Toán Phương trình mũ – Logarit26005

Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Phương trình mũ b n có d ng: a x = m , a > 0, a ≠ m s ñã cho ● N u m ≤ , phương trình a x = m vô nghi m ● N u m > , phương trình a x = m có nghi m nh t x = log a m Bài Gi i phương trình sau: 1) 5x +1 + 6.5x − 3.5x −1 = 52 2) 3x +1 + 3x + + 3x +3 = 9.5x + 5x +1 + 5x + 3) 3x.2 x +1 = 72 4) 4x −3x + + 4x + 6x +5 = 42x +3x +7 +1 5) 5.32x −1 − 7.3x −1 + − 6.3x + x +1 Bài Gi i phương trình sau: 1) log x ( x + ) = 2) log ( x − 3) − log ( 6x − 10 ) + = 3) log ( x + 15 ) + log ( 2x − ) = 4) log ( 2x +1 − ) = x Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: x −1 + log ( x − 1)( x + ) = x+4 1) 3x +1 − 2.3x − = 25 2) log 3) 3.2x +1 + 2.5x − = 5x + 2x − 4) log x 16 − log x 4 7 5)     7 4 3x −1 − 9) log 7=2 6) log8 ( 2x ) + log ( x − 2x + 1) = 16 =0 49 7) 4log x +1 − 6log x = 2.3log x x 1 8) 2.5x +1 − x + − 5x + = 4x +1 +2 ( x − ) log5 x = log3 ( x − ) 10) 2x −5 − x −7 = 32 11) (10x − 6x + ) + 4.10 x +1 = (10x −1 − x −1 ) ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ! " # $ Phương pháp ñưa v s S d ng công th c: ● aα = a β ⇔ α = β  b > ( hc c > )  b = c ● log a b = log a c ⇔  Bài Bài Gi i phương trình sau: 1) 52x +1 + x +1 − 175x − 35 = 3) x 2 x +1 + x −3 + = x 2 x −3 + + x −1 1 2) 3.4x + x + = 6.4 x +1 − x +1 4) 4x +x + 21− x = 2( x +1) +1 Gi i phương trình sau: 1) log x 2.log x = log x 16 64 + log 52 x = x 2) log 5x 3) log x + log x + log x = log 20 x 4) log ( 3x − 1) + log ( x +3) 5) log ( x − 5x + ) = ( = + log ( x + 1) log ) x −1 + log x − ( ) 6) log x + 3x + + log x + 7x + 12 = + log log ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( 4x ) Bài Gi i phương trình sau: Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1 1)    3 x 2 − 3x 6) log ( − 4x − x ) = log ( x + ) = 27 x 81x +3 2) 3.13x + 13x +1 − x + = 5.2 x +1 7) log ( x − 1) = log x − log x 3) log ( log x ) + log ( log x ) = 8) log92 x = log x.log3 4) log ( x + 2x − 3) = log 5) log ( x + 1) + = log 2 x −1 x+3 ( ) 2x + − 9) log ( x − 1) − log ( x − 1) = log x − − x + log8 ( + x ) ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH % Ví d 1: ! & Gi i phương trình: 2x HD: 2x +x − 4.2 x −x +x − 4.2 x =' −x − 22x + = − 22x + = ⇔ (2 x2 −x ) − ( 22x − ) = Nh n xét: M c dù s khơng th bi n đ i ñ ñ t ñư c n ph ñó ta ph i phân ( tích thành x −x ) − ( 22 x − ) ðây phương trình tích bi t cách gi i Gi i phương trình sau: Bài 1) 8.3x + 3.2 x = 24 + 6x 2) 2x +x − 4.2x −x − 22x + = 3) 12.3x + 3.15x − 5x +1 = 20 Ví d 2: Nh n Gi i phương trình: ( log x ) = log x.log xét: Tương log x − log  ( t ta ph i ( ) 2x + − bi n đ i phương trình thành tích ) x + −  log x = ðây phương trình tích bi t cách gi i  T ng quát: Trong nhi u trư ng h p s không th bi n ñ i ñ ñ t n ph ñư c ta bi n đ i thành tích Bài Gi i phương trình: log x + 2.log x = + log x.log x % ( ) S d ng công th c v hàm s mũ lơgarit đ bi n đ i tốn, sau đ t n s ph , quy phương trình cho v phương trình đ i s (phương