
2
1
: 12 22
x y
x y P
Hệ có nghiệm d I , R P38 8 10 38 10 P38 10 38 10
PMax
(29)đổi thỏa mãn zz12 zz22 16 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2
A.15 B.7 C.11 D.8
Lời giải: Chọn D.
Cách 1:
Gọi số phức z x yi với x y,
Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường trịn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2
Ta có | |z minOMmin, | |z maxOMmax Đường thẳng OI có phương trình y0
OIcắt( )C điểm phân biệt A B, có tọa độ nghiệm hệ 2
2
0
x y x
y
(1, 0); ( 3, 0)
A B
Ta có OA OM OB nên | |z minOA,| |z maxOB
Khi 2
9
M m
Cách 2:
Gọi số phức z x yi với x y,
Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2 z 1
Ta có: z z 1 1
min
z
, z z 1
max
z
Cách 3:
Gọi số phức z x yi với x y,
Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2
Ta có OMmin OIR , OMmax OIR
min
z
,
max
z
CÂU PHÁT TRIỂN
Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức
2
2
M m
Mn
A.12 B.1
2 C.
4
3 D.8
Lời giải: Chọn C
Gọi số phức z x yi với x y, , | |z x2y2 Ta có: z 2 4i x22(y4)2 5 2
15 4( )
x y x y
(30)Do
2
2
M m
Mn
Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i |z 3 |i Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z2i Giá trị biểu thức 2
M m
A.25 B.35 C.15
2 D.20
Lời giải: Chọn B.
Gọi z x yi (với x y, ) có điểm M x y( ; ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có z 1 i z 3 2i
x 12 y 12 x 32 y 22
x 12 y 2 x 32 y 2
(1)
Số phức z2i x y2i có điểm Mx y; 2 biểu diễn z2i mặt phẳng tọa độ Đặt A(1; 3), (3; 4)B , từ (1) ta có AMBM
Mặt khác AB nên M thuộc đoạn AB Khi
max
M z i OB5 ,
2
m z i OA 10 Vậy 2
35
M m
Nhận xét:
- GTLN, GTNN câu dạng đạt đầu A B, - Một sai lầm thường gặp đánh giá
min ;
z d O AB góc OAB góc tù nên khơng tồn điểm M đoạn AB cho OM AB
Câu 53:(Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P z22 z i Khi modun số phức
wM mi
A.2 314 B. 1258 C.3 137 D.2 309 Lờigiải
Chọn B
Cách 1: Giả sử z x yi x y R , ta có z 3 4i x3 2 y42 5 Ta có P4x2y3 4x32y4P23
Ta có 4 32 42 20 3 2 42100
x y x y
Suy 10P23 10 13P33 suy M33,m13 ta w33 13 i
w 1258
Cách 2: Gọi z x yivớix y, .
(31)Lại có: P z22 z i x22y2x2y12P04x2y 3 P0, phương trình đường thẳng : 4x2y 3 P0
Ta thấy M C
Điều kiện để cắt C là: , 23 10 23 10 13 33
2
P
d I R P P
Suy ra: m13,M33và w33 13 i w 1258 Cách 3:
Gọi z x yi với x y,
Ta có Px22y2x2y12 4x2y3 suy
P x
y
Từ
2
2 2
3 5
2
P x
z i x y f x x
Ta có 2 3 4 11 10 16
P x
f x x P x
0, 1,6
f x x P Suy y0,1P1,7
Thay x y, vừa tìm vào f x ta 0, 2P1,6 3 2 0,1P1,7 4 2 5 Ta giải P33 P13 Đây tương ứng GTLN GTNN P
Vậy M33,m13 Khi đó, 1258
Câu 54:Biết số phức z x yi, x y, thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z z 4 3i biểu thức
1
P z i z i đạt giá trị nhỏ Tính Px2y A 61
10
P B 253 50
P C 41
P D 18
5
P
Lời giải Chọn A
Theo giả thiết z z 4 3i x yi x4 y3i
2 2
2
4
x y x y
2 2 8 16 6 9
x y x x y y 25
