(SKKN 2022) Phương pháp Hệ số bất định giải hệ phương trình đại số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Người thực hiện: Lê Ngọc Phương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC Phần MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị, đề xuất TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 4444 3444444 5 13 17 17 18 Phần MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT, phần hệ phương trình đại số nội dung quan trọng Các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa THPT Quốc gia năm gần phải sử dụng kỹ giải hệ phương trình đại số thơng qua câu vận dụng cao Xuất phát từ nhu cầu thực tế để giúp em học sinh nắm vững phương pháp giải vận dụng linh hoạt chúng giải hệ phương trình Tơi viết sáng kiến kinh nghiệm với mục tiêu đưa dạng cốt lõi thường gặp, để thông qua em học sinh nhìn nhận vấn đề giải hệ phương trình cách rõ ràng phương pháp phát triển tư thông qua việc phân tích tìm lời giải cho tốn Với mong muốn trình bày kĩ lưỡng nên sáng kiến kinh nghiệm tơi chọn việc trình bày phương pháp đặc biệt để giải hệ Phương pháp Hệ số bất định (hay gọi phương pháp UCT viết tắt Undefined Coeffient Technique) Nội dung sáng kiến kinh nghiệm thân tự nghiên cứu ứng dụng hoạt động dạy đội tuyển học sinh giỏi trường THPT Thạch Thành năm qua Các toán khai thác viết có lời giải khác tài liệu, qua thực tế dạy học sinh, sau giải nhiều khác định hướng cho học sinh sử dụng phương pháp hệ số bất định Từ góp phần phát huy tính tích cực học sinh, tăng cường khả tự học, tự khám phá Do hạn chế thời gian khơng tránh khỏi thiếu sót, mong ý kiến đóng góp thầy đồng nghiệp cấp 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Toán học, trước tập tơi thường cho học sinh tìm nhiều cách giải, đồng thời người thầy giáo, cô giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lý Phát cách giải tương tự khái quát phương pháp đường lối chung Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố thành toán tổng quát xây dựng tốn tương tự Thứ hai mong muốn bổ sung phương pháp bồi dưỡng cho học sinh giỏi trước đến Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Toán cho học sinh cho lúc nơi em tự phát huy lực độc lập sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các tốn giải hệ phương trình đại số phương pháp hệ số bất định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: + Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài + Phương pháp quan sát (hoạt động dạy - học giáo viên HS) + Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn ) + Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) + Phương pháp thực nghiệm Phần NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cơ sở triết học: Theo triết học vật biện chứng, mâu thuẫn động lực thúc đẩy trình phát triển Vì trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần trọng gợi động học tập giúp em thấy