Giáo trình vi tích phân 2

Giáo trình Vi tích phân Bộ mơn Giải tích (Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) Bản ngày tháng năm 2023 Mục lục Giới thiệu 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Không gian 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích 1.1.2 Hình học Rn 10 1.1.3 Tập mở tập đóng 16 Hàm số nhiều biến 19 1.2.1 Giới hạn hàm số 21 1.2.2 Hàm số liên tục 22 Đạo hàm hàm số 27 1.3.1 Đạo hàm riêng 27 1.3.2 Xấp xỉ tuyến tính Mặt phẳng tiếp xúc 28 1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao 33 Các tính chất đạo hàm 36 1.4.1 Đạo hàm hàm hợp 36 1.4.2 Đạo hàm theo hướng 39 1.4.3 Đạo hàm hàm vectơ 42 1.4.4 Đạo hàm hàm ẩn 47 Cực trị hàm số nhiều biến 55 1.5.1 Cực trị khơng có ràng buộc 56 1.5.2 Cực trị có ràng buộc 66 1.5.3 Giá trị lớn nhỏ 70 Rn Tích phân hàm nhiều biến 2.1 2.2 Rn 77 Định nghĩa tính chất tích phân bội 77 2.1.1 Tích phân hình hộp 78 2.1.2 Tích phân tập tổng quát 81 2.1.3 Thể tích 82 2.1.4 Tính chất tích phân 85 Công thức Fubini 87 2.2.1 91 Công thức Fubini cho miền phẳng ii MỤC LỤC 2.2.2 2.3 2.4 iii Công thức Fubini cho miền ba chiều Công thức đổi biến 92 100 2.3.1 Tọa độ cực 103 2.3.2 Tọa độ cầu 105 2.3.3 Giải thích cơng thức đổi biến 108 Ứng dụng tích phân bội 114 2.4.1 Giá trị trung bình 114 2.4.2 Tâm khối lượng 2.4.3 Xác suất kiện ngẫu nhiên 116 115 Giải tích vectơ 122 3.1 Tích phân đường 122 3.2 3.1.1 Chiều dài đường 122 3.1.2 Tích phân đường loại 124 3.1.3 Tích phân đường loại hai 126 3.1.4 Sự phụ thuộc vào đường 128 Công thức Newton–Leibniz Công thức Green 134 3.2.1 Trường bảo toàn 134 3.2.2 Công thức Green 137 3.2.3 Điều kiện để trường vectơ phẳng bảo toàn 141 3.3 Tích phân mặt 151 3.4 3.3.1 Diện tích mặt 152 3.3.2 Tích phân mặt loại 153 3.3.3 Tích phân mặt loại hai 153 3.3.4 Định hướng mặt phụ thuộc vào tham số hóa 155 Công thức Stokes Công thức Gauss–Ostrogradsky 161 3.4.1 Công thức Stokes 161 3.4.2 Công thức Gauss–Ostrogradsky 167 Phương trình vi phân 4.1 4.2 4.3 177 Phương trình vi phân mơ hình tốn học 177 4.1.1 Mơ hình với phương trình vi phân cấp 179 4.1.2 Mơ hình với phương trình vi phân cấp hai 182 Giải phương trình vi phân cấp 185 4.2.1 Phương trình vi phân cấp tách biến 185 4.2.2 Phương trình vi phân cấp đẳng cấp 188 4.2.3 Phương trình vi phân cấp tuyến tính 191 Giải phương trình vi phân cấp hai 200 4.3.1 Phương trình vi phân cấp hai tuyến tính với hệ số 200 4.3.2 Phương trình cấp hai tuyến tính không hệ số 204 Tài liệu tham khảo 211 iv Chỉ mục MỤC LỤC 213 Giới thiệu Đây giáo trình cho mơn tốn Vi tích phân cho khối B C (các ngành tốn) Bộ mơn Giải tích (Khoa Tốn - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh) chủ trì biên soạn • Tham gia biên soạn: Lý Kim Hà, Nguyễn Vũ Huy, Bùi