x y
Ta có P x1 2 y12 x2 2 y32
Xét điểm E1;1; F2; 3 M x y ; Khi đó, PME MF
Bài tốn trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 cho ME MF đạt giá trị nhỏ
Vì 8xE 8yE25 8 xF8yF250 nên hai điểm E F, nằm phía đường thẳng Gọi E điểm đối xứng với E qua
Đường thẳngEE qua điểm E1; 1 có VTPT 3; 4
EE
n u nên có phương trình
(32)Gọi H giao điểm EEvà Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình
8 25
x y x y 71
25 19 50
x y
suy 71; 19 25 50
H
E đối xứng với E qua H nên
117 25 44 25
E
E
x y
Ta có ME + MF = ME + MF E F
Dấu xảy Mlà giao điểm E F đường thẳng Đường thẳng E F qua điểm F2; 3 có VTPT 31;167
EE
n có phương trình
31 x2 167 y3 0 31 +167 + 439 = 0x y
Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 31 167 439
8 25
x y
x y
67 50 119
50
x y
Vậy 61
10
P x y
Câu 55: Gọi z z1, 2 nghiệm phương trình z 1 2i z 1 2i thỏa mãn z1z2 Biết w số phức thỏa mãn w 2 i 2 Tìm GTNN biểu thức P wz1 wz2
A 1 3 B 2 3 C 2 D. 6 Lời giải.
Chọn D
Giả sử z x yi x y R , ta có z 1 2i z 1 2i x0suy tập hợp điểm biểu diễn 1,
z z trục tung
Giả sử A B, điểm biểu diễn cho z z1, 2, ta có z1z2 AB Giả sử w a bi a b R , M điểm biểu diễn cho số
phứcw, ta ców 2 i 2 (a3)2(b2)2 4suy tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w đường trịn tâm I3; 2 bán kính R2
Ta có PMA MB , gọi E hình chiếu vng góc I lên trục tung, ta thấy P nhỏ E trung điểm AB suy
6
MA MB , 6
2
MinP
(33)2
2
P z i z i
A 18 B 38 10 C 18 10 D 16 10 Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi z x yi x y ,
Ta có: z 1 i 2 x yi 1 i 2x1 2 y12 4
2 2
2 2 2
x y x y x y x y (*) Theo ra:
2 2
2 2
P z i z i x yi i x yi i
2 2 2 2 2 2
2 18
x y x y x y y
Thay (*) vào P ta được:
4 12 22 12 38
P x y x y
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta
2 2 2 2 2 2
4 1 12 1 38 12 1 1 38 12 38 10 38
x y x y
Vậy Pmax 8 10 38
Câu 57: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn
1 z z
A 4 B 2 C 3 D 3
Lời giải
Chọn A
(34)Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2
Ta có z1 z2 22z12 z2 2 z1z22 z1z2 16 z1 z2 4 Dấu xảy
z z MNOI
Câu 58: Xét số phức z a bi a b, thỏa mãn z 2 3i 2 Tính P2a b
1
z i z i đạt giá trị lớn
A P1 B P 3 C P3 D P7 Lời giải
Chọn B
Gọi z x yivới x y,
Ta có: z 2 3i 2 2x2 2 y32 8 Suy ra, tập hợp điểm M x y ; biểu diễn cho số phức z hệ tọa độ Oxy đường tròn C tâm I2; 3 bán kính R
Gọi A 1; 6, B7; 2 J3; 2 là trung điểm AB
Đặt P z 1 6i z 7 2i suy PMA MB 2MA2MB2 (BĐT Bunhiacopxki) Phương trình đường trung trực của AB là:
2
x t
y t Ta có:
2
2 2
2
2
AB
MA MB MJ với J trung điểm AB Vì M chạy đường trịn , J cố định nên MJIJR Do P2 4 IJ R2AB2 nên Pmax IJ R2AB2
Dấu « = » xảy MAMB ba điểm M I J, , thẳng hàng Điều thỏa mãn nhờ
IA IB
Do đó: M C , tọa độ M nghiệm hệ:
2 2 2 2
3
2
3
2 5
x t x t x x
y t y t y y
t t
x y t t
Mặt khác :
4; 5 2 130
M P MA MB M0;1PMA MB 2 50. Vậy đểPMax thìM4; 5 Suy 2a b 3
Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 z2là số phức có mơ-đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1và z2
A 8i B 4 C 8 D 8
(35)Chọn D
Gọi z x yi x y, , M x y ; điểm biểu diễn số phức z
Theo giả thiết z2 4 i 2 x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4 Suy M C : x2 2 y42 4
Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 4 i 2 đường trịn C có tâm
2; 4
I bán kính R2
Đường OI có phương trình y2x cắt đường trịn C hai điểm 10 20 5;
5
A ,
10 20 ;
5
B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có mơđun lớn nhất, điểm B biểu diễn số phức có mơđun nhỏ
Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi (a b, b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b2 z3 z đạt giá trị lớn
A P4 B P2 C P2 D P2
Lời giải
ChọnC
Cách 1:
Từ giả thiết có a2b2 1b2 1 a2 0 với a 1; 1 z z 1 Ta có z3 z 2
2
z z z z
2
z z z 2bi2a2b22abi
2
2
a b b ab i 2 a2b22b2ab2
22 2 2
2
a b b a 2 2a21 2 1a22a12 2 4a3a2 4a2 Xét f a 4a3a2 4a2, với 1 a
12
f a a a ; f a 012a2 2a 4
1
1;1
2
1;1
(36)Suy
1;1
1 13 max
2
a f a f , đạt
1
a , b
Vậy 2
2
P a b
Cách 2:
Ta có zcosx i sinxz3 cos 3x i sin 3x Vì b0 nên sinx0, cosx 1; 1 Khi
3 2
z z cos 3x i sin 3x cosx i sinx2
cos cos 2 sin sin
x x x x i
cos cos 2 2 sin sin 2
x x x x
2 sin sin 2 cos sin 2
x x x x
2 2
4 sin sin sin sin cos sin
x x x x x x
2
4 16 sin cos sin
x x x
2 2
4 16
t t t 16t34t2 16t8 với tcosx 1;1 Đặt f t 16t34t216t8, t 1;1
48 16
f t t t
1
1;1
2
1;1
t t Bảng biến thiên:
1;1
1
max 13
2
t f t f
1 cos
t x
Khi đó:
2
1
2
a
a b
a b
Vậy 2
2
P a b
t 1
2
3
f t 0 0
f t
13
a 1
2
3
f a 0 0
f a
13
(37)Nhận xét: đổi câu hỏi thành tìm Min
Câu 61: Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn 2z i 2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức
1
P z z A
2
P B P C
2
P D P
Lời giải
Chọn D
Cách
+ Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i 2iz 2x2y1i 2yxi
2 2
2 2 2
4x 2y1 2y x 4x 4y 4y 1 4y y x
2
1
1 1
x y z z z
+ Sử dụng cơng thức: z z1, 2 ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2 Suy P
Cách
+ Biến đổi: iz2 i iz 2 z2i
Ta có 2z i z2i 2z i z2i2 z 1 z1 z2 1 + Sử dụng công thức bình phương mơ đun
2 2 2 2 2
1 2 1,
mz nz m z mnz z cos z z n z
Trong z z1, 2 góc MON với M, N điểm biểu diễn số phức z z1, 2 mặt phẳng phức
2 2
1 2 2 2
1
1 , ,
2
z z z z z z z z cos z z cos z z
Vậy P2 z1z2 1 z12 z2 22 z1 z cos z z2 1, 23P
Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:T z i z 2 i
A maxT 8 B maxT4 C maxT4 D maxT 8
Lời giải Chọn B
Đặt z x yi x y R , , ta có z1 x 1 yi (x1)2y2
12 2 2 2 1
x y x y x (*)
Lại có T z i z 2 i x(y1)i x 2 (y1)i
2 2 2 2
( 1) ( 2) ( 1)
x y x y x y y x y x y
(38)2( ) 2( ) 2(2( ) 2( ))
T x y x y x y x y
Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5z i z 1 3i 3z 1 i Tìm giá trị lớn M biểu thức: z 2 3i ?
