Thuvienhoclieu com hh 6 chuyen de 3 chu de 2 doan thang do dai doan thang trung diem cua doan thang

thuvienhoclieu.com HH6 CHUYÊN ĐỀ - ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG, ĐOẠN THẲNG VÀ TAM GIÁC CHỦ ĐỀ 2: ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG, TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG PHẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐOẠN THẲNG, ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Đoạn thẳng hình gồm điểm , điểm tất điểm nằm A B Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài đoạn thẳng số dương có độ dài độ dài đoạn thẳng A B C D nhỏ độ dài đoạn thẳng A B C độ dài đoạn thẳng D lớn độ dài đoạn thẳng A B C D Điểm nằm hai điểm: A Nếu điểm nằm điểm Ngược lại, Nếu điểm điểm điểm M nằm hai điểm khơng nằm A Nếu điểm nằm hai điểm B M và N ; điểm B nằm hai điểm VẼ ĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI thuvienhoclieu.com Trang Trên tia thuvienhoclieu.com vẽ điểm cho Trên tia , Trên tia điểm , có điểm , nằm hai điểm (đơn vị dài) hay OM < ON điểm , , ; , nằm hai điểm hay TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách hai đầu đoạn thẳng M A Nếu Điểm trung điểm đoạn thẳng nằm hai điểm Nếu , thì: nằm hai đầu đoạn thẳng Mỗi đoạn thẳng có B trung điểm đoạn trung điểm PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng chứng minh điểm nằm I.Phương pháp giải  Để tính độ dài đoạn thẳng ta thường sử dụng nhận xét sau:  Nếu điểm nằm điểm điểm điểm nằm hai điểm  Nếu điểm nằm hai điểm Ngược lại, ; điểm nằm hai điểm  Nếu trung điểm đoạn thẳng  Để chứng minh điểm nằm hai điểm ta thường sử dụng nhận xét sau:  Nếu điểm  Trên tia , , nằm hai điểm hay điểm nằm hai điểm  Nếu tia tia hai tia đối điểm nằm hai điểm II.Bài tốn Bài 1: Cho đoạn thẳng Tính cm Gọi điểm nằm , cm trung điểm thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Lời giải: A Vì điểm nằm hai điểm C B M Nên Suy Vì (cm) trung điểm đoạn thẳng Nên (cm) Bài 2: Cho đoạn thẳng cm điểm đoạn thẳng điểm nằm hai điểm Tính độ dài đoạn thẳng Gọi trung Lời giải: A C M nên D Vì điểm nằm hai điểm Vì trung điểm đoạn thẳng , Vì nằm B nên ta có: , nằm , Do nằm , suy M nằm và (cm) Bài 3: Trên tia cm, , cho điểm cm, , , biết , cm độ dài đoạn nằm ; nằm gấp đôi độ dài đoạn Tính độ dài đoạn Lời giải: D O Vì nằm nên Vì nằm ; Trên tia , ta có nằm ( B A nằm C x ) thuvienhoclieu.com ; Trang thuvienhoclieu.com Nên điểm D nằm hai điểm Suy : (cm) Vì nằm hai điểm Nên Từ ta có: Theo đề ra: thay vào Ta có (cm) (cm) Vậy (cm), (cm) Bài 4: Đoạn thẳng cm chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng theo thứ tự đoạn thẳng , Gọi , , , , Biết độ dài đoạn thẳng theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng cm Tính độ dài đoạn thẳng Lời giải: A E Vì đoạn thẳng thẳng , M , Mặt khác : , N G H P B chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài khơng theo thứ tự