1. Trang chủ
  2. » Ôn tập Toán học

Bài toán min - max số phức

53 6 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 53
Dung lượng 1,2 MB

Nội dung

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.. Xem hướng dẫn trên lớp..[r]

(1)

BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC

Kỹ năng:

Phương pháp đại số Phương pháp hình học Phương pháp bđt modun Phương pháp casio

Một số tính chất cần nhớ

1. Mơđun số phức:

 Số phức z a biđược biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM 

được gọi mơđun số phức z Kí hiệu 2 2

z = a + bi = a + b  Tính chất

za2b2  zzOM  z 0, z , z 0z0  'z zz z '  , ' 0

'  '  z z

z

z zzz'  z z '  zz'  kzk z k , 

 Chú ý: z2  a2b22abi  (a2b2 2) 4a b2 a2b2  z2  z2 z z Lưu ý:

z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1 kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1 kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1kz k2 0  z1z2  z1  z d2 ấu xảy z1kz k2 0  z1z22  z1z2 2z12  z2 2

z2  z zz2  z2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M axby c 0 (1)

    

z a bi z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB vớiA a b B c d  ,  , , 

x a  2  y b 2 R ho2 ặc

  

z a bi R

Đường trịn tâm I a b , bán kính  ;  R

  2 2

   

(2)

   z a bi R

  2 2

2     

r x a y b R hoặc

   

r z a bi R

Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I a b , bán kính l ;  ần lượt

, r R

 

2

2

   

 

  



y ax bx c c x ay by c

Parabol

   

 

2

2 1

 

 

x a y c

b d

1 2

     

z a b i z a b i a

 1 Elip

 2 Elip 2aAB A a b,  1, 1 ,B a b 2, 2 Đoạn AB nếu2aAB

 2  2

2

 

 

x a y c

b d

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm Min

z Khi ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A a; b  

2

0

1

2

2 

  

  

   

Min

z z a b

a b

z i

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm 

z Ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với

   

A a; b ,B c;d

  

   

2 2

2

,

2

  

 

  

Min

a b c d z d O AB

a c b d

Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di  Khi ta biến đổi

          

z a bi z c di z a bi z c di

(3)

   

       a bi   c di      

iz a bi iz c di z z z b ai z d ci

i i

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R 0 z z  0 R Tìm

Max Min

z , z Ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z đường trịn tâm I a; b  bán kính R 

2

0

2

0

       

 

      

 

Max

Min

z OI R a b R z R

z OI R a b R z R

Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

i i

 

      (Chia hai vế cho i )

z b R

   

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R(Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

c di z a bi R z a bi R 2R 2

c di c di c d

 

       

  

Hay viết gọn 0 1

0

z R

z z z R z

z z

     (Chia hai vế cho z0 ) Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip

TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi ta có  Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z Elip:

2

2 2

y x

1 a a c 

2

 

 

 

 

Max Min

z a

z a c

TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z z 1  z z 2 2a Thỏa mãn 2a z1z2

Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ) Ta có

(4)

Đặt

2 2

z z 2c

b a c

        

Nếu

0

z z

z

2

  Max

Min P a P b     

(dạng tắc)

Nếu

 

1

0

0

z z

z a

2

z z k z z

           Max Min z z

P z a

2

z z

P z a

2                Nếu  

0

z z

z a

2

z z k z z

           Max z z

P z a

2

  

Nếu z0z1  z0z2 1 2

Min

z z

P z b

2

  

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Dạng 1: Sử dụng tính chất modun – bđt đại số

Phương pháp : Xem hướng dẫn lớp Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học Xem hướng dẫn lớp

Dạng 3: Tả phí lù

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong số phức thỏa mãn điều kiện z3iz 2 i Tìm s ố phức có mơđun nhỏ nhất?

A z 1 2i B 5   

z i C

5

 

z i D z  1 2i Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Phương pháp tự luận Giả sử z x yi x y , 

       2   2 2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4 2

y  x  y  xy  xy  xy

 

2

2 2 2

2 5

5 5

 

             

 

z x y y y y y y

Suy

5 

z

5

   

(5)

Vậy 5

 

z i

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm Giả sử z x yix y, 

       2   2 2

3 3

                 

z i z i x y i x y i x y x y

6 4

y  x  y  xy  xy 

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z3iz 2 i đường thẳng : 2  1

d x y

Phương án A: z 1 2i có điểm biểu diễn 1; 2 d nên loại A

Phương án B:

5   

z i có điểm biểu diễn 2;

5

 

 

 

  d nên lo ại B Phương án D: z  1 2i có điểm biểu diễn 1; 2d nên loại B

Phương án C:

5

 

z i có điểm biểu diễn 1;

5

 

 

 

  d

(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng ta tiếp tục so sánh modun, nên thay z vào dữ kiện ban đầu không nên biến đổi)

Cách 3: Tính nhanh

Quỹ tích điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có phương trình :x2y 1

Vậy  

min 2

1 5

,

5

   

z d O

Cách 4: Công thức tính nhanh

BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z Tìm zmin ?

2

0

1

2

2 

  

  

   

Min

z z a b

a b

z i

BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm  z ?

   

2 2

2

2

  

  

Min

a b c d z

a c b d

Câu 2: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức z thỏa mãn z3 z3 8 Gọi M, m lần lượt giá trị lớn nhỏ z Khi M m

A 4 B 4 C 7 D 4

Hướng dẫn giải Chọn B

Cách : Đại số

(6)

Ta có 8 z3  z3  z  3 z  2zz 4 Do Mmax z 4

z3  z3 8 x 3 yix 3 yi 8 x32y2  x32y2 8 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có

 2  2  2  2  2

8 1. 3  1 3   1  3   3  

 

 

x y x y x y x y

 2   2 

8 2 18 2 18 64

  xy   xy  

2 2

7 7

xy   xy   z  Do Mmin z

Vậy M m  4

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z elip

   

1

2

2 2

3; , 0,

1

16

4

  

 

 

     

 

      

 

F F

y x

a

b a c

Do 4

7

  

   

  

Max Min

z a

M m

z b

Cách 3: Tổng quát

Cho số phức z thỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta ln có    Tập hợp điểm biểu diễn z Elip

2

2  2 1 y x

a a c

2

 

 

 

 

Max Min

z a

z a c

Câu 3: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn

  z i

A. 13 2 B.4 C.6 D. 13 1

Hướng dẫn giải Chọn D

Cách 1: Gọi z x yi ta có z 2 3i x yi 2 3i  xy3i

Theo giả thiết x2 2  y32 1 nên điểm M biểu diễn cho số phức z nằm đường trịn tâm I2; 3 bán kính R1

Ta có z  1 i x yi   1 i x 1 1y i  x1 2  y12 Gọi M x y  ;  H1;1    

2

1

   

HM x y

M1 I

H

(7)

Do M chạy đường tròn, H cố định nên MH lớn M giao HI với đường trịn

Phương trình :

3    

  

x t

HI

y t, giao HI đường tròn ứng với t thỏa mãn:

2

9

13

    

t t t nên ; , ;

13 13 13 13

   

   

   

   

M M

Tính độ dài MH ta lấy kết HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn w  z 1 i

Ta có z 2 3i  1 z 2 3i  1 z 1 i 3 2i  1 w 2  i 1 (Đường tròn tâm

3, ,  1

I R )

Vậy w    3222   1 13

Max OI R

Lưu ý: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  R0, ta có quỹ tích điểm biểu diễn số phức zlà đường tròn I a b , , bkR )

2

2

     

 

    

 

Max

Min

z OI R a b R

z OI R a b R

Ngồi ta ln có cơng thức biến đổi z a bi   z a bi 

Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

 

z i A

iz Mệnh đề sau đúng?

A. A 1 B. A 1 C. A 1 D. A 1

Hướng dẫn giải Chọn A.