mâu thuẫn điều chưa biết với khả nhận thức mình, phát huy tính chủ động sáng tạo học sinh việc lĩnh hội tri thức Tình phản ánh cách lơgíc biện chứng quan niệm nội thân em Từ kích thích em phát triển tốt 2.1.2 Cơ sở tâm lí học: Theo nhà tâm lí học: Con người bắt đầu tư tích cực nảy sinh nhu cầu tư đứng trước khó khăn cần phải khắc phục Vì giáo viên cần phải để học sinh thấy khả nhận thức với điều biết với tri thức nhân loại Căn vào quy luật phát triển nhận thức hình thành đặc điểm tâm lí từ lớp cuối cấp THCS, học sinh bộc lộ thiên hướng, sở trường hứng thú lĩnh vực kiến thức, kĩ định Một số học sinh có khả ham thích Tốn học, mơn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương môn khoa học xã hội, nhân văn khác Ngồi cịn có học sinh thể khiếu lĩnh vực đặc biệt… Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh giải hệ phương trình thường có tâm lí bối rối khơng biết xuất phát từ hướng 2.1.3 Cơ sở giáo dục học: Để giúp em học tốt Giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy nhu cầu nhận thức quan trọng, người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ đối tượng học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.2.1.Thời gian bước tiến hành: Tìm hiểu đối tượng học sinh lớp chọn khối 10 nhà trường năm học 2020-2021 2.2.2 Khảo sát chất lượng đầu năm: Thông qua việc cho học sinh làm tập chuyên đề hệ phương trình kết thu có 45% học sinh giải hệ đơn giản 2.2.3 Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết trên: Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết chưa cao Vì việc lĩnh hội kiến thức rèn luyện kĩ học sinh địi hỏi nhiều cơng sức thời gian Sự nhận thức học sinh thể rõ: - Các em lúng túng việc định hướng cách giải hệ có cấu trúc phức tạp - Kiến thức nắm chưa - Khả tưởng tượng hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa thực tốt - Nhiều học sinh có tâm lí sợ giải hệ phương trình, hệ có bề ngồi phức tạp Đây chủ đề địi hỏi tư duy, phân tích em Thực khó khơng HS mà cịn khó GV việc truyền tải kiến thức tới em Hơn điều kiện kinh tế khó khăn, mơi trường giáo dục, động học tập… nên chưa thực phát huy hết mặt mạnh học sinh Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên chưa xác định động học tập Vì tơi nghiên cứu tìm hiểu đưa giải pháp khắc khục vấn đề hay gặp việc giải hệ phương trình đại số, giúp học sinh giải vấn đề khó khăn nêu 2.3 Các giải pháp thực a1 x + b y + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = ( 1) 2.3.1 Với hệ có dạng tổng quát:  2 a2 x + b y + c2 xy + d x + e2 y + f = ( ) Khi gặp hệ có phương trình dạng bậc hai ta xem xét phương trình bậc có đưa dạng tích biểu thức bậc hay khơng cách: Một coi phương trình bậc với ẩn x y (biến lại tham số), thực hiện thao tác tính ∆ + Nếu ∆ số phương ta dùng cơng thức nghiệm phương trình bậc để tìm mối liên hệ x y + Nếu ∆ khơng số phương khơng đưa dạng tích phải chuyển sang