A 10
3
M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải
Chọn C
2 2 2
5 x (y1) (x1) (y3) 3 (x1) (y1)
2 2 2
5 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)
x y x y x y
2 2 2
25 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1) x y x y x y
2 ( 1)2 20 2 5
x y z i
2 (4 2) 2 5
P z i z i i z i i
Câu 64: Cho hai số phức z, thỏa mãn z1 z 3 2i ; z m i với m tham số Giá trị m để ta ln có 2 là:
A
3
m
m B
7
m
m C 3 m7 D 3m7
Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib a b, , có biểu diễn hình học điểm M x y ;
1
z z i x 1 iy x 3 y2i x12y2 x3 2 y22
2 4
x x y 2x y 3
Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y 3 Ta có: 2 z m i 2 x m y1i 2
2 12
x m y MI2 với Im; 1 Mà ta có MId I ,
Nên MI2 d I , 5
m 2m4 10
2 10
2 10
m m
3
m m
Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn 1
3 2
z
z i Tìm giá trị lớn biểu thức P z i 2 z 4 7i
(39)Lời giải Chọn A
Gọi z x yi, x y, Ta có 1
3
z
z i z1 z3i
2 2 2
2
x y x y
2 4 6 7 0
x y x y
Lại có P z i 2z 4 7i x2 y12 2 x4 2 y72
4 8 72
x y x y
Mặt khác
2
4x8y8 2 4x8y72 5.80 4x8y8 2 4x8y7220 Suy P20
Câu 66: Cho số phức z a bi (a,b số thực) thỏa mãn z z 3 4i có mơđun nhỏ giá trị Pa b là?
A
4 B C D
Lời giải Chọn D.
Ta có:
3
a bi a bi i a2b2 a3 2 b42
6 25
a b 25
6
a b
Mô đun số phức z là:
2
z a b
2 25
6
b
b
2
100 225
36
b 15
6
Số phức
min 2
z b
2
a P3
Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z 1 i B z 2 2i C z 2 2i D 2 i
Lời giải Chọn C.
(40)
2 2 2
2 2
2
2
4 16 4
4 16
a b i a b i
a b a b
a a b b a b b
a b a b
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki
2 2 2 2 2 2 2
16 a b 1 a b z a b 8 2
z
Dấu xảy 1 2
4
a b
a b z i
a b
Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i z2i Số phức z có mơ đun bé
A.3 B 2 C. 2 D 4
Lời giải Chọn C
Đặt z x yi x y , Khi z 2 4i z2i x yi 2 4i x yi 2i
2 2 2
2
x y x y 4x4y16 0 x y 4
(41)
min
4
; 2
2
z d O
Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Giá trị lớn biểu thức P z1 z2 là:
A. 26 B. 26
2 C.9 D.
1
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2 Từ giả thiết : z1z2 5 OMON 5
5
2 OI vớiI trung điểm đoạn thẳngMN
1
z z OM ON 1 MN 1
Ta có
2 2
2
2
OM ON MN
OI
2
2
2O
2
MN I
OM ON
13
1
P z z OM ON P2 1212OM2ON226 Vậy Pmax 26
Câu 70: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P z1 z2 Khi mơ đun số phức
Mm i :
A 76 B.76 C.2 10 D.2 11
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2
Từ giả thiết : z1z2 6 OM ON 6OI 3với I trung điểm đoạn thẳngMN 2
z z OM ON 2 MN 2 Ta có
2 2
2
2
OM ON MN
OI
2
2
2O
2
MN I
OM ON
20
1
P z z OM ON P2 1212OM2ON2 40
Vậy maxP2 10M
P z z OM ON OM ON 6 Vậy minP6m
(42)Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn
i z Giá trị lớn biểu thức P 2z 1 4i z 1 5i là: A.2 B.3 C.3 D.
2
Lời giải
Chọn C.