Cách 1: Đặt Có a a bi a b  , , a2b21 (do z 1)

   

 

2

2 2

2

2

2 2

   

  

    

a b i a b

z i A

iz b ai b a

Ta chứng minh  

 

2

2 2

4

1

 

 

a b

b a

Thật ta có  

     

2

2

2 2

2 2

4

1 2

2

 

         

 

a b

a b b a a b

(8)

Chọn

1

2

1

1 2 34

1

2 17

    

 

z

z i

A A

iz

z

Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức A 15i z

A 5 B 4 C 6 D 8

Hướng dẫn giải Cách 1: Ta có: A 15i  1 5i  1 6

z z z Khi z i A6 Chọn đáp án C

Cách 2: A 15iz5iz5i

z z

Theo  1 5 5  1 5  52  1 6

Max

z z i i z i

Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn Mmax giá trị nhỏ Mmin biểu thức Mz2 z 1 z31

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2 C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Hướng dẫn giải

Ta có: Mz2 z  1 z3 1 5, z 1 M5Mmax 5 Mặt khác:

3 3 3

3

1 1 1

1 1,

2 2

1

     

      

z z z z z

M z

z

min

1 1

     

z M M

Chọn đáp án A

Câu 7: Cho số phức z thỏa z  Tìm tích giá trị lớn nhỏ biểu thức Pz iz A.3

4 B.1 C.2 D

2 Hướng dẫn giải

Ta có 1 | |   i    P

z z Mặt khác:

1

1

| |  i   

z z

Vậy, giá trị nhỏ P là1

2, xảy z 2 ; i giá trị lớn P

2 xảy

z i

Chọn đáp án A

(9)

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y z 2i xy2i Ta có:

  2 2

1

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2

         

2 2

2 sin 3cos 26 sin cos 26 17 sin ;

zi   t    t   tt   t   

max

26 17 26 17 26 17 17

   zi    zi    

Chọn đáp án A

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun lớn số phức z2 i Ta có  1 3  2  1 3  1242 3 3  17

Max

z i z i i z (đáp án A)

Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn biểu thức P 1z 3 1z

A 15 B C 20 D 20

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z  1 x2y2  1 y2  1 x2   x  1;1  Ta có: P 1z 3 1z  1x2y2 3 1x2y2  2 1 x3 1 x

Xét hàm số f x  1 x3 1 x; x  1;1  Hàm số liên tục  1;1 với

 1;1

 

x ta có:  

     

1

0 1;1

5

2

        

 

f x x

x x

Ta có:  1 2;  1 6; 20 max 20

 

      

 

f f f P

Chọn đáp án D Cách 2: (Casio)

Từ z 1, đặt sin

cos  

   

 

x t

z x yi

y t Thay vào P dùng mode đáp án D Cách 3: Hình học (Xem video live thầy)

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Pz1 z2  z 1 Tính giá trị

M m A 13

4 B

39

4 C 3 D

13 Hướng dẫn giải

Gọi z x yi; x;y Ta có: z  1 z z 1

Đặt tz1, ta có 0 z  1 z1 z  1 2  t 0;  Ta có   

2

2

1 1 2

2 

          t

(10)

Suy z2 zz2 z z zz z 1 z  2x12  2x1  t2 3 Xét hàm số f t  t t23 ,t 0;  Bằng cách dùng đạo hàm, suy

  13   13

max ;

4

   

f t f t M n

Chọn đáp án A

Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

4  

z z Khẳng định sau đúng?

A 3

6

 

z  B 1  z  1.

C 1  z  1. D 2

3

 

zHướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức uvu v , ta

2

2

2 z   4 z 4   4 zz 2 z  4 0 z  1.

2 2 2

2 zzz 4  z 4 z 2z  4 0 z  1.

Vậy, z nhỏ 1,  z  i i z lớn 1,  z i iChọn đáp án B

Câu 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z A  B 11 5 C 5 D 5

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y Ta có: z 1 2i 2x1 2 y22 4 Đặt x 1 sin ;t y  2 cos ; t t 0; 2

Lúc đó: z2 1 sin t 2  2 cost2  9 4 sint8 cost 9 428 sin2 t  ;  

 

2

9 sin  ; 5

         

 

 

z t z

max

z   đạt 5 10

5

  

 

z i

Chọn đáp án A

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Tìm mơđun lớn số phức z Ta có  1 2  1222 2 2  5

Max

z i z

Câu 13: Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm mơđun lớn số phức z

A B C D 3

(11)

Ta có:

1  10 1  10  2 2 42

1  

                

i

i z i i z z i x y

i Đặt

2 sin ; cos ; 0;

      

x t y t t

Lúc đó:

  2 2     2 2    

2

2 sin cos 25 sin cos 25 sin ;

             

z t t t t t

 

2

25 20 sin  5; 5

      

 

z t z

max

z  đạt z 3 iChọn đáp án B

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn 1i z  6 2i  10 Tìm môđun lớn số phức z

Ta có 1  10 10

1

 

          

 

i

i z i z z i

i i

2

2 5

    

Max

z

Câu 14: Gọi z x yi x y ,  số phức thỏa mãn hai điều kiện z22 z22 26

3

2

 

z i đạt giá trị lớn Tính tích xy

A 

xy B 13

2 

xy C 16

9 

xy D

2  xy Hướng dẫn giải

Cách 1: Đặt z x iy x y ,  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta x2y2 9. Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

3

18 18 sin

4

2

  

       

 

P z i t

Dấu xảy sin 3

4 2

   

         

 

tt z i

Chọn đáp án D

Câu 15: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z 2 4iz2i Tìm mơđun nhỏ số phức

z i

A B C D 3

Hướng dẫn giải Cách 1: Gọi z x yi; x;y

(12)

min

2 18

zi   z 3 iChọn đáp án C

Cách 2: z 2 4iz2i  z2i 2 6i  z2i4i  w 6  i  w 4 i Trong w z 2i (quay dạng toán 1)

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm mơđun nhỏ số phức z 1 i

A B 2 C D

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi; x;y   z ix1  y1i Ta có:

  2 2

1 9

       

z i x y

Đặt x 1 sin ; t y  2 3cos ; t t 0; 2

   

2 2

min

1 3sin 3cos 10 cos 2

z it    t   t  zi   z i  ,

 

z i

Chọn đáp án C

Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)

Ta có  1 2 3   1   3  1  12 3 2

Min

z i z i i z i

Câu 17: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4i  biểu thức

2

2

   

M z z i đạt giá trị lớn Tính mơđun số phức z i

A z i 2 41 B z i 3

C z i 5 D z i  41

Hướng dẫn giải

Gọi z x yi; x;y Ta có: z 3 4i  5  C : x3 2 y42 5: tâm I3; 4 R

Mặt khác:

     

2 2 2 2

2   :

                 

 

 

M z z i x y x y x y d x y M

Do số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên d  C có điểm chung

 ;  23 23 10 13 33

2 

d I dRM   M   M

  2 2

max

4 30 5

33 41

5

3

     

          

 

    

 

x y x

M z i i z i

y

x y

Chọn đáp án D Câu 18: Cho số phức

 ,

1

 

 

  

m i

z m

m m i Tìm mơđun lớn z

A B C.1

(13)

Hướng dẫn giải Ta có:

  2 max

1

1 ;

1 1

 

          

    

m i m i

z z z z i m

m m i m m m

Chọn đáp án A

Câu 19: (NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ là:

A 1 B 1 C 2 D 2

Hướng dẫn giải Chọn A

y

x 1

1

O

I

M

Cách 1: Gọi z x yi , ,x y

Ta có: z 2 2i  1 (x2) ( y2)i  1 (x2)2(y2)2 1

Tập hợp điểm mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z đường tròn ( )C tâm (2; 2)

I bán kính R1

 2

2

1

    

z i x y IM , với I2; 2 tâm đường tròn, M điểm chạy đường tròn Khoảng cách ngắn M giao điểm đường thẳng nối hai điểm

0;1 , 2; 2

N Oy I với đường tròn (C)

min    1

IM IN R

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 2i 1 Số phức z i có mơđun nhỏ Ta có  2 2  1      2 1   2212 1 5 1

Min

z i z i i z i

Câu 20: Trong mặt phẳng phức Oxy , số phức z thỏa z2i1  z i Tìm s ố phức z biểu diễn điểm Msao cho MA ngắn với A1, 3

A.3i B.1 3 i C.2 3 i D. 2 3i Hướng dẫn giải

Gọi M x y ,  điểm biểu diễn số phức z x yi x y R  ,   Gọi E1, 2  điểm biểu diễn số phức 2 i

(14)

Ta có : z2i1  z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trục EF x y:   2

Để MA ngắn MAEF MM3,1z 3 i => Đáp án A.

