Toán Phương trình và hệ phương trình đại số45419

Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình PHƯƠNG TRÌNH VÀ H PHƯƠNG TRÌNH ð I S I PHƯƠNG TRÌNH ax + b = * Các bư c gi i bi n lu n: i) a = = b : M i x nghi m a = ≠ b : Vơ nghi m ii) a ≠ : Phương trình g i phương trình b c nh t, có nghi m nh t: x = − b a * Nh n xét: Phương trình ax + b = có m t nghi m ch m i x nghi m, ch a = b = * Các phương trình chuy n v phương trình ax + b = : Phương trình có n m u: PP Gi i: ð t ðK m u th c khác không Quy đ ng, b m u Gi i phương trình ð i chi u k t qu v i ñi u ki n K t lu n nghi m VD1 Gi i bi n lu n phương trình: x − 2m x + = 2x −1 4x − m m x − 2m x + = ⇔ x − 9mx + 2m = x − ⇔ 9mx = 2m2 + (1) 2x −1 4x − m HD ðK: x ≠ , x ≠ i) m = 0: (1) vô nghi m 2m + 9m 2m + nghi m c a phương trình cho x= 9m  2m + 1 1    9m ≠ 4m − 9m + ≠ 4m + ≠ 9m  m ≠ 2, m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ 8m + ≠ 9m m ≠ ±2  m ≠ ±2  2m + ≠ m  9m  2m + m ≠ 0, m ≠ x KL: •  : = 9m m ≠ ±2 • m = ∨ m = ∨ m = ±2 : Vô nghi m ii) m ≠ : (1) ⇔ x = VD2 Gi i bi n lu n phương trình: a b a+b + = ax − bx − (a + b) x − Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình ax-1 ≠ ax ≠   ⇔ bx ≠ HD ðK: bx-1 ≠ (a+b)x-1 ≠ (a+b)x ≠   (1) (2) (3) Phương trình tương ñương: ⇔ a+b 2abx − (a + b) = abx − (a + b) x + (a + b) x − ⇔ 2ab(a + b) x − (a + b) x − 2abx + (a + b) = ab(a + b) x − (a + b) x + (a + b) ⇔ ab(a + b) x − 2abx = ⇔ x [ ab(a + b) x − 2ab] = x = ⇔  ab(a + b) x − 2ab = (4) (5) i) (4) cho x = nghi m v i m i a, b ii) Gi i (5): + a = 0: ∀ x nghi m c a (5) b = 0: ∀ x nghi m c a phương trình cho b ≠ : ∀x ≠ c a phương trình ñã cho b + b = 0: ∀ x nghi m c a (5) a = 0: ∀ x nghi m c a phương trình cho c a phương trình cho a + a = - b: (5) ⇔ 0x + 2b2 = b = 0: ∀ x nghi m c a phương trình cho b ≠ : (5) vơ nghi m Phương trình cho có nghi m x = + a ≠ ∧ b ≠ ∧ a ≠ −b : (5) ⇔ x = a+b x= nghi m c a phương trình ñã cho ch khi: a+b  a + b ≠ a   ≠ ⇔a≠b  a + b b  a + b ≠ a + b  KL • a = b = 0: ∀ x • a = ≠ b: ∀x ≠ b • b = ≠ a: ∀x ≠ a a ≠ : ∀x ≠ Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chun Qu ng Bình • a ≠ 0, a ≠ 0, a ≠ b, a ≠ - b: x = a+b • a ≠ 0, a ≠ 0, a = b, a = - b: x = * Bài t p luy n t p (m − 1) x (m − 1) x + − =0 x+3 x−m ax + b x − b = Bài Gi i bi n lu n theo a, b phương trình : x−a x+a a b Bài Gi i bi n lu n theo a, b phương trình : = x−b x −a ax − b a( x + 1) Bài Gi i bi n lu n theo a, b phương trình : + = x −1 x +1 x −1 Bài Gi i bi n lu n theo m phương trình : Bài Gi i bi n lu n theo a, b phương trình : x−a x − a −1 x−b x − b −1 − = − x − a −1 x − a − x − b −1 x − b − a−x b−x a+ x b+ x Bài Gi i bi n lu n theo a, b phương