Chương 1 Các phương pháp số trong đại số tuyến tính 11/12/2015 2 2 MỤC ĐÍCH Tạo cơ sở để học tốt và nghiên cứu các ngành khoa học kỹ thuật nói chung và Thiết kế thi công công trình ngầm nói riêng, đặc[.]
Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính MỤC ĐÍCH - Tạo sở để học tốt nghiên cứu ngành khoa học kỹ thuật nói chung Thiết kế thi cơng cơng trình ngầm nói riêng, đặc biệt phục vụ cho công tác thiết kế cơng trình ngầm, cơng trình dân dụng sau - Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm - Góp phần xây dựng giới quan khoa học tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai; PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu số phương pháp phương pháp số, ứng dụng nhiều thực tế phương pháp số đại số tuyến tính - Các phương pháp số sử dụng nhiều thực tế như: Phương pháp sai phân hữu hạn(FDM - Finite Difference Method), Phương pháp phần tử hữu hạn((FEM- Finite Element Method), Phương pháp phần tử biên(BEM- Boundary Element Method) 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Quang Phích nnk- Phương pháp số chương trình PLAXIS3D&UDEC- Nhà xuất Xây dựng -2007 - Đinh Văn Phong – Phương pháp số học- Nhà xuất khoa học kỹ thuật – Hà nội 1999 - I.M.Smith and D.V.Griffiths – Lập chương trình tính tốn cơng trình xây dựng phương pháp phần tử hữu hạn – Nhà xuất xây dựng – Hà Nội 1997 - Đặng Quốc Lương- Phương Pháp tính kỹ thuật– Nhà xuất Xậy dựng -2001 - Nguyễn Mạnh Yờn - Phương pháp số học kết cấu – Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật – Hà Nội 2001 - Phạm Hồng Giang – Phương phỏp phần tử biên – Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật – Hà Nội 2002 - Nguyễn Thế Phùng - Thiết kế hầm giao thông – Nhà xuất Xây dựng 2008 - Đỗ Văn Đệ - Phần mềm Plaxis ứng dụng vào tính tốn cơng trình thuỷ công - Nhà xuất Xây dựng 2008 - Nguyễn Hải – Phương pháp phần tử hữu hạn – Bài giảng cao học - Đại học Mỏ- Địa chất – Hà Nội 2005 - TSKH Nguyễn Văn Cận -Một số phương phỏp gải toán biên – Bài giảng cao học - Đại học Mỏ- Địa chất – Hà Nội 2003 Tài liệu tiếng anh Diederichs - Numerical Analysis rock engineering – Queens University Kingston 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính CHƯƠNG CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT MA TRẬN 1.1.1.Ma trận Các định nghĩa: Ma trận tập hợp gồm mxn phần tử, chia thành m hàng n cột Ta dùng kí hiệu: Amxn aij mxn a11 a 21 am1 a12 a22 am a1n a2 n amn với a11, a12, , amn phần tử ma trận số phức hay số thực Ma trận A gọi cỡ mxn + Khi m = n ma trận A ma trận vng cấp n + Nếu ma trận có hàng hay cột (1 cột) gọi ma trận hàng(ma trận cột) + Có thể coi ma trận hàng (cột) biểu diễn đại số vectơ (hình học) với n thành phần a1 a a a n Với a1, a2, an toạ độ vectơ Ví dụ toạ độ Descartes, n = Trong tài liệu thông thường, người ta viết: a = [ a1, a2, an ]T số T kí hiệu phép chuyển vị 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính + Ma trận ma trận vuông cấp n mà phần