trình ch a ho c khơng ch a th c) Sau gi i phương trình trung gian ta quy v gi i ti p phương trình mũ ho c lơgarit b n A - Phương pháp ñ t n ph d ng ● Phương trình α k a kx + α k −1a (k −1) x + α k − 2a (k −2)x + + α1a x + α = , ta đ t t = a x , t > ● Phương trình α1a x + α b x + α = , v i a.b = Khi ñ t t = a x , t > ⇒ b x = , ta ñư c t phương trình: α1t + α t + α = ● Phương trình α1a 2x + α (ab) x + α b 2x = Chia hai v 2x x x a a a α1   + α   + α = , ñ t t =   , t > b b b ThuVienDeThi.com cho a 2x ho c b 2x ta ñư c Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài Gi i phương trình sau: 1) 4x + x2 −2 − 5.2 x −1+ x2 −2 −6 = 2) 43+ 2cos x − 7.41+ cos x − = 3) Bài ( 26 + 15 ) x ( +2 7+4 ) x ( −2 2− ) x =1 Gi i phương trình sau: (2 − 3) + (2 + 3) x 1) x = 14 2) 5.23 x −1 − 3.25−3x + =  3)  23x − 3x     x  −  − x −1  =    4) 27 x + 12 x = 2.8x ● N u ñ t t = log a x, ( x > ) log ak x = t k ; log x a = , < x ≠ t ● N u ñ t t = a logb x t = x logb a Vì a logbc = clogba Bài Bài Gi i phương trình sau: 1) log ( x +1 + ) log ( x + 1) = 4) log x + log x = log 2) log ( log x ) + log ( log x ) = 5) log ( x + 1) = log x +1 16 3) log x (125x ) log 225 x = 6) ( − log3 x ) log9x − 1) log 6.5x + 25.20 x = x + log 25 3) log x log8 4x = log 2x log16 8x 2) log 22 x.log x (4x ) = 12 4) log x = log + log x + x =1 − log x Gi i phương trình sau: ( ) ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng Phương pháp: Ý tư ng s d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t phương trình v i m t n ph h só v n cịn ch a n x Khi thư ng ta đư c m t phương trình b c theo n ph có bi t s ∆ m t s phương Ví d : Gi i phương trình: 9x + ( x − ) 3x + 2x − = HD: ð t t = 3x (*) , ta có: t + ( x − ) t + 2x − = ⇒ t = −1, t = − 2x Thay vào (*) ta tìm đư c x Lưu ý: Phương pháp ch s d ng ∆ s phương ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( ) Bài Gi i phương trình: 9x + x − 3x − 2x + = Bài Gi i phương trình: 42x + 23x +1 + 2x + − 16 = Ví d 2: Gi i phương trình: log 32 ( x + 1) + ( x − ) log ( x + 1) − 2x + = 2 HD: ð t t = log ( x + 1) , ta có: t + ( x − ) t − 2x + = ⇒ t = 2, t = − x Suy x = 8, x = Bài Gi i phương trình: lg ( x + 1) + ( x − ) lg ( x + 1) − 5x = Bài Gi i phương trình sau: 1) lg x − lgxlog ( 4x ) + 2log x = 2) lg x + lg x − 2lg x − 9lgx − = C - Phương pháp ñ t n ph d ng Phương pháp: L a ch n n ph thích h p r i chuy n phương trình v h ñơn gi n Bài Gi i phương trình: 4x +1 + 21− x = 2(x +1) + Bài Gi i phương trình: 4x −3x + 2 + 4x 2 + 6x + = 42x +3x + +1 S d ng n ph cho bi u th c logarit phương trình khéo léo bi n đ i phương trình thành phương trình tích ( ) Bài Gi i phương trình: log x ( x − 1) + log xlog x − x − = Bài Gi i phương trình: log 22 x − log x + log x − log xlog x = Bài Gi i phương trình: + 2 ( ) log x ( +x 2− ) log x = + x2 D - Phương pháp ñ t n ph d ng ð t n ph chuy n thành h phương trình Ví d : Gi i phương trình: HD: Vi t 2x 18 = x −1 1− x x −1 x +1 + 2 + + + phương trình dư i d ng u = x −1 + 1, v = 