đoạn , F nên suy điểm , nằm , nằm hai điểm , , nằm , nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm theo thứ tự , , , Do ta có: Mà , nằm theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng , , Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang nên điểm thuvienhoclieu.com Mà Từ (do trung điểm ) ta có : (cm) Vì điểm , , , nằm nằm hai điểm , theo thứ tự nằm , nằm Mặt khác trung điểm , , Do ta có: nên ta có: ; (*) Theo đề bài, thứ tự điểm chia thứ tự trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai điểm Do ta có: (cm) Vậy độ dài đoạn thẳng Bài 5: Đoạn thẳng , , điểm nằm hai điểm , Thay vào (*) ta có: (cm) có độ dài Gọi Tìm độ dài đoạn , cm chia thành ba đoạn thẳng không theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng , Biết độ dài đoạn cm Lời giải: A Đoạn E D C , nằm hai điểm trung điểm trung điểm B F chia thành ba đoạn theo thứ tự Vậy hai điểm Vì nên ta có: Suy ra: , , nên nên thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com Từ có : Vì điểm điểm nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm , Nên: Suy Suy ra: (cm) Vậy đoạn (cm) Bài 6: Cho đoạn thẳng thẳng , cm Trên tia đối tia trung điểm đoạn thẳng a) Chứng tỏ độ dài đoạn b) Tìm độ dài đoạn lấy điểm Biết trung điểm đoạn lớn độ dài đoạn Lời giải: C a) Điểm E thuộc tia đối tia A nên điểm F B nằm hai điểm , Suy Mà Suy độ dài đoạn b) Vì Vì lớn độ dài đoạn trung điểm đoạn trung điểm đoạn Mà , nên : , nên : ( câu a), nên , chứng tỏ điểm nằm hai điểm , Suy : Thay Vậy vào , ta có : (cm) (cm) Bài 7: Vẽ tia Trên tia xác định hai điểm Tính độ dài đoạn cho nằm , thuvienhoclieu.com Trang cm, thuvienhoclieu.com (Đề thi HSG huyện Hưng Hà 2020-2021) Lời giải: B A Vì điểm nằm hai điểm Mà , , C x nên cm Suy ra: (cm) Do đó: (cm) Vậy (cm), Bài 8: Trên tia thẳng , (cm) lấy điểm cho trung điểm đoạn thẳng cm, cm Gọi trung điểm đoạn Tính độ dài đoạn thẳng , (Đề thi HSG huyện Nông Cống 2020 - 2021) Lời giải: I O Trên tia K A , ta có nên điểm B x nằm hai điểm nằm hai điểm , Do đó: (cm) Vì trung điểm đoạn thẳng Nên Vì (cm) trung điểm đoạn thẳng Nên (cm) Mà điểm nằm hai điểm nên suy , điểm nằm hai điểm I nằm hai điểm Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com (cm) Vậy (cm), (cm) Bài 9: Cho ba điểm đường thẳng , , cho cho cm, cm cm Tính độ dài đoạn thẳng cm Lấy điểm nằm ? (Đề thi HSG huyện Hoa Lư 2020-2021) Lời giải: Vì nên điểm nằm đường thẳng +) Trường hợp 1: nằm hai điểm hai tia , nằm tia O hai tia đối nên Khi đó: B M nằm (cm) +) Trường hợp 2: nằm tia A Trên tia đối A Ta có: , ta có (do M ) nên điểm O B nằm hai điểm Khi đó: (cm) Vậy (cm), Bài 10: Cho đoạn thẳng , ) cho (cm) biết cm Lấy điểm , đoạn ( , không trùng với cm Chứng minh rằng: Điểm nằm hai điểm Tính độ dài đoạn thẳng (Đề thi HSG huyện Gia Bình 2020-2021) Lời giải: thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com A 1) Vì điểm D C nằm đọan nên