tử nằm ngồi đường chéo 0, có phần tử nằm đường chéo khác 0, tức aij = aji = với i ≠ j, gọi ma trận đường chéo + Ma trận đơn vị ma trận đường chéo với phần tử nằm đường chéo 1, thường k{ hiệu E I, tức là: aij = với i ≠ j aii = với i = j + Ma trận tam giác ma trận có phần tử nằm đường chéo 0, tức là: a a a aij = với i > j 11 A 0 12 1n a 22 a n a nn +Ma trận tam giác ma trận có phần tử nằm phía đường chéo 0, tức là: aij = với i < j + Các ma trận có chứa phần tử khác nằm kề đường chéo gọi ma trận dải (band matrix) Dạng đặc biệt ma trận dải có ý nghĩa hay gặp dạng có hai dãy phần tử kề với đường chéo gọi ma trận ba đường chéo 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính + Ma trận đối xứng ma trận có: aij = aji tức phần tử ma trận đối xứng qua đường chéo + Nếu phần tử trị số ngược dấu: aij = - aji ma trận gọi ma trận phản đối xứng A az a y az ax ay ax + Ma trận chuyển vị: Chuyển vị ma trận A ma trận có từ A cách viết hàng ma trận A theo thứ tự thành cột, ký hiệu AT 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính 1.1.2.Phép biến đổi tuyến tính khơng gian n chiều Xét hai vectơ xnx1= [x1,x2, ,xn]T ymx1= [x1,x2, ,xm]T Phép biến đổi: A.x = y với A ma trận cỡ mxn, gọi phép biến đổi tuyến tính từ vectơ n chiều sang vectơ m chiều Khi m = n, đơn giản ta có phép chuyển toạ độ Nếu xét không gian chiều với toạ độ Descartes A ma trận chuyển đổi A ma trận cosine phương thực phép quay hệ toạ độ - Tính chất quan trọng khơng gian n chiều: Giả sử khơng gian có k vectơ xác định: x1,x2, ,xk Các vectơ gọi độc lập tuyến tính điều kiện: 1x1+ 2x2 + + nxk = thoả mãn khi: 1 = 2= = k = Nếu tính chất khơng thoả mãn, vectơ gọi phụ thuộc tuyến tính Khi vectơ biểu diễn qua vectơ cịn lại Định lý Trong khơng gian vectơ n chiều, tập hợp gồm (n+1) vectơ phụ thuộc tuyến tính Mọi vectơ x bất kz khơng gian n chiều với hệ sở tạo thành tập hợp (n+1) vectơ phụ thuộc tuyến tính: x= c1e1+ c2e2 + + cnen e1= [1,0, ,0]T véc tơ đơn vị 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính +Tích vơ hướng hai vectơ x = [x1,x2, ,xn]T y = [y1,y2, ,yn]T: n xT.y = yT.x = x y i 1 i i Khơng gian đo phép tích vơ hướng hai vectơ định nghĩa biểu thức gọi không gian Euclide + Độ dài (hay module) vectơ x: + Khoảng cách hai vectơ: x x T x d x y ( x y)T ( x y) + Hai vectơ gọi trực giao: xT y x y cos xT y Một tập hợp vectơ trực giao với đôi gọi hệ trực giao; Một ma trận trực giao có hàng cột vectơ trực giao : AT A1 Định lý 2: Các vectơ hệ trực giao độc lập tuyến tính Chuẩn vectơ, kí hiệu x , định nghĩa số không âm, thoả mãn tính chất sau: 1, x x x = 2, x x 3, với số thực; x y x y 11/12/2015 (bất đẳng thức tam giác) Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính Xét vectơ x x1 , x2 , , xn T n x x1 x2 xn xi +Chuẩn tuyệt đối: i 1 n + Chuẩn Euclide x x12 x22 xn2 xi2 i 1 + Chuẩn cực đại: x m ax xi i Giả sử có hai ma trận A B, đồng thời có định nghĩa hai phép cộng nhân ma trận, tức A+B A.B Chuẩn ma trận A B, k{ hiệu A B , định nghĩa số không âm thoả mãn điều kiện sau: 1, A A A= 0; 2, A A với thực 3, 4, A B A B A.B A B +Chuẩn cột: m A max ( aij ) + Chuẩn Euclide: j i 1 m n a A2 i 1 j 1 ij n + Chuẩn hàng: A m ax( aij ) j j 1 Chúng thường sử dụng để xét tính hội tụ phương pháp lặp xét ổn định phương trình vi phân 11/12/2015 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính 1.1.3.Các phép tính ma trận +Hai ma trận A B A = B: aij = bij + Phép cộng trừ ma trận C = A +B, với C, A B có cỡ: cij = aij + bij +Nhân ma trận với số, C= A: cij = .aij +Nhân ma trận với ma trận: C = A.B + Ma trận nghịch đảo: Cho A ma trận vuông cấp n không suy biến B ma trận cấp thoả mãn: A.B = E 11/12/2015 B = A-1 10 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính Các tính chất: 1,A+ (B+C) = (A+B) + C = A+B+C 2,A+B = B + A 3,k(A+B) = kA+kB với k số thực 4,(k1+ k2)A= k1A+k2A với k1, k2 số thực Cần nhấn mạnh tích ma trận khơng có tính chất giao hoán A.B= B.A 5,(A.B).C = A.(B.C) = A.B.C 6,(A+B).C = A.C +B.C 7,(AT)T = A 8,(A+B)T = AT +BT A-1 tồn det(A) ≠ 9,(kA)T = kAT 10,(A.B)T = BT.AT 11,Nếu A ma trận đường chéo với phần tử đường chéo aii, A-1 ma trận đường chéo phần tử thuộc đường chéo a ii 12,(AT)-1 = (A-1)T 13,det(A.B) = det(A).det(B) 14,det(A) = det(AT) 11/12/2015 11 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn -Phương pháp tính đại có hiệu để phân tích kết cấu liên tục thường dựa sở rời rạc hố, nghĩa dùng mơ hình rời rạc để lý tưởng hố kết cấu thực Mơ hình chọn thường phải thoả mãn: Xấp xỉ xác tốt tính chất hình học vật liệu kết cấu thực Tránh nhiều tốt phức tạp mặt tốn học dùng mơ hình tính - Người ta thực rời rạc hoá cách chia kết cấu liên tục thành số hữu hạn miền kết cấu có kích thước nhỏ tốt phải hữu hạn - Các miền hay kết cấu gọi PTHH, chúng có hình dạng kích thước khác nhau, tính chất vật liệu giả thiết không thay đổi phần tử thay đổi từ phần tử sang phần tử khác; - Kích thước hình học số lượng phần tử phụ thuộc vào hình dáng hình học tính chất chịu lực kết cấu (bài toán phẳng hay toán không gian, hệ hay hệ vỏ ) mà cịn phụ thuộc vào u cầu mức độ xác toán đặt - Đối với hệ PTHH thanh, kết cấu PTHH tam giác, chữ nhật cịn vật thể đàn hồi hình chóp, hình trụ, hình hộp -Sau rời rạc hoá kết cấu liên tục, PTHH lại giả thiết nối lại với số điểm quy định(thường đỉnh phần tử) gọi nút cịn tồn tập hợp phần tử rời rạc gọi lưới PTHH - Lưới PTHH mau, nghĩa số lượng phần tử lớn hay kích thước phần tử nhỏ mức độ xác phần tử tăng 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn - Số lượng phần tử hay nói khác số lượng nút có liên quan đến số lượng ẩn số tốn Thơng thường với tốn khơng phức tạp lắm, phân tích phương pháp PTHH, phải giải hệ phương trình chứa hàng trăm ẩn -Với kết cấu phức tạp, địi hỏi mức độ xác cao, số ẩn số có lên tới hàng nghìn hàng vạn - Ưu điểm bật thuật toán phương pháp PTHH đơn giản, tính hệ thống cao phù hợp với máy tính điện tử Cịn máy tính điện tử việc giải hệ phương