Một số kiến thức và kết quả cơ bản 12
Chương này giới thiệu khái quát về các khái niệm nhóm Lie, đại số Lie, đại số Lie toàn phương và siêu đại số Lie toàn phương, đồng thời trình bày những đối đồng điều của chúng Ngoài ra, chương cũng tóm tắt một số kết quả và tính chất đã được biết đến trong lĩnh vực này.
0 1 Nhóm Lie và đại số Lie - Đối đồng điều của đại số Lie
Nhóm Lie n-chiều G là một cấu trúc toán học, được định nghĩa là một đa tạp khả vi n-chiều, trong đó phép toán nhóm (x,y) 7→ xy −1 cũng phải khả vi Nếu nhóm Lie G thỏa mãn điều kiện giao hoán, tức là phép toán nhóm giao hoán, thì nó được gọi là nhóm Lie giao hoán.
Nhóm Lie có thể được phân loại thành nhóm Lie thực hoặc nhóm Lie phức, tùy thuộc vào cấu trúc đa tạp khả vi Một không gian vector n-chiều g được gọi là đại số Lie n-chiều nếu trên g có một phép toán Lie [.,.] là một ánh xạ song tuyến tính và thỏa mãn các tính chất cần thiết.
(ii) [[X,Y ],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y ] = 0 với mọi X,Y,Z ∈ g (Đồng nhất Jacobi)
Nếu [ã,ã] ≡ 0 thỡ g được gọi là đại số Lie giao hoỏn Tõm của đại số Lie g là tập hợp z(g) {X ∈ g : [X,Y ] = 0,∀Y ∈ g}
Theo lý thuyết Lie, mỗi nhóm Lie G xác định một đại số Lie duy nhất, ký hiệu là Lie(G) Ngược lại, với mỗi đại số Lie g, luôn tồn tại một nhóm Lie liên thông và đơn liên duy nhất G sao cho Lie(G) = g Nếu h là một không gian véctơ con của g, thì h được gọi là một không gian véctơ con của đại số Lie.
(i) Đại số con của g nếu [X,Y ] ∈ h,∀X,Y ∈ h; (ii) Ideal của g nếu [X,Y ] ∈ h,∀X ∈ g,Y ∈ h
Hiển nhiên, {0} và g là các ideal của g, được gọi là các ideal tầm thường của g Các ideal khác {0} và g được gọi là các ideal thực sự
Cho g,h là các đại số Lie Ánh xạ tuyến tính F : g → h được gọi là đồng cấu đại số Lie nếu
Nếu đồng cấu đại số Lie F là song ánh, thì F được gọi là đẳng cấu đại số Lie Khi đó, ta có thể nói rằng g đẳng cấu đại số Lie với h và ký hiệu là g ∼ = h.
Biến đổi tuyến tính D : g → g được gọi là đạo hàm của g nếu
Kí hiệu Der(g) đại diện cho tập hợp tất cả các đạo hàm của g, và nó là một đại số Lie con của đại số Lie gl(g) Nếu h và g là hai đại số Lie với đồng cấu đại số Lie π: h → Der(g), thì tích nửa trực tiếp của h và g tạo thành một đại số Lie h ⊕ g Tích Lie được xác định bởi công thức [X + G, Y + H] = [X, Y]h + [G, H]g + π(X)(H) - π(Y)(G) với mọi X, Y ∈ h và G, H ∈ g Tích nửa trực tiếp này được ký hiệu là h ⊕ π g.
Khi π = 0, tích nửa trực tiếp trở thành tích trực tiếp của hai đại số Lie
0 1 2 Các kiểu đại số Lie Định nghĩa 0 5 Cho g là một đại số Lie
Dãy g 0 = g 1 = [g,g] và g k = [g k−1 ,g k−1 ] với k > 2 được gọi là dãy các ideal dẫn xuất của g Đồng thời, dãy g (1) = [g,g] và g (k) = [g,g (k−1) ] với k > 2 được gọi là chuỗi tâm giảm của g Đại số Lie g được xem là giải được (hoặc lũy linh) nếu tồn tại m > 1 sao cho g m = 0 (hoặc g (m) = 0).