trình : + = + a+ x b+ x a−x b−x Phương trình có giá tr t ñ i D ng f ( x) = g ( x)  f ( x) = g ( x) PP Gi i: Phương trình tương đương   f ( x) = − g ( x) D ng f ( x) = g ( x) PP Gi i:   f ( x ) = g ( x)  g ( x) ≥ Cách 1: Phương trình tương đương    f ( x) = − g ( x)    g ( x) ≥   f ( x ) = g ( x)  f ( x) ≥ Cách 2: Phương trình tương đương   − f ( x) = g ( x)    f ( x) ≤ V n ñ ch , cách 1, ta ph i gi i b t phương trình g ( x) ≥ ; cách 2, ta ph i gi i b t phương trình f ( x) ≥ Tuỳ thu c vào b c c a f(x) hay g(x) đ l a ch n thích h p D ng Nhi u giá tr t ñ i Ta phá giá tr t ñ i theo đ nh nghĩa, gi i phương trình t ng t p Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD Gi i phương trình x − + − x − 2 x + = 10 HD x − = ⇔ x = ; − x = ⇔ x = 3; x + = ⇔ x = − − - 2x 3-x - 4x - x + 10 2x −1 3− x 2x + VT 2 - 2x 3-x 4x + - 7x - 2x - 3-x 4x + - 3x - 2x - x-3 4x + - x - 10 i) x ≤ − : x + 10 = ⇔ x = - : Tho 3 2 3i) ≤ x ≤ : - 3x - = ⇔ x = − : Không tho 4i) x > : - x - 10 = ⇔ x = - 11: Không tho ii) − < x < : - 7x - = ⇔ x = − : Tho Phương trình có th c D ng f ( x) = g ( x) Bi n ñ i tương ñương  f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔  ("hay"  f ( x) ≥ (hay g(x) ≥ 0) ñây có nghĩa s thay th , l a ch n m t hai, l a ch n b t phương trình đơn gi n hơn) D ng f ( x) = g ( x) Bi n ñ i tương ñương  f ( x) = g ( x) f ( x) = g ( x) ⇔   g ( x) ≥ D ng Nhi u th c không thu c d!ng • Bình phương hai v nhi u l"n theo nguyên t#c: A ≥ 0, B ≥ : A ≥ B ⇔ A2 ≥ B A ≤ 0, B ≤ : A ≥ B ⇔ A2 ≤ B Ngồi phương pháp bi n đ i tương đương nói trên, phương trình chuy n v b c nh t có th gi i b ng cách bi n đ i v tích,đ t n ph hay s d ng phương pháp khác (Xem Phương trình khơng m u m c) VD Gi i phương trình: x + x + = (XBang) HD Cách 1(Bi n ñ i tương ñương): x+ x +1 = ⇔ Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn x +1 = 1− x Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x + = (1 − x)  x + = − x + x  x + x − x x = ⇔ ⇔ ⇔ 1 − x ≥ 1 − x ≥  x ≤ x = x =    ⇔  1 + x − x x = ⇔   x = −1, x = ± ⇔ x =    x ≤    0 ≤ x ≤ ( ) Cách 2(Bi n ñ i tương ñương): x+ x +1 = ⇔ x + x + = x +1− 1   x +1 + ⇔  x +  =  2   1 x +1 −  4 Cách 3(Bi n ñ i v d!ng tích): x+ x + = ⇔ x − ( x + 1) + x + x +1 = ⇔ ( x+ x +1 )( x− ) x+ y )( y − x −1 = x +1 +1 = Cách 4(ð t $n ph%): ð t y=  y = x + ⇒ y−x= x + y ⇔ x +1 ⇒   x = − y ( ) II PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = Các bư c gi i bi n lu n i) a = 0: Phương trình tr thành: bx + c = b = = c : M i x nghi m b = ≠ c : Vô nghi m b ≠ : Phương trình tr thành phương trình b c nh t, có nghi m nh t: x = − c b ii) a ≠ 0: Phương trình cho g i phương trình b c hai 1  ∆ = b − 4ac, ∆ ' =  