Câu 21: ( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện : z 1 2i

  

w z i có mơđun lớn Số phức z có mơđun bằng:

A B C D Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi z x yix y,    z 2ix1  y2i

Ta có: z 1 2i  5 x1 2  y22  x1 2 y22 5

Suy tập hợp điểm M x y bi ;  ểu diễn số phức z thuộc đường trịn  C tâm I1; 2  bán kính R

Dễ thấy O C , N 1; 1   C Theo đề ta có:

 ;   

M x y C điểm biểu diễn cho số phức z thỏa mãn:

   

1 1

          

w z i x yi i x y i

  2 2

1 1

       



z i x y MN

Suy z 1 i đạt giá trị lớn MNlớn

M N,  C nên MNlớn MN đường kính đường trịn  C I trung điểm MNM3; 3 z 3 3iz  32  3 3

Câu 22: (CHU VĂN AN – HN) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  Tìm giá trị lớn Tz i  z 2 i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Hướng dẫn giải

Chọn B

       

2 1 1

            

T z i z i z i z i

(15)

       

       

         

 

2 2

2 2

2

2

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 4

       

       

        

   

T x y i x y i

x y x y

x y x y

x y

Vậy maxT4

Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i A 132 B 4 C 6 D 13 1

(THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN) Lời giải

Cách 1: Đặt z a bi a b , , ta có z 2 3i  1 a2  b3i 1

 2 2 32  2 2 32  

a  b   a  b  

Đặt sin cos    

  

a t

b t (vì  

2

sin cos

  tt ) Khi z  1 ia1  1b i

 1 2 2

a  b  xét biểu thức Pa1 2 1b2 Ta có a1 2  1b2 sint3 2 cost22 sin2t6 sint 9 cos2t4 cost4

sin2 cos2  13 sin 4 cos

14 sin cos

    

   

t t t t

t t P

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta 6 sint4 cost2 6242sin2tcos2t

6 sin cos 2 52 sin cos 52 13 14 13

tt   tt  P 

Vậy z  1 ia1 2 1b2  14 13   13 1 2  13 1. Chọn A.

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn z 1 i

Ta có z 3i   1 z 3i   1 z i   3 2i 1

2

Max

z i 13

       

Câu 24: (THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho số phức z w, thỏa mãn

2 ,

z  izi wiz Giá trị nhỏ biểu thức w A

2 B 2 C 2 D

3 2 Lời giải

Cách 1: Đặt za bi a b  , , z 2 2ia 2 b2i z4iab4i Nên ta có  2  2  2

2 2

(16)

Khi    2  2

1 1 1

wiz  a bi i    b aiwab  aa Dễ thấy  

2

2 1 2 1 min 2.

2 2 2

 

           

  w

a a a w Chọn A

Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (dạng 1)

Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN – 2017)Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z

A 10 B 5 C 4 D 5 Hướng dẫn giải

Gọi z x yi , x y,  Theo giả thiết, ta có z4  z4 10

 4  4 10  42  42 10  

x yix yi   x yx y   Gọi M x y ,  ;  F14; 0 F24; 0

Khi   MF1MF2 10 nên tập hợp điểm M z  đường elip  E

Ta có c4; 2a10a5 b2 a2c2 9 Do đó, phương trình tắc  E

2

1 25 

y x

Vậy max zOA OA ' 5 minzOB OB ' 3 Chọn D.

Câu 26:Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4iz2i Biết số phức z x yi ,

x y,  có mơđun nhỏ Tính Px2y2

A P10 B P8 C P16 D P26 Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi z x yi , x y,  Ta có z 2 4iz2i  x2  y4ixy2i

  2 2  2

2

x  y  xy x2 4x 4 y28y16x2 y2 4y4

4 16

xy  y x

Do zx2y2  x2 4x2  2x28x16  2x2282 Dấu " " xảy x2y2 Vậy P2222 8 Chọn B.

Cách 2: Chuyển phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Câu 27:Tìm giá trị lớn z biết z thỏa mãn điều kiện 1

 

 

i

z

i

A max z 1 B max z 2 C max zD max z 3 Hướng dẫn giải

Ta có 1 1 1  

3  

             

 

i

z iz i z z i

(17)

Vì  i 0 1 nên max zr1r2   1 Chọn B.

Câu 28:(THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong số phức z thỏa mãn điều kiện

1i z  1 7i  Tìm max z

A max z 4 B max z 3 C max z 7 D max z 6 Hướng dẫn giải

Ta có 1  1 3 

1 

           

i

i z i i z z i

i

Vì 3 4 i0 5 nên maxzr1r2  1 3242 6 Chọn D.

Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt

 

z i A

iz Mệnh đề sau đúng?

A A 1 B A 1 C A 1 D A 1

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Từ giả thiết, ta có 2  2

2 

        

z i

A A iz z i A Azi z i

iz

 

2

2 

     

A i

A i z Ai z

Ai Mà  

2

1 2

2 

       

A i

z A i Ai

Ai

Đặt A x yi x y   , ,    2x2y1i    y xi

 2  2

2 2 2 2

4 2 4 4

xy  y xxyy xyy xy  Vậy môđun Ax2y2 1 Chọn A.

Câu 30: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta ln có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2  

Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z zz2 Khi

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2

2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z đpcm

(18)

Câu 31: Với hai số phức z1 z2 thỏa mãn z1z2  8 6i z1z2 2 Tìm giá trị lớn

1

 

P z z

A P 5 B P2 26 C P4 D P34 2. (THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4) Lời giải

Bổ đề. Cho hai số phức z1 z2, ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2  

Chứng minh. Sử dụng công thức z1z2 z1z2z1z2 z zz2 Khi

     

   

2

1 2 2 2

1 1 2 2 1 2 2

2

1 2

2

        

       

    

z z z z z z z z z z z z

z z z z z z z z z z z z z z z z

z z z z z z đpcm

Áp dụng   , ta z1z2 2 z1z2 4 z1z2 4 3  1 z1z2 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta Pz1  z2  2z12 z222 26 Chọn B.

Câu 32: (THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức z thỏa mãn

  

22 5   1 2 3 1

z z z i z i

Tính min| |w , với số phức w  z 2i A min| |

2 

w B min| | 2wC min| | 1wD min| |  w

Lời giải

Ta có z22z5z12 4z1  2 2i z 1 2i z  1 2i

Khi đó, giả thiết      1

1

  

           

    



z i

z i z i z i z i

z i z i

TH1 Với z 1 2i, ta có w  z 2i 1 2i 2 2i  1 w 1 TH2 Với z 1 2iz3i1   , đặt z x yi x y , , ta có

   2  3  1 2 22  1 2 32

2   x  yix  yix  y  x  y y 

Do 2 2  22

2

              

w z i x i i x i w x Chọn A

Câu 33: (TOÁN HỌC & TUỔI TRẺ LẦN 8)Cho số phức z thỏa mãn z1 3

z Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ z

A 3 B C 13 D 5

(19)

Ta có

2

1  1  1

          

   

a z a z z z

z z z z

 2  2

2

2 2

2

1

   

zz z   z z z z

z z z

Khi    

2

4 2 4

;

2                     

a a a a

z z a z z z

Vậy 2 4

max ; 13

2

  

 

a aa a     

z z M m a Chọn C.

Câu 34: (THPT NHÂN CHÍNH - HÀ NỘI)Xét số phức z thỏa mãn 1 2 i z  10  2 i

z Mệnh đề

nào sau đúng? A 3

2 z B

1

2 z 2 C z 2 D z

Lời giải

Cách Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10  2 i 1 2 i z   2 i 10

z z

   

10 10

2 2

zz i  iz   zi 

z z

Lấy môđun hai vế   , ta    z 2 2  2z 12  10 z

Đặt tz , ta có t2 2 2t12  10 t25t2 510t4t22 0  t 1. t

Vậy môđun số phức z bằng 1

2

  z

Cách Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết câu 26) để tìm z Cách 3. Đặt z a bi a b ,  cz , thay vào đẳng thức cho

     2

2

10 10

1 2 2

10 10

2

                          a bi

Gt i c i i c i

a bi c

a b

c i c

c c

Suy 2

2

10 10

2

10 10

2 1

                        a a c c c c b b c c c c

nên      

2

2

4

10 10

2 

    a b

c c

c c

Giải ta có c 1 mà c0 nên c1 hay z 1 Do

(20)

Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn , 

M M Số phức z(4 ) i số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Bi,  ết , , , 

M M N N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z4i5 A 1

2 B

2

5 C

1

2 D

4 13 Lời giải

Gọi M x y ; M x' ;y       

 

4 ;

4 3

' ;

  

      

  

 

N x y x y

i z x y x y i

N x y x y

Dễ thấy MM'NN vng góc v' ới Ox nên để MM N N' ' hình chữ nhật

Khi   2 2

' '

' ' 5

 

             

 

 

MM NN

MN M N x y z x xi z i x x

MN Ox

Ta có   2 2  2

min

1 1

5

2 2 2

          

x x x z i Chọn C

Câu 36: (THPT CHU VĂN AN - HÀ NỘI)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1  Tìm giá trị lớn biểu thức

2

    

T z i z i

A maxT8 B maxT4 C maxT4 D maxT8 Lời giải

Đặt z x yi x y , , ta có z1   x 1 yi   x12y2 

 2 2 2  

1 2 2

x y  xx y  xyx  Lại có Tz i  z  2 i xy1ix 2 y1i

 2   2 2

2 1 2 1 2 2 1 2 4 2 5

xy  x  y  xyy  xyxy Kết hợp với   , ta T  2x2y2 2 x2y  2x y 2 2 x y   Đặt t x y, Tf t  2t2 2 t với t  1;1 

Ta có        

max

1

' ; ' 1

2

       

 

f t f t t f t f

t t Chọn B.

