Một số phương pháp sáng tác và giải các bài toán Phương trình và hệ phương trình45421

http://laisac.page.tl  M M  T    S S   P P H H    N N    G P P H H Á Á P S S Á Á N N G T T Á Á C  V V À G G II  I    C C Á Á C B B À À I T T O O Á Á N  P   NG T  PH  H   N  TR  RÌ  ÌN  NH V  VÀ H  H   P   NG T  PH  H   N  TR  RÌ  ÌN  NH  NGUY N TÀI CHUNG  GVTHPT CHUYÊN HÙNG V NG, GIA LAI DeThiMau.vn Mục lục Lời nói đầu 1.1 Một số phương pháp sáng tác giải tốn phương trình, hệ phương trình 1.1.1 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình Sử dụng cơng thức lượng giác để sáng tác phương trình đa thức bậc cao 11 Sử dụng đồng thức đại số có xuất sứ từ hàm lượng giác hypebơlic để sáng tác phương trình đa thức bậc cao 14 1.1.4 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức 17 1.1.5 Xây dựng phương trình từ đẳng thức 24 1.1.6 Xây dựng phương trình từ hệ đối xứng loại II 27 1.1.7 Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số 30 1.1.8 Xây dựng phương trình vơ tỉ dựa vào phương trình lượng giác 35 1.1.9 Sử dụng bậc n số phức để sáng tạo giải hệ phương trình 40 1.1.10 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác để sáng tạo phương trình lượng giác hai ẩn xây dựng thuật giải 47 1.1.11 Sử dụng hàm ngược để sáng tác số phương trình, hệ phương trình 56 1.1.2 1.1.3 DeThiMau.vn Lời nói đầu DeThiMau.vn Chương 1.1 Một số phương pháp sáng tác giải toán phương trình, hệ phương trình Như biết phương trình, hệ phương trình có nhiều dạng phương pháp giải khác Người giáo viên nắm dạng phương trình cách giải chúng để hướng dẫn học sinh cần phải biết xây dựng lên đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy Bài viết đưa số phương pháp sáng tác, quy trình xây dựng nên phương trình, hệ phương trình Qua phương pháp sáng tác ta rút phương pháp giải cho dạng phương trình, hệ phương trình tương ứng Các quy trình xây dựng đề tốn trình bày thơng qua ví dụ, tốn đặt sau ví dụ Đa số tốn xây dựng có lời giải hướng dẫn Quan trọng số lưu ý sau lời giải giúp ta giải thích "vì lại nghĩ lời giải này" 1.1.1 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai x = − 3y ⇒ x = − − 3x2 y = − 3x2 Ta có tốn sau Bài tốn (THTT, số 250, tháng 04/1998) Giải phương trình x + − 3x2 Giải Đặt y = − 3x2 Ta có hệ x + 3y = ⇔ y = − 3x2 = x = − 3y (1) y = − 3x2 (2) DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Lấy (1) trừ (2) ta x − y = 3(x2 − y 2) ⇔ y=x − 3x y= x−y =0 ⇔ 3(x + y) = • Với y = x, thay vào (1) ta 3x2 + x − = ⇔ x ∈ • Với y = −1, − 3x , thay vào (2) ta √ − 3x ± 21 2 = − 3x ⇔ 9x − 3x − = ⇔ x = Phương trình cho có bốn nghiệm √ √ − 21 + 21 ,x= x = −1, x = , x = 6 Lưu ý Từ lời giải ta thấy khai triển (2 − 3x2 ) đưa phương trình cho phương trình đa thức bậc bốn, sau biến đổi thành (x + 1)(3x − 2)(9x2 − 3x − 5) = Vậy xây dựng toán, ta cố ý làm cho phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau phân tích đưa phương trình tích