Bổ đề 0 1 1 Cho g là một đại số Lie hữu hạn chiều
1 Tồn tại duy nhất ideal giải được của g chứa tất cả mọi ideal giải được của g
2 Tồn tại duy nhất ideal lũy linh của g chứa tất cả mọi ideal lũy linh của g
Radical lớn nhất của một đại số Lie g được ký hiệu là rad(g), trong khi ideal lũy linh lớn nhất được gọi là nilradical và được ký hiệu là nil(g) Các khái niệm radical và nilradical là công cụ thiết yếu để mô tả cấu trúc của đại số Lie Một đại số Lie được gọi là đơn nếu nó không giao hoán và không có ideal thực sự.
Một đại số Lie được xem là bất khả phân khi không thể phân tích thành tích trực tiếp của hai ideal thực sự Ngoài ra, một đại số Lie được gọi là nửa đơn nếu nó không chứa ideal giải được khác không, tức là rad(g) = 0.
Mệnh đề 0 1 1 Một đại số Lie hữu hạn chiều là nửa đơn khi và chỉ khi nó là tích trực tiếp các đại số Lie đơn
Mệnh đề sau đây khẳng định mọi đại số Lie được quy về các đại số Lie nửa đơn và đại số Lie giải được
Mệnh đề 0 1 2 (Định lý Levi – Malcev) chỉ ra rằng, với một đại số Lie hữu hạn chiều g trên trường đặc số 0, nếu g không giải được, sẽ tồn tại một đại số Lie con nửa đơn s của g Có một đồng cấu đại số Lie π: s → Der(rad(g)) sao cho g là tích nửa trực tiếp s ⊕ π rad(g) Đại số Lie con nửa đơn s được gọi là đại số con Levi của g và s đẳng cấu với g/rad(g) Cần lưu ý rằng đại số con Levi của một đại số Lie không phải là duy nhất, trong khi radical của một đại số Lie thì là duy nhất.
0 1 3 Đối đồng điều của đại số Lie
Cho g là một đại số Lie và V là một không gian vectơ, với biểu diễn ρ : g → End(V ) Đối với k ≥ 0, kí hiệu C k (g,V ) là không gian các ánh xạ k-tuyến tính phản xứng từ g × g × × g vào V nếu k ≥ 1, và C 0 (g,V ) = V Toán tử đối bờ δ k : C k (g,V ) → C k+1 (g,V ) được định nghĩa để chuyển đổi giữa các không gian này.
, với mọi f ∈ C k (g,V ), X 0 , ,X k ∈ g, kí hiệu để chỉ X i không có trong công thức
Ta nói rằng f ∈ C k (g,V ) là một k-đối chu trình nếu δ k f = 0 và f là một k-đối bờ nếu có g ∈
Kí hiệu Z k (g,V ) đại diện cho tập hợp các k-đối chu trình, trong khi B k (g,V ) là tập hợp các k-đối bờ, với Z k (g,V ) = Kerδ k và B k (g,V ) = Imδ k−1 Không gian thương Z k (g,V )/B k (g,V ) được ký hiệu là H k (g,V ) và được gọi là nhóm đối đồng điều thứ k của g với hệ số trong V Mỗi phần tử thuộc H k (g,V ) được gọi là một k-đối đồng điều.
Mệnh đề 0 1 3 Cho V = g và ρ = ad, khi đó H 1 (g,g) = Der (g)/ad(g)
Mệnh đề 0 1 4 được đề xuất bởi Jacobson vào năm 1955, cho rằng nếu g là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường đặc số 0 và tồn tại một đạo hàm khả nghịch trên g, thì g sẽ là đại số Lie lũy linh.
Mệnh đề 0 1 5 của Dixmier (1958) khẳng định rằng, đối với một đại số Lie lũy linh hữu hạn chiều trên một trường có đặc trưng 0, thì đại số này sẽ có đạo hàm ngoài Điều này dẫn đến kết luận rằng H 1 (g,g) không bằng không, tức là H 1 (g,g) 6= {0}.