Ta gọi M x y( ; )là điểm biểu diễn số phứcz
5
2
i z 32
x y
Suy ( ; ) (0;3);
M x y C I R
Khi đó:
2z i
P z i z
2 i z i
2MA MB , với 1; ; 1;5
2
A B
Ta có: 1;
IA
;IB 1; suy IB 2.IA
Theo định lý Stewart ta có: 5 5
2 2
MA MB MI
2
2MA MB 15
(Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ
MI MAAB
1
MA AB
1
3
MA MB MA
3MA 3MB Suy ra:
2 2
.cos ,
9 9
MI MA MB MA MB MA MB 2 cos AMB 9MA 9MB 9MA MB
2 2
2
4
9 9
MA MB AB
MA MB MA MB
MA MB
2 2
2
3MA 3MB AB
2
2MA MB
2
3
MI AB
15)
Vậy P2 MA MB 2.MAMB 22122MA2MB2 45 3
Câu 72: Cho hai số phức 1 , 2
2 2
i i
z z Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt ,
M n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức T z z z 1 z z 2 Tính modun số phức wM ni
A.2 21
3 B. 13 C.
4
3 D.4
Lời giải
Giả sử z x yi x y R Ta có , ,
2
2
3 3 1( )
3
(43)Gọi ; , 1; , 1;
2 2
K x y A B điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2 Ta tìm Max – Min TOK OA OB
Ta có A B O, , thuộc đường tròn ( )C ABO TMin2OA2 Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK KAKB OK
4
2 2.2
3
T KA R TMax
2
4 21
w
3
Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z i z 1 3i 3 z 1 i Tìm giá trị lớn M z 2 3i ? A 10
3
M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải
Chọn D
Gọi A1; , B 1; , C 0;1C trung điểm AB Suy
2 2
2 2
2 10
2
MA MB AB
MC MA MB MC
Mặt khác 5z i z 1 3i 3z 1 i 5MCMA3MB 10 MA2MB2
2
25 10 10
MC MC MC
Mà z 2 3i z i 4i z i 2 4i MC2 54 Dấu “ = “ xẩy z 2 5i
Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]
Cho số phức z thỏa mãn 2
z i z i
z i Tìm giá trị nhỏ biểu thức
P z i
A
2
P B P C D
3 Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất: z z 1 2 z z 12 2 z2 2 z12
Ta có: 2 2 12 12 2
2
z i z i z i z i z i
z i
4
4
(44)Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018]Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện
1 1
2 z i z z 2i z2 i 10 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1z2 ?
A 10 1 B 3 1 . C 101 1 . D 101 1
Lời giải Chọn B.
+) Gọi z1 a bi a b; ,
Nên
2
2
2
1 1
2 2 2
4
a
z i z z i a b b b
Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol
4 x y +) Gọi z2 a bi, a b,
Khi z2 i 10 1 a10 2 b12 1
Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn C x10 2 y12 1 tâm I10;1 bamns kính r1
x y
N I
1 M
1
z z nhỏ MN nhỏ Ta có: MN IN IMMNIM IN IM1 Nên MN nhỏ IM nhỏ
Ta có:
2
2
2
2 10 1 4 4 45
4
x x
IM x x
45
IM
Do MN3 1
Vậy z1z2 MN3 1 z1z2 min 3 1
(45)1 z z
A m2 2 B m 1 C m2 D m2
Lời giải
Chọn A
Ta có z1z2 z1iz1 1i z 1 2.z1
Đặt z1 a bi với (a b, ) theo đề ta có a1 2 b12 4(*) Ta cần tìm GTLN
2
2
m a b
Đặt ta2b2 Ta có: (*)4a22a 1 b22b 1 2(a b ) 2 t Mà a b 2 12 ( 1) 2 a2b2(**) nên
2
2t 4(a b ) 8t t212t 4 6 2 t Kết hợp với ta2b2 0 suy 0 t
Suy m 2t 12 2 2 2 Dấu "=" xảy (**) xảy
11 a b
a b Kết hợp (*) ta z1 1 i Vậy giá trị lớn m 2 2
Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 2 1 4
iz i Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz13z2
A 313 16 B 313 C 313 8 D 313 5 Lời giải
Chọn A
I2
I1 N
M
Ta có z13i5 2 2iz1 6 10i 4
Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn T1 có tâm I1 6; 10 có bán kính R14
(46)Ta thấy 2iz13z2 2iz1 3z2 MN
T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M, I1, I2, N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MNI I1 2R1R2 313 16
Câu 78: Cho hai số phức z w, thỏa mãn
1 2
z i
w i w i Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức
P z w
A. min 2
P B. Pmin 1 C. min 2
P D. min 2
2
P
Lời giải
Chọn C.
