Bài giảng Phương pháp số: Chương 1 - Xấp xỉ hàm số bằng đa thức nội suy được biên soạn bao gồm các nội dung chính sau: Các bài toán về đa thức nội suy; Sai số của đa thức nội suy; Tối ưu hóa mốc nội suy. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.
XẤP XỈ HÀM SỐ BẰNG ĐA THỨC NỘI SUY Hà Thị Ngọc Yến Hà nội, 9/2020 ĐA THỨC NỘI SUY - Cho điểm xi , yi = f ( xi )i=0,n , xi x j i j, xi [a, b] ( ) - Đa thức bậc không n, Pn x qua điểm gọi đa thức nội suy với mốc nội suy xi i=0,n - Khi f ( x ) Pn ( x ) ĐA THỨC NỘI SUY • Định lý: Với điểm xi , yi i =0,n , xi x j i j , cho trước, đa thức nội suy tồn ĐA THỨC NỘI SUY Pn ( x ) = a0 + a1x + a2 x + + an x n ao + a1x0 + a2 x02 + an x0n = y0 ao + a1x1 + a2 x12 + an x1n = y1 Pn ( xi ) = yi i = 0, n n a + a x + a x + a x n n n = yn o n ĐA THỨC NỘI SUY • Định thức x0 x1 n x0 n x1 xn xnn ( i j ) = xi − x j • Vậy hệ có nghiệm hay đa thức nội suy tồn SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY • Đặt F ( t ) = Rn ( t ) − kwn+1 ( t ) • Chọn k cho F ( x ) := f ( x ) − Pn ( x ) − kwn+1 ( x ) = • F(t) có n+2 nghiệm phân biệt nên F’(x) có n+1 nghiệm phân biệt, … SAI SỐ CỦA ĐA THỨC NỘI SUY [a, b], F ( n+1) ( ) = k = f ( n+1) ( ) ( n + 1)! Rn ( x ) = f ( n+1) ( ) w x ( ) n + ( ) ( n + 1)! Ví dụ • Xấp xỉ hàm f ( x ) = 25 x + • Với mốc nội suy Ví dụ • Với 10 17 mốc nội suy Tối ưu hóa mốc nội suy • Bài toán: Chọn mốc nội suy cho sai số xấp xỉ hàm đạt nhỏ f − Pn = sup Rn ( x ) a ,b M n+1 R( x) wn+1 ( x ) ( n + 1)! f − Pn → wn+1 ( x ) → Tối ưu mốc nội suy • Xét khoảng nội suy [-1,1] • Xét họ hàm đa thức Chebysev: Tn ( x ) = cos ( n.arccos x ) Tn+1 ( x ) = xTn ( x ) − Tn−1 ( x ) T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x T2 ( x ) = x − 1, Tn ( x ) = 2 n−1 n x + Tối ưu mốc nội suy • Định lý: đa thức bậc n có hệ số 1, đa thức T n−1 n ( x ) đa thức có độ lệch so với nhỏ nhất, tức p ( x ) = x n + an−1x n−1 + max p ( x ) max −1,1 Tn ( x ) −1,1 2n−1 + a0 Tối ưu mốc nội suy • Chọn mốc nội suy n+1 nghiệm Tn ( x ) i xi = cos , i = 0, n n • Trường hợp khoảng nội suy 2x − ( b + a ) t= b−a a, b đặt ẩn: ... a ,b M n +1 R( x) wn +1 ( x ) ( n + 1) ! f − Pn → wn +1 ( x ) → Tối ưu mốc nội suy • Xét khoảng nội suy [ -1 , 1] • Xét họ hàm đa thức Chebysev: Tn ( x ) = cos ( n.arccos x ) Tn +1 ( x ) = xTn... lệch so với nhỏ nhất, tức p ( x ) = x n + an−1x n? ?1 + max p ( x ) max ? ?1, 1 Tn ( x ) ? ?1, 1 2n? ?1 + a0 Tối ưu mốc nội suy • Chọn mốc nội suy n +1 nghiệm Tn ( x ) i xi = cos , i = 0, n n •... ( x ) = xTn ( x ) − Tn? ?1 ( x ) T0 ( x ) = 1, T1 ( x ) = x T2 ( x ) = x − 1, Tn ( x ) = 2 n? ?1 n x + Tối ưu mốc nội suy • Định lý: đa thức bậc n có hệ số 1, đa thức T n? ?1 n ( x ) đa thức có độ