Mệnh đề 0 1 6 (Zassenhaus [111] năm 1939) Nếu g là một đại số Lie hữu hạn chiều có dạng
Killing không suy biến Khi đó mọi đạo hàm của g đều là đạo hàm trong
Khi V một chiều, tức là V = C (hoặc R) lúc này biểu diễn ρ là tầm thường Khi đó C 0 (g,C)
= C, C k (g,C) là không gian các ánh xạ k−tuyến tính phản xứng từ g × g × × g vào C, tức là
C k (g,C) = Λ k (g ∗ ) và: Định nghĩa 0 9 Số chiều của nhóm đối đồng điều H k (g,C) của đại số Lie g được gọi là số Betti thứ k của g và được ký hiệu là b k (g)
Mệnh đề 0 1 7 (xem thêm [107]) Cho đại số Lie g và g-module V , ta có
(ii) (ii) dim dimV − dimB k (g,V ) − dimB k+1 (g,V )
Khi V = K, từ Mệnh đề 0 1 7 ta được hệ quả sau
Hệ quả 0 1 1 Cho đại số Lie g, ta có
Đối với đại số Lie khả phân g ⊕ h, công thức Ku¨nneth cho phép tính toán đối đồng điều của chúng thông qua đối đồng điều của g và h Cụ thể, công thức được thể hiện như sau: b k (g) = dimZ k (g,K) + dim dimV dimB k (g,K) − dimB k+1 (g,K).
Mệnh đề 0 1 8 ([92], Proposition 2 8) Cho đại số Lie hữu hạn chiều g,h trên trường
Mệnh đề 0 1 9 ([83], Theorem 2 2) Cho các đại số Lie Heisenberg h2n+1 có cơ sở là
{X 1 , ,X n ,Y 1 , ,Y n ,Z} với tích Lie thỏa mãn [X i ,Y i ] = Z,i = 1,2, ,n trên trường đặc số 0 Với k ∈ {0,1, ,n} và gọi là cơ sở đối ngẫu của {X 1 , ,X n ,Y 1 , ,Y n ,Z} Khi đó:
Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều 23
Các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất số chiều hoặc đối chiều thấp và tính toán đối đồng điều
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán phân loại và tính toán đối đồng điều của các lớp đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất thấp chiều và đối chiều thấp Đầu tiên, chúng tôi giới thiệu kết quả mới về phân loại triệt để lớp Lie(n+1,n) các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất đối chiều 1 Tiếp theo, chúng tôi trình bày khái niệm bài toán wild và chỉ ra rằng bài toán phân loại lớp Lie(n+2,n) các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất đối chiều 2 là wild, đồng thời phân loại một lớp con của lớp này khi tính wild bị phá vỡ Chúng tôi cũng giới thiệu kết quả mới về phép mô tả tất cả các đối đồng điều của lớp các đại số Lie thực giải được với ideal dẫn xuất 1 chiều và đối đồng điều của lớp các đại số Lie Kim cương tổng quát Các kết quả chính của chương này đã được công bố trong ba bài báo quốc tế: bài đầu tiên về phân loại lớp con của lớp Lie(n + 1,n), bài thứ hai liên quan đến việc phân loại các đại số Lie giải được với đại số dẫn xuất nhỏ, và bài thứ ba tiếp tục nghiên cứu trong lĩnh vực này.
“Cohomology of some families of Lie algebras and quadratic Lie algebras” đăng trên East-
West Journal of Mathematics năm 2018
1 1 Phân loại đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất đối chiều 1
Mục này trình bày kết quả phân loại đầy đủ lớp Lie(n + 1,n) cho tất cả các đại số Lie thực giải được, với đại số dẫn xuất đối chiều 1 Nghiên cứu này được thực hiện trong năm
Năm 2016, chúng tôi đã đạt được bước đầu quan trọng trong việc phân loại một lớp con của lớp Lie(n + 1,n) với điều kiện đại số dẫn xuất giao hoán Gần đây, chúng tôi đã phát triển một phương pháp hiệu quả để phân loại triệt để lớp Lie(n + 1,n) này thông qua việc sử dụng các toán tử đạo hàm trên đại số dẫn xuất.
Chúng tôi sẽ trình bày lại một số khái niệm và kết quả quan trọng liên quan đến cấu trúc đại số Lie, đặc biệt là việc mở rộng đại số Lie thông qua đạo hàm, một công cụ hữu ích để chứng minh các kết quả phân loại lớp Lie(n + 1,n) và lớp các đại số Lie thực giải được với đại số dẫn xuất có chiều thấp.
1 1 1 Mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm và đồng dạng tỉ lệ
Mệnh đề 1.1.1 khẳng định rằng nếu g là đại số Lie thực giải được, thì tồn tại một đại số con a ⊂ g đối chiều 1 cùng với đạo hàm D của a, sao cho g có thể được phân tách thành RX ⊕ D a Hơn nữa, nếu g không phải là đại số Abel, ta có thể lựa chọn đại số con a phù hợp.
D và a sao cho D là đạo hàm ngoài của a
Theo Mệnh đề 1 1 1, mỗi đại số Lie giải được là mở rộng của đại số đối chiều 1 bởi một đạo hàm thích hợp
Mệnh đề 1 1 2 [51] Cho a là đại số Lie giải được và D 1 ,D 2 là các đạo hàm của a
Gọi g i = Rx⊕ D i a với i = 1,2 Giả sử σ ∈ Aut(K) sao cho σD 1 σ −1 = λD 2 với λ 6= 0 Khi đó g1 đẳng cấu với g2
Kết quả từ Mệnh đề 1 1 2 là điều kiện cần thiết để hai mở rộng đại số Lie có cấu trúc đẳng cấu Áp dụng Mệnh đề 1 1 1 và 1 1 2, chúng ta có thể dễ dàng suy ra nhiều kết quả quan trọng khác.
Mệnh đề 1 1 3 Cho a là đại số Lie thực và D 1 ,D 2 ∈ Der(a) Gọi g i = RX ⊕ D i a với i = 1,2 Nếu
D 1 = D 2 + ad(U) với U ∈ a thì g1 và g2 đẳng cấu
Kết hợp Mệnh đề 1 1 2 và 1 1 3, ta được các hệ quả sau đây
Hệ quả 1 1 1 Cho a là đại số Lie giải được và D 1 , D 2 ∈ Der(a) Khi đó g i = RX ⊕ D i a với i 1,2 Nếu tồn tại σ ∈ Aut(a) sao cho σD 1 σ −1 = αD 2 + ad(U) với α ∈ R \ {0} và U ∈ a thì g1 và g2 đẳng cấu
Hệ quả 1.1.2 cho biết rằng với a là đại số Lie giải được và D ∈ Der(a), ta có thể biểu diễn g = RX ⊕ D a Nếu D thuộc ad(a), thì g trở nên khả phân Hơn nữa, g có thể được phân tích thành tổng trực tiếp g = RX₀ ⊕ a, trong đó X₀ thuộc g.
\ a Định nghĩa 1 1 1 Hai ma trận A,B ∈ Mat n (F) được gọi là đồng dạng tỉ lệ, được ký hiệu là A
∼ p B, nếu tồn tại c ∈ F\{0} và C ∈ GL n (F) sao cho cA = C −1 BC
Hai đạo hàm D1 và D2 thuộc tập hợp Der(a) được gọi là đồng dạng tỷ lệ bởi nhóm các đẳng cấu của a, ký hiệu D1 ∼ a p D2, nếu tồn tại một số α khác không và một ánh xạ σ thuộc Aut(a) sao cho αD1 σ^(-1) D2 σ Các lớp A và ¯A trong H1(a, a) cũng được xem là đồng dạng tỷ lệ bởi nhóm các đẳng cấu của a, ký hiệu ¯A ∼ a p ¯A, nếu D1 ∼ a p D2 với D1 thuộc ¯A và D2 thuộc ¯B.
Nhận xét 1 1 1 Dễ dàng kiểm tra được rằng:
Biến đổi đồng cấu của không gian véctơ hữu hạn chiều trên trường F là đồng dạng tỉ lệ nếu và chỉ nếu các ma trận tương ứng với cơ sở đã cho cũng đồng dạng tỉ lệ.