gặp nhiều khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm số vơ tỉ 5x2 − 2x − = ⇔ 2x = 5x2 − Do ta xét 5x2 − 2y = 5x2 − ⇒ 2x = 2x = 5y − 2 −1 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình 8x − (5x2 − 1) = −8 Giải Đặt 2y = 5x2 − Khi 2y = 5x2 − ⇔ 8x − 5.4y = −8 DeThiMau.vn 2y = 5x2 − (1) 2x = 5y − (2) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 2(y − x) = 5(x2 − y 2) ⇔ y−x=0 ⇔ = −5(x + y) y=x y=− 5x + • Với y = x, thay vào (1) ta √ 1± 5x − 2x − = ⇔ x = • Với y = − 5x + , thay vào (1) ta √ −5 ± 50 10x + 2 = 5x − ⇔ 25x + 10x − = ⇔ x = − 25 √ √ ± −1 ± Phương trình cho có bốn nghiệm , 5 Ví dụ Xét phương trình bậc ba √ √ √ 3 ⇔ 8x3 − 6x = − ⇔ 6x = 8x3 − 4x − 3x = − Do ta xét √ √ 8x3 − − √ √ ⇒ 1296x + 216 = 8x3 − √ √ ⇒ 162x + 27 = 8x3 − √ 6y = 8x3 − √3 ⇒ 6x = 6x = 8y − 3 Ta có tốn sau √ √ Bài tốn Giải phương trình 162x + 27 = 8x3 − √ Giải Đặt 6y = 8x3 − Ta có hệ √ √ 6y = 8x3 − 6y = 8x − √ √3 (1) ⇔ 162x + 27 = 216y 6x = 8y − (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 6(y − x) = 8(x3 − y 3) ⇔ (x − y) x2 + xy + y + = DeThiMau.vn (3) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Vì x2 + xy + y ≥ nên (x2 + xy + y 2) + > Do từ (3) ta x = y Thay vào (1) ta √ √ 5π 3 6x = 8x − ⇔ 4x − 3x = − ⇔ 4x3 − 3x = cos (4) α α Sử dụng công thức cos α = cos3 − cos , ta có 3 5π 5π 5π = cos3 − cos , cos 18 18 17π 17π 17π cos = cos − cos , 18 18 7π 7π 7π = cos3 − cos cos 18 18 5π 17π 7π Vậy x = cos , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (4) 18 18 18 tất nghiệm phương trình cho √ √ Lưu ý Phép đặt 6y = 8x3 − tìm sau : Ta đặt ay + b = 8x3 − (với a, b tìm sau) Khi từ PT cho có hệ √ 3 ay + b = 8x − √ 3 162x + 27 = a y + 3a2 by + 3ab2y + b3 Cần chọn a b cho  √ b+  a = = √ a 27 − b3 ⇒  162 2 3a b = 3ab = √ Vậy ta có phép đặt 6y = 8x3 − b=0 a = Ví dụ Ta xây dựng phương trình vơ tỉ có nghiệm theo ý muốn Xét x = Khi x=3 2x − = ⇒ (2x − 5)3 = = x − √ Ta mong muốn có phương trình chứa (ax + b)3 chứa cx + d, phương trình giải cách đưa hệ "gần" đối xứng loại hai (nghĩa trừ theo vế hai phương trình hệ ta có thừa số (x − y)) Vậy ta xét hệ Nếu có phép đặt 2y − = √ (2y − 5)3 = x − (2x − 5)3 = −x + 2y − x − 2, sau thay vào phương trình (2x − 5)3 = −x + 2y − DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai ta 8x3 − 60x2 + 150x − 125 = −x + Ta có tốn sau CHƯƠNG √ x − + − Bài tốn Giải phương trình √ x − = 8x3 − 60x2 + 151x − 128 Giải Cách Tập xác định R Phương trình viết lại √ x − = (2x − 5)3 + x − √ Đặt 2y − = x − Kết hợp với (1) ta có hệ (1) (2y − 5)3 = x − (2) (2x − 5)3 = −x + 2y − (3) Lấy (3) trừ (2) theo vế ta (x − y) (2x − 5)2 + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5)2 = 2(y − x) ⇔ x−y =0 (4) 2 (2x − 5) + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5) + = (5) • Ta có (4) ⇔ y = x Thay vào (2) ta (2x − 5)3 = x − ⇔ 8x3 − 60x2 + 149x − 123 = ⇔ (x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x = B 3B • Do A + AB + B = A + ≥ nên (5) xảy + Phương trình có nghiệm x = Do phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sau √ Cách Tập xác định R Đặt y = x − Ta có hệ 2 8x3 − 60x2 + 151x − 128 = y x = y3 + Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta 8x3 − 60x2 + 152x − 128 = y + y + ⇔8x3 − 60x2 + 150x − 125 + 2x − = y + y DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG ⇔(2x − 5)3 + (2x − 5) = y + y (*) Xét hàm số f(t) = t3 + t Vì f ′ (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm f đồng biến R Do (∗) viết lại f(2x − 5) = f(y) ⇔ 2x − = y Bởi (2x − 5) = √ x − ⇔ (2x − 5)3 = x − ⇔8x3 − 60x2 + 149x − 123 = ⇔(x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = Ví dụ Xét phương trình bậc ba đó, chẳng hạn xét 4x3 + 3x = Phương trình tương đương √ 8x3 + 6x = ⇔ 8x3 = − 6x ⇔ 2x = − 6x Ta "lồng ghép" phương trình cuối vào hàm đơn điệu sau √ √ (2x3 ) + 2x = − 6x + − 6x ⇔ 8x3 + 8x − = − 6x Ta toán sau Bài tốn Giải phương trình 8x3 + 8x − = √ − 6x Giải Tập xác định phương trình R Cách Phương trình cho tương đương √ (2x)3 + 2x = − 6x + − 6x (1) Xét hàm số f(t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f ′ (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f(t) đồng √ biến R Mà PT (1) viết lại f − 6x = f(2x) nên tương đương √ − 6x = 2x ⇔ 8x3 + 6x = ⇔ 4x3 + 3x = (2) Vì hàm số g(x) = 4x3 + 3x có g ′ (x) = 12x2 + > 0, ∀x ∈ R nên PT (2) có khơng q nghiệm Xét 2= 1 α3 − α ⇔ (α3 )2 − 4α3 − ⇔ α3 = ± DeThiMau.vn √ Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai Do đó, đặt α = 2+ CHƯƠNG √ 1 = α3 − Ta có α 1 α3 − α =3 α− α +4 α− α √ √ 1 3 α− = + + − nghiệm PT (2) α nghiệm phương trình cho Cách Phương trình viết lại √ (2x)3 = −6x + − 8x + √ Đặt 2y = − 6x Ta có hệ Vậy x = 8y = − 6x ⇔ 8x3 + 8x − = 2y 8y = −6x + (a) 8x = 2y + − 8x (b) Lấy PT (b) trừ PT (a) theo vế ta 8(x3 − y 3) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x2 + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (a) ta 8x3 = −6x + ⇔ 4x3 + 3x = Đến làm giống cách Bài toán (Chọn đội tuyển Hồ Chí Minh dự thi quốc gia năm học 2002-2003) Giải phương trình √ 3x − = 8x3 − 36x2 + 53x − 25 Giải Tập xác định R Phương trình viết lại √ 3x − = (2x − 3)3 − x + √ Đặt 2y − = 3x − Kết hợp với (1) ta có hệ (2y − 3)3 = 3x − (2) (2x − 3) = x + 2y − (3) Lấy (3) trừ (2) theo vế ta (x − y) (2x − 3)2 + (2x − 3) (2y − 3) + (2y − 3)2 = 2(y − x) DeThiMau.vn (1) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai ⇔ CHƯƠNG x−y =0 (4) (2x − 3)2 + (2x − 3) (2y − 3) + (2y − 3)2 + = (5) • Ta có (4) ⇔ y = x Thay vào (2) ta (2x − 3)3 = 3x − ⇔ 8x3 − 36x2 + 54x − 27 = 3x −  x=2 √ ⇔ (x − 2)(8x2 − 20x + 11) = ⇔  5± x= 3B • Do A + AB + B = ≥ nên (5) xảy + √ 5± Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = Bài toán (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2006) Giải phương trình √ 6x + = 8x3 − 4x − √ Giải Tập xác định phương trình R Đặt 