Câu 37: (ĐHNT HN) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện z1  Tính giá trị lớn biểu thức

2

    

T z i z i

A maxT8 2. B maxT8. C maxT4 2. D maxT4

Hướng dẫn giải Chọn C

(21)

1 2

     

z x yi

 2 2  

1 2 *

x y  xyx

Lại có: Tz i  z  2 i xy1ix2 y1i

 2   2 2

2 1 2 1

xy  x  y

2 2 1 2 4 2 5

xyy  xyxy Kết hợp với  * , ta được:

2 2 2

     

T x y x y

Áp dụng bất đẳng thức Bunhacopxki ta

12 12 2 2 2 2 6 2 2 2 4

         

 

T x y x y

Vậy maxT4

Câu 38: Cho wsin icos với

2 

   thỏa mãn w21 2 w Giá trị

2018

26 w

 

  

 

P

A.P232018. B.P 232018. C.P232018i. D.P292018. Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: w2 1 sin icos2  1 cos 2 isin 2  w21  2 cos  

2

2 w  sin  cos  2

Từ giả thiết: w21 2 w cos

4       

2    

w 2 w 2 w2

2 2

  i   i  

Vậy P232018

Câu 39: Cho số phức z1  2 i z, 2 2i số phức zthay đổi thỏa mãn z z 12 z z 2 16 Gọi Mmlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2 m2

A 15 B 7 C 11 D 8

Lời giải

Chọn D

Gọi Mlà điểm biểu diễn z

Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 trung điểm AB

2 2 2

1 16 16

      

z z z z MA MB

2

2 2

2 16

2

  AB

MA MB MIMI2

(22)

y

x M2

M1

I O

Ta lại có : IM IO OMIM IO  1 OM3

Do : 2

max 3 

z M M

1  1 

z M M

2

8 MmBài tương tự

Câu 40: Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  1 i z2 iz1 Tìm giá trị nhỏ m biểu thức 1

z z ?

A m 1 B m2 C m2 D m2 2 Lời giải

Chọn D

Đặt z1  a bi a b; ,  z2   b ai

   

1

zza b  b a i

Nên z1z2  a b  2 b a 2  2.z1 Ta lại có 2 z1  1 i z1   1 i z1 

1 2

z   Suy z1z2  2.z1 2 2 Dấu " " xảy

1 1 a b

Vậy mmin z1z2 2 2

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,  thỏa điều kiện z22  z22 26 z2 5i lớn Tính T x y

A T  2 B T  2 C T   2 D T 2 Lời giải

Chọn A

Giả sử z x yi x y; , 

(23)

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn  C tâm gốc tọa độ O, bán kính

R

Ta có z2 5i  x22y 52

Vì  

2

2  9 nên điểm N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y ;  điểm thuộc  C ,      

2 5

      

z i x y MN

Suy z2 5i lớn MN lớn MN đường kính  CM2; 5 Vậy z  2 5i

Câu 42: Cho z1, z2là hai số phức thỏa mãn phương trình 2z i  2iz, biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức: Pz1z2

A.

2 

P B. PC.

2 

P D. PLời giải

Chọn D.

HD: Cách 1 Ta có: 2z i  2iz  2z i  2iz2 (2z i )(2z i ) (2 iz)(2iz)

2

4 2 2

z ziziz i   iziz i z z  z z

1

1 1

z z  z   z   zz2 1

Chú ý: a aa2  2z i (2z i )(2z i ) (2 z i )(2z i ) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z1, z2 đường tròn tâm O bán kính R1

Gọi M z1( ), 1 M z2( )2 OM1 OM2 1

Ta có: 1 2  1 2  2 1   1 1 2   

z z OM OM M M OM M

Mà 1 2  1 2     

z z OM OM OM OMvới M điểm thỏa

mãn OM MM1 2 hình thoi cạnh 1OM 3P

Cách 2 Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i 2x(2y1)i 2iz  2 y xi

Khi đó: 2 2 2

2

2 (2 1) ( 2) 1

1

 

               

   z

z i iz x y y x x y z

z

Sử dụng công thức z1z2  z1z22 2z12  z2 2 z1z2 3 z1z2  Chọn D.

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z 2 i Tính giá trị tổng SM2 m2

A S82 B S34 C S68 D S36

Lời giải

y

O x

M

M

(24)

Cách 1: (Phương pháp hình học)

Đặt số phức z x iy, x y,  có điểm biểu diễn hình học P x y ,  Ta có z 1 2i  x1 2 y22 4x1 2 y22 16 Vậy tập hợp điểm P đường tròn tâm I1; 2, bán kính R4 Ta có z  2 ix2 2 y12 AP, với A 2; 1

Vậy từ hình vẽ ta nhận thấy:

max

min

3 4

      

 

     

 

M AP AP IA R

m AP AP IA R

Vậy ta suy SM2m2 3 4  2 4 2 68 Cách 2: (Phương pháp đại số)

Công cụ bản: z1  z2  z1z2  z1  z2 , với số phức z1, z2 Áp dụng, ta có:

   

2 3 3 4

                

z i z i i z i i M

   

2 3 3 4

                

z i z i i z i i m

Vậy ta có SM2m2 3 4  2 4 2 68

Câu 44: [Phạm Minh Tuấn – Vted 15] Cho ba số phức z z z, ,1 2 thỏa z1  z2 6 z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

 1 2  1  2

2

      

P z z z z z z z z z z

A. 30 B. 36 C. 50 D. 50

Lời giải Chọn B.

Gọi A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, , từ giả thiết ta suy tam giác OAB vuông cân O tốn quy tìm giá trị nhỏ P 2MA MB MO MA MO MB   Ta chứng minh toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, ta có

 

1

   

MB MC MC MA MA MB

bc ca ab

Chứng minh: dùng toán kinh điển  

2 2

2 2

     

  xyc yza zxb x MA y MB z MC

x y z

Đặt xa ;yb ;zc

MA MB MC

 

   aMB MC bMC MA cMA MB x y z

MA MB MC

và 2

 

   aMA bMB cMC

xyc yza zxb abc

(25)

Áp dụng toán ta có P36 2, chọn B

Ta chứng minh tốn   ngơn ngữ số phức.

Gọi tọa độ điểm A B C M, , , mặt phẳng phức u v w x, , , av w , bw u ,  

c u v , MAx u , MBx v , MCx w Khi bất đẳng thức   tương đương

     

  

     

x v x w x w x u x u x v u v u w v w v u w u w v

  

  

  

  

  

  

     

   

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v Mặt khác :

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

           

    

           

x v x w x w x u x u x v x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v u v u w v w v u w u w v

Mà   

  

  

  

  

  

     

  

     

x v x w x w x u x u x v

u v u w v w v u w u w v nên suy  

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z i 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 2

     

P z i z i

A B 3 C D 4

3 Lời giải

(26)

Gọi điểm biểu diễn z M Khi M nằm đường tròn tâm I0; ,  R1 Gọi tọa độ điểm A ; ,  B 2; 3  đó:

2 2

       

P z i z i MA MB Gọi ;

2

 

 

 

K ta có:

2

 

IK IM IM IA Vậy IMK IAM hai tam giác đồng dạng Khi đó: MA 2MK

Vậy P 2MK MB 

Theo bất đẳng thức tam giác: P 2MK MB  2BK Vậy Min P  2BK3

Câu 46: Với hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1z2 2, tìm giá trị lớn Pz1  z2

A P4 B P2 26 C P 5 D P34 2

Lời giải

Chọn B.