2 Khi F = R, phân loại Mat n (R) sai khác đồng dạng tỉ lệ được quy về phân loại theo dạng chuẩn Jordan quen thuộc trên Mat n (R)
Tiếp theo, chúng ta mô tả lớp Lie(n + 1,n) dựa trên cấu trúc mở rộng đại số Lie bởi một đạo hàm
1 1 2 Mô tả lớp Lie( n + 1 ,n ) Để mô tả và tiến tới phân loại triệt để lớp Lie(n + 1,n), chúng ta thực hiện tuần tự các bước dưới đây
Bước 1 Lấy một đại số Lie lũy linh n chiều a;
Bước 2 Mở rộng a tới tất cả các đại số Lie giải được n+1 chiều g với đại số dẫn xuất a, tức là g 1 = a
Bước 3 Lặp lại bước 2 cho tất cả các đại số Lie a
Trước tiên, chúng ta cố định đại số Lie thực lũy linh n chiều bất kỳ a Giả sử rằng g ∈ Lie(n+1,n) với g 1 = a Không mất tính tổng quát, ta chọn cơ sở {X 1, , X n, Y} của g, trong đó g 1.
= a = span{X 1 , ,X n } Theo Mệnh đề 1 1 1, tồn tại D ∈ Der(a) sao cho g = RY ⊕ D a
Đại số Lie có dạng g = RY ⊕ D a, với D ∈ Der(a), không nhất thiết thuộc lớp Lie(n + 1,n) Do đó, cần xác định điều kiện cần và đủ cho D để đảm bảo rằng g thuộc Lie(n + 1,n).
Mệnh đề 1 1 4 Cho a là đại số Lie lũy linh n chiều và g = RY ⊕ D a với D ∈ Der(a) như trên
Bằng cách đánh số lại (nếu cần), ta giả sử rằng a 1 = span{X 1 , ,X m } với 0 ≤ m < n Khi đó những điều kiện sau tương đương nhau:
4 rank(d ij ) i>m = n − m, trong đó (d ij ) n ∈ Mat n (R) là ma trận biểu diễn của D tương ứng với cơ sở {X 1 , ,X n };
5 D ˜ : a/a 1 → a/a 1 là đẳng cấu tuyến tính, trong đó D ˜ được cảm sinh từ D trên không gian thương a/a 1
Chứng minh Ta thấy rằng g
Vì vậy, g ∈ Lie(n + 1,n) khi và chỉ khi g 1 = a
Theo công thức Leibniz, đại số dẫn xuất a 1 là D-bất biến, tức là D (a 1 ) ⊂ a 1 Điều này dẫn đến D˜ : a/a 1 → a/a 1 là định nghĩa tốt và D˜ là đẳng cấu tuyến tính
Mệnh đề 1 1 5 Cho a là đại số Lie thực lũy linh n chiều Khi đó, ta có những khẳng định sau:
(i) Tất cả các đại số Lie thuộc lớp Lie(n + 1,n) bất khả phân
(ii) Không tồn tại g ∈ Lie(n + 1,n) là mở rộng của a bởi một đạo hàm trong D của a Nói cách khác, nếu D ∈ ad(a) thì g = RY ⊕ D a ∈/ Lie(n + 1,n) Chứng minh
Cho g ∈ Lie(n + 1,n), nếu g khả phân thì g = g1 ⊕ g2 Tuy nhiên, vì g1 và g2 giải được nên dimg = dimg1 + dimg2 - 2 Điều này dẫn đến dimg1 ≤ dimg - 2, mâu thuẫn với g ∈ Lie(n + 1,n) Do đó, g là bất khả phân.
(ii) Điều này suy ra trực tiếp từ Hệ quả 1 1 2 và Mục i của Mệnh đề này
1 1 3 Bài toán phân loại Lie( n + 1 ,n )
Xét đại số Lie lũy linh n chiều a, mỗi đại số Lie trong Lie(n + 1,n) có đại số dẫn xuất a là một mở rộng của a bởi một đạo hàm ngoài của a Chúng tôi chỉ ra rằng đạo hàm này phải là đạo hàm ngoài, nhưng ngược lại không đúng, tức là một đại số Lie được mở rộng từ a bởi một đạo hàm ngoài của a không nhất thiết thuộc lớp Lie(n + 1,n) Chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ của đạo hàm ngoài để mở rộng này thuộc Lie(n + 1,n).
Mệnh đề 1.1 trong định lý đề cập đến việc phân loại tất cả các đại số Lie thuộc lớp Lie(n+1,n) với đại số dẫn xuất a Bài toán này tương đương với việc phân loại lớp tương đương của các đạo hàm ngoài trong không gian đối đồng điều thứ nhất a, dựa trên các điều kiện tương đương được nêu trong Mệnh đề 1.1.4, với sự khác biệt đồng dạng tỉ lệ.