hướng khác Hai dùng kĩ phân tích nhân tử casio để kiểm nghiệm Như trường hợp mà phương trình (1) (2) khơng đưa dạng tích ta xử lý hệ nào? Một ý tưởng đưa ta kết hợp phương trình lại với theo số k ( PT (1) + kPT (2) = ( *) ) để tạo ∆ số phương Xong việc khó khăn tìm k phương trình (*) có ∆ số phương Có phương pháp chọn k đề cập nhiều tài liệu sau: Đặt a = a1 + ka2 , b = b1 + kb2 , c = c1 + kc2 , d = d1 + kd , e = e1 + ke2 , f = f1 + kf Khi k nghiệm phương trình sau: cde + 4abf = ae + bd + fc ( *) Như có cơng thức để tính k , xong việc giải phương trình (*) để tìm k công việc cồng kềnh, nhiều thời gian tính tốn Tuy nhiên, phương pháp cho ta phương pháp mang tính tổng quát cao để giải hệ phương trình tạo hệ phương trình hóc búa  x + xy + y = (1) Bài toán Giải hệ phương trình:   x + xy − x − y + = (2) Giải Dùng phương pháp UCT  x + y + xy − = (1) Hệ phương trình ⇔   x + xy − x − y + = (2) a = + k1, b = 1, c = + 2k , d = −7k , e = −5k , f = −3 + 9k cde + 4abf = ae + bd + fc ⇔ ( + 2k ) ( −7 k ) ( −5k ) + ( + k ) ( −3 + 9k ) = ( + k ) ( −5k ) + ( −7 k ) + ( −3 + 9k ) ( + 2k ) 2 ⇔ k =1 Như sử dụng phương pháp UCT ta k=1 Vậy ta có lời giải x + y − = Cộng theo vế phương trình ta được: ( x + y − 2)(2 x + y − 3) = ⇔  2x + y − = Với x + y − = ta có hệ: x + y − = y = − x x = ⇔ ⇔    2  x + xy + y =  x + x (2 − x ) + (2 − x) =  y = Với x + y − = ta có hệ:  x =  2 x + y − =  y = − 2x  y = ⇔ ⇔   2  x + xy + y =  x + x (3 − x) + (3 − x ) =   x =    y = −1 Vậy hệ có nghiệm ( 1;1) , ( 2; −1)  2 x + y = (1)  Bài tốn Giải hệ phương trình:  4 x + 3x − 57 = − y (3x + 1) (2)  25 Giải 50 25 Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được:  3x + y =  25(3x + y ) + 50(3x + y ) − 119 = ⇔  3x + y = −17     11  Giải ta nghiệm hệ  ; ÷,  ; ÷  5   25 25   x + xy + y + x = (1) Bài toán Giải hệ phương trình:  (2)  xy + y + y + = Giải Sử dụng UCT ta k = Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được:  x + y = −1 ( x + y ) + 3( x + y ) + = ⇔   x + y = −2 Với x + 2y = -1, thay vào (2) ta được:  y = + ⇒ x = −3 − 2 y2 − y −1 = ⇔   y = − ⇒ x = −3 + 2  1− ⇒ x = −3 + y = 2 Với x + 2y = -2, thay vào (2) ta được: y − y − = ⇔   1+ ⇒ x = −3 − y =  Vậy hệ cho có nghiệm  xy − 3x − y = 16 Bài tốn Giải hệ phương trình:  2  x + y − x − y = 33 Sử dụng UCT ta k = Giải (1)  xy − 3x − y = 16 Xét hệ phương trình  2  x + y − x − y = 33 (2) Nhân hai vế phương trình (1) cho cộng vế theo vế với phương trình (2) ta được: x + y + xy − x − y = 65 ⇔ ( x + y ) − 8( x + y ) − 65 = ⇔ ( x + y − 13)( x + y + 5) = (3) Kết hợp (1) (3) ta có  x + y = 13  x = 13 − y   (I )   xy − x − y = 16 ⇔  (13 − y ) y − 3(13 − y ) − y = 16   x + y = −5  ( II ) x = −5 − y     xy − x − y = 16  (−5 − y ) y − 3(−5 − y ) − y = 16 Giải hệ (I) ta thấy hệ phương trình vơ nghiệm Giải hệ (II) ta có cặp nghiệm phương trình  x = −3 +  x = −3 −    y = −2 −  y = −2 + Vậy hệ phương trình cho có nghiệm a1 x + b y + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = ( 1) 2.3.2 Những hệ mà khơng có dạng  2 a2 x + b y + c2 xy + d x + e2 y + f = ( ) Vậy ta dùng UCT để xử lý? 2.3.2.1 Dạng hệ mà x, y độc lập với  x3 − y = 35 (1) Bài tốn Giải hệ phương trình:  2 2 x + y = x − y (2) Giải Phân tích: thấy pt (1) có bậc 3, PT(2) có bậc bậc biến x, y độc lập với nhau=> ta liên tưởng tới đẳng thức ( u + v ) => ý tưởng kết hợp PT đề đưa dạng ( x + a ) = ( y + b ) Hướng dùng UCT: Do PT(2) có bậc nhỏ nên ý tưởng ta nhân thêm 3 số k vào PT(2) kết hợp với PT(1) để đưa dạng ( x + a ) = ( y + b ) 3 Vậy: PT (1) + kPT (2) ⇔ x + 2kx − 4kx − y + 3ky + 9ky − 35 = Ta cần tìm k để đưa PT dạng ( x + a ) − ( y + b ) =  k = −3  Sử dụng đồng thức hệ số ta a = −2 b =  =>Lời giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta được: ( x − 2)3 = (3 + y )3 ⇒ x = y + 5(3) 3  y = −2 ⇒ x = Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y + y + = ⇔   y = −3 ⇒ x = Vậy nghiệm hệ (3;-2), (2;-3) Hướng dựa vào hệ số tự do: Từ hệ số tự 35 ta phân tích 35 thành số có dạng lập phương quen thuộc 35 = 27 + = 33 + 23  ( x ± 2)3 = ( y ± 3)3 =>ta hi vọng đưa dạng sau  3  ( x ± 3) = ( y ± 2) Nếu dạng ( x ± 2)3 = ( y ± 3)3 => hệ số x là: ±6 nên ta phải nhân ±3 vào phương trình (2) Nếu dạng ( x ± 3)3 = ( y ± 2)3 => hệ số x là: ±9 => ta phải nhân ± vào pt(2) (cái nhân số lẻ => khả không được) nên thử: Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) ta được: ( x − 2)3 = (3 + y )3 ⇒ x = y + (3)  y = −2 ⇒ x = Thế (3) vào phương trình (2) hệ ta được: y + y + = ⇔   y = −3 ⇒ x = Vậy nghiệm hệ ( 3; −2 ) , ( 2, −3)  x3 + y = 91 Bài toán Giải hệ phương trình:  2 4 x + y = 16 x + y Giải Phần tích: Tương tự  k = −3  + Nếu dùng UCT ta được: a = −4 b =  + Nếu phân tích hệ số tự do: ta có 91 = 64 + 27 = 43 + 33 ( x ± 3) => ±9 x => ta cần nhân PT(2) với ± ( x ± ) => ±12 x => ta cần nhân PT(2) với (ưu tiên hướng này) vậy: Lời giải Lấy phương trình (1) trừ lần phương trình (2) theo vế ta được: ( x − 4)3 = ( − y ) ⇒ x = − y (3) Thay (3) vào phương trình (2) hệ ta được: 10 y = 4⇒ x = y − y + 12 = ⇔  y = 3⇒ x = Vậy nghiệm hệ ( 3;4 ) , ( 4;3) 2.3.2.2 Dạng hệ mà x, y không độc lập với nhau:  x3 + 3xy = −49 (1) Bài tốn Giải hệ phương trình sau:  2  x − xy + y = y − 17 x (2) Giải Vì bậc x > bậc y nên ta biến đổi PT hệ theo ẩn y 3 y x + x3 + 49 = 0(1) PT ⇔  2  y − y ( x + 1) + x + 17 x = 0(2) Vì PT(2) có chứa y mà PT(1) khơng chứa y => thử với x= - để xem PT(1), (2) có dạng tương đương không? −3 ( y − 16 ) = Ta có với x=-1 hệ : ⇔   y − 16 = Như ta nhân 3.PT(2)+PT(1) nhân tử chung (x+1) => lời giải Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được:  x = −1; y = −4 ⇔ ( x + 1) ( ( x + 1) + 3( y − 4) ) = ⇔   x = −1; y = Vậy nghiệm hệ (-1;-4), (-1;4) 6 x y + y + 25 = (1) Bài toán Giải hệ phương trình:  2 (2) 5( x + y ) + xy + x + 