Cách :
Giả sử z a bi a b, , wx yi x y,
z i a3 2 b22 1 (1)
1 2
w i w i x1 2 y22 x2 2 y12 Suy x y 0
2 2 2 2
P z w a x b y a x b x
Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y: x Đường thẳng HI có PTTS
2
x t
y t
3 ;
M HI M t t
2 1
M C t
1
1
t t
1
2 ;
2
t M ,
2 MH
1
3 ;
2
t M ,
2 MH
Vậy min 2
(47)Cách :
z i điều cho thấy M z nằm hình trịn tâm I3; 2 bán kính
1 2
w i w i điều cho thấy N w thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng trung trực đoạn AB với A 1; , B 2;1
:
x y
(Minh hoạ hình vẽ)
O y
x
1
2
-2 -1
B
A
I M N
Δ O
y
x
1
2
-2 -1
N
M I
P z w MN
min
3 5 2
,
2
P d I R
Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1 a bi z2 c di số phức thỏa mãn:
1 4
z z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức T ac bd cd Hãy chọn khẳng định M
A.M11; 15 B. M15;17
C. M11; 12 D. Không tồn M
Lời giải Chọn A.
Ta có
2
1
10
z
z c d
2 4
5
a b c d Khi đó:
T ac bd cd a2b2c2d2c(5c)2 c25c2 5c c 2 Đặt f c( ) 2 c210c25 5 c c
Ta có
2 10
5
2 10 25
c
f c c
c c
2
2
2 10 25
2
2 10 25
c c
c
c c
5 c Bảng biến thiên:
(48)Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 13,
4
M
Dấu xảy
2 a b c d
Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn
3 z z ax
M m z
z Khẳng định sau đúng?
A.M 1; 2 B. 2;7
2
M
C. 1;5
2
M D.M2 M5
Lời giải Chọn C.
Ta có
3
3
1 1
3
z z z z z z
3
3
1 1
3
z z z
z z
z
3
3
1 1
3
z z z
z z z 1 z z z z
Mặt khác:
3
1 1
3
z z z z
z z z z
Suy ra: 1 z z
z z Đặt
1
t z
z ta được:
3
t t t2t12 0 t Vậy M2
Câu 81: Cho số phức z x yi với x y, số thực không âm thỏa mãn
1
z
z i biểu thức
2 2 1
P z z i z z z i z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M mi
A.3 B.1 C. D 2
c
2
f c
(49)Lời giải Chọn B.
Ta có
1
z
z i z3 z 1 2i x y 1
2 2 1
P z z i z z z i z i 16x y2 8xy x y( ) 16x y2 8xy Đặt txy ta có
2
4
t x y
Tính giá trị lớn nhỏ P16t28t, với 0;1
t ta Pmax 0; Pmin 1 Vậy
M mi
Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 1 , 2
2 2
z i z i
Gọi zlà số phức thỏa mãn 3z 3i Đặt M m, giá trị lớn nhỏ biểu thức
1
T z z z z z Tính mơ đun số phức wM mi A 21
3 B 13 C
4
3 D
Lời giải Chọn A.
Giả sử M A B, , biểu diễn số phức zx yi z z , ,1 2 Từ giả thiết 3z 3i 3ta có: ( )2
3
x y
NênMthuộc đường tròn tâm 0; ,
3
I R
Ta có T MO MA MB Để Tmin M trùng O A B, , nên
2
min
1
2 2
2
T OA
Để Tmaxthì OMmax (MA MB )max nên OM2R M nằm cung nhỏAB 0;
3
M Do 2
2
2
2
3 3
max
T OM MA
Vậy
2
2 2 21
w 3
M m
(50)Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:
2
max 2 ,
iz i z
w i w
Tìm giá trị nhỏ z w A.