Phân loại Lie(n + 1,n) được thực hiện qua ba bước, bắt đầu từ đại số Lie thực lũy linh n chiều a Tiếp theo, mở rộng a đến tất cả các đại số Lie g thuộc Lie(n + 1,n), với điều kiện g 1 = a.
Vài lớp các đại số Lie toàn phương giải được và tính toán đối đồng điều 56
được và tính toán đối đồng điều
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu các đại số Lie toàn phương, bắt đầu bằng việc giới thiệu khái niệm mở rộng kép và mở rộng T∗, những công cụ quan trọng cho bài toán phân loại đại số Lie Tiếp theo, chúng tôi mô tả không gian các đạo hàm phản xứng và tính toán tường minh số Betti của lớp đại số Lie toàn phương giải được với số chiều nhỏ hơn hoặc bằng 7, được phân loại bởi Duong Minh Thành và Ushirobira vào năm 2014 Chúng tôi cũng tính toán số Betti thứ hai của các đại số Lie kiểu Jordan Các kết quả chính đã được công bố trong hai bài báo: “Số Betti và không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương giải được số chiều bé hơn hoặc bằng 7” (2015) và “Số Betti thứ hai của các đại số Lie lũy linh kiểu Jordan” (2019), cả hai đều đăng trên Tạp chí Khoa học Tự nhiên, ĐHSP TP HCM.
2 1 Mở rộng kép, mở rộng T ∗ và bài toán phân loại đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều
2 1 1 Mở rộng kép và mở rộng T ∗
Cho (g,B) là một đại số Lie toàn phương và D là một đồng cấu của g Ta nói rằng
Kí hiệu End a (g) và Der a (g,B) đại diện cho không gian các đồng cấu phản xứng và các đạo hàm phản xứng của (g,B) Kết quả cho thấy số Betti b2 của g có thể được tính thông qua số chiều của không gian các đạo hàm phản xứng Der a (g) và không gian các đạo hàm trong ad(g).
Mệnh đề 2 1 1 Cho D ∈ Der a (g,B) và ω ∈ ∧ 2 (g ∗ ) xác định bởi ω(X,Y ) = B(D(X),Y ), với mọi X,Y ∈ g
Khi đó, ω ∈ ∧²(g∗) là một 2-đối chu trình, và ánh xạ T xác định bởi T(D) = ω là một đẳng cấu đại số Lie từ không gian Der a(g, B) đến Z²(g, C) Đẳng cấu này cảm sinh một đẳng cấu từ ad(g) đến B²(g, C) Do đó, Der a(g, B)/ad(g) đẳng cấu với H²(g, C).
Mở rộng kép của một đại số Lie được định nghĩa thông qua một đạo hàm phản xứng Cụ thể, cho (g,B) là một đại số Lie toàn phương và D là một đạo hàm phản xứng của g, trên không gian véctơ g = g ⊕ Ce ⊕ Cf, ta sẽ định nghĩa một phép toán liên quan.
Đại số Lie g được xác định bởi mối quan hệ [X,Y] = [X,Y]g + B(D(X),Y)f, với [e,X] = D(X) và [f,g] = 0 cho mọi X,Y thuộc g Điều này cho thấy g không chỉ là một đại số Lie mà còn là một đại số Lie toàn phương, với dạng song tuyến tính đối xứng bất biến B được xác định rõ ràng.
Trong trường hợp này, ta gọi g là mở rộng kép của g bởi D
Mệnh đề sau đây mô tả quy nạp các đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều thông qua cấu trúc mở rộng kép một chiều
Mệnh đề 2 1 2 (xem [58], [107] hoặc [44]) cho rằng, với (g,B) là một đại số Lie toàn phương giải được không giao hoán n chiều, thì g là mở rộng kép một chiều của một đại số.
Định nghĩa Lie toàn phương giải được n − 2 chiều liên quan đến một đại số Lie g và một 2-đối chu trình θ: g × g → g ∗ Ánh xạ θ là song tuyến tính và phản xứng, đồng thời thỏa mãn điều kiện θ(X,Y).