13 y = Giải Vì bậc x < bậc y nên ta biến đổi PT hệ theo ẩn x 6 x y + y + 35 = 0(1) HPT ⇔  2 5 x + x ( y + ) + y + 13 y = 0(2) 15  − 15 x + =0  −5 Tương tự thử với y = vào hệ ta được:  5 x − =  Như ta nhân 3.PT(2)+PT(1) nhân tử chung (x+5/2) 11 Lấy phương trình (1) cộng theo vế với lần phương trình (2) ta được: (6 y + 15) x + 3(2 y + 5) x + y + 15 y + 39 y + 35 = −5  y = ⇒ x = 2    1  5  2 ⇔ (2 y + 5)   x + ÷ +  y + ÷ ÷ = ⇔    2  2 ÷  x = −1 ⇒ y = −5    2 Vậy hệ cho có nghiệm  x3 + xy + 35 = (1) Bài toán Giải hệ phương trình:  2 2 x − xy − y + x + 10 y − 35 = (2) Hướng dẫn: Lấy PT ( 1) + PT ( ) ta nhân tử chung (x - 2) (1)  x + 3xy − xy + 3x + 39 = Bài toán 10 Giải hệ phương trình:  2  x − xy + y − 10 y + 25 x + = (2) Hướng dẫn: Lấy PT ( 1) + 3PT ( ) ta nhân tử chung (x + 1) Nhận xét: Như với hệ mà ta đoán nghiệm (a; b) thay x=a (hoặc y=b) vào hệ PT(1) PT(2) có dạng tương đương ta xử lý Vậy thay vào hệ mà PT(1) PT(2) dạng tương đương ta xử lý sao? + ta dùng kĩ thuật casio để dự đoán mối quan hệ tuyến tính x y + từ ngược lại vào hệ để tìm hệ số k biểu thức (chứa x, y, xy ) làm cho tổ hợp PT(1) PT(2) xuất nhân tử chung  x y + 3x + y − = (1) Bài tốn 11 Giải hệ phương trình:  2  x y − xy − y + y − x + = (2) Hướng dẫn Dùng máy tính cầm tay ta dự đoán mối quan hệ x y là: x = − y ngược lại vào hệ ta 2 ( − y ) y + ( − y ) + y − = 0(1) ( y − 1) y = 0(1) ⇔  2 − y y − − y y − y + y − − y + = 0(2) ( ) ( ) ) ( − ( y − 1) y = 0(2) 12 Như ta nhân ( y − 1) PT(2)+PT(1) nhân tử chung ( x + y − 1) 2 (1)  x + y = xy + y Bài tốn 12 Giải hệ phương trình:  2 2 x + 3xy = y + x y (2) Giải Với y = ⇒ x = Với y ≠ , nhân vào vế (1) với –y sau cộng theo vế phương trình (2) ta được: x3 − y − x y + xy = ⇔x= y Thay x = y vào phương trình (1) ta được: y = y ⇔ y = ⇒ x = Vậy nghiệm hệ ( 0;0 ) , ( 1;1) 3   x − y = 35 Bài tốn 13 Giải hệ phương trình:  2  2 x + y − x + y = Giải Nhân hai vế phương trình thứ hai với ( −3) cộng cho phương trình thứ nhất, ta x − y − x − y = 35 − 12 x + 27 y ⇔ x − x + 12 x − = y + y + 27 y + 27 ⇔ ( x − ) = ( y + 3) ⇔ x − = y + ⇔ x = y + Thay x = y + vào phương trình x + y − x + y = , ta 3  y = −2 ⇒ x = 2 ( y + ) + y − ( y + ) + y = ⇔ y + 25 y + 30 = ⇔   y = −3 ⇒ x = Hệ phương trình có nghiệm phân biệt ( x0 ; y0 ) = ( 3; −2 ) ( x0 ; y0 ) = ( 2; −3) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình dạy dạng tốn giải hệ phương trình đại số phương pháp cân hệ số bất định học sinh lớp 10C 1, tác giả thấy học sinh hứng thú, hệ phương trình đại số phức tạp mà lâu em gặp khó khăn khâu biến đổi sử dụng “UCT” chuyện trở nên dễ dàng Để kiểm nghiệm xác, tác giả cho đề kiểm tra 45 phút lớp 10C 10C4, lớp lớp 10C1 thực nghiệm đề tài này, lớp 10C lớp đối chứng Đề kiểm tra sau:  y − xy − y + x = −1  Câu (5 điểm) Giải hệ phương trình sau:  2  y − xy − y + x + x =  13  x − y = 240 (1) Câu (3 điểm) Giải hệ phương trình:  3 