Vì hai số phức z1 z2 thoả mãn z1z2  8 6i z1z2 2 nên

1

2

1

8

2

   

  

  

z i z

z i z

z z

 

 

1

2

1

4

4

2

   

 

   

 

 

z i

z i

z z

 *

Gọi A, B hai điểm biểu diễn hai số phức z1 z2 từ  * suy A B, nằm đường trịn  C có tâm I4; 3, bán kính R1 AB đường kính đường trịn  C Như Pz1  z2 OA OB

Ta có  

2 2

2 2

2 52

2

      

OA OB AB

OI OA OB

Suy 52OA2OB2 2OA OB OA OB 2 OA2OB2 2OA OB 52 52 104 

1 104 26

PzzOA OB   Dấu xảy OA OB

Câu 47: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn

1  z z

A 4 B 2 C 3 D 3

x y

3

4 B

O

I

1

(27)

Lời giải

Chọn A

Ta có iz 2 i 1 i z i 1 1 z i 1 1 Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2

Ta có z1  z2 22z12 z2 2  z1z22  z1z2 16  z1  z2 4 Dấu xảy 

z zMNOI

Câu 48: Cho hai số phức z,  thỏa mãn z1  z 3 2i ;  z m i với m tham số Giá trị m để

ta ln có  2 là:

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

Lời giải Chọn B.

Đặt z a ib a b, ,  có biểu diễn hình học điểm M x y ; 

1

   

z z ix 1 iyx 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y  3 Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2

  2 12

(28)

Nên MI2 d I ,  5

 

m   2m4 10

2 10

2 10

  

 

   

m m

3     

 

m m

Câu 49: [PTNK TP HCM] Cho zlà số phức thỏa mãn z  1 i Tìm giá trị lớn biểu thức

2

2

     

P z i z i

A.18 B 14 10 C 38 10 D 16 10 Lời giải

Chọn C

Gọi z x yi x y ; ,M x y ;  điểm biểu diễn số phức z

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy M thuộc đường trịn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; , E0; 2 trung điểm AB Khi

2

2

     

P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32 MA2MB2

2 2

2  MEAB

2 10

ME

Do E nằm ngồi đường trịn, nên MEMaxEI R  2 10PMax 38 10 Cách :

2

2

     

P z i z i x2 2 y1 2 x2 2 y32=2x22y28y18

2

2 18

xyy P Suy tọa độ điểm M thỏa mãn

   

2

2

2 18

1

     

 

   

 

x y y P

x y

   

 

2

1

: 12 22

    

  

    

 

x y

x y P

Hệ có nghiệm d I ,  RP38 8 10 38 10 P38 10 38 10

PMax  

(29)

đổi thỏa mãn zz12 zz22 16 Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M2m2

A.15 B.7 C.11 D.8

Lời giải: Chọn D.

Cách 1:

Gọi số phức z x yi với x y, 

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường trịn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2

Ta có | |z minOMmin, | |z maxOMmax Đường thẳng OI có phương trình y0

OIcắt( )C điểm phân biệt A B, có tọa độ nghiệm hệ 2

2

0

x y x

y

    

  

(1, 0); ( 3, 0)

A B

 

Ta có OA OM OB nên | |z minOA,| |z maxOB

Khi 2

9

Mm   

Cách 2:

Gọi số phức z x yi với x y, 

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2  z 1

Ta có: zz  1 1

min

z

  , zz   1

max

z

 

Cách 3:

Gọi số phức z x yi với x y, 

Ta có zz12 zz22 16x2y22x 3 Khi tập hợp điểmM x y( , ) biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C có tâm I( 1, 0) bán kính R2

Ta có OMmin  OIR , OMmax OIR

min

z

  ,

max

z

CÂU PHÁT TRIỂN

Câu 51: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức

2

2

M m

Mn

A.12 B.1

2 C.

4

3 D.8

Lời giải: Chọn C

Gọi số phức z x yi với x y, , | |zx2y2 Ta có: z 2 4i  x22(y4)2 5 2

15 4( )

x y x y

    

(30)

Do

2

2

M m

Mn

Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i |z 3 |i  Gọi M mlần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ z2i Giá trị biểu thức 2

Mm

A.25 B.35 C.15

2 D.20

Lời giải: Chọn B.

Gọi z x yi (với x y, ) có điểm M x y( ; ) biểu diễn z mặt phẳng tọa độ Ta có z  1 i z 3 2i

x 12 y 12 x 32 y 22

        

x 12 y 2 x 32 y 2

             (1)

Số phức z2i xy2i có điểm Mx y; 2 biểu diễn z2i mặt phẳng tọa độ Đặt A(1; 3), (3; 4)B , từ (1) ta có AMBM

Mặt khác AB nên M thuộc đoạn AB Khi

max

MziOB5 ,

2

mziOA 10 Vậy 2

35

Mm

Nhận xét:

- GTLN, GTNN câu dạng đạt đầu A B, - Một sai lầm thường gặp đánh giá  

min ;

zd O AB góc OAB góc tù nên khơng tồn điểm M đoạn AB cho OMAB

Câu 53:(Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  Gọi M m, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức Pz22 z i Khi modun số phức

wM mi

A.2 314 B. 1258 C.3 137 D.2 309 Lờigiải

Chọn B

Cách 1: Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 3 4i  x3 2 y42 5 Ta có P4x2y3 4x32y4P23

Ta có 4 32 42 20 3 2 42100

 

 

x y x y

Suy 10P23 10 13P33 suy M33,m13 ta w33 13 i

w  1258

Cách 2: Gọi z x yivớix y,  .

(31)

Lại có: Pz22 z i x22y2x2y12P04x2y 3 P0, phương trình đường thẳng : 4x2y 3 P0

Ta thấy M  C

Điều kiện để  cắt  C là:  ,  23 10 23 10 13 33

2 

   P         

d I R P P

Suy ra: m13,M33và w33 13 iw  1258 Cách 3:

Gọi z x yi với x y, 

Ta có Px22y2x2y12 4x2y3 suy

 

P x

y

Từ        

2

2 2

3 5

2

   

               

 

P x

z i x y f x x

Ta có   2 3 4 11 10 16

   

        

 

P x

f x x P x

  0, 1,6

    

f x x P Suy y0,1P1,7

Thay x y, vừa tìm vào f x  ta 0, 2P1,6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 Ta giải P33 P13 Đây tương ứng GTLN GTNN P

Vậy M33,m13 Khi đó,   1258

Câu 54:Biết số phức z x yi, x y,  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện zz 4 3i biểu thức

1

     

P z i z i đạt giá trị nhỏ Tính Px2y A 61

10  

P B 253 50  

P C 41  

P D 18

5  

P

Lời giải Chọn A

Theo giả thiết zz 4 3ix yi  x4  y3i

  2 2

2

4

xyx  y

2 2 8 16 6 9

xyxx yy 25

xy 

Ta có P x1 2 y12  x2 2 y32

Xét điểm E1;1; F2; 3  M x y ;  Khi đó, PME MF

Bài tốn trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 cho ME MF đạt giá trị nhỏ

Vì 8xE 8yE25 8  xF8yF250 nên hai điểm E F, nằm phía đường thẳng  Gọi E điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE qua điểm E1; 1  có VTPT    3; 4   

EE

n u nên có phương trình

   

(32)

Gọi H giao điểm EEvà  Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình

8 25

   

  

x y x y 71

25 19 50 

     

     x y

suy 71; 19 25 50

 

 

 

 

H

E đối xứng với E qua H nên

117 25 44 25 

 

         

E

E

x y

Ta có ME + MF = ME + MF E F

Dấu xảy Mlà giao điểm E F đường thẳng  Đường thẳng E F qua điểm F2; 3  có VTPT 31;167

EE

n có phương trình

   

31 x2 167 y3 0  31 +167 + 439 = 0x y

Tọa độ điểm M nghiệm hệ phương trình 31 167 439

8 25

   

  

x y

x y

67 50 119

50 

     

     x y

Vậy 61

10

   

P x y

Câu 55: Gọi z z1, 2 nghiệm phương trình z 1 2iz 1 2i thỏa mãn z1z2  Biết w số phức thỏa mãn w 2  i 2 Tìm GTNN biểu thức P wz1  wz2

A 1 3 B 2 3 C 2 D. 6 Lời giải.