Lê Trọng Thanh, Nguyễn Thị Thu Vân, Huỳnh Quang Vũ • Tham gia sửa lỗi: Lê Văn Chánh • Tham gia đánh máy LaTeX: Hồ Thị Kim Vân • Tham gia vẽ hình: Nguyễn Hồng Hải • Biên tập: Huỳnh Quang Vũ (từ 9/2016 – nay, liên hệ: hqvu@hcmus.edu.vn) Tài liệu có trang web Bộ mơn Giải tích địa https://sites.google.com/view/math-hcmus-edu-vn-giaitich Giáo trình tiếp tục xây dựng Người đọc vui lòng gởi góp ý cho người biên tập theo địa Đối tượng giáo trình Sinh viên ngành khoa học liệu, nhóm ngành máy tính công nghệ thông tin, điện tử - viễn thông, hải dương, khoa học vật liệu, vật lý (mơn tốn B) địa chất, hóa học, mơi trường, sinh học, cơng nghệ sinh học, …(mơn tốn C) Sinh viên ngành tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giáo trình Giáo trình nhằm dùng làm tài liệu giảng học phép tính vi phân phép tính tích phân hàm nhiều biến, với trình độ tương đồng với số giáo trình vi tích phân phổ biến quốc tế [Ste16], sát với chương trình đào tạo hành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh Mục tiêu gồm: trang bị hiểu biết khoa học đại cương, rèn luyện khả tư MỤC LỤC xác tính tốn định lượng, cung cấp cơng cụ tốn học cho ngành khoa học kỹ thuật Việc giảng dạy giảng viên lớp việc học tự học sinh viên không thiết theo hết nội dung giáo trình Để phục vụ nhiều đối tượng sinh viên, giáo trình chứa nhiều chứng minh xác cho mệnh đề, nhiều ví dụ tập từ dễ tới khó hơn, số phần mở rộng, nâng cao Mỗi giảng viên sinh viên chọn bỏ qua số nội dung, để phần lại để tự học thêm Mỗi mục cấp hai giáo trình (ví dụ mục 1.1) ứng với khoảng tiết lớp Các mục có dấu ∗ tương đối nâng cao, khơng bắt buộc Mơn tốn C bớt số phần giáo trình giảm mức độ chặt chẽ chi tiết lý luận Phương pháp dạy học Mục tiêu sư phạm nhấn mạnh: hiểu khái niệm, tăng cường lực tư lực tính tốn, tiếp xúc với số ứng dụng Việc giảng dạy học tập nhắm tới tiêu chí trên, khơng q tập trung tiêu chí mà bỏ qua tiêu chí nào: (a) Hiểu khái niệm, kết phương pháp chính; (b) Phát triển tư việc thảo luận số lý luận tốn học chặt chẽ Các khái niệm khác giải thích mức độ định Bổ sung giải thích trực quan, định lượng miêu tả ý tưởng; (c) Tăng cường kỹ tính tốn, hướng dẫn sử dụng phần mềm tính tốn; (d) Giới thiệu số ví dụ ứng dụng cụ thể Về dạy học ứng dụng Giáo trình giới thiệu số ứng dụng vào ngành khoa học kỹ thuật có số tập ứng dụng đặt khung cảnh ứng dụng Chẳng hạn phần Giải tích vectơ thể đặc biệt rõ tiềm hữu ích cho ngành Vật lý Tuy nhiên người đọc nên lưu ý: (a) Hàm lượng ứng dụng thảo luận lớp bị hạn chế thời lượng dành cho môn học, sinh viên cần dành thời gian tự học (b) Để ứng dụng tốn học vào ngành thường cần trình độ chun mơn tương đối cao ngành Chẳng hạn, muốn áp dụng phép tính vi tích phân hàm nhiều biến vào ngành người ta phải trình độ xét mơ hình nhiều biến có tính liên tục ngành MỤC LỤC (c) Tốn học có chức nghiên cứu chung quan hệ số lượng, hình dạng, cấu trúc phương pháp suy luận Việc áp dụng hiểu biết chung vào lĩnh vực thực tế cụ thể thường công việc chuyên gia lĩnh vực Vì sinh viên ngành khoa học kỹ thuật nên học tốt mơn tốn vi tích phân để ứng dụng chúng vào ngành học mơn chun ngành nâng cao sau Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1.1 Không gian Rn Khoảng 300 năm trước Cơng ngun nhà tốn học Hy Lạp Euclid viết sách “Cơ sở hình học” tổng kết hiểu biết hình học phẳng hình học khơng gian ba chiều đương thời phương pháp suy luận, theo số quy tắc từ hệ thống tiên đề đúc kết từ nhận thức người tới thời điểm Ngày hình học Euclid học trường trung học phổ thông, phương pháp suy luận từ tiên đề Euclid trở thành phương pháp chung tốn học Phát triển từ hình học Euclid, chương xét không gian Euclid n-chiều Nhưng phương pháp phương pháp Hình học Giải tích, xuất từ kỉ 17, dùng mặt phẳng tọa độ Trong phương pháp điểm tương ứng với số, nhờ quan hệ hình học tương ứng với quan hệ số lượng Phương pháp đặt hình học tảng số, tỏ hiệu chặt chẽ, sẵn sàng để tổng qt hóa lên khơng gian nhiều chiều Có thể nói ý tưởng tốn học sở việc “số hóa” sau Cụ thể hơn, mơn Vi tích phân hàm biến (xem [Bmgt1]), mơn Vi tích phân hàm nhiều biến đặt sở tập hợp số thực, dùng hình vẽ trực quan để dẫn dắt suy luận coi chặt chẽ nằm hệ thống suy luận từ tập hợp số thực quy tắc suy luận toán học Phát triển nhắm tới tương thích với hình học Euclid chứa trường hợp số chiều n = 1, n = 2, n = mà ta học trung học phổ thơng, người học gặp khó khăn với trường hợp tổng qt trước tiên xét trường hợp này, nội dung mục có sách giáo khoa trung học phổ thơng [SGKTH] Trên tinh thần đó, bắt đầu môn học với định nghĩa cho khái niệm không gian, điểm, vectơ, đường thẳng, mặt phẳng, … Với số nguyên dương n, tập hợp Rn tập hợp tất có thứ tự n số thực Vậy Rn = {x = (x1 , x2 , , xn ) | x1 , x2 , xn ∈ R} Số thực xi gọi 1.1 KHÔNG GIAN Rn thành phần hay tọa độ thứ i phần tử x Ví dụ 1.1.1 Bộ điểm môn học sinh viên lớp học ghi có thứ tự (điểm chuyên cần, điểm tập, điểm kiểm tra ngắn, điểm kiểm tra kì, điểm kiểm tra cuối kì), có thứ tự số thực Chẳng hạn sinh viên có điểm môn học (7, 6, 9, 10, 8) Như điểm sinh viên phần tử tập hợp R5 Khái niệm “chiều” tốn học tổng qt, khơng số chiều khơng gian vật lý ta cảm nhận, mà có nghĩa chung số bậc tự do, số đại lượng độc lập xác định phần tử tập hợp Vì khơng gian nhiều chiều cần thiết hữu ích cho ứng dụng 1.1.1 Vectơ, điểm, chiều dài, khoảng cách, tích Khi tập hợp Rn trang bị phép tốn định gọi không gian vectơ, phần tử gọi vectơ Đơi khi, để nhấn mạnh việc nhìn phần tử x khía cạnh vectơ người ta