b  − ac 2  • ∆ < ( ∆ ' < 0): Phương trình vơ nghi m • ∆ = ( ∆ ' = 0): Phương trình có hai nghi m b&ng x=− b 2a • ∆ > ( ∆ ' > 0): Phương trình có hai nghi m phân bi t:   − b ± ∆' −b ± ∆   x1,2 = = 2a a * Nh n xét: Phương trình ax2 + bx + c = có hai nghi m ch m i x nghi m, ch a = b = c = D u nghi m c a phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình c b ,S= − a a • P < 0: Phương trình có hai nghi m x1 < < x2 ð tP= 0 < x1 ≤ x2 ∆ ≥ ⇔ • x1 ≤ x2 < P >  ∆ ≥  • < x1 ≤ x2 ⇔  P > , S >  ∆ ≥  • x1 ≤ x2 < ⇔  P > S <  *** Chú ý: i) P = ⇔ x1 = 0, x2 = S P <  x1 < < x2 ; ⇔ S >  x1 < x2 ii)  P <  x1 < < x2 ⇔  S <  x1 > x2 S = ⇔ x1 = − x2 ∆ ≥ 3i)  4i) Các d u hi u c"n, nhi u r t c"n cho vi c xét d u nghi m: S < : N u phương trình có nghi m có nh t m t nghi m âm S > : N u phương trình có nghi m có nh t m t nghi m dương VD Tìm t t c giá tr m cho phương trình sau có khơng nghi m âm phân bi t: x + mx3 + x + mx + = HD Th y x = khơng tho phương trình Chia hai v c a phương trình cho x ≠ : 1 1  x + mx + + m + = ⇔ x + + m  x +  + = x x x x  ð t x + = X ⇒ x − Xx + = x ⇒ x + = X − 2, X ≥ x (1) tr thành X + mX − = (1) (2) (3) (3) có hai nghi m trái d u v i m i m V i X ≥ (2) có hai nghi m d u, nên đ có nghi m âm X < Suy X < -2 Tóm l!i phương trình (3) ph i có hai nghi m X < −2 < < X N u ñư c dùng ñ nh lý ñ o v d u c a tam th c b c hai c"n đ là: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  f (−2) < ⇔ − 2m < ⇔ m >  2  f ( X ) = X + mX − Nhưng chương trình hi n hành khơng có đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai, nên: Cách 1: ð t X + = Y ⇒ Y < 0: X + mX − = ⇔ (Y − 2)2 + m(Y − 2) − = ⇔ Y + (m − 4)Y + − 2m = Phương trình có hai nghi m trái d u ch - 2m < ⇔ m > 1− X Cách 2: X + mX − = ⇔ m = X 2 1− X −2 X − + X − X − ð t f (X ) = ⇒ f '( X ) = = < 0, ∀X ≠ X X2 X2 ∞ 2 ∞ ∞ ∞ Th y phương trình có nghi m X < - ch m > So sánh nghi m c a phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) v i m t s th c khác khơng 3.1 N u dùng đ nh lý đ o v d u c a tam th c b c hai ð t f(x) = ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) af(α )0 ⇔  x1 ≤ x2 < α ∆ ≥   af(α )>0  ∆ ≥ ⇔ α < x1 ≤ x2 ; S  >α 2  af(α )>0  ∆ ≥ ⇔ x1 ≤ x2 < α S   af (α ) ≥  •  af ( β ) ≥ :  S α < < β  • f (α ) f ( β ) ≤   ∆ ≥  af (α ) ≥ •   af ( β ) ≥   S  α ≤ ≤ β   N u khơng c"n ph i tách b!ch th c"n đ đ f(x) có nghi m thu c [α ; β ] : 3.1.2 f(x) có nghi m thu c (α ; β ) : C"n ñ ñ f(x) có ñúng nghi m thu c (α ; β ) m t b n ñi u ki n: • f (α ) f ( β ) <  f (α ) = •  S − α ∈ (α ; β )  f ( β ) = •  S − β ∈ (α ; β ) C"n ñ ñ f(x) có nghi m thu c (α ; β ) : ∆ =  • b − 2a ∈ (α ; β ) ∆ >  af (α ) >  •  af ( β ) >  α < S < β  