6x + = 2y Ta có hệ 2 B A+ 8x3 = 4x + 2y + (1) 8y = 6x + (2) 8x3 − 4x − = 2y ⇔ 6x + = 8y Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 8(x3 − y 3) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x2 + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (2) ta π 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = cos (3) α α Sử dụng công thức cos α = cos3 − cos , ta có 3 π π π cos = cos3 − cos , 9 7π 7π 7π = cos3 − cos , cos 9 5π 5π 5π = cos3 − cos cos 9 π 5π 7π Vậy x = cos , x = cos , x = cos tất nghiệm phương trình (3) 9 tất nghiệm phương trình cho Lưu ý Ta cịn giải cách khác sau : Phương trình viết lại √ (3) 6x + + 6x + = (2x)3 + 2x 10 DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Xét hàm số f(t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f ′ (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f(t) đồng √ biến R Mà PT (2) viết lại f 6x + = f(2x) nên tương đương √ 1.1.2 6x + = 2x ⇔ 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác phương trình đa thức bậc cao Ví dụ Từ cơng thức cos 6α = 32 cos6 α − 48 cos α + 18 cos α − 1, lấy cos α = x ta Chọn α = cos 6α = 32x6 − 48x4 + 18x2 − π ta 32x6 − 48x4 + 18x2 − = Ta có tốn sau Bài tốn (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − = Giải Ta có cos 6α = cos2 3α − = cos3 α − cos α 2 = 32 cos α − 48 cos α + 18 cos α − −1 (1) Phương trình cho tương đương 32x6 − 48x4 + 18x2 − = π ⇔ 32x6 − 48x4 + 18x2 − = cos Từ công thức (1) suy (2) có nghiệm x = cos k2π π + 3.6 , k = 0, 1, 2, 3, 4, Ví dụ Từ cơng thức cos 5α = 16 cos α − 20 cos3 α + cos α, 11 DeThiMau.vn (2) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG x Đặt cos α = √ ta 20x3 5x x5 5x3 5x 16x5 √ − √ + √ = √ − √ + √ 288 24 3 18 3 x − 15x + 45x √ = 18 cos 5α = Chọn 5α = π ta √ x5 − 15x3 + 45x √ = ⇔ x5 − 15x3 + 45x − 27 = 18 Ta có tốn sau Bài tốn Giải phương trình x5 − 15x3 + 45x − 27 = √ Giải Tập xác định R Đặt x = 3t, thay vào phương trình cho ta √ √ √ 288 3t5 − 360 3t3 + 90 3t − 27 = √ π ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = cos (1) Mặt khác ta có cos 5α + cos α = cos 3α cos 2α ⇔ cos 5α = cos3 α − cos α cos2 α − − cos α ⇔ cos 5α = cos5 α − 10 cos3 α + cos α − cos α ⇔ cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α (2) Từ công thức (2) suy (1) có nghiệm t = cos k2π π + 6.5 , k = 0, 1, 2, 3, Phương trình cho có nghiệm √ x = cos k2π π , k = 0, 1, 2, 3, + 30 √ Lưu ý Trong lời giải trên, phép đặt x = 3t tìm sau : Do công thức cos 5α = 16 cos α − 20 cos3 α + cos α, 12 DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG nên ta đặt x = at, với a tìm sau Thay x = at vào phương trình cho ta a5t5 − 15a3 t3 + 45at − 27 = Ta tìm a thoả mãn điều kiện √ a5 −15a3 45a a4 3a2 = = ⇒ = = ⇒ a = ±2 16 −20 16 √ Vậy ta có phép đặt x = 3t Ví dụ Từ cơng thức sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α, lấy sin α = 2x ta sin 5α = 512x5 − 160x3 + 10x π , ta có √ √ = 512x5 − 