Tài liệu giảng dạy môn Vi tích phân 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN Phụ lục TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN VI TÍCH PHÂN A2 GV biên soạn: Nguyễn Văn Tiên Trà vinh, tháng năm 2013 Lƣu hành nội MỤC LỤC Nội dung Trang CHƢƠNG Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến 1.1 Các khái niệm 1.2 Đạo hàm vi phân 12 1.3.Cực trị GTLN- GTNN 20 Bài tập củng cố chương 29 CHƢƠNG Tích phân bội 33 2.1 Tích phân hai lớp 33 2.2 Tích phân lớp 52 Bài tập củng cố chương 65 CHƢƠNG Tích phân đƣờng - Tích phân mặt 68 3.1 Tích phân đường 68 3.2 Tích phân mặt 76 Bài tập củng cố chương 86 CHƢƠNG Phƣơng trình vi phân 89 4.1 Tổng quan phương trình vi phân 89 4.2 Phương trình vi phân cấp 90 4.3 Phương trình vi phân cấp 99 Bài tập củng cố chương 109 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112 Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân A2 CHƢƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, người học có thể: - Hiểu khái niệm hàm nhiều biến - Tính đạo hàm vi phân hàm nhiều biến - Ứng dụng đạo hàm vi phân để tính gần giá trị biểu thức, tìm cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Tập hợp  n Gọi  n  x1 ,x , ,x n  : xi  , i=1,2, n  không gian n chiều (n  * ) Phần tử x   x1 , x2 , , xn   gọi điểm hay vectơ, xi (i=1,2,…,n) n gọi toạ độ thứ i x Hai phần tử x= x1 ,x , ,x n  y=  y1 ,y2 , ,yn  gọi xi  yi i  1, 2, n Khoảng cách hai điểm x= x1 ,x , ,x n  y=  y1 ,y2 , ,yn  số d  x,y = x1 -y1  + x -y  + + x n -y n  = 2 n x -y  i i i1 n Trong tài liệu này, ta làm việc không gian gồm tập  trang bị khoảng cách d(x,y) n Trong  cho điểm M0 số thực   Lân cận điểm M0 bán kính  tập hợp Nε M0   M   n :d M,M0    * Định nghĩa: Gọi S tập  M0   : n n  Điểm M0 gọi điểm S tồn lân cận N ε M0 cho M0  Nε  S Tập S gọi mở điểm điều điểm  Điểm M0 gọi điểm biên S với lân cận N ε M0 vừa chứa điểm thuộc S, vừa chứa điểm không thuộc S, tức Nε  S  , Nε   n \ S   Như S thuộc S, khơng thuộc S Tập hợp tất điểm biên S gọi biên S, kí hiệu  S  S gọi tập đóng điểm biên S điểm thuộc S, kí hiệu S Tài liệu giảng dạy Mơn Vi tích phân A2  Phần S tập điểm S  Tập S  M   n / d(Mo ,M)0) gọi hình cầu mở tâm Mo, bán kính r  Tập S gọi bị chặn tồn hình cầu chứa  Tập S gọi liên thông với cặp điểm M1, M2 S nối với đường cong liên tục nằm trọn S Tập liên thông S gọi đơn liên bị n giới hạn mặt kín (một đường cong kín  ; tập liên thơng S gọi đa liên bị giới hạn từ hai mặt kín trở lên rời đơi Hình Hình Trong  , tập S Hình liên thơng, cịn tập S Hình khơng liên thơng 1.1.2 Hàm nhiều biến 1.1.2.1 Định nghĩa n Cho  D   n Ánh xạ f : D   M=  x1 , , xn   u=f  M  =f  x1 , , xn  gọi hàm số n biến số xác định D Tập D gọi tập xác định hàm f Đó tập điểm  x1 , x2 , xn  cho f x1 ,x , x n  xác định Tập f  M  / M  D gọi tập giá trị hàm số Khi n=2 n=3 ta thường kí hiệu z=f x,y, u=f x,y,z 1.1.2.2 Ví dụ Trong  , cho hàm số f(x, y)=  x  y2 D={(x, y)   : x2+ y21} (hình 3) Trong  , cho hàm số f(x,y,z) = x 9x  y z 2 D={(x,y,z):x2+y2+z2