21− x + 1; u, v > ThuVienDeThi.com x −1 18 , = x −1 1− x +1 + 2 + + + 1− x ñ t Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 18 8  + = Nh n xét: u.v = u + v T ta có h :  u v u + v u.v = u + v Bài Gi i phương trình: 22x − x + = Bài Gi i phương trình: log x − x − + 3log x + x − = Bài Gi i phương trình: − lgx = − lgx − Bài Gi i phương trình: + log x − 4x + + − log x − 4x + = ) ( ( ) ( ) ( ) E - Phương pháp ñ t n ph d ng S d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t h phương trình v i m t n ph m t n x Ta th c hi n bư c: + ð t ñi u ki n có nghĩa cho phương trình + Bi n đ i phương trình v d ng: f(x; φ (x)) =  y = φ ( x) + ð t y = φ (x) ñưa v h :   f ( x; y ) = Chú ý: ð i v i phương trình logarít có m t d ng r t đ c bi t, phương trình d ng s ax +b = c.log s (dx + e) + α x + β V i d = ac + α ; e = bc + β Cách gi i: - 0 < s ≠ ði u ki n có nghĩa c a phương trình:   dx + e ≠ - ð t ay + b = log s (dx + e) phương trình cho tr thành:  s ax +b = c(ay + b) + α x + β  s ax +b = acy + α x + bc + β  s ax +b = acy + (d − ac) x + e(1) ⇔  ay +b ⇔  ay +b  = dx + e = dx + e(2) s s ay + b = log s (dx + e) - L y (1) tr cho (2) ta ñư c: s ax +b + acx = s ay +b + acy (3) - Xét hàm s f ( x) = s at +b + act hàm s dơn ñi u R T (3) ta có f(x) = f(y) ⇔ x = y, (2) ⇔ s ax +b = dx + e (4) dùng phương pháp hàm s ñ xác ñ nh nghi m phương trình (4) Ví d : Gi i phương trình: x −1 = 6log ( 6x − ) + HD: ð t y − = log ( 6x − ) Khi chuy n thành h ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x −1 x −1 7 = ( y − 1) + 7 = 6y − ⇔ ⇒ x −1 + 6x = y−1 + 6y   y −1  y − = log ( 6x − ) 7 = 6x − Xét hàm s f ( t ) = t −1 + 6t suy x = y , Khi x −1 − 6x + = Xét hàm s g ( x ) = x −1 − 6x + Nh m nghi m ta ñư c nghi m: x = 1, x = Bài Gi i phương trình sau: 1) log 22 x + log x + = lgx + = lg x + 4lgx + 2) Bài 3log x + = 4log 22 x + 13log x − 4) 3log x + = −4log 22 x + 13log x − Gi i phương trình sau: lgx + = lg x + 4lgx + 1) 2) log 32 x + = 3 3log x − Bài 3) 3) x = 3log ( 5x − 1) + 2x + 4) x + = 3 2x − Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1) 9x − 10.3x + = 2) 4x − 6.2x + = 2 3) 15.25x − 34.15x + 15.9 x = 2 (2 + 3) + (2 − 3) x 4) ( 17) ( 18) ( 16) x =4 ( ) ( ) = 52 3) +( 2− 3) = 15 ) + ( + 15 ) = cosx 7+4 2+ 4− 19) + + 7−4 x x x x x ) + (7 − ) x x 5) 5x −1 + 5.0, x − = 26 20) log x 3x log x + = 6) 25x − 12.2x − 6, 25.0,16x = 21) x 7) 64 − 8) 4x − 3+ x x +1 = 3.2x + 23) log ( log x ) + log ( log x − ) = x 24) log ( 3x − 1) log ( 3x +1 − 3) = 2x −1 + 21 = 13.4x −1 x x 11) 6.9 − 13.6 + 6.4 = 25x − 9x + 15x = 13) 9sin x + 9cos x = 10 log x log8 4x = log 2x log16 8x 22) + log x + = log ( x + ) x 12) = 14.2 x + 12 = 9) 9x − 8.3x + = 10) cosx 25) log ( − x ) = − x 26) log x + log x = 27) 2x log x + 2x −3log8 x − = 28) 5log x + 2.x log = 15 ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH log 225 ( 5x ) −1 14) 2sin x + 5.2cos x = 29) 15) 4cos2x + 4cos x = 30) 25log x = + 4.x log5 2 − x log5 = F - M t s tốn (đ c bi t logarrit) ta