◦ ad(Z) + θ([X,Y ],Z) + cycle(X,Y,Z) = 0, với mọi X,Y,Z ∈ g Ta định nghĩa một tích trên được xác định bởi:
[X + f,Y + g] = [X,Y ] + ad ∗ (X)(g) − ad ∗ (Y )(f) + θ(X,Y ), với mọi X,Y ∈ g,f,g ∈ g ∗ Khi đó T θ ∗(g) trở thành một đại số Lie và được gọi là mở rộng
Nếu θ là một đồng cấu trên đại số Lie g và thỏa mãn điều kiện cyclic θ(X,Y)Z = θ(Y,Z)X cho mọi X, Y, Z thuộc g, thì T θ ∗(g) sẽ tạo thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính được xác định bởi θ.
Mệnh đề 2 1 3 (xem [12]) Cho (g,B) là một đại số Lie toàn phương giải được trên C
Nếu đại số Lie g có số chiều chẵn, thì cặp (g,B) đẳng cấu đẳng cự với một mở rộng T ∗ của một đại số Lie nào đó Ngược lại, nếu g có số chiều lẻ, thì (g,B) đẳng cấu đẳng cự với một ideal không suy biến có chiều 1 của một mở rộng T ∗.
Sau đây là một điều kiện để mở rộng T ∗ khả phân
Giả sử g là một đại số Lie có tâm không tầm thường và θ : g×g → g ∗ là một 2-đối chu trình của g Nếu tồn tại phần tử tâm khác không X và một số phức khác không a sao cho θ(X,Y ) = aX ∗ ◦ ad(Y ) cho mọi Y ∈ g, trong đó X ∗ là phần tử đối ngẫu của X, thì T θ ∗(g) sẽ khả phân.
Vào năm 1987, Favre và Santharoubane đã phân loại các đại số Lie toàn phương giải được theo số chiều thấp, đạt đến 7 chiều trong bài báo [44] Tiếp theo, Kath đã mở rộng phân loại này lên đến 10 chiều trong bài báo [62] Đối với trường hợp đại số Lie toàn phương giải được trên trường số thực, Kath đã phân loại đến 6 chiều bằng phương pháp mở rộng kép (xem bài báo [61]) Kết quả này sau đó được T D Pham, M T Duong và A V Le kiểm tra lại bằng phương pháp phân tích Fitting trong [79] Gần đây, M T Duong và R Ushirobira đã tiến hành phân loại đến 8 chiều trên trường đặc số không (xem [41]).
S Benayadi và A Elduque đã phân loại 13 chiều đại số Lie không giải được trên trường số thực và phức trong bài báo [20] Hệ quả từ nghiên cứu này là phân loại các đại số Lie không giải được trên trường đặc số không với số chiều lên đến 11.
Một phương pháp để phân loại các đại số Lie toàn phương giải được là nghiên cứu các đạo hàm phản xứng của chúng Để phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều, cần mô tả đầy đủ không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie 4 chiều Đặc biệt, trong trường hợp đại số Lie 4 chiều giao hoán, các đạo hàm phản xứng thực chất là các ánh xạ phản xứng Ngược lại, với đại số Lie toàn phương giải được 4 chiều không giao hoán, hay đại số Lie kim cương, ánh xạ phản xứng phải thỏa mãn điều kiện đạo hàm Năm 1996, các tác giả trong bài báo [45] đã chứng minh rằng mở rộng kép của một đạo hàm trong là khả phân.
Mệnh đề 2.1.5 (xem [45]) xác định rằng, cho đại số Lie toàn phương (g,B) và đạo hàm trong D = ad g (X₀), thì mở rộng kép một chiều của (g,B) bởi D là khả phân.
Mệnh đề trên cho phép mô tả các đạo hàm phản xứng không phải là đạo hàm trong nghiên cứu mở rộng kép một chiều của đại số Lie toàn phương Cụ thể, với g là đại số Lie kim cương, mọi đạo hàm phản xứng của g đều là đạo hàm trong Hệ quả là mọi mở rộng kép một chiều của đại số kim cương đều khả phân.
Về mở rộng kép bởi các đạo hàm phản xứng ngoài, ta có một kết quả thú vị được đưa ra trong [107] như sau