3.1.3 f(x) có nghi m thu c (α ; +∞ ) : C"n ñ ñ f(x) có nghi m thu c (α ; +∞ ) m t ba ñi u ki n: • af (α ) <  f (α ) = • S − α > α Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn ∆ =  • b − 2a > α Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chun Qu ng Bình C"n đ đ f(x) có ñúng nghi m thu c (α ; +∞ ) :  ∆ >  •  af (α ) >  S α < < β  3.1.4 f(x) có nghi m thu c [α ; +∞) : C"n đ đ f(x) có nghi m thu c [α ; +∞) m t ba u ki n: • af (α ) <  f (α ) = • S − α < α C"n đ đ f(x) có ñúng nghi m thu c [α ; +∞) : ∆ =  • b − 2a ≥ α  ∆ >  •  af (α ) ≥  S α < < β  3.1.5 f(x) có nghi m thu c ( −∞;α ) : C"n đ đ f(x) có nghi m thu c ( −∞;α ) m t ba u ki n: • af (α ) <  f (α ) = • S − α < α C"n đ đ f(x) có nghi m thu c ( −∞;α ) : ∆ =  • b − 2a < α  ∆ >  •  af (α ) > S   •  af (α ) ≥ S  : (2) tr thành (1 − a)(Y + 1) − 2(Y + 1) + 4a = ⇔ (1 − a)Y − 2aY + 3a − = (3) π a ≠ 1 − a ≠   a≠ 4a − a + > ∆ ' >     (3) có hai nghi m dương ⇔  ⇔ 3a − > ⇔ P >  1 < a < a  S >   >0 1 − a Cách Không ph i có th nh n X = m t nghi m c a (2) Nhưng n u nh n đư c thì: 2a −2= 1− a 1− a 1 < a 0   ⇔  1− a ⇔  2a ≠ a ≠  V i a ≠ nghi m  2a 1 − a > Ta ph i có   2a ≠ 1 − a • Có th dùng phương pháp ph n bù: Tìm giá tr tham s đ phương trình có nghi m ta tìm giá tr làm cho phương trình vơ nghi m VD Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m: x + x3 + 2mx + x + = Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình HD Phương trình cho tương đương v i :  X + X + 2m − =   x − Xx + = X ≥2  (1) (2) (3) Phương trình cho có nghi m ch phương trình (1) có nghi m tho (3) Ta tìm t t c giá tr m đ phương trình (1) khơng có nghi m tho (3) ði u ch phương trình (1) vơ nghi m ho c có hai nghi m thu c (- ; 2) i) Phương trình (1) vơ nghi m ⇔ − 2m + < ⇔ m > ii) Phương trình (1) có hai nghi m thu c (- ; 2) Trư(ng h p không b = - không thu c kho ng (- ; 2) Suy lu n hay: N u 2a b hai nghi m thu c kho ng (- ; 2) − = - thu c kho ng (- ; 2).Vô lý 2a B nh)ng m > ta t t c giá tr c"n tìm m ≤ x y − ** B n nên ln ln hư ng t i vi c dùng ñ o hàm đ kh o sát phương trình n u có th b n s tránh đư c nhi u r c r i Các phương trình chuy n v b c hai, tương t nói v phương trình chuy n v b c nh t VD Gi i phương trình x + x + = HD Cách 1(Bi n ñ i tương ñương) 1 1  1  x + x+7 = ⇔ x + x+ = x+7− x+7 + ⇔x+  = x+7 −  4 2  2  2 Cách 2(Bi n ñ i v d!ng tích) x + x + = ⇔ x − ( x + 7) + ( x + x + ) = ⇔ ( x + x + 7)( x − x + + 1) = Cách 3(ð t $n ph%, ñưa v h phương trình)  y2 = x + ð t y = x + ⇒   x = − y ⇒ y − x = x + y ⇔ ( x + y )( y − x − 1) = * Bài t p luy n t p Bài Cho phương trình ax + bx + c = có hai nghi m x1 , x2 ð t S = x1n + x2n Ch ng minh: aSn + bS n−1 + cSn −−2 = 0, (n ≥ 3) Bài Cho phương trình x + 2mx + = a) Tìm m đ phương trình có hai nghi m khơng âm x1 , x2 Khi tính theo m: M = x1 + x2 , N = x1 − x2 b) Tìm m đ phương trình có hai nghi m x1 , x2 cho: x14 + x24 ≤ 32 Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Bài Tìm nghi m (x; y) cho y l n nh t: x − yx − y + x + = Bài Bi t r&ng phương trình ax + bx + c = có m t nghi m dương ( g i x1 ) Ch ng minh r&ng phương trình cx + bx + a = có m t nghi m dương ( g i x2 ), ñ ng th(i : x1 + x2 ≥ Bài G i x0 nghi m c a phương trình ax + bx + c = Ch ng minh: b c  x0 < + max  ;  , a ≠ a a + + 3a = Bài Cho phương trình (1 − a) tan x − cos x a) Gi i phương trình a = b) Tìm t t c giá tr a đ phương trình có m t nghi m thu c kho ng  0;   2 Bài Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m: π ( x − 1)( x + 5)( x + 3) − m = Bài Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m: x − ( x − 2) + m = Bài Tìm t t c giá tr p đ phương trình sau có nghi m: x2 px + + − p2 = 1+ 2x + x 1+ x Bài 10 Gi i bi n lu n theo m phương trình: x2 + x + m = − x2 + x + Bài 11 Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m nh t: lg mx =2 lg( x + 1) Bài 12 Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m: ( x + 2) + x = m Gi i phương trình m = 82 Bài 13 Tìm t t c giá tr m đ phương trình sau có nghi m: x − x + mx − x + = III PHƯƠNG TRÌNH ax + by + c = a = b = c = 0: M i (x; y) nghi m a = b = ≠ c: Vô nghi m a = 0, b ≠ 0: x tuỳ ý; y = − c b Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình c , y tuỳ ý a ax c by c a ≠ 0, b ≠ 0: x tuỳ ý, y = − − (hay x = − − , y tuỳ ý) b b a a a ≠ 0, b = 0: x = - IV H PHƯƠNG TRÌNH B C NH!T HAI "N  ax + by = c D ng   a'x + b'y = c' Phương pháp gi i: Phương pháp th Phương pháp c ng đ!i s Dùng máy tính b túi Phương pháp ñ nh th c Crame (m − 1) x + y = m mx + (m − 1) y = m VD Gi i bi n lu n theo m h phương trình:  HD D= m −1 m = m − 2m; Dx = m-1 m m −1 = m − 2m; Dy = m-1 m = m − 2m m i) D ≠ ⇔ m ≠ ∧ m ≠ : x = y = ii) m = 0: D = Dx = Dy = ⇒ H tương ñương v i m t phương trình: x - y = x = t ⇔  y = t; t ∈ iii) m = 2: D = Dx = Dy = ⇒ H tương đương v i m t phương trình: x + y +2 = x = t ⇔  y = −2 − t ; t ∈ * Bài t p luy n t p Bài Cho h phương trình: mx + y = m2 +   x + (m + 3) y = 2m + a) V i giá tr c a m rthì h có nghi m nh t nghi m tho x≥ y b) V i m tìm ñư c a), tìm min(x + y) Bài Cho h phương trình: ax + y = − a   x + ay = − a V i giá tr c a a rthì h có nghi m (x ; y) tho 2x + y > Bài Tìm b cho v i m i a h sau có nghi m: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x + 2ay = b  ax + (1 − a) y = b Bài Cho h phương trình: (2a − 1) x − y =   x + (1 + a) y = −1 Gi i h a =0, a = - Bài Gi i bi n lu n theo a, b h phương trình:  ( a + b) x + ( a − b) y = a  (2a − b) x + (2a + b) y = b Bài Gi i bi n lu n theo a h phương trình: 6ax + (2 − a) y =  (a − 1) x − ay = G i (x; y) nghi m Tìm h th c liên h x, y không ph% thu c a Bài Cho h phương trình: ax + y = b   x + ay = c + c a) V i b = 0, gi i bi n lu n h theo a c b) Tìm b cho v i m i a, ln tìm đư c c đ h có nghi m Bài Bi t r&ng h phương trình sau có nghi m: ax + by = c  bx + cy = a cx + ay = b  Ch ng minh a + b3 + c3 = 3abc V H PHƯƠNG TRÌNH B C CAO H có m t phương trình b c nh t Phương pháp: PP th (Rút x ho c y t phương trình b c nh t thay vào phương trình b c hai) ươ  x − y = m( x − y )  x + y = ! " Tìm m đ h có nghi m (x1; y1), (x2; y2), (x3; y3)sao cho x1; x2; x3 l p thành m t c p s c ng # ñã $ ươ ñươ % ( x − y ( x + y + xy ) = m( x − y ) ( x − y ( x + y + xy − m) = ⇔  x + y = x + y = Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x − y =  x= y=−   x + y = ⇔ ⇔  2   y = −1 − x  x + y + xy − m =    x + (−1 − x)2 + x(−1 − x) − m =   x + y =   (1) x = y = − ⇔ 2)   y = −1 − x   (3)  x + x + − m = * Bài t p luy n t p Bài Gi i h phương trình: x − y +1 =  2  x − y + xy − = Bài Cho h phương trình: x + y = m +1  2  x y + xy = 2m − m − a) Gi i h m = b) Ch ng minh h có nghi m v i m i m (ðHQuy Nhơn - A99) Bài Gi i bi n lu n theo a h phương trình: x y  + =a y x x + y =  (HVQHQT - D97) Bài Gi i bi n lu n theo m h phương trình:  x − y = m  2 y + xy = (ðH ðà N*ng- B98) Bài Cho h phương trình: x + y = m  ( x + 1) y + xy = m( y + 2) a) Tìm m ñ h có hai nghi m b) Gi i h m = (ðHQG Thf HCM- A97) Bài Cho bi t h phương trình sau có nghi m v i m i b: a( x + y ) + x + y = b  y − x = b Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Ch ng minh a = (ðH Lu t HN - A97) H phương trình đưa đư#c v d ng tích Phương pháp: D ng   F ( x, y ) =   F ( x, y ).G ( x, y ) =  H ( x, y ) =  ⇔   G ( x, y ) =  H ( x, y ) =    H ( x, y ) = D ng   F ( x, y ) =    H ( x, y ) =   F ( x, y ) =    K ( x, y ) =  F ( x, y ).G ( x, y ) = ⇔   H ( x, y ).K ( x, y ) = =  G ( x, y ) =   H ( x, y ) =   G ( x, y ) =   K ( x, y ) =  VD Gi i h phương trình:  x − xy + y =  2 2 x + y =  x − y =  2 ( x − y )( x − y ) =  2 x + y = ⇔ H ñã cho tương ñương  2 x − 3y = 2 x + y =    2 x + y = VD Gi i h phương trình: log ( x + y ) − log x + = log ( x + y ) log 4( x + y ) = log x( x + y )   ⇔ x x  2 log ( xy + 1) − log (4 y + y − x + 4) = log y − log 4( xy + 1) = log y (4 y + y − x + 4)   4( x + y ) = x( x + y ) 2 ( x − y )( x − y ) =   x − xy + y = ⇔ ⇔ ⇔ x 2 ( x − y )( y − 2) = 4( xy + 1) = y (4 y + y − x + 4) 2 y = xy − x + x  Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  