160x3 + 10x ⇔ 1024x5 − 320x3 + 20x − = Ta toán sau Chọn 5α = Bài tốn 10 Giải phương trình 1024x5 − 320x3 + 20x − √ = t Giải Đặt x = , thay vào phương trình cho ta √ π 32t5 − 40t + 10 = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = sin Ta có (1) sin 5α + sin α = sin 3α cos 2α ⇔ sin 5α = sin α − sin3 α − sin2 α − sin α ⇔ sin 5α = sin5 α − 10 sin3 α + sin α − sin α ⇔ sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α Từ công thức (2) suy (1) có nghiệm t = sin k2π π + 3.5 , k = 0, 1, 2, 3, Phương trình cho có nghiệm x= sin π k2π + 15 13 DeThiMau.vn , k = 0, 1, 2, 3, (2) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai 1.1.3 CHƯƠNG Sử dụng đồng thức đại số có xuất sứ từ hàm lượng giác hypebơlic để sáng tác phương trình đa thức bậc cao Sử dụng đồng thức đại số có xuất sứ từ hàm lượng giác hypebơlic ta sáng tác số phương trình đa thức bậc cao có cách giải đặc thù Ví dụ Xét đồng thức a5 − m = a5 = 4m3 + 3m a− x Đặt m = √ , a 2 1 a5 − a Lấy a5 − a5 + 2m2 − m = 16m5 + 20m3 + 5m, 16x5 20x3 5x x5 10x3 20x √ √ √ √ = + + = + √ + √ 128 16 2 8 = √ , ta toán sau Bài tốn 11 Giải phương trình x5 + 10x3 + 20x − 18 = Giải Ta thấy √ x = a− a Do ta có quyền đặt x = √ √ √ x ± x2 + √ ⇔ 2a − xa − = ⇔ a = 2 √ a− Khi a √ 10 x5 = a5 − 5a3 + 10a − + 3− a a a √ 10x3 = 20 a3 − 3a + − a a √ 20x = 20 a − a Thay vào phương trình cho ta √ a5 − a √ √ − 18 = ⇔ 2(a5)2 − 18a5 − = 14 DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG √ + 113  a = 4√2 √ √ ⇔  − 113 √ √ =− a = + 113  Phương trình cho có nghiệm  √ √ 113 + √ − x = 2 Lưu ý Trong lời giải trên, phép đặt x = √  √  √ + 113 a− a tìm sau : Do công thức a5 − a5 = 4m3 + 3m + 2m2 − m = 16m5 + 20m3 + 5m, 1 a− nên ta đặt x = pm, với p tìm sau Thay x = pm vào a phương trình cho ta m = p5 m5 + 10p3 m3 + 20pm − 18 = Ta tìm p thoả mãn điều kiện  10 20   = p 16 ⇒ p2 = ⇒ p = 2√2 20   = p4 16 √ Vậy ta có phép đặt x = a − a Ví dụ 10 Từ đồng thức 1 a5 + a m = a+ = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1) = 16m5 − 20m3 + 5m, Lấy m = x ta a 1 a5 + a Lấy a5 + a5 = 16x5 − 20x3 + 5x = −7 ta phương trình 16x5 − 20x3 + 5x + = 15 DeThiMau.vn Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Từ phương trình ta phương trình (x − 1)(16x5 − 20x3 + 5x + 7) = Vậy ta có tốn sau Bài tốn 12 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2008) Giải phương trình 16x6 − 16x5 − 20x4 + 20x3 + 5x2 + 2x − = (1) Giải Ta có (1) ⇔ x=1 ⇔ 16x5 − 20x3 + 5x + = x=1 16x5 − 20x3 + 5x = −7 (2) Tiếp theo ta giải phương trình (2) • Nếu |x| ≤ đặt x = cos t, với t ∈ [0; π] Thay vào (2) ta cos5 t − 20 cos3 t + cos t = −7 ⇔ cos 5t = −7 (vơ nghiệm) • Nếu |x| > xét phương trình x= 1 a+ a ⇔ a2 − 2xa + = (3) Vì |x| > nên ∆′ = x2 − > 0, suy (3) ln có hai nghiệm phân biệt a1 a2 (giả sử a1 < a2) Đặt f(a) = a2 − 2xa + Nếu x > f(1) = − 2x = 2(1 − x) < f(0) = > Mà a1 a2 = nên suy < a1 < < a2 Nếu x < −1 f(−1) = + 2x = 2(1 + x) < f(0) = > Mà