Đang tải... (xem toàn văn)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN 6 CHIỀU VÀ CHIỀU TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN CHIỀU VÀ CHIỀU TỒN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN CHIỀU VÀ CHIỀU TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Hình học tơpơ Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS Lê Anh Vũ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Anh Vũ TS Dương Minh Thành Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Quý Thầy giúp đỡ, tạo điều kiện cho tiếp xúc với nguồn tài liệu quý nước, giảng giải dẫn tận tình, đầy trách nhiệm cho tơi suốt q trình làm luận văn Hơn nữa, Thầy dành nhiều thời gian công sức để đọc chỉnh sửa luận văn cho Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô khoa Tốn trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt q Thầy Cơ tổ Hình học quý Thầy Cô giảng dạy lớp cao học khóa 21 trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh cung cấp kiến thức chun mơn cần thiết cho để làm tảng cho việc hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô thuộc Ban phản biện đọc cho tơi nhiều nhận xét, đánh giá bổ ích luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Tổ chức Hành chính, Phịng Sau đại học, Phịng Kế hoạch - tài trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Huệ toàn thể đồng nghiệp bạn bè giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn ý kiến trao đổi từ bạn đồng nghiệp Seminar định kì nhóm nghiên cứu chun ngành Hình học - Tôpô trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh Luận văn khơng thể hồn thành thiếu chia sẻ, khích lệ, động viên gia đình tơi Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn vơ hạn đến gia đình Tơi xin chân thành cảm ơn Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2012 Tác giả Nguyễn Văn Bình Bảng dẫn kí hiệu Tập hợp số tự nhiên Trường số thực Trường số phức Khơng gian tốn tử tuyến tính không gian vector V Tập hợp ma trận vuông cấp n trường Đại số Lie ma trận vuông cấp n trường số phức Đại số Lie ma trận vng cấp n có vết trường số sl ( n ) phức Đại số Lie ma trận X vuông cấp n trường số phức thỏa o( n ) mãn X t Đại số=Lie − Xcác ma trận X vuông cấp 2n trường số phức thỏa so(2n) mãn X t J + JX = với J = I n , I n ma trận đơn vị cấp n I n Đại số Lie ma trận X vuông cấp 2n + trường số phức 1 0 t so(2n +1) thỏa mãn X J + JX = với J = 0 I , I ma trận đơn vị n n In cấp n Đại số Lie ma trận X vuông cấp 2n trường số phức thỏa sp(2n) mãn X t J + JX = với J = I n , I n ma trận đơn vị cấp n −I n Der(A) Đại số ánh xạ đạo hàm A Căn đại số Lie g Rad(g) Span(A) Không gian nhỏ chứa A tr(A) Vết ma trận A dim(g) Chiều không gian vector g d q (g) Chiều toàn phương đại số Lie toàn phương g Tổng trực tiếp ⊕ ⊥ Tổng trực tiếp trực giao ⊕ End(V ) Mat(n) gl(n) ∧ ( g* ) dup(g) rank(A) Ker(A) Im(A) Cen(g) Không gian 3-dạng phản xứng g* Số dup đại số Lie toàn phương khơng giao hốn Hạng ma trận A Hạt nhân tốn tử tuyến tính A Ảnh tốn tử tuyến tính A Khơng gian centromorphism g CenI (g) det(A) Không gian centromorphism khả nghịch g Định thức ma trận A Mở đầu Trong luận văn không gian vector chủ yếu xét trường số phức hữu hạn chiều Nghiên cứu đại số Lie, đặc biệt nghiên cứu đại số Lie nửa đơn, lĩnh vực nghiên cứu rộng toán học có nhiều ứng dụng vật lí Một công cụ hữu hiệu sử dụng nhiều nghiên cứu đại số Lie nửa đơn dạng Killing