điểm nằm hai điểm B , Suy Theo ta có: Từ Trên tia suy có 2) Vì điểm nên điểm nằm nằm hai điểm nên Ta có: (cm) Vậy (cm) Dạng 2: Chứng minh điểm trung điểm đoạn thẳng, chứng minh đẳng thức độ dài có liên quan I.Phương pháp giải Để chứng minh trung điểm đoạn thẳng Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm Bước 2: Chứng tỏ nằm , ta thường làm sau: Cách Chứng minh thuvienhoclieu.com Trang thuvienhoclieu.com nằm Cách Bước 1: Chứng tỏ điểm Bước 2: Chứng tỏ II Bài toán Bài 1: Gọi cho hai điểm tia cho cm Tính độ dài đoạn thẳng cm, cm Trên tia lấy điểm Lời giải: C O Trên tia , ta có: nên điểm Suy A B nằm hai điểm x ; Mà cm, cm Nnên (cm) Trên tia , ta có nên điểm nằm hai điểm Suy Mà cm, cm Do đó: (cm) Vậy (cm), (cm) Bài 2: Trên tia cho cm, điểm cm, a) Tính độ dài , , Biết , cm nằm ; nằm b) Chứng tỏ rằng: Điểm trung điểm đoạn thẳng Lời giải: O a) Đặt Trên tia (cm) có B D C A x (cm) ( ) Nên điểm nằm hai điểm Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 10 ; thuvienhoclieu.com (cm) Vì điểm nằm hai điểm Nên điểm nằm hai điểm , điểm nằm hai điểm C Suy Vì nằm Từ và nên: hay ta có: (cm) Vậy (cm) b) Theo ta có: mà Mà Mặt khác điểm Suy nằm điểm trung điểm đoạn thẳng Bài 3: Trên tia lấy hai điểm a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Lấy điểm tia c) Trong trường hợp , cho cm cm , cho nằm cm Tính độ dài đoạn thẳng Chứng tỏ trung điểm đoạn thẳng Lời giải: M O a) Trên tia , ta có: ( ) nên N nằm hai điểm x (cm) Vậy b)TH1: (cm) nằm O M P thuvienhoclieu.com N x Trang 11 Vì nằm Nên nằm thuvienhoclieu.com nằm hai điểm mà (cm) TH2: nằm O Vì nằm P M N x N x Nên (cm) c)Vì nằm nên (cm) M O Trên tia , ta có ( ) nên P nằm (cm) Do đó: Trên tia Từ , ta có: nên suy nằm trung điểm Bài 4: Cho điểm , đoạn thẳng , nằm đường thẳng Các điểm , Chứng tỏ rằng: , trung điểm Bài tốn có trường hợp, chứng tỏ trường hợp đó? Lời giải: - Trường hợp 1: Hai điểm A , phía với M , tức hai tia N B thuvienhoclieu.com , trùng C Trang 12 thuvienhoclieu.com * Trường hợp chia làm hai trường hợp nhỏ : (hai trường hợp chứng minh tương tự) Giả sử: Vì trung điểm , nên: Vì trung điểm , nên: Từ ta có : Ta xét , nên điểm nằm hai điểm Suy ra: nên điểm nằm hai điểm Suy ra: Thay vào , ta có: * Trường hợp 2: Hai tia Mà điểm Nên thuộc tia hay đối , điểm thuộc tia hai tia đối B M trung điểm , nên: trung điểm , nên: Từ có: Vì , hai tia đối nhau, nên điểm A nằm hai điểm N , C Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 13 Vì thuộc hai tia đối , thuvienhoclieu.com nên điểm nằm hai điểm , Suy ra: Thay vào , ta có : Bài 5: Đoạn thẳng tự đoạn hay có độ dài , , chia thành ba đoạn thẳng hai điểm chia cho , theo thứ Tìm khoảng cách giữa: a) Điểm điểm với trung điểm b) Điểm điểm với trung điểm đoạn Lời giải: A a) Đoạn E P chia thành ba đoạn theo thứ tự Q I B , , nên suy , nên nằm hai điểm Mà Suy ra: Vậy Vì trung điểm trung điểm , nên : , mà nằm hai