thư ng ph i đưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng phương pháp ●D ng Khác s Ví d : Gi i phương trình: log x = log ( x + 2) ð t t = log x ⇒ x = t Phương trình tr thành t = log ( +2 t ) t t  7 1 ⇔ = + ⇔ =  +    3   t t ●D ng Khác s bi u th c d u log ph c t p Ví d 1: Gi i phương trình: log ( x − 2x − ) = log (x − 2x − 3) ð t t = x − 2x − , ta có log ( t + 1) = log t Ví d 2: Gi i phương trình: log ( x + 3log6 x ) = log x t 3 ð t t = log x , phương trình tương đương t + 3t = t ⇔ 3t +   = 2 ●D ng Ví d a log b ( x + c ) = x (ði u ki n: b = a + c ) Gi i phương trình: 4log7 ( x +3) = x ð t t = log ( x + 3) ⇒ t = x + t t 4 1 Phương trình tr thành: 4t = t − ⇔   +   = 7 7 Ví d Gi i phương trình: 2log3 ( x + 5) = x + ð t t = x + Phương trình tr thành: 2log3 ( t +1) = t ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH * S d ng công th c l y logarit hai v c a phương trình v i s thích h p ● D ng 1: 0 < a ≠ 1, b > a f (x) = b ⇔  f (x) = log a b ● D ng 2: a f (x) = b g(x) ⇔ log a a f (x) = log a b g(x ) ⇔ f (x) = g(x).log a b Bài Gi i phương trình sau: 1) x log4 x − = 23( log4 x −1) Bài 2) x lg x + lg x + = 1 − + x −1 1+ x +1 Gi i phương trình sau: 2 1)   5 4x +1 1 =  7 3x + 2) x lg x = 1000x ● D ng 1: 0 < a ≠ log a f (x) = b ⇔  b f (x) = a ● D ng 2: 0 < a ≠ log a f (x) = log a g(x) ⇔  f (x) = g(x) > Bài Gi i phương trình sau: 1) log x ( x + 4x − ) = 3) log x ( x + ) = { } 2) log 2log 1 + log (1 + 3log x )  = Bài Gi i phương trình sau: 1)  2x −3  log3    x  ( 3) log (x − 1) = 2log (x + x + 1) =1 ) 2) log x − = log ( x − 1) 4) x + lg(1 + x ) = xlg5 + lg6 Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1) 4.9x −1 = 22x +1 3) 2x x − 2x 5) 3x = 1,5 2x −1 x +1 = 50 2) 23 = 32 x x 4) 5x 3x = x 6) x x+2 3x 7) 3x.2 x + = ThuVienDeThi.com =6 Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH + $ ● Nh m nghi m s # & $ , " # $ d ng tính đơn ñi u ñ ch ng minh nghi m nh t (thư ng s d ng cơng c đ o hàm) ● Ta thư ng s d ng tính ch t sau: Tính ch t 1: N u hàm s f tăng ( ho c gi m ) kho ng (a;b) phương trình f(x) = C có khơng q m t nghi m kho ng (a;b) ( n u t!n t i x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = C nghi m nhat c a phương trình f(x) = C) Tính ch t : N u hàm f tăng kho ng (a;b) hàm g hàm m t hàm gi m kho ng (a;b) phương trình f(x) = g(x) có nhi u nh t m t nghi m kho ng (a;b) ( ñó n u t!n t i x0 ∈ (a;b) cho f(x0) = g(x0) nghi m nh t c a phương trình f(x) = g(x)) y = f ( x ) l!i ho c lõm kho ng ( a; b ) Tính ch t : ð"nh lí Rơn: N u hàm s phương trình f ( x ) = có khơng qua hai nghi m thu c kho ng ( a; b ) Ví d 1: Gi i phương trình: x + 2.3log2 x = HD: x + 2.3log2 x = ⇔ 2.3lo g2 x = − x , v trái hàm ñ!ng bi n, v ph i hàm ngh ch bi n nên phương trình có nghi m nh t x = Ví d 2: Gi i phương trình: x + x = 5x + 3x HD: Phương trình tương ñương x − 5x = 3x − x , gi s phương trình có nghi m α Khi đó: 6α − 5α = 3α − 2α Xét hàm s f ( t ) = ( t + 1) − tα , v i t > Ta nh n th y f ( 5) = f ( ) lagrange