dùng kí hiệu ⃗x hay x, đặc biệt n = 2, Các phép tốn gồm phép tốn cộng phép toán nhân, định nghĩa sau Phép cộng + hai vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) y = (y1 , y2 , , yn ) cho vectơ x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ) Phép nhân vectơ x với số thực α cho vectơ α · x = (αx1 , αx2 , , αxn ) Hai phép toán + · có tính chất mà ta dễ dàng kiểm tra từ tính chất số thực: Mệnh đề 1.1.2 Với x, y ∈ Rn , với α, β ∈ R: (a) x + y = y + x, (b) (x + y) + z = x + (y + z), (c) với vectơ có tất thành phần 0, nghĩa = (0, 0, , 0) (thường gọi điểm gốc tọa độ thường kí hiệu chữ O ), x + = + x = x, (d) tồn vectơ đối −x = (−1) · x = (−x1 , −x2 , , −xn ) cho x + (−x) = 0, (e) · x = x, từ vector tiếng Anh đoạn thẳng có hướng, hay đại lượng có hướng di chuyển tiếng Anh “origin” nghĩa “gốc” CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN (f) α · (β · x) = (α · β) · x, (g) (α + β) · x = α · x + β · x, (h) α · (x + y) = α · x + α · y Về sau để kí hiệu đơn giản ta thường bỏ dấu chấm để kí hiệu phép nhân trên, ví dụ viết 2x thay · x z (x, y, z) y O x Hình 1.1.1: Hình ảnh minh họa cho tọa độ điểm (x, y, z) R3 Ghi 1.1.3 Những tính chất phù hợp với trường hợp riêng R, R2 , R3 biết Tuy có điểm khác biệt đáng ý trường hợp riêng này, vật lý, ta thường hình dung vectơ đoạn thẳng có hướng, xác định cặp có thứ tự hai điểm, điểm đầu điểm cuối; tức vectơ trước có gốc Cịn vectơ ta vừa định nghĩa đơn giản phần tử không gian, không kèm khái niệm điểm đầu, trước có gọi “vectơ tự do” Tuy hình vẽ minh họa trường hợp số chiều thấp ta vẽ vectơ đoạn thẳng có mũi tên hướng Khơng gian vectơ Rn có đặc biệt vectơ (e1 = (1, 0, , 0), e2 = (0, 1, , 0), , en = (0, 0, , 1)) có tính chất dễ thấy với vectơ x = (x1 , x2 , , xn ) Rn x= n X xi ei i=1 Bộ (e1 , e2 , , en ) gọi sở vectơ tắc Rn Ta nói n số chiều khơng gian vectơ Rn , Rn có sở vectơ gồm n phần tử, phần tử Rn nhận từ sở phép cộng vectơ phép nhân với số thực, Rn có n “chiều” độc lập, tự = 4 t=0 Mục đích phần khảo sát tổng quát hóa phương pháp lên nhiều ´ chiều: Với tích phân A f (x) dx, đổi biến x = φ(u) tích phân biến đổi nào? Cho A B hai tập mở Rn Một ánh xạ φ : A → B gọi phép đổi biến φ song ánh, khả vi liên tục, ánh xạ ngược φ−1 khả vi liên tục Ví dụ 2.3.1 Trong Rn phép tịnh tiến theo vectơ a cho x 7→ x + a phép đổi biến Cho f : X ⊂ Rn → R cho φ : U → X = φ(U ) phép đổi biến Thực phép đổi biến φ nghĩa ta thay việc xét hàm f việc xét hàm f ◦ φ, tức x biến f u biến φ ta thay x φ(u), thay f (x) f (φ(u)) 102 CHƯƠNG TÍCH PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Định lý 2.3.2 (Công thức đổi biến) Công thức đổi biến ˆ f= φ(A) ˆ A (f ◦ φ)| det Jφ | (2.3.1) thỏa giả thiết: U tập mở Rn , φ phép đổi biến từ U lên φ(U ), U φ(U ) tích, f (f ◦ φ)| det Jφ | khả tích Có cách viết hình thức tương tự trường hợp chiều sau Đặt x = φ(u) dx = | det Jφ | du, với x ∈ X ⇐⇒ u ∈ U ˆ f (x) dx = X ˆ U f (φ(u))| det Jφ | du Dấu trị tuyệt đối bỏ ta biết dấu det Jφ Nếu det Jφ ln dương φ gọi phép đổi biến bảo tồn định hướng Nếu det Jφ ln âm φ gọi phép đổi biến đảo ngược định hướng Như trường hợp chiều, đổi biến dùng để làm cho hàm dấu tích phân đơn giản Trong trường hợp nhiều chiều, đổi biến hay dùng để làm cho miền lấy tích phân đơn giản Để kiểm ánh xạ thực phép đổi biến, kết sau thường tiện dụng: Mệnh đề 2.3.3 Giả sử U X tập mở Rn , φ : U → X song ánh khả vi liên tục Nếu det Jφ ln khác khơng φ phép đổi biến Ví dụ 2.3.4 (Đổi biến chiều) Ta kiểm phương pháp đổi biến (cịn gọi phương pháp thế) tích phân cho hàm biến quen thuộc Cho x = φ(t) với t ∈ [a, b], φ liên tục φ : (a, b) → φ((a, b)) phép đổi biến Cho f khả tích φ([a, b]) Theo công thức đổi biến: ˆ φ((a,b)) f (x) dx = ˆ (a,b) f (φ(t)) φ′ (t) dt Do φ′ (t) 6= 0, ∀t ∈ (a, b) nên φ′ (t) > 0, ∀t ∈ (a, b) φ′ (t) < 0, ∀t ∈ (a, b) Vì φ hàm tăng φ hàm giảm [a, b] Nếu φ hàm tăng (bảo toàn định hướng) φ([a, b]) = [φ(a), φ(b)] Do đó, dùng Mệnh đề 2.1.20 để chuyển đổi tích phân khoảng mở (a, b) tích 2.3 CƠNG THỨC ĐỔI BIẾN 103 phân khoảng đóng [a, b], ta ˆ b ′ f (φ(t))φ (t) dt = ˆ ′ f (φ(t))φ (t) dt = [a,b] ˆ ˆ f (x) dx = = a (φ(a),φ(b)) = ˆ ˆ f (φ(t))φ′ (t) dt (a,b) f (x) dx [φ(a),φ(b)] φ(b) f (x) dx φ(a) Nếu φ hàm giảm (đảo ngược định hướng) φ([a, b]) = [φ(b), φ(a)] |φ′ (t)| = −φ′ (t) Do b ˆ a f (φ(t))φ (t) dt = − ˆ =− ˆ =− ˆ ′ (a,b) f (φ(t)) φ′ (t) dt f (x) dx (φ(b),φ(a)) φ(a) f (x) dx = φ(b) ˆ φ(b) f (x) dx φ(a) Trong hai trường hợp ta cơng thức đổi biến cho tích phân hàm biến: ˆ b ′ f (φ(t))φ (t) dt = a ˆ φ(b) f (x) dx φ(a) Nếu ta giả sử hàm f liên tục Vi tích phân hàm biến công thức đổi biến chứng minh cách dùng công thức Newton–Leibniz qui tắc đạo hàm hàm hợp, cần hàm φ trơn, xem [Bmgt1] Ví dụ 2.3.5 (Đổi biến hai chiều) Với phép đổi biến (u, v) 7→ (x, y) người ta thường dùng kí hiệu ∂(x, y) = det ∂(u, v) ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v ! Với kí hiệu cơng thức đổi biến có dạng sau Nếu phép đổi biến (u, v) 7→ (x, y) mang A thnh B thỡ ă f (x, y) dxdy = B ∂(x, y) ... 4.1 .2 Mơ hình với phương trình vi phân cấp hai 1 82 Giải phương trình vi phân cấp 185 4 .2. 1 Phương trình vi phân cấp tách biến 185 4 .2. 2 Phương trình vi phân. .. CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2 z |z2 − z1 | (x2 , y2 , z2 ) |x − x 1| (x1 , y1 , z1 ) |y2 − y1 | y p (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 x Hình 1.1.3:... 77 2. 1.1 Tích phân hình hộp 78 2. 1 .2 Tích phân tập tổng quát 81 2. 1.3 Thể tích 82 2.1.4 Tính chất tích phân