Chọn D

Giả sử z x yi x y R ,   ta có z 1 2iz 1 2ix0suy tập hợp điểm biểu diễn 1,

z z trục tung

Giả sử A B, điểm biểu diễn cho z z1, 2, ta có z1z2  AB Giả sử w a bi a b R ,   M điểm biểu diễn cho số

phứcw, ta ców 2  i 2 (a3)2(b2)2 4suy tập hợp điểm biểu diễn M cho số phức w đường trịn tâm I3; 2 bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E hình chiếu vng góc I lên trục tung, ta thấy P nhỏ E trung điểm AB suy

6

 

MA MB , 6

2

 

MinP

(33)

2

2

     

P z i z i

A 18 B 38 10 C 18 10 D 16 10 Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi z x yi x y , 

Ta có: z  1 i 2 x yi   1 i 2x1 2 y12 4

2 2

2 2 2

xyxy  xyxy (*) Theo ra:

2 2

2 2

             

P z i z i x yi i x yi i

  2  2  2 2  2 2

2 18

x  y  x  y  xyy

Thay (*) vào P ta được:

   

4 12 22 12 38

       

P x y x y

Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta

     2 2   2 2  2 2

4 1 12 1 38 12  1  1 38 12 38 10 38  

 

 

x y x y

Vậy Pmax 8 10 38

Câu 57: Giả sử z z1, 2 hai số số phức z thỏa mãn iz 2 i z1z2 2 Giá trị lớn

1  z z

A 4 B 2 C 3 D 3

Lời giải

Chọn A

(34)

Gọi M, N điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta có z1z2 OP2

Ta có z1  z2 22z12 z2 2  z1z22  z1z2 16  z1  z2 4 Dấu xảy 

z zMNOI

Câu 58: Xét số phức z a bia b,  thỏa mãn z 2 3i 2 Tính P2a b

1

    

z i z i đạt giá trị lớn

A P1 B P 3 C P3 D P7 Lời giải

Chọn B

Gọi z x yivới x y, 

Ta có: z 2 3i 2 2x2 2 y32 8 Suy ra, tập hợp điểm M x y ;  biểu diễn cho số phức z hệ tọa độ Oxy đường tròn  C tâm I2; 3 bán kính R

Gọi A 1; 6, B7; 2 J3; 2 là trung điểm AB

Đặt Pz 1 6iz 7 2i suy PMA MB  2MA2MB2 (BĐT Bunhiacopxki) Phương trình đường trung trực của AB là:

2    

   

x t

y t Ta có:

2

2 2

2

2

   AB

MA MB MJ với J trung điểm ABM chạy đường trịn , J cố định nên MJIJR Do P2 4 IJ R2AB2 nên Pmax  IJ R2AB2

Dấu « = » xảy MAMB ba điểm M I J, , thẳng hàng Điều thỏa mãn nhờ 

IA IB

Do đó: M  C , tọa độ M nghiệm hệ:

 2  2  2  2

3

2

3

2 5

x t x t x x

y t y t y y

t t

x y t t

          

 

   

          

   

     

 

       

 

 

Mặt khác :

4; 5   2 130

M P MA MB M0;1PMA MB 2 50. Vậy đểPMax thìM4; 5 Suy 2a b  3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 z2là số phức có mơ-đun lớn nhỏ Tổng phần ảo hai số phức z1và z2

A 8i B 4 C 8 D 8

(35)

Chọn D

Gọi z x yi x y, ,  M x y ;  điểm biểu diễn số phức z

Theo giả thiết z2 4 i 2  x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4 Suy M  C : x2 2 y42 4

Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z2 4 i 2 đường trịn  C có tâm

2; 4

I bán kính R2

Đường OI có phương trình y2x cắt đường trịn  C hai điểm 10 20 5;

5

   

 

 

 

A ,

10 20 ;

5

   

 

 

 

B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có mơđun lớn nhất, điểm B biểu diễn số phức có mơđun nhỏ

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi (a b,  b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b2 z3 z đạt giá trị lớn

A P4 B P2 C P2 D P2

Lời giải

ChọnC

Cách 1:

Từ giả thiết có a2b2 1b2  1 a2 0 với a  1; 1 z z 1 Ta có z3 z 2

2

z z  z z

2

z z  z  2bi2a2b22abi

 2  

2

abbab i 2 a2b22b2ab2

 22 2 2

2

abba 2 2a21 2 1a22a12 2 4a3a2 4a2 Xét f a 4a3a2 4a2, với   1 a

 

12

   

f a a a ; f a 012a2 2a 4

 

 

1

1;1

2

1;1

    

 

    

(36)

Suy

 1;1  

1 13 max

2

 

 

  

 

a f a f , đạt

1  

a ,  b

Vậy 2

2

 

     

 

P a b

Cách 2:

Ta có zcosx i sinxz3 cos 3x i sin 3xb0 nên sinx0, cosx  1; 1 Khi

3 2

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos cos 2 sin sin 

xx  xx i

cos cos 2 2 sin sin 2

xx  xx

2 sin sin  2 cos sin 2

  x xx x

2 2

4 sin sin sin sin cos sin

  x xx xx x

2

4 16 sin cos sin

  x xx

 2  2

4 16

  t t t  16t34t2 16t8 với tcosx  1;1 Đặt f t 16t34t216t8, t  1;1

 

48 16

    

f t t t

 

 

1

1;1

2

1;1

    

 

    

t t Bảng biến thiên:

 1;1  

1

max 13

2  

 

   

 

t f t f

1 cos

  tx

Khi đó:

2

1

2

       

a

a b

a b

Vậy 2

2

 

     

 

P a b

t 1

2

3

 

ft  0  0 

  f t

13

a 1

2

3

 

fa  0  0 

  f a

13

(37)

Nhận xét: đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị biểu thức

1

 

P z z A

2 

P B P C

2 

P D P

Lời giải

Chọn D

Cách

+ Đặt z x yi, x y, , ta có 2z i  2iz  2x2y1i  2yxi

 2  2

2 2 2

4x  2y1  2yx 4x 4y 4y  1 4y y x

2

1

1 1

xy   z   zz

+ Sử dụng cơng thức: z z1, 2 ta có z1z2 2 z1z2 2z12 z2 2 Suy P

Cách

+ Biến đổi: iz2  i iz 2  z2i

Ta có 2z i  z2i  2z i  z2i2  z  1 z1  z2 1 + Sử dụng công thức bình phương mơ đun

 

2 2 2 2 2

1  2 1, 

mz nz m z mnz z cos z z n z

Trong z z1, 2 góc MON với M, N điểm biểu diễn số phức z z1, 2 mặt phẳng phức

   

2 2

1 2 2 2

1

1 , ,

2

          

z z z z z z z z cos z z cos z z

Vậy P2  z1z2  1 z12 z2 22 z1 z cos z z2  1, 23P

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn biểu thức:Tz i  z 2 i

A maxT 8 B maxT4 C maxT4 D maxT 8

Lời giải Chọn B

Đặt z x yi x y R ,  , ta có z1   x 1 yi   (x1)2y2 

 12 2 2 2 1

x y  xyx (*)

Lại có Tz i  z  2 i x(y1)ix 2 (y1)i

2 2 2 2

( 1) ( 2) ( 1)

xy  x  y  xyy  xyxy

(38)

2( ) 2( ) 2(2( ) 2( ))

            

T x y x y x y x y

Câu 63: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 5z i  z 1 3i 3z 1 i Tìm giá trị lớn M biểu thức: z 2 3i ?

A 10

3 

M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải

Chọn C

2 2 2

5 x (y1)  (x1) (y3) 3 (x1) (y1)

2 2 2

5 ( 1) 10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)

xy  x  y  x  y

2 2 2

25 ( 1)  10 ( 1) ( 3) ( 1) ( 1)   xy   x  y  x  y 

2 ( 1)2 20 2 5

xy   z i 

2 (4 2) 2 5

             

P z i z i i z i i

Câu 64: Cho hai số phức z, thỏa mãn z1  z 3 2i ;  z m i với m tham số Giá trị m để ta ln có  2 là:

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

Lời giải Chọn B.

Đặt z a ib a b, ,  có biểu diễn hình học điểm M x y ; 

1

   

z z ix 1 iyx 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y  3 Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2

  2 12

x m  y  MI2 với Im; 1  Mà ta có MId I ,

Nên MI2 d I ,  5

 

m   2m4 10

2 10

2 10

  

 

   

m m

3     

 

m m

Câu 65: Cho số phức z thỏa mãn 1

3 2

   z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức Pz i 2 z 4 7i

(39)

Lời giải Chọn A

Gọi z x yi, x y,  Ta có 1

3

   z

z iz1  z3i    

2 2 2

2

x yxy

2 4 6 7 0

xyxy 

Lại có Pz i 2z 4 7ix2 y12 2 x4 2 y72

4 8 72

xy   xy

Mặt khác  

2

4x8y8 2 4x8y72 5.80  4x8y8 2 4x8y7220 Suy P20

Câu 66: Cho số phức z a bi (a,b số thực) thỏa mãn zz 3 4i có mơđun nhỏ giá trị Pa b là?

A

4 B C D

Lời giải Chọn D.