nên ñ nh theo f ' ( c ) = ⇔ α ( c + 1)  α −1 lý α t!n t i c ∈ ( 2;5 ) cho: − cα −1  = ⇔ α = 0, α = , th l i ta th y x = 0, x =  nghi m c a phương trình Ví d 3: Gi i phương trình: −2 x −x + 2x −1 = ( x − 1) HD: Vi t l i phương trình dư i d ng 2x −1 + x − = x −x + x − x , xét hàm s f ( t ) = t + t hàm ñ!ng bi n R (???) V y phương trình đư c vi t dư i d ng: f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − = x − x ⇔ x = Ví d 4: Gi i phương trình: 3x + x = 3x + HD: D" dàng ta tìm ñư c nghi m: x = x = Ta c n ch ng minh khơng cịn nghi m khác ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Xét hàm s f ( x ) = 3x + x − 3x − ⇒ f '' ( x ) = 3x ln + x ln 2 > ⇒ ð! th c a hàm s lõm, suy phương trình khơng có q hai nghi m (ð nh lí Rơn) Ví d 5: y  x e = 2007 − y −1  Ch ng minh h phương trình  có hai nghi m th#a mãn e y = 2007 − x  x −1 x > 0, y > HD: Dùng tính ch t đ ch$ x = y xét hàm s f ( x ) = e x + x x2 −1 − 2007 ● N u x < −1 f ( x ) < e −1 − 2007 < suy h phương trình vơ nghi m ● N u x > dùng ñ nh lý Rôn ch$ v i x = f ( ) < đ suy ñi u ph i ch ng minh b Ví d 6: 1    Cho a ≥ b > Ch ng minh r%ng:  2a + a  ≤  2b + b      a  ln  2a + a     HD: B t ñ&ng th c ⇔ b ln  2a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔    a     b  ln  + b ≤  b      ln  x + x   Xét hàm s f ( x ) =  v i x > 0, x Suy f’ ( x ) < v i m'i x > nên hàm s ngh ch bi n v y v i a ≥ b > ta có f(a) ≤ f ( b ) Bài Gi i phương trình sau: 1) 3x + 4x = 5x ( x − 3x = 7) ) ( 8) log x + 3log6 x = log x 3) x log = x 3log2 x − x log 9) 3.25x − + ( 3x − 10 ) 5x − + − x = 4) x 3x + 3x (12 − 7x ) = − x + 8x − 19x + 12 5) ( x − ) log ( x − 3) + log ( x − )  = 15 ( x + 1) 6) 5x + x + 3x + 2x = Bài ) 2) log + x = log x 1 + + − 2x + 5x − 7x + 17 x 3x x Gi i phương trình sau: ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH x 1) 2x = + 4) 25x − ( − x ) 5x + 2x − = 2) 3− x 5) − x.2 x + 23− x − x = = − x + 8x − 14 l og 22 x + ( x − 1) log x = − 2x 3) log x = − x 6) Bài Bài t p rèn luy n Gi i phương trình sau: 1) 4x + x = 25x 2) ( x + ) log 32 ( x + 1) + ( x + 1) log3 ( x + 1) − 16 = 3) 9x + ( x − ) 3x + 2x − = ( ) 4) x + log x − x − = + log ( x + ) 5) Bài ( x + 3) log32 ( x + ) + ( x + ) log3 ( x + ) = 16 / ! " " Gi i phương trình: 4x − 2.2 x + ( 2x − 1) sin ( x + y − 1) + = HD: phương trình 4x − 2.2 x + ( 2x − 1) sin ( x + y − 1) + = ⇔ ( x − 1) + ( x − 1) sin ( x + y − 1) + sin ( 2x + y − 1) + cos ( x + y − 1) = ⇔ ( x − 1) + sin ( 2x + y − 1)  + cos ( x + y − 1) = ( 2x − 1) + sin ( x + y − 1) =  ⇔ x cos ( + y − 1) = Bài Gi i phương trình: 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + y = HD: phương trình 4sinx − 21+sinx cos ( xy ) + y = y ⇔  2sinx − cos ( xy )  +  − cos ( xy )  = 2 ≥ y Ta có  2sinx − cos ( xy )  ≥  ⇒  − cos ( xy )  ≥ cos ( xy ) ≤ y Do ñó  2sinx − cos ( xy )  +  y − cos ( xy )  ≥ 2sinx − cos ( xy ) = 2sinx = cos ( xy ) V y phương trình ⇔  y ⇔  y 2 2 − cos ( xy ) = 2 − cos ( xy ) = ThuVienDeThi.com (1) ( 2) Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ( 2) 2 y =  y = ⇔  ⇔  ⇔ y = cos ( xy ) = cos ( x.0 ) = Thay vào (1) ta ñư c x = kπ Bài Gi i phương trình: 22x +1 + 23− 2x = log ( 4x − 4x + ) HD: Ta có 4x − 4x + = ( 2x − 1) + ≥ nên log ( 4x − 4x + ) ≥ Suy ≤8 log ( 4x − 4x + ) (1) M t khác 22x +1 + 23− 2x ≥ 22x +1.23− 2x = 22x +1+3− 2x = Bài (2) Gi i phương trình: log ( x + x + 1) − log x = 2x − x HD: ði u ki n x > Phương trình log ( x + x + 1) − log x = 2x − x 1  ⇔ log  x + +  = − (1 − x ) + x  Ta có ● x+ 1 1  ≥ ⇒ x + + ≥ ⇒ log  x + +  ≥ x x x  ● − (1 − x ) + ≤  1  log  x + + x  =   V y phương trình ⇔  ⇔ x = − − x + = )  ( Nh n xét: Bài tốn tương đương gi i phương trình Bài Gi i phương trình: log ( x + x + x − x2 =3 x )   x − + = log  + 8  x −1  HD: ði u ki n x > ● x − + ≥ ⇒ log ● V i x > ta có ( ) x−2 +4 ≥ x −1 ≥ ⇒ ≤1 ⇒ x −1 +8 ≤ x −1   ⇒ log  + 8 ≤  x −1  Bài Gi i phương trình: 4x + − x = + ( x − x ) 2x + x.2 x +1 − x ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH HD: ði u ki n − ≤ x ≤ Phương trình ⇔ Ta có x ≤ ⇒ x.2 ≤ 2.2 ( *) − x2 = x x Bài ) ( − x.2 ) ( x − + 2.2 = Do (*) ⇔ x − + 2 − x = < Gi i phương trình: 5x + 6x − x − x log x = (x − x) log x + + + x − x x>0  HD: ði u ki n  ⇔ < x ≤ 6 + x − x ≥ Phương trình ⇔ ) ( x log x − 5) ( + x − x2 + − x = Do x ≤ ⇒ x log x ≤ 3log < log 32 = ⇒ Bài + x − x2 + − x = Gi i phương trình: 3sin x + 3cos x = x + 2− x + 2 HD: Phương trình ⇔ 3sin x + 31−sin 32sin x + ⇔ (3 3sin sin x ⇔ x −4= )( x − 3sin x − 3sin 2 x +2 -x ) = 2   x =2 x +2 -x +2 −2 x Ta có ≤ sin x ≤ ⇒ ≤ 3sin Bài ( x log x − 5) < ) ( Khi (*) ⇔ ( *)  −2   -x x ≤ Do ñó VT ≤ ≤ VP Gi i phương trình: log cot x = log cos x HD: ð t log cot x = log cos x = t , ta có cos x = t cos x = t cos x = t    4t  t t ⇔ cot x = ⇔ sin x = t cot x = 3 cos x > 0, cot x > cos x > 0, cot x >    cos x > 0, cot x >  cos x = t cos x = t  t   4 cos x = t ⇔  t + =1 ⇔  t = −1 ⇔  3 cos x > 0, cot x > cos x > 0, cot x >  cos x > 0, cot x >  ⇔ x= π + k2π T ng quát: D ng α log a f ( x ) = β log b g ( x ) ta ñ t t = α log a f ( x ) = β log b g ( x ) ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Bài 10 Gi i phương trình: 3x − 2x = log ( x + 1) − log x HD: ði u ki n x > ð t f ( x ) = 3x − 2x , g ( x ) = log ( x + 1) − log x ● Ta có f ( x ) = 3x − 2x ⇒ f ' ( x ) = 6x − 6x ; f ' ( x ) = ⇔ x = 0, x = L p b ng bi n thiên ta th y f(x) ñ!ng bi n (0,1) ngh ch bi n (1, +∞ ) Suy ( 0, +∞ ) , maxf ( x ) = f (1) = hay f ( x ) ≤ 1, ∀x >  x2 +1 1  ● Ta có g ( x ) = log ( x + 1) − log x = log   = log  x +  V i x > , ta có x   x  x+ 1  ≥ ( côsi ) => log  x +  ≥ log 2 = Suy g ( x ) ≥ 1, ∀x > x x  3x − 2x = V y phương trình ⇔  log ( x + 1) − log x = Bài 11 Gi i phương trình: 2x −1 − x −x = ( x − 1) HD: phương trình ⇔ x −1 + ( x − 1) = x −x + (x2 − x) ð t u = x − 1; v = x − x Khi phương trình có d ng 2u + u = 2v + v Xét hàm s f ( t ) = t + t , hàm ñ!ng bi n liên t c ℝ V y phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ x − = x − x ⇔ x = Bài 12 Gi i phương