Bài giảng Phương pháp tính - Chương 3 trang bị cho người học những kiến thức cơ bản về phương pháp dây cung như: Ý tưởng phương pháp, xây dựng công thức, sự hội tụ của phương pháp, phương pháp tiếp tuyến,... Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.
.c om PHƯƠNG PHÁP DÂY CUNG Ý tưởng phương pháp ng co Thay đường cong y = f (x) dây cung chắn đường an cong; xác định giao dây cung với Ox thay cho nghiệm cu u du on g th cần tìm CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng cơng thức c om Xét phương trình f (x) = khoảng cách li nghiệm (a, b) co Chọn điểm Fourié làm mốc ng Gọi M (d, f (d)) điểm Fourié f (d).f ”(d) > an Chọn x0 thoả mãn f (x0)f (d) < 0, đặt 0(x0, f (x0)) th Khi đó, M M0 ∩ Ox ≡ (x1, 0) Đặt A1(x1, f (x1)) g cu u du on M Mk1 ∩ Ox ≡ (xk , 0) Lấy nghiệm x∗ ≈ xk CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Phương trình đường thẳng M An−1 ng x − xn−1 y − f (xn−1) = d − xn−1 f (d) − f (xn−1) f (xn−1) (xn−1 − d) f (xn−1) − f (d) cu u du on g th an xn = xn−1 − co Do đó, ta có cơng thức lặp CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự hội tụ phương pháp 3.1 c om Điều kiện hội tụ co ng • (a, b) khoảng cách li nghiệm an • f liên tục, có đạo hàm xác định dấu, khơng đổi [a, b] cu u du on g th • Chọn điểm mốc M (d, f (d)) xấp xỉ ban đầu x0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý hội tụ Với điều kiện nêu trên, dãy lặp ng f (xn−1)(xn−1 − d) f (xn−1) − f (d) co xn = xn−1 − c om 3.2 an hội tụ tới nghiệm phương trình theo đánh giá |f (xn)| m1 g th |xn − x∗| ≤ on M1 − m1 |xn − xn−1| m1 Mi = maxx∈[a,b] |f (i)(x)|, mi = minx∈[a,b] |f (i)(x)| cu u du |xn − x∗| ≤ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Chứng minh ng Dãy {xn } đơn điệu bị chặn (1) co Giới hạn dãy {xn } nghiệm phương trình (2) an Cơng thức đánh giá sai số thứ (3) th Công thức đánh giá sai số thứ - đánh giá theo xấp xỉ liên tiếp (4) cu u du on g Ta xét trường hợp f (x) > f (x) > với x ∈ [a, b] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om • (1) f (xn−1) (xn−1 − d) f (xn−1) − f (d) f (xn−1) (xn−1 − d) , = − (xn−1 − d)f (ξn) f (xn−1) (∗) = − f (ξn) ξn ∈ (xn−1, d) an co ng xn − xn−1 = − th D = {(x, y) |y ≥ f (x), x ∈ [a, b]} tập lồi on g f (x0) = f (a) < 0, x0 < b du M, A0 ∈ D ⇒ [M A0] ⊂ D ⇒ (x1, 0) ∈ D x0 < x1 < b cu u ⇒ > f (x1), CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om • (2) Đặt θ = limn→∞ xn Lấy giới hạn hai vế cơng thức (*), ta có ng = lim |xn − xn−1| = lim n→∞ co n→∞ f (xn−1) f (ξn) an Hơn m1 ≤ |f (ξn)| ≤ M1 nên g cu u du on Vậy x∗ = θ th lim |f (xn−1)| = ⇒ f (θ) = n→∞ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om • (3) hay |f (xn)| m1 cu u du on g th an co |xn − x∗| ≤ ng |f (xn)| = |f (xn) − f (x∗)| = |f (ξn)||xn−x∗| ≥ m1|xn−x∗| CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cu u du on g th an co ng c om • (4) 10 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Ý tưởng phương pháp ng co Thay đường cong y = f (x) đường tiếp tuyến; xác cu u du on g th an định giao tiếp tuyến với Ox thay cho nghiệm cần tìm 11 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Xây dựng cơng thức c om Xét phương trình f (x) = khoảng cách li nghiệm (a, b) ng