ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH H[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NĨ LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM HÙNG QUÝ THÁI NGUYÊN - 2016 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn khơng bị trùng lặp với luận văn trước Các thông tin, tài liệu luận văn ghi rõ nguồn gốc Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ i c Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc tới TS Phạm Hùng Quý, thầy người hướng dẫn cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đắn, tinh thần làm việc nghiêm túc dành nhiều thời gian, cơng sức giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Viện Toán học Đại học Thái Nguyên người tận tình giảng dạy khích lệ, động viên tơi vượt qua khó khăn học tập Tơi xin cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ suốt thời gian học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bạn bè, người thân giúp đỡ, động viên, ủng hộ tơi để tơi hồn thành tốt luận văn khóa học Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, 06 tháng 06 năm 2016 Tác giả luận văn TRẦN THỊ MINH HUỀ ii c Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii MỞ ĐẦU 1 ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành môđun phân bậc 1.2 Đa thức Hilbert 1.3 Một vài tính chất số bội Hilbert-Samuel 16 Hệ số Hilbert tính Cohen-Macaulay 21 2.1 Vành môđun Cohen-Macaulay 21 2.2 Số bội Hilbert-Samuel tính Cohen-Macaulay 25 2.3 Hệ số Chern iđêan tham số 29 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 iii c MỞ ĐẦU Đa thức Hilbert đối tượng đại số giao hốn hình học đại số Xét R = ⊕ Ri vành Noether phân bậc chuẩn với R0 vành Artin i≥0 địa phương, M = ⊕Mi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó, định lý đa i thức Hilbert khẳng định ℓ(Mn ) đa thức theo n n đủ lớn, gọi đa thức Hilbert môđun phân bậc M Trong trường hợp (R, m) vành Noether địa phương M R-môđun hữu hạn sinh Với iđêan I m-nguyên sơ ta có ℓ(M/I n+1 M) đa thức theo n n đủ lớn, gọi đa thức Hilbert M theo I Bậc đa thức Hilbert hệ số cho ta biết độ lớn phức tạp mơđun hay đa tạp đại số Chính vậy, chúng tơi đặt mục tiêu tìm hiểu số kết ban đầu đa thức Hilbert Phần lớn nội dung luận văn trình bày theo sách Commutative Ring Theory Hideyuki Matsumura Chúng trình bày vài kết gần hệ số Chern, e1 (q, M), đa thức Hilbert Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Phần đầu chương trình bày số kiến thức vành môđun phân bậc, định lý Artin-Rees Đây kiến thức sở cho phần Các phần trình bày khái niệm số tính chất đa thức Hilbert, số bội Hilbert-Samuel, vài tính chất Chương 2: Trình bày số kiến thức vành mơđun Cohen-Macaulay, đặc trưng tính Cohen-Macaulay qua số bội hệ tham số, chứng minh tính khơng dương hệ số Chern iđêan tham số c Chương ĐA THỨC HILBERT 1.1 Vành môđun phân bậc Trong tồn