trình với ẩn số lớn khơng cịn điều đáng lo ngại - Một vấn đề đặt rời rạc hố kết cấu tính chất hội tụ phương pháp PTHH - Cho đến chưa có cơng trình l{ thuyết hồn chỉnh chứng minh cho tính hội tụ phương pháp Nhưng người ta có số chứng minh nhận xét kinh nghiệm để đưa số điều kiện hội tụ cho số tốn cụ thể -Cịn mặt tổng quát, người ta đưa số nhận xét chung tăng số phần tử đến giới hạn lớn vơ cùng, nghĩa giảm kích thước phần tử để trở thành điểm, tốn có điều kiện biên đơn giản, kết tính theo phương pháp PTHH đạt đến kết cơng thức giải tích l{ thuyết đàn hồi 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 3.3.Các loại phần tử hữu hạn hàm chuyển vị 3.3.1.Các loại phần tử hữu hạn -Tuz vào số lượng cách đặt nút cạnh, người ta phân biệt ppPTHH theo hạng bậc: * PTHH bậc hay gọi PTHH tuyến tính có nút đặt đỉnh phần tử (Hình 3.2a,c) * PTHH bậc hai, ngồi nút đỉnh cịn có thêm nút cạnh (hình 3.2b,d) * PTHH bậc ba nút đỉnh cịn có thêm hai nút cạnh Cách đặt số lượng nút cạnh PTHH có liên hệ chặt chẽ với hàm chuyển vị chọn cho điểm bất kz PTHH; bậc đa thức biểu diễn hàm chuyển vị bậc PTHH phải phù hợp để đảm bảo điều kiện tương thích chuyển vị hai PTHH có cạnh chung -Loại PTHH dùng phổ biến từ trước tới phần tử tam giác tuyên tính, dùng loại phần tử phân tích tốn phẳng lý thuyết đàn hồi -Loại phần tử chữ nhật tuyến tính tuyến tính dùng kết cấu có hình dạng chữ nhật, việc sử dụng loại phần tử giảm nhẹ khối lượng tính tốn máy tính điện tử nhờ lưới chia có quy luật rõ ràng loại khác - Loại PTHH tam giác bậc hai cho kết xác hiển nhiên, tăng số nút phần tử bậc hai dẫn đến tăng số ẩn cần tìm lưới chia hàm chuyển vị lựa chọn có bậc cao xấp xỉ với đường cong chuyển vị cạnh PTHH 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 3.3.2.Hàm chuyển vị -Việc chọn trước hàm chuyển vị điểm bất kz PTHH nhằm xác định liên hệ chuyển vị nút với chuyển vị điểm phạm vi PTHH - Gọi trường chuyển vị véctơ hàm chuyển vị điểm bất kz có toạ độ (x,y,z) PTHH khơng gian toạ độ (x,y) PTHH phẳng ux(x,y,z); uy(x,y,z); ux(x,y); uy(x,y) uz(x,y,z); -Các hàm số chuyển vị thường chọn dạng hàm đa thức Bậc hàm số thành phần hàm phụ thuộc chặt chẽ với hình dạng, bậc loại PTHH tươn ứng, nghĩa phụ thuộc vào số đỉnh quy ước PTHH, hay nói cách số nút quy định cho cạnh PTHH - Đối với loại phần tử tuyến tính, hàm chuyển vị chọn đa thức bậc số thành phần chứa hàm số nút quy định phần tử - Đối với PTHH bậc hai, hàm chuyển vị đa thức bậc hai, số thành phần chứa hàm số nút quy định phần tử; Tổng quát: bậc hàm chuyển vị bậc PTHH 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn PTHH tuyến tính bậc PTHH tam giác: ux(x,y) = 1+ 2x + 3y; uy(x,y) = 4+ 5x + 6y; PTHH hình chóp: ux(x,y,z) = 1+ 2x + 3y+4z; uy(x,y,z) = 5+ 6x + 7y+8z; uz(x,y,z) = 9+ 10x + 11y+12z; PTHH chữ nhật: ux(x,y) = 1+ 2x + 3y+4xy; uy(x,y) = 5+ 6x + 7y+8xy; PTHH hình hộp: ux(x,y,z) = 1+ 2x + 3y+4z+5xy + 6yz+7zx+8xyz; ux(x,y,z) = 9+ 10x + 11y+12z+13xy + 