2 B.
13
2 C.
5
2 D.
1 Lời giải
Chọn B
Gọi M N, điểm biểu diễn z w, với M x y ; Ta có iz2i2 z1 z 2 2i z1
2 2 2
2 2
x y x y x y Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ
:
x y không chứa O, kể bờ
Ta có maxw 2 ,i w suy
2 2 , 2;
2
w i NI I
w NO
Do đó, N thuộc phần chung hai hình trịn
I; 2 O; 2
Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E1; 1 Do đó, N1; 1
Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N
Ta có
2
2 4.1 13 ,
2
2
d N
Vậy 13
2
z w
Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 iz2 1 2i 4 Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz13z2
A. 313 16 B. 313 C. 313 8 D. 313 5 Lời giải
(51)Đặt 2iz1 a bi, 3 z2 c di a b c d ; ; ; , gọi A a b B c d ; , ; Có z13i5 2
2
a bi i
i a6 10b i 4
2
6 10 16
a b nên
A I có tâm I6; 10 bán kính R4 Có iz2 1 2i 4
3
c di
i i 3d c6i 12 c6 2 d32 122 nên
B J có tâm J6; 3, bán kính R 12
Có T 2iz13z2 a c b d a c 2 b d 2 AB
Do A I , B J , IJ 313 R R 16 nên ABMax R R IJ 16 313
Câu 85: Xét số phức z a bi a b,( , ) thỏa mãn z 3 2i 2 Tính a b biết biểu thức
1 2
S z i z i đạt giá trị nhỏ
A 4 B 2 C 4 D 3
Lời giải: Chọn A
Giả thiết z 3 2i 2( ) : (T a3)2 (b2)2 4
Gọi A( 1; 2), (2; 5), B M a b( ; ) điểm biểu diễn số phức z1 1 ,i z2 2 , i z3 a bi
Bài toán trở thành: Tìm M( )T cho biểu thức
S MA MB nhỏ
Ta có MA (a1)2(b2)2 a2b22a4b5
2
2 4
a b a b
2
2 ( 2) ( 2)
a b MC với C(2; 2)
O
I J A
B
M
-1 2
(52)Ta có MA2MB2(MB MC ) 2 BC dấu “=”xảy B M C, , theo thứ tự thẳng hàng
Phương trình đường thẳng BC x: 2
M giao của BC ( )T M(2; 2 3) a b 4
Câu 86: Cho số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn z1 z2 z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1
P z z z z z
A P6 2 B P3 2 C P6 2 D
2
P
Lời giải Chọn C
6 6
6 2
600 600
M '
A '
A
O B
M
Chọn A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, ,
Dựa vào điều kiện z1 z2 z1z2 6 OA OB 6, AB6 Suy ta có tam giác OAB vng cân O
Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: B, 60 0 :
Q A A
M M
Do tam giác BMM AMA M , BM MM
Suy P z z z 1 z z 2 OM AM BM OM MM A M OA Dấu " " xảy O M M A, , , thẳng hàng
Khi tam giác OBA có OB6, BA BA6 OBA 1050 Từ suy OA OB2BA22OB BA .cos1050 6 2 Vậy minP6 2
(53)A
3
m
m B
7
m
m C 3 m7 D 3m7
Lời giải Chọn B.
Đặt z a ib a b, , có biểu diễn hình học điểm M x y ;
1
z z i x 1 iy x 3 y2i x12y2 x3 2 y22
2 4
x x y 2x y 3
Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y 3 Ta có: 2 z m i 2 x m y1i 2
2 12
x m y MI2 với Im; 1 Mà ta có MId I ,
Nên MI2 d I , 5
m 2m4 10
2 10
2 10
m m
3
m m
Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn 1
3
z
z i Tìm giá trị lớn biểu thức P z i 2 z 4 7i
A. 20 B.10 C. 12 D 4
Lời giải Chọn A
Gọi z x yi, x y, Ta có 1
3 2
z
z i z1 z3i
2 2 2
2
x y x y
2
4
x y x y
Lại có P z i 2z 4 7i x2 y12 2 x4 2 y72
4 8 72
x y x y