trình: 2009x + 2011x = 2.2010x HD: G'i x m t nghi m c a phương trình cho Ta ñư c 2009x + 2011x = 2.2010 x0 ⇔ 2009 x0 − 2010 x0 = 2010 x0 − 2011x ( *) Xét hàm s F ( t ) = t x0 − ( t + 1) Khi (*) ⇔ F ( 2009 ) = F ( 2010 ) x Vì F(t) liên t c [ 2009, 2010] có đ o hàm kho ng ( 2009, 2010 ) , theo đ nh lí Lagrange t!n t i c ∈ ( 2009, 2010 ) cho F' ( c ) = F ( 2010 ) − F ( 2009 ) x0 = x −1 ⇔ x c x0 −1 − ( c + 1)  = ⇔    2010 − 2009 x0 = Th l i x = 0, x = th y ñúng V y nghi m c a phương trình x = 0, x = Nh n xét: Bài toán tương t 1) 3cos x − 2cos x = co sx ⇔ 3cos x − 2cos x = 3co sx − co sx ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH 2) 4log3 x + 2log3 x = 2x ð t u = log x ⇒ x = 3u Phương trình ⇔ 4u + 2u = 2.3u Lưu ý: Bài toán ta s d ng đ nh lí Lagrange: N u hàm s [ a; b] có đ o hàm kho ng f ' (c) = Bài 13 f (b) − f ( a ) b−a ( a; b ) y = f ( x ) liên t c ño n t n t i m t m c ∈ ( a; b ) cho Gi i phương trình: log x2 + x +1 = x − 3x + 2x − 2x + HD: ð t u = x + x + 1; v = 2x − 2x + ( u > 0, v > ) Suy v − u = x − 3x + Phương trình cho tr thành log u = v − u ⇔ log u − log v = v − u v ⇔ log u + u = log v + v Xét hàm s f ( t ) = log t + t Ta có f ' (t) = + > 0, ∀t > nên hàm s ñ!ng bi n t.ln t > Do phương trình ⇔ f ( u ) = f ( v ) suy u = v hay v − u = t c x − 3x + = ⇔ x = 1, x = V y phương trình có nghi m x = 1, x = Lưu ý: V i phương trình d ng log a u = v − u, ( u > 0, v > 0, a > 1) ta thư ng bi n ñ i v log a u − log a v = v − u ⇔ log a u + u = log a v + v Vì hàm s f ( t ) = log a t + t ñ ng bi n t > Suy u = v Bài 14 Gi i phương trình: 2cos x + 2sinx = HD: Áp d ng BðT Becnuli m r ng: t α + (1 − t ) α ≤ v i t > 0, α ∈ [ 0,1] π   T phương trình suy ra: s inx, cos x ∈ [ 0,1] Suy x ∈  k2π; + k2π    Theo Becnuli: 2cos x + (1 − ) cos x ≤ 2sinx + (1 − ) sinx ≤ Suy 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) + Suy 2cos x + 2sinx ≤ ( s inx + cos x ) +  = ( s inx + cos x ) + π   Mà: ( s inx + cos x ) = v i x ∈  k2π; + k2π    sinx = sinx = Do 2cos x + 2sinx ≤ D u '' = '' x y chi  ho c  cosx = cosx = ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH  x = k2π ⇔   x = π + k2π  H#T ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH $ Ta có th dùng phương pháp bi n ñ i ñ i v i gi i phương trình s d ng cơng th c sau " # $ ● < a a g( x ) ⇔ f (x) < g (x) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 a f (x) >a g( x ) ⇔ f (x) > g (x) a f ( x ) ≥ a g( x ) ⇔ f ( x ) ≥ g ( x ) " 0 < a ≠ log a f ( x ) có nghĩa ⇔  f ( x ) > ● log a f ( x ) = b ⇔ f ( x ) = a b ● (ñ!ng bi n) # $ ● ● (ngh ch bi n) f ( x ) = g ( x ) log a f ( x ) = log a g ( x ) ⇔  0 < a ≠ < a log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) < g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) ≤ g ( x ) ● a >1 log a f ( x ) > log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) > g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) ⇔ < f ( x ) ≥ g ( x ) (ngh ch bi n) (ñ!ng bi n) T ng quát ta có: log a f ( x ) > log a g ( x ) log a f ( x ) ≥ log a g ( x ) a >  ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) >  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  > a >  ⇔ f ( x ) > 0; g ( x ) >  ( a − 1) f ( x ) − g ( x )  ≥ ThuVienDeThi.com Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH ! Ví d Gi i b t phương trình: " x − 2x # $ 1 ≥  3 x − x −1 L i gi i: - ði u ki n: x ≤ hc x - Khi bất phơng trình tơng ®−¬ng víi x − 2x x − x −1 ≥3 ⇔ x − 2x ≥ x − x − (1) + NÕu x ≤ th× x − = − x , ®ã bpt (1) ⇔ x − 2x ≥ 2x − (đúng x 0) + Nếu x th× x − = x − , ®ã bpt (1) ⇔ - x − 2x ≥ x ≤ 1− ⇔ x − 2x − ≥ ⇔   x ≥ + Kết hợp với điều kiện ta đợc x ≥ + Ví d ( ) log x 5x − 8x + > Gi i b t phương trình: L i gi i: - Bất phơng trình tơng đơng với       < x 1      x >1     x >1 x >1   5x − 8x + > x       4x − 8x + >     x < ∨ x >    Víi bÊt phương trình d¹ng log f ( x ) g ( x ) > a , ta xÐt hai tr−êng Lưu ý: 1 2 < x <   x>3  hỵp cđa c¬ sè < f ( x ) < < f ( x ) 3( Ví d Gi i b t phương trình: L i gi i: - ði u ki n: x > log x ) ( + x log3 x ≤ ) - Ta sư dơng phÐp biÕn ®ỉi 3( log3 x ) = 3log3 x - víi x log3 x + x log3 x ≤ ⇔ x log3 x Lấy lôgarit số hai vế, ta đợc: log x log3 x ≤ log 3 ⇔ log x.log x ( - Vậy phơng trình có nghiƯm log3 x = x log3 x Khi ®ã bất phơng trình tơng đơng ) ( log3 x ) ≤ ⇔ − ≤ log x ≤ ⇔ ≤ x ≤ 3 ThuVienDeThi.com ≤ x ≤ 3 Biên so n: GV HUỲNH ð C KHÁNH Ví d Gi i b t phương trình: + 2x   log  log >0 1+ x  3 L i gi i: - Bất phơng trình tơng đơng với  + 2x + 2x  >1 log + x >  + x ⇔ ⇔   + + 2x 2x  log  1 + x ⇔  ⇔ x>0  − > − x   l> nghiệm bất phơng trình " / Gi i cỏc b t phương trình sau:  x2 + x  1) log 0,7  log  3) log 21 ( x − ) + 3log 5 ( x − 5) + log ( x − 5) − log 25 ( x − 50 + ) ≤ 25 ( Ví d Gi i b t phương trình: ) 2.3x − 2x + ≤1 3x − x L i gi i: - ði u ki n x ≠ x - Chia c t m*u cho 2x , ta ñư c: - Đặt t = , x 2.3x − x + 3x − x 3   − 2 ≤1 ⇔ ≤1 x 3   −1 2 ( < t ≠ 1) Khi bất phơng trình tơng đơng với 2t − −1 ≤ t −1 t −3 3 ⇔ ≤ ⇔ < t ≤ ⇔ <   ≤ ⇔ < x ≤ log 3 t −1 2 VËy bất phơng trình có nghiệm < x log 3 x - Ví d Gi i b t phương trình:  x3   32  log ( x ) − log   + log   < log 21 ( x ) x    2 L i gi i: - ði u ki n x > - BÊt ph−¬ng trình tơng đơng với x3 32  ⇔ log 42 ( x ) − log 22−1   + log   < log 22−1 ( x ) x    ⇔ log 42 ( x ) − log x − log 8 + log 32 − log x  < log 22 ( x ) ⇔ log 42 ( x ) − [3log x − 3] + [5 − log x ] < log 22 ( x ) ThuVienDeThi.com ... ng ph i đưa v phương trình – h phương trình – b t phương trình mũ r i s d ng phương pháp ●D ng Khác s Ví d : Gi i phương trình: log x = log ( x + 2) ð t t = log x ⇒ x = t Phương trình tr thành... i phương trình: 4x +1 + 21− x = 2(x +1) + Bài Gi i phương trình: 4x −3x + 2 + 4x 2 + 6x + = 42x +3x + +1 S d ng n ph cho bi u th c logarit phương trình khéo léo bi n đ i phương trình thành phương. .. log x + x =1 − log x Gi i phương trình sau: ( ) ( x +2 ) B - Phương pháp ñ t n ph d ng Phương pháp: Ý tư ng s d ng m t n ph chuy n phương trình ban đ u thành m t phương trình v i m t n ph h só