14yz+15zx+16xyz; ux(x,y,z) = 17+ 18x + 19y+20z+21xy + 22yz+23zx+24xyz; PTHH bậc hai PTHH tam giác: ux(x,y) = 1+ 2x + 3y+2x2+5xy +6y2; uy(x,y) = 7+ 8x + 9y+10x2+11xy +12y2; PTHH chữ nhật: ux(x,y) = 1+ 2x + 3y+4x2+5xy + 6y2 +7x2y +8xy2; ux(x,y) = 9+ 10x + 11y+12x2+13xy + 14y2 +15x2y +16xy2; x,y,z toạ độ điểm bất kz PTHH hệ toạ độ riêng cho PTHH 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn -Các hệ số giữ vai trị thơng số mà suốt q trình tính tốn, biểu thị phụ thuộc vào chuyển vị nút PTHH -Như vậy, ẩn số toán chyển vị nút lưới PTHH - Các hệ số tổng thành phần chuyển vị nút PTHH tương ứng - Ví dụ, PTHH tam giác tuyến tính giải thiết xét sáu thành phần chuyển vị nút, trường chuyển vị chọn chứa sáu hệ số I ; Điều kiện tương thích trường chuyển vị biên chung PTHH, đòi hỏi số thành phần hàm chuyển vị phải số nút PTHH hàm chuyển vị phải số nút PTHH tương ứng Mỗi thành phần hàm chuyển vị lại tương ứng với hệ số i, rõ ràng hệ số i phải chuyển vị nút PTHH -Trong PTHH tam giác tuyến tính trường chuyển vị chọn hàm chuyển vị ux uy biểu thị đường thẳng Các đường thẳng phải nghiệm với toạ độ đơi nút một, tất điểm nằm cạnh nối hai nút nằm trọn đường thẳng Kết cạnh PTHH thẳng trước biến dạng giữ nguyên thẳng sau biến dạng Đó lý đặt tên cho PTHH tuyến tính -Chính hai nút xét thuộc PTHH kề bên nữa, nên cạnh PTHH bị biến dạng tương tự PTHH Như hai PTHH kề có kiểu chuyển vị biên chung chúng xem tương thích Điều kiện cần đủ để PTHH tuyến tính tương thích hàm chuyển vị là đa thức bậc một, hàm có số hạng số nút PTHH 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn PTHH bậc hai: Số hạng hàm chuyển vị số nút PTHH bậc hai tương ứng Các hàm chuyển vị đa , thức bậc hai Mỗi hàm biểu thi đường cong parabol thoả mãn toạ độ ba điểm nút cạnh, trước sau biến dạng điểm thuộc cạnh nằm đườngcong parabol Điều kiện cần đủ để PTHH bậc hai tương thích , hàm chuyển vị đa thức bậc hai có số hạng chứa hàm số nút PTHH tương ứng 3.4.Lực, chuyển vị, ứng suất biến dạng Lực chia thành loại sau: Lực thể tích, kí hiệu là: fv = fx,fy,fz ]T Lực diện tích, kí hiệu là: ts = tx,ty,tz ]T Lực tập trung, kí hiệu là: P = Px,Py,Pz ]T Chuyển vị điểm bên miền V, kí hiệu là: U = u,v,w ]T Chuyển vị nút phần tử đoạn thẳng, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1,u2 ]T Chuyển vị nút phần tử tam giác, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1,u2 ]T Chuyển vị nút phần tử tam giác, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1,u2,u3]T Chuyển vị phần tử đoạn thẳng, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1,u2,u3,u4]T Chuyển vị phần tử tam giác, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1, ,u6]T Chuyển vị phần tử tam giác, nút có bậc tự do, kí hiệu là: u = u1, ,u9]T 11/12/2015 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 3.5.Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn – phương pháp chuyển vị -Sử dụng nguyên l{ công hay gọi định l{ chuyển vị Xét vật thể đàn hồi tuyến tính Cho hệ di chuyển u, hệ có biến dạng Công ngoại lực (tức công ngoại lực di chuyển u là: W = uT.R Năng lượng biến dạng (Tức biến dạng đàn hồi biến dạng ) là: U = T.dV + Nguyên lý công khả dĩ: Nếu kết cấu đàn hồi tuyến tính nằm cân tác dụng lực R có chuyển vị u(biến dạng tương ứng với ) tổng cơng ngoại lực lượng biến dạng hệ gây biến dạng khả dĩ: W=U + Nguyên lý cực tiểu toàn phần Thế toàn phần kết cấu đàn hồi tổng lượng biến dạng U công ngoại lực W, kí hiệu V: V= U+W 3.6.Liên hệ lực chuyển vị, ma trận độ cứng Xét phần tử hữu hạn Vn Vectơ chuyển vị vectơ lực phần tử là: u = u1, ,ut]T R = R1, , Rt]T Trường hợp kết cấu vật liệu đàn hồi tuyến tính, ta có mối quan hệ sau: R = K]u Mối liện hệ ma trận chuyển vị xác định hoàn toàn tìm ma trận độ cứng K] Vì vậy, việc xác định ma trận K] PTHH có ý nghĩa quan trọng việc tính tốn kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 11/12/2015 10 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 3.6.1.Áp dụng nguyên lý chuyển vị để xác định ma trận độ cứng K] Trạng thái ứng suất biến dạng điểm bên phần tử xác định biết vectơ chuyển vị nút phần tử U = B]u (3.7) U = u,v,wT vectơ chuyển vị điểm bên phần tử; u - vectơ chuyển vị phần tử; B] – ma trận phụ thuộc vào toạ độ nút phần tử; Sử dụng mối quan hệ ứng suất chuyển vị (Định luật Hookes) biến dạng chuyển vị (Định luật Cauchy): = E]u = D]u (3.8) D] E+ ma trận phụ thuộc vào toạ độ nút phần tử tính chất vật liệu Hồn tồn xác định trạng thái chuyển vị, biến dạng ứng suất điểm bất kz biết vectơ chuyển vị nút phần tử u -Khảo sát phần tử hữu hạn chịu tác dụng lực R đặt nút Để xác định ma trận độ cứng K] ta tìm mối liên hệ vectơ R với chuyển vị u nút -Ứng dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ, phần tử kết cấu đàn hồi cân tác dụng lực R đặt nút, chuyển vị nút u, ta cho phần tử di chuyển u (tương ứng T T với biến dạng ): uT R dV Thay hệ thức (3.8) uT R u DT E udV V R DT E udV V 11/12/2015 Kết hợp với (3.7) V K DT E dV V 11 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 3.6.3.Ma trận độ cứng tổng thể thu gọn Phần xác định được: *Ki] Khi biết ma trận độ cứng phần tử tức biết mối liên hệ ứng lực đặt nút với chuyển vị tương ứng nút phần tử Khảo sát tồn kết cấu gồm nhiều phần tử hữu hạn liên kết với điểm nút phần tử Chọn chuyển vị nút làm ẩn số Ta xem kết cấu gồm m phần tử hữu hạn liên kết n nút Tại nút có tải trọng tác dụng có chuyển vị u Tại nút thứ i chuyển vị lực tác dụng là: ui = u1, ,ut]T Pi = P1, , Pt]T t số chuyển vị nút i phần tử Chuyển vị ngoại lực tất điểm nút kết cấu biểu diễn qua ui Pi: u u , , u P P , , P K - ma trận độ cứng toàn T n T n Biểu diễn mối quan hệ vectơ chuyển vị u vectơ P P K .u Bây ta tìm mối quan hệ ma trận tổng thể K ma trận K i Lần lượt xét tất n phần tử ta có n phương trình dạng: kết cấu; Nếu biết ma trận u suy chuyển vị nút theo giá trị ngoại lực P R1 = K1]u1 Ri = Ki]ui Rn = Kn]un 11/12/2015 12 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn Ta viết phương trình dạng ma trận: R = Kt]u Kt] = [K1] ,Kn++ ma trận tựa chéo Ví dụ: Tính chuyển vị chịu kéo nén tâm hình 3.6 Thanh chia làm hai phần tử T Vectơ chuyển vị nút phần tử là: u u1 , u2 Vectơ chuyển vị nút phần tử là: u u2 , u3 Xét phần tử 1: R1 K1 u1 , Xét phần tử 2: R2 K u2 , T Cả hệ: u u , u , u , u T 2 Tất nút là: u u , u , u , T R [ R1, R2 , R2 , R3 ]T , Đối với toàn hệ R Kt u, u [u1 , u2 , u2 , u3 ]T , [ K t ] K1 , K , a a b b , K a a b b u1 1 0 u1 [u ] [ H ] u , u 0 0 u , u 0 0 u3 u3 0 1 Ma trận độ cứng phần tử chịu kéo nén tâm: 0 a a a a 0 K1 , 0 b b b b 0 Ma trận tựa chéo Kt] có dạng: Từ K1 1 0 H 0 0 0 0 , 0 1 Theo nguyên l{ di chuyển khả dĩ, công W ngoại lực đặt nút hệ cân với lượng biến dạng U nội lực chuyển vị tương ứng chúng: W u P, uT P uT R, uT P (H u)T R, uT P H T uT R, P H R, W = U T T U uT R Vì R = Kt]u 11/12/2015 P H K u, u H .u T t P H K H u, T t K H K H T t Là mt độ cứng hệ P K u 13 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn Chú ý thiết lập phương trình ta chưa quan tâm đến liên kết, mà xem xét kết cấu vật thể tự khơng gian Để kết cấu cân tĩnh học lực tác dụng {𝑃} phải thoã mãn phương trình cân tĩnh học Như véc tơ lực {𝑃} đại lượng độc lập tuyến tính, nói cách khác ma trận độ cứng [𝐾 ] suy biến (det [𝐾] = 0) khơng tồn ma trận nghịch đảo Để ma trận [𝐾 ] không suy biến ta đặt thêm vào nút hệ số liên kết tối thiểu cần thiết Trong toán phẳng ta đặt vào số liên kết cần thiết để khử thành phần chuyển vị P K u K không suy biến (det K ≠ 0), giải phương trình để xác định u Thí dụ tốn, hình 3.6, ta đặt vào phần tử liên kết ngàm đầu trái thanh, có u1 = Ma trận độ cứng phần tử tương ứng: a 0 a K H K1 K H a a b b b b T K1 K ma trận cứng K Ma trận K suy biến (det K = b(a2-a2) = 0) Để thiết lập ma trận độ cứng K không suy biến, ta quan tâm đến liên kết (ut = 0), K Từ P K u ta có: P2 a b b u b u P3 b Cho P2, P3 tác dụng vào nút hướng theo trục x, giải ta được: 11/12/2015 a b b b ta bỏ hàng cột ứng với chuyển vị u1, ta ma trận không suy biến: K b P2 P3 a P u3 u b u2 14 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 11/12/2015 15 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn 11/12/2015 16 Chương 2.Phương pháp phần tử hữu hạn http://www.tunnelcroixrousse.fr/ Thank you for your attention 11/12/2015 17 ... phương pháp số đại số tuyến tính 11/12/2015 35 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính Bài tập: 11/12/2015 36 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính Giải hệ phương trình phương pháp. .. số lần nữa; Phương pháp gần sai số tổng hợp sai số mơ hình sai số tính tốn; +Nhiều trường hợp phương pháp gần lại cho kết tốt phương pháp đúng; 11/12/2015 28 Chương 1.Các phương pháp số đại số. .. phương pháp số đại số tuyến tính 11/12/2015 17 Chương 1.Các phương pháp số đại số tuyến tính 1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Xét hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số