2  x − y = ( x − y ) − ( x − y ) (2) 4 x + y − xy = (1) Câu (2 điểm) Giải hệ phương trình:  2 2 x + y − xy = (2) Sau chấm tác giả thu kết sau Điểm 0-2,5 3-4,5 5-6,5 7-8,5 Lớp thực nghiệm 0% 4% 10% 32% (49 học sinh) Lớp đối chứng 96,2% 3,8% 0% 0% (45 học sinh) Các điểm – 10 có cách giải phổ biến sau: (1)  y − xy + x − y + = Câu (5 điểm) Hệ cho ⇔  2 6 x + y − xy + x − y − = (2) 9-10 54% 0% 2 Cộng (1) (2) vế theo vế ta được: y − ( 3x + 1) y + x + x = (*) Có ∆ y = x − x + Do đó, (*) có hai nghiệm: y = x + 1; y = 2x * Với y = x + thay vào (1) ta được: - 3= (Vô nghiệm)  2+ ⇒ y =2+ x = * Với y = 2x thay vào (1) ta được:   2− ⇒ y =2− x =  2+  2−  ;2 + ÷  ;2 − ÷ Vậy hệ cho có hai nghiệm:      Câu (3 điểm) Nhân (2) với lấy (1) trừ (2) ta được: x − y − x + 16 y = 240 − 24 ( x − y ) + 32 ( x − y ) ⇔ x − x3 + 24 x − 32 x + 16 = y − 16 y + 96 y − 256 y + 256 ⇔ ( x − 2) = ( y − 4) 2 x = y − ⇔ x = − y Với: x = y − lại vào (1) ta có: 14 ( y − 2) − y = 240 ⇔ y − y + y + 28 = ⇔ ( y + ) ( y − y + 14 ) = ⇔ y = −2 ⇒ x = − Với x = − y lại vào (1) ta có: ( y − ) − y = 240 ⇔ y − y + 36 y − 44 = ⇔ ( y − ) ( y − y + 22 ) = ⇔ y =2⇒ x =4 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ( −2; −4 ) , ( 2;4 ) Câu (2 điểm) Nhân vế (2) với -2 cộng cho (1) vế theo vế ta được: y − y − xy + xy + = ⇔ ( y − 1) − xy ( y − 1) = ⇔ ( y − 1) (y − − xy ) = ⇔ y = ∨ y = −1 ∨ y − − xy = x = Nếu y = thay vào (1) ta được: x + − x = ⇔ x ( x − 1) = ⇔  x =1 x = Nếu y = −1 thay vào (1) ta được: x + + x = ⇔ x ( x − 1) = ⇔   x = −1 y2 −1 Nếu y − − xy = ⇔ x = (vì y = khơng thỏa mãn phương trình) Thay 4y 2 vào (1) ta được:  y2 −   y2 −  4 4 ÷ + y − 4 ÷y = ⇔ y − y + =  4y   4y   y =1⇒ x =  y = −1 ⇒ x =   ⇔ y = ⇒ x = − 5   5 ⇒x= y = − 5  Vậy hệ phương trình có nghiệm là: 15  5  5 ; ;− ÷,  ÷ 5 5    Kết kiểm tra lớp thực nghiệm đối chứng cho thấy, lớp 10C1 đa số học sinh hiểu bài, vận dụng tốt “Phương pháp Hệ số bất định” vào việc giải tập; học sinh thấy hứng thú tính tự nhiên gần gũi đạt hiệu bất ngờ phương pháp Cịn lớp 10C4, hồn thành kiến thức biến đổi phương pháp thế, phương pháp cộng đại số gặp hệ đại số phức tạp nêu trên, hầu hết học sinh lúng túng phải giải Trao đổi “Phương pháp Hệ số bất định” với đồng nghiệp tác giả nhận phản hồi tích cực Mặc dù kết khơng áp dụng cho nhiều toán, nhiên với hiệu mà mang lại tốn kích thích tính sáng tạo tư cho người học, gợi trí tị mị ham hiểu biết vào lĩnh vực khác tốn học Đó điều tác giả tâm đắc thực đề tài ( x; y ) = ( 1;1) , ( 0;1) , ( −1; −1) , ( 0; −1) ,  − Phần KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua thời gian nghiên cứu sáng kiến vận dụng sáng kiến vào giảng dạy rút số kết sau: - Đã hình thành phương pháp tư duy, suy luận tốn học vấn đề cần nghiên cứu đề tài cho học sinh cho lớp thực nghiệm - Bước đầu khẳng định tính khả thi, tính hiệu qua việc kiểm nghiệm thực nghiệm sư phạm 16 - Giáo viên: Tạo tâm hứng thú, sẵn sàng lĩnh hội tri thức mơn học để thúc đẩy tính tích cực tư học sinh, khắc phục tâm ngại, sợ tiếp cận nội dung mơn học Nếu có nhiều hình thức tổ chức dạy học kết hợp mơn học trở lên hấp dẫn người học thấy ý nghĩa môn học - Về phương pháp dạy học, cần ý đến phương pháp lĩnh hội tri thức HS, giúp em có khả tiếp thu sáng tạo vận dụng linh hoạt tri thức tình đa dạng - Rèn luyện cho học sinh thói quen, tính kỉ luật việc thực kĩ giải tốn thơng qua việc luyện tập; nhằm khắc phục tính chủ quan, hình thành tính độc lập, tính tự giác người học, thơng qua hình thành phát triển nhân cách em 3.2 Kiến nghị, đề xuất Xuất phát từ kiến thức chương trình học để xây dựng cách làm đạt hiệu cao phẩm chất mà người học toán làm toán cần phải có Thiết nghĩ, việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn thực thành cơng giáo viên biết hướng dẫn cho học sinh tìm tịi khai thác từ kiến thức cũ cách làm sáng tạo đạt hiệu cao Thạch Thành, ngày 22 tháng 05 năm 2022 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Ngọc Phương TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Giải toán Tác giả: G Polya Nhà xuất giáo dục [2] Phương pháp giảng dạy mơn tốn Tác giả : Vũ Dương Thụy – Nguyễn bá Kim Nhà xuất giáo dục [3].Tuyển chọn toán diendantoanhoc.org 17 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Ngọc Phương Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn trường THPT Thạch Thành TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp Kết Năm học 18 “Sử dụng phần mềm Geometer’s sketchpad làm phương tiện trực quan dạy học hình học khơng gian lớp 11” “Xây dựng toán bất đẳng thức từ tính chất hàm số mũ hàm số logarit” loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) đánh giá xếp loại (A, B, C) đánh giá xếp loại Cấp tỉnh (QĐ số 932/ QĐSGD ngày 11/9/2008) C 2007- 2008 C 2011-2012 B 2013-2014 C 2016-2017 C 2018-2019 Cấp tỉnh (QĐ số 871/ QĐSGD ngày 18/12/2012) Một số kinh nghiệm dạy Cấp tỉnh “Khoảng cách” Hình (QĐ số 753/ QĐhọc không gian SGD ngày 03/11/2014) Phép co mặt phẳng Cấp tỉnh ứng dụng (QĐ số 1112/ QĐSGD ngày 18/10/2017) Hướng dẫn giải tốn hình học Cấp tỉnh không gian phương (QĐ số 2007/QĐ pháp vectơ - SGD&ĐT ngày 08/11/2019) Sử dụng khoảng cách để tính (QĐ số 1362/QĐgóc hình học khơng SGD&ĐT ngày gian lớp 11 05/11/2021) C 2020-2021 19 ... nghiên cứu Các tốn giải hệ phương trình đại số phương pháp hệ số bất định 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: + Nghiên... trường Trong q trình dạy dạng tốn giải hệ phương trình đại số phương pháp cân hệ số bất định học sinh lớp 10C 1, tác giả thấy học sinh hứng thú, hệ phương trình đại số phức tạp mà lâu em gặp khó... thành kiến thức biến đổi phương pháp thế, phương pháp cộng đại số gặp hệ đại số phức tạp nêu trên, hầu hết học sinh lúng túng phải giải Trao đổi ? ?Phương pháp Hệ số bất định? ?? với đồng nghiệp tác