nhờ tính chất đối xứng, bất biến khơng suy biến Chẳng hạn tiêu chuẩn Cartan toán phân loại đại số Lie nói g đại số Lie nửa đơn dạng Killing không suy biến g × g Do người ta đặt câu hỏi rằng, cho đại số Lie g (khơng thiết nửa đơn), liệu có tồn dạng song tuyến tính có tính chất đối xứng, bất biến không suy biến giống dạng Killing g hay không? Trong trường hợp tồn dạng song tuyến tính g gọi đại số Lie toàn phương Đại số Lie toàn phương nghiên cứu từ lâu gần quan tâm nghiên cứu xuất nhiều cơng cụ dành cho đại số Lie tồn phương [6], [14], [16], [17] người ta thấy mối liên hệ chúng với số toán vật lí (xem [13] tài liệu trích dẫn đó) Bản thân khái niệm đại số Lie tồn phương cơng cụ hồn tồn tổng quát lên cho trường hợp siêu đại số Lie toàn phương (xem [5]) áp dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác (xem [2], [6] số tài liệu trích dẫn đó) Chú ý rằng, đại số Lie toàn phương xem xét trường hợp vô hạn chiều [14] Trong luận văn tiếp cận đại số Lie tồn phương theo hướng quen thuộc, nghiên cứu đại số Lie toàn phương thấp chiều Cách tiếp cận có lợi điểm chổ xem xét nhiều khái niệm phức tạp lớp đại số Lie tồn phương ví dụ cụ thể chiều thấp sau tổng quát trở lại khái niệm Một lợi điểm khác thông qua việc phân loại nghiên cứu tính chất đáng ý đại số Lie toàn phương thấp chiều, hi vọng phát nhiều lớp đặc biệt lớp đại số Lie tồn phương tìm thấy cơng cụ nghiên cứu Do chúng tơi cố gắng trình bày đầy đủ khái niệm với nhiều ví dụ, chứng minh diễn giải chi tiết tính tốn mơ tả cụ thể Kết phân loại đến chiều trường hợp giải được thực [18] tiến hành chứng minh lại kết cách ngắn gọn nhờ áp dụng Phân tích Witt (xem [9]) kết [17] Hơn nữa, kết kiểm chứng thông qua phương pháp mở rộng kép, phương pháp hiệu nghiên cứu đại số Lie tồn phương Trường hợp xem ví dụ cho trường hợp lại chương Đối với việc phân loại trường hợp giải chiều, công việc thực [11] công cụ mở rộng kép Trường hợp phân loại [11] công cụ mở rộng kép Hơn chúng tơi áp dụng phương pháp để phân loại đại số Lie tồn phương rút gọn thu kết giống [17] sử dụng ứng dụng đại số Lie phân bậc tích super-Poisson Qua cách làm chúng tơi, độc giả thấy hạn chế phương pháp sử dụng Phân tích Witt địi hỏi phải sử dụng phương pháp phân loại tốt hơn, chẳng hạn mở rộng kép, muốn phân loại trường hợp số chiều lớn Cho đến nay, phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều toán mở Bằng cách áp dụng kết từ mở rộng kép [13] [15] kết hợp với kết phân loại quỹ đạo phụ hợp đại số Lie cổ điển o(m) [10] [11], chứng minh trường hợp bất khả phân, đại số Lie toàn phương giải chiều mở rộng kép chiều đại số giao hoán ta nhận phân loại gồm họ đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Phân loại đến đẳng cấu đẳng cự Kiểu mở rộng kép đại số Lie giao hoán kiểu mở rộng kép phân loại hoàn toàn Các đại số Lie toàn phương thu từ kiểu mở rộng kép gọi đại số Lie tồn phương kì dị Trong luận văn chúng tơi trình bày thêm cách tiếp cận khác đến đại số Lie toàn phương thông qua việc nghiên cứu 3-dạng liên kết với chúng Từ phân loại 3-dạng liên kết không gian đến chiều chứng minh đại số Lie toàn phương giải khơng giao hốn đến chiều đại số Lie tồn phương kì dị Kết trùng với kết thu từ phương pháp mở rộng kép Một đặc trưng lí thú nghiên cứu đại số Lie tồn phương tính tốn chiều tồn phương chúng, tức tính tốn chiều khơng gian sinh dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến đại số Lie toàn phương cho trước Cho đến nay, công thức tổng quát cho chiều toàn phương đại số Lie tồn phương tốn mở Người ta tính tốn cơng thức cách xác cho chiều toàn phương lớp đại số Lie đơn, lớp đại số Lie rút gọn lớp đại số Lie tồn phương kì dị thu chặn chặn chiều toàn phương trường hợp tổng quát (xem [4], [11] số tài liệu trích dẫn đó) Trong Chương 3, chúng tơi trình bày cách chi tiết cách tính chiều tồn phương đại số Lie tồn phương áp dụng cho đại số Lie toàn phương thu từ phân loại Kết nhận công thức tường minh cho đại số Vì nội dung luận văn khảo sát toán phân loại đại số Lie giải đến chiều tính chiều tồn phương chúng nên luận văn chúng tơi có tên “Phân loại đại số Lie tồn phương giải đến chiều chiều toàn phương” Phần nội dung luận văn chia làm chương Chương dành chủ yếu để giới thiệu định nghĩa số kết đại số Lie đại số Lie toàn phương Vì đại số Lie tồn phương đối tượng xuất tự nhiên từ việc tổng quát trường hợp đại số Lie nửa đơn với dạng Killing nên chúng tơi tập trung giới thiệu tính chất đặc biệt dạng Killing số kết quen thuộc liên quan đến đại số Lie nửa đơn liên quan đến việc tổng quát hóa Đối với đại số Lie tồn phương, chúng tơi giới thiệu kiến thức cần thiết liên quan đến việc phân loại đại số Lie toàn phương giải tính tốn chiều tồn phương Chương thứ hai chủ yếu dành để khảo sát đại số Lie toàn phương tiến hành phân loại lại phân tích Witt Chương thứ ba trình bày chi tiết việc phân loại tính tốn chiều tồn phương đại số Lie toàn phương đến chiều Chúng tơi trình bày thêm cách tiếp cận đến đại số Lie tồn phương thấp chiều thơng qua 3-dạng liên kết với chúng Phần cuối luận văn số kết luận kiến nghị 10 Chương Mở đầu đại số Lie đại số Lie toàn phương 1.1 Đại số Lie 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho g không gian vector trường Ta nói g đại số Lie g trang bị phép tốn (gọi tích Lie) [.,.]:g × g → g ( X ,Y ) [ X ,Y ] thỏa mãn điều kiện sau: i) Phép toán [.,.] ánh xạ song tuyến tính; ii) Phép tốn [.,.] phản xứng, tức [ X , X ]= với X∈ g ; iii) [ X ,[Y , Z ]]+ [Y ,[Z , X ]]+ [Z ,[X ,Y ]] = với X ,Y , Z ∈ g (đồng thức Jacobi) Số chiều đại số Lie g số chiều khơng gian vector g 1.1.2 Đại số Lie ideal Định nghĩa 1.2 Cho đại số Lie g Một không gian vector A g gọi đại số Lie g [ X ,Y ]∈ A với X ,Y ∈ g Định nghĩa 1.3 Cho đại số Lie g Một không gian vector I g gọi ideal g [ X ,Y ]∈ I với X ∈ g,Y ∈ I Cho đại số Lie g ta kí hiệu [g, g] = {[X ,Y ] | X ,Y ∈ g} gọi đại số dẫn xuất đại số Lie g ideal g Kí hiệu Z (g) = {X ∈ g|[X ,Y ] = 0,∀Y ∈ g} ideal tâm g Định nghĩa 1.4 Cho đại số Lie g trường Ta kí hiệu [ , ], (2 ) [ (1) , (1) ], , ( n ) [ ( n−1) g = g g g = g g … g = g , g( n−1) ] Khi đại số Lie g gọi giải tồn m ∈ {0} cho g( m ) = {0} (1) ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Bình PHÂN LOẠI CÁC ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG GIẢI ĐƯỢC ĐẾN CHIỀU VÀ CHIỀU TỒN PHƯƠNG Chun ngành: Hình học tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN... trường hợp bất khả phân, đại số Lie tồn phương giải chiều cịn mở rộng kép chiều đại số giao hốn ta nhận phân loại gồm họ đại số Lie toàn phương giải chiều bất khả phân Phân loại đến đẳng cấu đẳng... phân loại đại số Lie giải đến chiều tính chiều tồn phương chúng nên luận văn chúng tơi có tên ? ?Phân loại đại số Lie toàn phương giải đến chiều chiều tồn phương? ?? Phần nội dung luận văn chia làm