luận văn ta ln xét R vành giao hốn có đơn vị Ta bắt đầu với khái niệm vành môđun (N)-phân bậc Định nghĩa 1.1.1 Cho R vành ∞ (i) Một vành R gọi vành phân bậc R có phân tích R = ⊕ Rn , n=0 (Rn , +) nhóm abel (R, +) thỏa mãn tính chất Ri R j ⊆ Ri+ j , với i, j ≥ Một phần tử x ∈ Ri gọi phần tử bậc i, Ri gọi thành phần bậc i R ∞ (ii) Một môđun M vành phân bậc R = ⊕ Rn gọi R-môđun phân bậc n=0 ∞ M có phân tích M = ⊕ Mn , (Mn , +) nhóm abel (M, +) n=0 Ri M j ⊆ Mi+ j , với i, j ≥ Một phần tử x ∈ Mi gọi phần tử bậc i, Mi gọi thành phần bậc i M (iii) Cho M R-môđun phân bậc, N môđun M Ta nói N mơđun ∞ phân bậc M N = ⊕ (N ∩ Mn ) n=0 Nếu R vành phân bậc R-mơđun phân bậc Khi I iđêan ∞ phân bậc (thuần nhất) R I iđêan R thỏa mãn I = ⊕ (I ∩ Rn ) n=0 Mệnh đề 1.1.2 Cho N môđun môđun phân bậc M vành phân bậc R Khi khẳng định sau tương đương: (i) N môđun phân bậc M (ii) Với x ∈ N, x = ∑ xi biểu diễn x với xi ∈ Mi , ta có xi ∈ N với i c (iii) N có hệ sinh gồm phần tử Ví dụ 1.1.3 (1) Xét vành đa thức R = k[x1 , , xn ], k trường Khi R có phân ∞ bậc R = ⊕ Rn , với R0 = k Rn tập đa thức bậc n R n=0 ∞ (2) Một vành R tùy ý vành phân bậc với phân bậc tầm thường R = ⊕ Rn với n=0 R0 = R Rn = 0, với n > Khi R-mơđun M R-môđun phân bậc với ∞ phân bậc tầm thường M = ⊕ Mn với M0 = M Mn = với n > n=0 Định nghĩa 1.1.4 Cho I iđêan R M R-mơđun Khi (i) Xét ℜI (R) = ⊕ I n với phép nhân cảm sinh từ phép nhân R ℜI (R) n≥0 vành phân bậc gọi vành Rees R I ℜI (M) = ⊕ I n M ℜI (R)-môđun phân bậc gọi môđun Rees M đối n≥0 với I (ii) Xét GI (R) = ⊕ I n /I n+1 với phép nhân GI (R) xác định sau: Với α = x + I n+1 n≥0 n n+1 ∈ I /I β = y + I m+1 ∈ I m /I m+1 ta định nghĩa α · β = xy + I m+n+1 ∈ I n+m /I n+m+1 Ta dễ dàng kiểm tra phép nhân không phụ thuộc vào cách chọn đại diện phép nhân làm GI (R) trở thành vành phân bậc Ta nói GI (R) vành phân bậc liên kết R I Tương tự, tập GI (M) = ⊕ I n M/I n+1 M với phép nhân vô hướng xác định sau: Với n≥0 a¯ = a + I n+1 ∈ I n /I n+1 x¯ = x + I m+1 M ∈ I n M/I n+1 M a¯ · x¯ = ax + I n+m+1 M ∈ I n+m M/I n+m+1 M GI (R)-môđun phân bậc gọi môđun phân bậc liên kết M I Định lý cho ta đặc trưng tính Noether vành (N)-phân bậc Định lý 1.1.5 Cho R = ⊕ Rn vành phân bậc Khi đó, điều sau tương n≥0 đương: (i) R vành Noether (ii) R0 vành Noether tồn a1 , , an phần tử R cho R = R0 [a1 , , an ] = { f (a1 , , an )| f ∈ R0 [x1 , , xn ]} c Chứng minh (i) ⇒ (ii) Ký hiệu R+ = ⊕ Rn iđêan R Vì R Noether nên R+ n>0 hữu hạn sinh, suy tồn a1 , , an ∈ R cho R+ = (a1 , , an ) Mặt khác R+ iđêan R nên ta giả thiết có bậc ni > Đặt R′ vành R sinh a1 , , an R0 , R′ = R0 [a1 , , an ] Ta chứng minh Rm ⊆ R′ với m ≥ quy nạp theo m Hiển nhiên R0 ⊆ R′ Giả sử m ≥ Ri ⊆ R′ , với i ≤ m Ta chứng minh Rm+1 ⊆ R′ Lấy x ∈ Rm+1 ⊆ R+ , ta n có x = ∑ bi , bi ∈ Rm+1−ni với i = 1, , n Vì ni > nên m + − ni ≤ m i=1 với