điểm , Suy ra: Từ Thay ta có: vào có: thuvienhoclieu.com Trang 14 thuvienhoclieu.com (cm) b) Theo ta có: Theo ta có: Vậy ta suy ra: Mà trung điểm mà , nên , Vậy : Theo đầu bài, đoạn chia thành ba đoạn thẳng theo thứ tự , , Suy Thay , , vào có: (cm) Bài tập 6: Trên tia vẽ điểm trung điểm đoạn thẳng , , cho , , Điểm hay khơng? Vì sao? Lời giải: O Trên tia B A ta có ( ) nên nằm hai điểm C x Suy ra: (cm) Trên tia ta có ( ) nên điểm nằm hai điểm Suy ra: (cm) Từ suy thuvienhoclieu.com Trang 15 có thuvienhoclieu.com Mặt khác Trên tia suy điểm Từ ta có nằm hai điểm và trung điểm đoạn thẳng Bài tập 7: Cho đoạn thẳng trung điểm Chứng tỏ điểm thuộc đoạn thẳng Lời giải: M A Vì điểm Vì điểm nằm hai điểm nằm hai điểm Vì trung điểm Từ , và nên: nên: C B nên ta được: Suy ra: Bài tập 8: Trên tia xác định điểm a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Xác định điểm tia , biết cho (cm), (cm) cho Lời giải: O a) Trên tia , ta có: B M nên điểm A nằm điểm x điểm Suy ra: Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 16 thuvienhoclieu.com b) Vì  nằm tia điểm thuộc đoạn thẳng cho Bài 9: Trên tia , lấy điểm cho có trung điểm đoạn thẳng Cho đoạn thẳng Điểm cm, cm Tính độ dài đoạn thẳng khơng? Vì sao? thuộc tia đối tia Chứng minh rằng: Gọi , theo thứ tự trung điểm (Đề thi HSG huyện Ninh Bình 2020-2021) Lời giải: 1) Chứng minh nằm O H M y Ta có Điểm có trung điểm đoạn thẳng 2) Chứng minh rằng: Vì : trung điểm , điểm nằm và M A N B thuộc tia đối tia C nên nằm Suy ra: Lại có Từ nằm Điểm và thuvienhoclieu.com Trang 17 thuvienhoclieu.com Vậy trung điểm Lại có Có , , nằm theo thứ tự trung điiểm Bài 10: Trên tia lấy hai điểm a) Tính độ dài đoạn thẳng b) Trên tia đối tia đoạn thẳng , cho cm, cm lấy điểm cho cho Hỏi trung điểm đoạn thẳng có trung điểm đoạn thẳng Lấy điểm khơng? Vì sao? Lời giải: C a) Trên tia có O , M A B x nên điểm A nằm hai điểm B O Suy (cm) Vậy b) Vì điểm Vì điểm Nên điểm (cm) trung điểm đoạn thẳng thuộc đoạn thẳng Vì hai điểm (cm) trung điểm đoạn thẳng Suy nên (cm) , nằm hai tia đối gốc nên điểm nằm hai điểm , Suy ra: thuvienhoclieu.com Trang 18 thuộc thuvienhoclieu.com (cm) Trên tia có nên điểm nằm hai điểm Suy ra: (cm) Ta thấy nên điểm không trung điểm đoạn thẳng thuvienhoclieu.com Trang 19 ... dài đoạn cho nằm , thuvienhoclieu. com Trang cm, thuvienhoclieu. com (Đề thi HSG huyện Hưng Hà 20 20 -20 21) Lời giải: B A Vì điểm nằm hai điểm Mà , , C x nên cm Suy ra: (cm) Do đó: (cm) Vậy (cm),... HSG huyện Gia Bình 20 20 -20 21) Lời giải: thuvienhoclieu. com Trang thuvienhoclieu. com A 1) Vì điểm D C nằm đọan nên điểm nằm hai điểm B , Suy Theo ta có: Từ Trên tia suy có 2) Vì điểm nên điểm... nằm hai điểm theo thứ tự , , , Do ta có: Mà , nằm theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng , , Suy ra: thuvienhoclieu. com Trang nên điểm thuvienhoclieu. com Mà Từ (do trung điểm ) ta có : (cm) Vì điểm