Ta có:

3

    

a bi a bi ia2b2 a3 2 b42

6 25

ab  25

6 

ab

Mô đun số phức z là:

2

 

z a b

2 25

6

  

   

 

b

b  

2

100 225

36

 

b 15

6 

Số phức

min  2

z b

2

 aP3

Câu 67: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4iz2i Tìm số phức z có mơđun nhỏ A z  1 i B z  2 2i C z 2 2i D 2 i

Lời giải Chọn C.

(40)

   

  2 2  2

2 2

2

2

4 16 4

4 16

      

      

         

  

  

a b i a b i

a b a b

a a b b a b b

a b a b

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki

 2  2 2 2 2 2 2

16 a b  1 abzab 8 2

z

Dấu  xảy 1 2

4 

 

      

   

a b

a b z i

a b

Câu 68: Trong số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4iz2i Số phức z có mơ đun bé

A.3 B 2 C. 2 D 4

Lời giải Chọn C

Đặt z x yi x y ,  Khi z 2 4iz2ix yi  2 4ix yi 2i

  2 2  2

2

x  y xy  4x4y16 0 x y  4

(41)

 

min

4

; 2

2

   

z d O

Câu 69: (Đề Star Education) Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Giá trị lớn biểu thức Pz1  z2 là:

A. 26 B. 26

2 C.9 D.

1

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2 Từ giả thiết : z1z2 5 OMON 5

  5

2 OI    vớiI trung điểm đoạn thẳngMN

1

zz   OM ON 1 MN 1

Ta có

2 2

2

2

OM ON MN

OI   

2

2

2O

2

MN I

OM ON

    13

1

PzzOMONP2 1212OM2ON226 Vậy Pmax  26

Câu 70: Cho hai số phức z z1; 2 thỏa mãn z1z2 5 z1z2 1 Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Pz1  z2 Khi mơ đun số phức

Mm i :

A 76 B.76 C.2 10 D.2 11

Lời giải

Chọn A.

Ta gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z1; 2

Từ giả thiết : z1z2 6 OM ON 6OI 3với I trung điểm đoạn thẳngMN 2

zz   OM ON 2  MN 2 Ta có

2 2

2

2

OM ON MN

OI   

2

2

2O

2

MN I

OM ON

    20

1

PzzOMONP2 1212OM2ON2 40

Vậy maxP2 10M

PzzOM ON  OM ON 6 Vậy minP6m

(42)

Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn

i z  Giá trị lớn biểu thức P 2z 1 4iz 1 5i là: A.2 B.3 C.3 D.

2

Lời giải

Chọn C.

Ta gọi M x y( ; )là điểm biểu diễn số phứcz

5

2

i z   32

x y

    Suy ( ; ) (0;3);

M x yC I R 

 

 

Khi đó:

2z i

P    z  i z

2 i z i

      2MA  MB , với 1; ; 1;5

2

A  B

 

Ta có: 1;

IA   

 



 

;IB 1; suy IB 2.IA

Theo định lý Stewart ta có: 5 5

2 2

MAMB  MI  

 

2

2MA MB 15

  

(Hoặc chứng minh theo phương pháp véc tơ

MIMAAB

   1

MA AB

  1 

3

MA MB MA

   3MA 3MB    Suy ra:

 

2 2

.cos ,

9 9

MIMAMBMA MB  MA MB 2 cos AMB 9MA 9MB 9MA MB

  

2 2

2

4

9 9

MA MB AB

MA MB MA MB

MA MB

   

    

 

2 2

2

3MA 3MB AB

  

2

2MA MB

  2

3

MI AB

  15)

Vậy P2 MA  MB  2.MAMB   22122MA2MB2  45 3

Câu 72: Cho hai số phức 1 , 2

2 2

  i    i

z z Gọi z số phức thỏa mãn 3z 3i  Đặt ,

M n giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ biểu thức Tzz z 1  z z 2 Tính modun số phức wM ni

A.2 21

3 B. 13 C.

4

3 D.4

Lời giải

Giả sử z x yi x y R Ta có , ,  

2

2

3 3 1( )

3

 

      

 

 

(43)

Gọi  ; , 1; , 1;

2 2

   

   

   

   

K x y A B điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2 Ta tìm Max – Min TOK OA OB 

Ta có A B O, , thuộc đường tròn ( )C ABO TMin2OA2 Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK   KAKB OK

4

2 2.2

3

TKAR TMax

2

4 21

w

3

 

     

 

 

Câu 73: Cho số phức z thỏa mãn z i  z 1 3i 3 z 1 i Tìm giá trị lớn M z 2 3i ? A 10

3 

M B M 1 13 C M4 D M9 Lời giải

Chọn D

Gọi A1; , B 1; ,  C 0;1C trung điểm AB Suy

2 2

2 2

2 10

2

MA MBAB    

MC MA MB MC

Mặt khác 5z i  z 1 3i 3z  1 i 5MCMA3MB 10 MA2MB2

 

2

25 10 10

MCMC  MC

z 2 3iz i    4i  z i   2 4iMC2 54 Dấu “ = “ xẩy z  2 5i

Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]

Cho số phức z thỏa mãn 2

     

z i z i

z i Tìm giá trị nhỏ biểu thức

  P z i

A

2 

P B PC D

3 Lời giải

Chọn A

Áp dụng tính chất: z z 1 2 z z 12 2 z2 2 z12

Ta có: 2 2 12 12 2

2

 

              

 

 

z i z i z i z i z i

z i

4

4

(44)

Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018]Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện

1 1

2 z  i zz 2i z2 i 10 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức z1z2 ?

A 10 1 B 3 1 . C 101 1 . D 101 1

Lời giải Chọn B.

+) Gọi z1  a bi a b; , 

Nên    

2

2

2

1 1

2 2 2

4

           a

z i z z i a b b b

Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z1 Parabol

4  x y +) Gọi z2  a bi, a b, 

Khi z2 i 10  1 a10 2 b12 1

Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z2 đường tròn   C x10 2 y12 1 tâm I10;1 bamns kính r1

x y

N I

1 M

1

z z nhỏ MN nhỏ Ta có: MN IN IMMNIM IN IM1 Nên MN nhỏ IM nhỏ

Ta có:    

2

2

2

2 10 1 4 4 45

4

   

          

   

x x

IM x x

45

IM 

Do MN3 1

Vậy z1z2 MN3 1  z1z2 min 3 1

(45)

1 z z

A m2 2 B m 1 C m2 D m2

Lời giải

Chọn A

Ta có z1z2  z1iz1  1i z 1  2.z1

Đặt z1  a bi với (a b, ) theo đề ta có a1 2 b12 4(*) Ta cần tìm GTLN

2

2

 

m a b

Đặt ta2b2 Ta có: (*)4a22a 1 b22b 1 2(a b ) 2 t Mà a b 2 12 ( 1) 2 a2b2(**) nên

 2

2t 4(a b ) 8tt212t 4  6 2  t Kết hợp với ta2b2 0 suy 0  t

Suy m 2t  12 2 2 2 Dấu "=" xảy (**) xảy

11   a b

a b Kết hợp (*) ta z1   1 i Vậy giá trị lớn m 2 2

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 2 1 4

iz i Tìm giá trị lớn biểu thức T  2iz13z2

A 313 16 B 313 C 313 8 D 313 5 Lời giải

Chọn A

I2

I1 N

M

Ta có z13i5 2  2iz1 6 10i 4

Suy điểm M biểu diễn số phức 2iz1 nằm đường trịn  T1 có tâm I1 6; 10 có bán kính R14

(46)

Ta thấy 2iz13z2  2iz1  3z2  MN

T lớn MN lớn nhất, bốn điểm M, I1, I2, N theo thứ tự thẳng hàng Vậy giá trị lớn MNI I1 2R1R2  313 16

Câu 78: Cho hai số phức z w, thỏa mãn

1 2

   

 

    

 

z i

w i w i Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức  

P z w

A. min 2

 

P B. Pmin  1 C. min 2

 

P D. min 2

2  

P

Lời giải

Chọn C.

Cách :

Giả sử z a bia b, , wx yi x y, 

  

z i a3 2  b22 1 (1)

1 2

    

w i w i x1 2 y22 x2 2 y12 Suy x y 0

  2 2   2 2

         

P z w a x b y a x b x

Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r1 Gọi H hình chiếu I d y:  x Đường thẳng HI có PTTS

2    

  

x t

y t

3 ; 

   

M HI M t t

  2 1

  

M C t

1

1 

   

     t t

1

2 ;

2

 

     

 

t M ,

2   MH

1

3 ;

2

 

     

 

t M ,

2   MH

Vậy min 2

 

(47)

Cách :

  

z i điều cho thấy M z  nằm hình trịn tâm I3; 2 bán kính

1 2

    

w i w i điều cho thấy N w  thuộc nửa mặt phẳng tạo đường thẳng  trung trực đoạn AB với A 1; , B 2;1 

:

x y 

(Minh hoạ hình vẽ)

O y

x

1

2

-2 -1

B

A

I M N

Δ O

y

x

1

2

-2 -1

N

M I

  

P z w MN

 

min

3 5 2

,

2

 

     

P d I R

Câu 79: [Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho z1  a bi z2  c di số phức thỏa mãn:

1 4

z z1 c d 10 Gọi M giá trị lớn biểu thức Tac bd cd  Hãy chọn khẳng định M

A.M11; 15 B. M15;17

C. M11; 12 D. Không tồn M

Lời giải Chọn A.