i = 1, , n Theo giả thiết quy nạp ta có bi ∈ R′ , với i = 1, , n Rm+1 ⊆ R′ Vậy R = ⊕ Rm ⊆ R′ nên R = R′ Hơn ta có R0 ∼ = R/R+ vành Noether m≥0 (ii) ⇒ (i) Từ giả thiết (ii) suy R có dạng R = R0 [a1 , , an ], ∈ R, với i = 1, , n Khi tồn toàn cấu vành φ : R0 [x1 , , xn ] −→ R0 [a1 , , an ] f [x1 , , xn ] 7−→ f [a1 , , an ] Theo định lý sở Hilbert ta có R0 [x1 , , xn ] Noether Nên R0 [a1 , , an ] ∼ = R0 [x1 , , xn ]/ Ker φ vành Noether Vậy R Noether Hệ sau cho ta tính chất Noether vành Rees vành phân bậc liên kết Hệ 1.1.6 Cho R vành Noether I iđêan R Khi (i) ℜI (R) GI (R) vành phân bậc Noether (ii) Với M R-mơđun Noether ℜI (M) ℜI (R)-môđun Noether, GI (M) GI (R)-môđun Noether Định nghĩa 1.1.7 (i) Một dãy giảm iđêan vành R R = I0 ⊇ I1 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ · · · (∗) gọi lọc iđêan In Im ⊆ In+m , với n, m ≥ (ii) Cho M R-môđun Một dãy giảm môđun M M = M0 ⊇ M1 ⊇ · · · ⊇ Mn ⊇ · · · (∗∗) c gọi lọc tương thích với lọc iđêan (∗) In Mm ⊆ Mn+m , với n, m ≥ (iii) Xét I iđêan R Khi {I n }n≥0 lọc ta gọi lọc I-adic (iv) Xét Một lọc mơđun (∗∗) tương thích với lọc I-adic tồn số nguyên dương n0 cho Mn+1 = IMn với n ≥ n0 Khi ta nói lọc mơđun I-lọc tốt Chú ý 1.1.8 (i) Cho lọc iđêan (∗) R Khi ta xây dựng vành phân bậc ⊕ In ⊕ In /In+1 với phép nhân tương tự vành Rees vành phân bậc n≥0 n≥0 liên kết R I Trong trường hợp lọc I-adic ta thu vành Rees vành phân bậc liên kết R I (ii) Với lọc môđun (∗∗) tương thích với lọc iđêan (∗) ta có ⊕ Mn n≥0 môđun phân bậc vành ⊕ In ⊕ Mn /Mn+1 môđun phân bậc vành n≥0 ⊕ In /In+1 n≥0 n≥0 Định lý 1.1.9 Cho R vành Noether, I iđêan R Xét M R-môđun hữu hạn sinh, {Mn }n≥0 lọc môđun M tương thích với lọc I-adic Khi khẳng định sau tương đương: (i) ⊕ Mn ℜI (R)-môđun Noether n≥0 (ii) Lọc {Mn }n≥0 I-lọc tốt n Chứng minh Đặt M ∗ = ⊕ Mn Với n ≥ 0, ta xét Qn = ⊕ Mi n≥0 i=0 Mn∗ = Qn ⊕ IMn ⊕ I Mn ⊕ · · · Tức Mn∗ = M0 ⊕ M1 ⊕ · · · ⊕ Mn ⊕ IMn ⊕ I Mn ⊕ · · · Dễ thấy Mn∗ ⊆ M ∗ Mặt khác Mi hữu hạn sinh với i nên Qn hữu hạn sinh Giả sử Qn = y1 R + · · · + yk R Do Mn∗ ℜI (R)-môđun hữu hạn sinh, cụ thể Mn∗ = y1 ℜI (R) + · · · + yk ℜI (R) Mặt khác ta có M1∗ ⊆ M2∗ ⊆ · · · ⊆ Mn∗ ⊆ · · · (∗) ∞ dãy tăng dần môđun M ∗ , ∪ Mn∗ = M ∗ Vậy M ∗ n=0 ℜI (R)-môđun Noether dãy (∗) dừng hay {Mn }n≥0 I-lọc tốt c ... NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ MINH HUỀ ĐA THỨC HILBERT VÀ CÁC HỆ SỐ CỦA NÓ Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM... theo I Bậc đa thức Hilbert hệ số cho ta biết độ lớn phức tạp môđun hay đa tạp đại số Chính vậy, chúng tơi đặt mục tiêu tìm hiểu số kết ban đầu đa thức Hilbert Phần lớn nội dung luận văn trình... trình bày vài kết gần hệ số Chern, e1 (q, M), đa thức Hilbert Luận văn chia thành hai chương Chương 1: Phần đầu chương trình bày số kiến thức vành môđun phân bậc, định lý Artin-Rees Đây kiến thức