x − y =   x − y = x = y  x − y =   x = y x = y =  y − =  ⇔ ⇔  x = y = ⇔  x =   x − y =   y = x =     x − y =    y =  x − y =   y − = H phương trình đ i x ng lo i  f ( x, y ) = vai trị c a x, y t ng  g ( x, y ) = Là h phương trình d!ng  phương trình h phương trình nhau:  f ( x, y ) = f ( y , x )   g ( x, y ) = g ( y, x ) Th y (x; y) nghi m ch (y; x) nghi m Cách gi i: • D ng Thơng thư(ng ngư(i ta ñ t $n ph%: S = x + y, P = xy Ví d$: Gi i h :  x y + xy =   xy + x + y = ð t S = x + y; P = xy h ñã cho tr thành: S =  x + y =    SP = P =  xy =  ⇒ nghi m (1,2); (2,1) ⇔ ⇔  S =  x + y = S + P =     P =   xy = • D ng Bi n ñ i h v ϕ ( x) + ϕ ( y ), ϕ ( x).ϕ ( y ) ð t S = ϕ ( x) + ϕ ( y ), P = ϕ ( x).ϕ ( y )  xy + x + y = Ví d$ 1: Gi i h phương trình  3 ( x + 1) + ( y + 1) = 35 ( x + 1)( y + 1) = H tương ñương  [ ( x + 1) + ( y + 1)] − 3[ ( x + 1) + ( y + 1)] ( x + 1)( y + 1) = 35 (XB) ð t S = (x + 1) + (y + 1); P =(x +1)(y + 1) h phương trình tr thành: Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình S = x = x =  P = =>  =>  ∨  P = y = y =  S ( S − P ) = 35  x + y + x2 + y = Ví d$ 2:   xy ( x + 1)( y + 1) = 12 S + S − 2P = S = x + y , ta thu ñư c h sau:  m t h ph c t!p N uñ t:   P = xy  P( P + S + 1) = 12  x( x + 1) + y ( y + ) = Ch c"n bi n ñ i h thành   x( x + 1) y ( y + 1) = 12 ð t: S = x(x + 1), P = y(y + 1) H ñã cho tương ñương v i : S + P = S = S = =>  ∨   SP = 12 P = P = Như v y (x, y) nghi m c a phương trình sau: i) x + x = => x1 = ∨ x2 = −2 ii) x + x = => x3 = ∨ x4 = −3 Suy nghi m c a h ñã cho là: (1,-2); (-2,1); (2,-3); (-3,2) • D ng H cho khơng đ i x ng đ i v i x, y ñ i x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) Bi n đ i h v ϕ ( x, y ) +ψ ( x, y ), ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) Ví d$ 1: Gi i h phương trình  x( xy + 1) + y ( xy − 1) = 14  2  xy ( x − y ) = 24 (XB) Th y h khơng đ i x ng đ i v i x,y Có th c m giác ϕ ( x, y ) = x( xy + 1), ψ ( x, y ) = y ( xy − 1) , ti c r&ng khơng có đư c ϕ ( x, y ).ψ ( x, y ) 2 ( x y + xy ) + ( x − y ) = 14 Ta bi n ñ i h tương ñương  2  x y + xy )( x − y ) = 24 Th y h ñ i x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) ϕ ( x, y ) = x y + xy = xy ( x + y ), ψ ( x, y ) = x − y   x y + xy = 12  y = x −  y = x −     xy ( x + y ) = 12  x( x − 2)(2 x − 2) = 12  x − y =  H tương ñương:  ⇔ ⇔   y = x − 12   y = x − 12   x y + xy =     x − y = 12   xy ( x + y ) =   x( x − 12)(2 x − 12) = Ví d$ 2: Gi i bi n lu n theo a h phương trình Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình   x − 2y + x + 2y =    x + 2y = a  x − y Th y ñ i h x ng ñ i v i ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) , ψ ( x, y ) = x + y Tuy nhiên tính đ i x ng ch có tính x − 2y tương đ i b!n th y đ y ϕ ( x, y ) = ≠ 0, ψ ( x, y ) = x + y khơng có x − 2y ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = ñi u ki n Ta có h :  ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = a ϕ ( x, y ) = Suy ϕ ( x, y ), ψ ( x, y ) nghi m c a phương trình X − X + a = (*) Vì phuơng trình có th có nghi m b&ng 0, ch có ψ ( x, y ) nh n nghi m thơi Như th nên ph i xét hai trư(ng h p: x + y = x + y = ϕ ( x; y ) + ψ ( x; y ) = ψ ( x; y ) =   ⇔ ⇔ ⇔ i) a = 0:  ϕ ( x; y ).ψ ( x; y ) = ϕ ( x; y ) =  x − y =  x − y =  ii) a = ≠ 0: Phương trình (*) có nghi m ch ∆ = 25 − 4a ≥ ⇔ a ≤ nghi m c a (*) ± 25 − 4a H tương ñương v i:  5+ =    x − y  5−   x + y =     = −  x − y  5+    x + y =   x − y = 5+    25 − 4a 5−   x + y =  ⇔   25 − 4a  x − y =  5−  25 − 4a  x + y = +   25 − 4a 2 − 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a 2 + 25 − 4a = 2a 25 − 4a 25 − 4a Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn 25 Hai Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình  5−  x − y =    5−  x + y =  ⇔  5+  x − y =    x + y = +    5−  x =   5− 25 − 4a  y =   ⇔ 25 − 4a  x = +   2a  25 − 4a  5+  y =  25 − 4a 2a 25 − 4a   1 +   a 25 − 4a   1 −   a 25 − 4a   1 +   a 25 − 4a   1 −   a * Bài t p luy n t p  x + y + xy = Bài Gi i h phương trình  3  x + y = 11 2( x + y ) − xy = Bài Gi i h phương trình  2  x y + xy =  x − y + x2 + y = Bài Gi i h phương trình   xy (− x + y + xy − 1) = (XB) (XB) (XB)  x + y = Bài Gi i h phương trình  2 (ðH Ngo!i Thương A98)  x − x y + y = 13  ( x + y )(1 + xy ) = Bài Gi i h phương trình  (ðH Ngo!i Thương A99) 2 ( x + y )(1 + ) = 49  x2 y2 1  x + y + x + y = Bài Gi i h phương trình   x2 + y + + =  x2 y2  x y + = +1  x xy Bài Gi i h phương trình  y   x xy + y xy = 78  x + y + xy = m Bài Cho h phương trình  2 x + y = m a) Gi i h m = b) Tìm t t c giá tr m đ h có nghi m  x + y + x2 + y = Bài Cho h phương trình   xy ( x + 1)( y + 1) = m Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn (ðH An Ninh A99) (ðH Hàng H i A99) ... Ch ng minh a + b3 + c3 = 3abc V H PHƯƠNG TRÌNH B C CAO H có m t phương trình b c nh t Phương pháp: PP th (Rút x ho c y t phương trình b c nh t thay vào phương trình b c hai) ươ  x − y = m( x... gi i phương trình t ng t p Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình Phương trình H phương trình ð i s DeThiMau.vn Tr n Xuân Bang - GV Trư ng THPT Chuyên Qu ng Bình VD Gi i phương trình. .. y ( ) II PHƯƠNG TRÌNH ax2 + bx + c = Các bư c gi i bi n lu n i) a = 0: Phương trình tr thành: bx + c = b = = c : M i x nghi m b = ≠ c : Vơ nghi m b ≠ : Phương trình tr thành phương trình b c