Chọn x0 cho (x0, f (x0)) điểm Fourié co Đặt 0(x0, f (x0)); đặt d0 tiếp tuyến với đường cong qua an A0 th Khi đó, d0 ∩ Ox ≡ (x1, 0) Đặt A1(x1, f (x1)) g cu u du on dk−1 ∩ Ox ≡ (xk , 0) Lấy nghiệm x∗ ≈ xk 12 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Phương trình đường thẳng dn−1 y = f (xn−1)(x − xn−1) + f (xn−1) ng Do đó, ta có cơng thức lặp co f (xn−1) f (xn−1) cu u du on g th an xn = xn−1 − 13 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự hội tụ phương pháp 6.1 c om Điều kiện hội tụ co ng • (a, b) khoảng cách li nghiệm an • f liên tục, có đạo hàm xác định dấu, không đổi [a, b] cu u du on g th • Chọn xấp xỉ ban đầu x0 14 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Định lý hội tụ Với điều kiện nêu trên, dãy lặp ng f (xn−1) f (xn−1) co xn = xn−1 − c om 6.2 an hội tụ tới nghiệm phương trình theo đánh giá |f (xn)| m1 g th |xn − x∗| ≤ on M2 |xn − xn−1|2 2m1 Mi = maxx∈[a,b] |f (i)(x)|, mi = minx∈[a,b] |f (i)(x)| cu u du |xn − x∗| ≤ 15 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Chứng minh ng Dãy {xn } đơn điệu bị chặn (1) co Giới hạn dãy {xn } nghiệm phương trình (2) an Cơng thức đánh giá sai số thứ (3) th Công thức đánh giá sai số thứ - đánh giá theo xấp xỉ liên tiếp (4) cu u du on g Ta xét trường hợp f (x) > f (x) > với x ∈ [a, b] 16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt xn − xn−1 = − c om • (1) f (xn−1) (∗∗) f (xn−1) co f (x0) = f (b) > 0, x0 > a ng D = {(x, y) |y ≥ f (x), x ∈ [a, b]} tập lồi x0 > x1 > a cu u du on g th ⇒ f (x1) > 0, an d0 ∩ D ≡ (x0, f (x0)) ⇒ (x1, 0) ∈ /D 17 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om • (2) Đặt θ = limn→∞ xn Lấy giới hạn hai vế cơng thức (**), ta có f (θ) f (xn−1) = f (xn−1) f (θ) ng = lim |xn − xn−1| = lim n→∞ co n→∞ cu u du on g th an Vậy x∗ = θ 18 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om • (3) hay |f (xn)| m1 cu u du on g th an co |xn − x∗| ≤ ng |f (xn)| = |f (xn) − f (x∗)| = |f (ξn)||xn−x∗| ≥ m1|xn−x∗| 19 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt cu u du on g th an co ng c om • (4) 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Phương pháp dây cung Phương pháp tiếp tuyến Điểm mốc điểm Fourié f(x0)f ”(x0) > th f (xn−1)(xn−1 − d) f (xn−1) − f (d) xn = xn−1 − f (xn−1) f (xn−1) du on g xn = xn−1 − an co ng f(x0)f ”(x0) < M1 − m1 M2 |xn − xn−1| |xn − x∗| ≤ |xn − xn−1|2 m1 2m1 cu u |xn − x∗| ≤ 21 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om ng co an th g on du u cu 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... https://fb.com/tailieudientucntt .c om PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN Ý tưởng phương pháp ng co Thay đường cong y = f (x) đường tiếp tuyến; xác cu u du on g th an định giao tiếp tuyến với Ox thay cho nghiệm cần... ng c om • (4) 20 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt .c om Phương pháp dây cung Phương pháp tiếp tuyến Điểm mốc điểm Fourié f(x0)f ”(x0) > th f (xn−1)(xn−1 − d) f (xn−1) − f (d)... CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Sự hội tụ phương pháp 3. 1 c om Điều kiện hội tụ co ng • (a, b) khoảng cách li nghiệm an • f liên tục, có đạo hàm xác định dấu, khơng đổi [a, b] cu u du on