Ta có

 

2

1

10

 

 

 

  z

z c d

2 4

5

  

  

   

a b c d Khi đó:

  

T ac bd cd  a2b2c2d2c(5c)2 c25c2 5c c 2 Đặt f c( ) 2 c210c25 5 c c

Ta có  

2 10

5

2 10 25

   

 

c

f c c

c c  

2

2

2 10 25

2

2 10 25

    

 

 

   

 

c c

c

c c

5  c Bảng biến thiên:

(48)

Dựa vào bảng biến thiên ta có 25 13,

4

  

M

Dấu xảy

2          a b c d

Câu 80: Cho số phức z thỏa mãn

3   z z ax  

M m z

z Khẳng định sau đúng?

A.M  1; 2 B. 2;7

2

 

 

 

M

C. 1;5

2

 

 

 

M D.M2 M5

Lời giải Chọn C.

Ta có

3

3

1 1

3

   

    

   

z zz zz z

3

3

1 1

3

   

        

   

z z z

z z

z

3

3

1 1

3

   

         

   

z z z

z z z 1              z z z z

Mặt khác:

3

1 1

3

   

      

   

   

z z z z

z z z z

Suy ra: 1     z z

z z Đặt

1

  

t z

z ta được:

3

  

t t t2t12 0  t Vậy M2

Câu 81: Cho số phức z x yi với x y, số thực không âm thỏa mãn

1 

  

z

z i biểu thức

    2 2 1                 

P z z i z z z i z i Gọi M m, giá trị lớn giá trị nhỏ P Môđun M mi

A.3 B.1 C. D 2

c 

2



 

f c

(49)

Lời giải Chọn B.

Ta có

1 

  

z

z iz3  z 1 2ix y 1

    2 2 1                 

P z z i z z z i z i 16x y2 8xy x y(  ) 16x y2 8xy Đặt txy ta có  

2

4

 t x y

Tính giá trị lớn nhỏ P16t28t, với 0;1

 

  

 

t ta Pmax 0; Pmin  1 Vậy

 

M mi

Câu 82: (THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức 1 , 2

2 2

    

z i z i

Gọi zlà số phức thỏa mãn 3z 3i  Đặt M m, giá trị lớn nhỏ biểu thức

1

    

T z z z z z Tính mơ đun số phức wM mi A 21

3 B 13 C

4

3 D

Lời giải Chọn A.

Giả sử M A B, , biểu diễn số phức zx yi z z , ,1 2 Từ giả thiết 3z 3i  3ta có: ( )2

3

  

x y

NênMthuộc đường tròn tâm 0; ,

3

 

 

 

I R

Ta có TMO MA MB  Để Tmin M trùng O A B, , nên

2

min

1

2 2

2                 

T OA

Để Tmaxthì OMmax (MA MB )max nên OM2R M nằm cung nhỏAB 0;

3

 

 

 

M Do 2

2

2

2

3 3

                    max

T OM MA

Vậy

2

2 2 21

w 3           

M m

(50)

Câu 83: Cho hai số phức z w thỏa mãn điều kiện sau:

 

2

max 2 ,

    

 

  

 

iz i z

w i w

Tìm giá trị nhỏ z wA.

2 B.

13

2 C.

5

2 D.

1 Lời giải

Chọn B

Gọi M N, điểm biểu diễn z w, với M x y ;  Ta có iz2i2  z1  z 2 2iz1

  2 2  2

2 2

x  y  x y   xy  Do đó, M thuộc nửa mặt phẳng bờ

:

  xy  không chứa O, kể bờ

Ta có maxw 2 ,i w suy

 

2 2 , 2;

2

      

 

 

 

 

w i NI I

w NO

Do đó, N thuộc phần chung hai hình trịn

I; 2 O; 2

Dễ thấy hai hình trịn tiếp xúc ngồi điểm E1; 1 Do đó, N1; 1

Ta thấy z w MN nên z w nhỏ MN ngắn nhất, M hình chiếu N

Ta có    

 2

2 4.1 13 ,

2

2

   

  

 

d N

Vậy 13

2

 

z w

Câu 84: [CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 iz2 1 2i 4 Tìm giá trị lớn biểu thức T 2iz13z2

A. 313 16 B. 313 C. 313 8 D. 313 5 Lời giải

(51)

Đặt 2iz1  a bi, 3 z2  c di a b c d ; ; ; , gọi A a b B c d ;  , ;  Có z13i5 2

2 

a bii 

i  a6  10b i 4    

2

6 10 16

a  b  nên

 

A I có tâm I6; 10  bán kính R4 Có iz2 1 2i 4

3 

   

c di

i i  3d  c6i 12 c6 2 d32 122 nên

 

B J có tâm J6; 3, bán kính R 12

T  2iz13z2 a c   b d   a c  2 b d 2 AB

Do A I , B J , IJ 313 R R 16 nên ABMaxR R IJ 16 313

Câu 85: Xét số phức z a bi a b,( , ) thỏa mãn z 3 2i 2 Tính a b biết biểu thức

1 2

     

S z i z i đạt giá trị nhỏ

A 4 B 2 C 4 D 3

Lời giải: Chọn A

Giả thiết z 3 2i 2( ) : (T a3)2 (b2)2 4

Gọi A( 1; 2), (2; 5), B M a b( ; ) điểm biểu diễn số phức z1   1 ,i z2 2 , i z3  a bi

Bài toán trở thành: Tìm M( )T cho biểu thức

 

S MA MB nhỏ

Ta có MA (a1)2(b2)2  a2b22a4b5

2

2 4

abab

2

2 ( 2) ( 2)

a  b  MC với C(2; 2)

O

I J A

B

M

-1 2

(52)

Ta có MA2MB2(MB MC ) 2 BC dấu “=”xảy B M C, , theo thứ tự thẳng hàng

Phương trình đường thẳng BC x: 2

M giao của BC ( )TM(2; 2 3) a b 4 

Câu 86: Cho số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn z1  z2  z1z2 6 Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

    

P z z z z z

A P6 2 B P3 2 C P6 2 D

2

 

P

Lời giải Chọn C

6 6

6 2

600 600

M '

A '

A

O B

M

Chọn A B M, , điểm biểu diễn số phức z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện z1  z2  z1z2 6  OA OB 6, AB6 Suy ta có tam giác OAB vng cân O

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có: B, 60 0 :  

Q A A

 

M M

Do tam giác BMM AMA M , BMMM

Suy Pzz z 1  z z 2 OM AM BM OM MM    A M OA Dấu " " xảy O M M A, , ,  thẳng hàng

Khi tam giác OBA có OB6, BA BA6 OBA 1050 Từ suy OA OB2BA22OB BA .cos1050 6 2 Vậy minP6 2

(53)

A

3   

 

m

m B

7   

  

m

m C  3 m7 D 3m7

Lời giải Chọn B.

Đặt z a ib a b, ,  có biểu diễn hình học điểm M x y ; 

1

   

z z ix 1 iyx 3 y2i  x12y2  x3 2 y22

2 4

  x  x  y 2x y  3

Suy biểu diễn số phức z đường thẳng : 2x y  3 Ta có:  2  z m i  2  x m  y1i 2

  2 12

x m  y  MI2 với Im; 1  Mà ta có MId I ,

Nên MI2 d I ,  5

 

m   2m4 10

2 10

2 10

  

 

   

m m

3     

 

m m

Câu 88: Cho số phức z thỏa mãn 1

3

   z

z i Tìm giá trị lớn biểu thức Pz i 2 z 4 7i

A. 20 B.10 C. 12 D 4

Lời giải Chọn A

Gọi z x yi, x y,  Ta có 1

3 2

   z

z iz1  z3i    

2 2 2

2

x yxy

2

4

xyxy 

Lại có Pz i 2z 4 7ix2 y12 2 x4 2 y72

4 8 72

xy   xy

Ngày đăng: 24/02/2021, 12:32

w