a1 a2 = nên suy a1 < −1 < a2 < Vậy (3) có nghiệm a thoả |a| > Tóm lại |x| > có số 1 a+ Ta có thực a thoả mãn |a| > x = a 1 a+ a 1 a+ 20x = 20 a 5x = a+ a 16x5 = 16 = a5 + 5a3 + 10a + = a3 + 3a + 10 + 3+ a a a + a a (3) (4) (5) Suy 16x5 − 20x3 + 5x = 16 DeThiMau.vn 1 a5 + a (6) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Từ (6) (2) ta có ⇔ a5 + a5 √ a5 = −7 − √48 ⇔ a5 = −7 + 48 Vậy (2) có nghiệm x = cho có hai nghiệm x = 1, x = 1.1.4 = −7 ⇔ a5 2 5 −7 − −7 − + 14a5 + = a= a= √ 48 + √ 48 + 5 √ −7 − 48 √ −7 + 48 −7 + −7 + √ √ 48 Do phương trình 48 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức Ta biết phương trình đẳng cấp bậc k hai biểu thức P (x) Q(x) P (x) giải cách chia hai vế cho [P (x)]k (hoặc [Q(x)]k ), sau đặt t = Q(x) Q(x) ), đưa phương trình đa thức bậc k theo t Vận dụng điều ta có (hoặc t = P (x) phương pháp đơn giản để tạo nhiều phương trình thú vị Ví dụ 11 Xét phương trình bậc hai Lấy t = x2 x−1 ta +x+1 7t2 + 13t − = x−1 x +x+1 + 13 x2 x−1 − = +x+1 Quy đồng bỏ mẫu ta toán sau Bài tốn 13 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình 2(x2 + x + 1)2 − 7(x − 1)2 = 13(x3 − 1) Giải Tập xác định R Do x2 + x + > nên chia hai vế phương trình cho (x2 + x + 1)2 > ta − x−1 x2 + x + = 13 17 DeThiMau.vn x−1 x2 + x + Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai Đặt t = x2 CHƯƠNG x−1 Khi +x+1 − 7t2 = 13t ⇔ 7t2 + 13t − = ⇔ t = −2 t= • Khi t = −2 ta x−1 = −2 ⇔ 2x2 + 3x + = ⇔ x +x+1 • Khi t = x = −1 x=− ta x2 x−1 = ⇔ x2 − 6x + = ⇔ +x+1 x=2 x = Phương trình cho có bốn nghiệm x = −1, x = − , x = 2, x = Lưu ý Phương trình có nhiều nghiệm, nghiệm phương trình số nguyên số hữu tỉ, ta giải nhanh chóng cách khai triển đưa phương trình bậc bốn, sau nhẩm nghiệm, đưa phương trình tích Ví dụ 12 Xét phương trình bậc hai có nghiệm 2t2 − 7t + = Lấy t = x2 + x + ta x−1 x2 + x + −7 x−1 Quy đồng bỏ mẫu ta x2 + x + + = x−1 2(x2 + x + 1) + 3(x − 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) Ta có tốn sau Bài tốn 14 (Đề nghị OLYPIC 30/04/2007) Giải phương trình √ 2x2 + 5x − = x3 − √ Đáp số x = ± Giải Điều kiện x ≥ (1) ⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) 18 DeThiMau.vn (1) (2) Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Vì x = khơng phải nghiệm nên chia hai vế (2) cho x − > ta 3+2 Đặt t = x2 + x + =7 x−1 x2 + x + x−1 (3) x2 + x + ⇒ x2 + (1 − t2)x + + t2 = Điều kiện t x−1 √ t≥0 ⇔ t ≥ + ∆x = t − 6t − ≥ Phương trình (3) trở thành 2t2 − 7t + = ⇔ t ∈ 3, Kết hợp với điều kiện t ta t = Vậy √ x2 + x + = ⇔ 9x − = x2 + x + ⇔ x2 − 8x + 10 = ⇔ x = ± x−1 √ Kết hợp với điều kiện ta x = ± tất nghiệm phương trình (1) Lưu ý Gọi Q(x) = x − 1, P (x) = x2 + x + Mấu chốt lời giải phân tích vế trái PT (1) thành V T = 2P (x) + 3Q(x) Tinh ý ta thấy hệ số x2 vế trái (1) Cũng từ suy Tuy nhiên dễ dàng tìm số phương pháp hệ số bất định 2x2 + 5x − = p(x2 + x + 1) + q(x − 1) ⇔ 2x2 + 5x − = px2 + (p + q)x + p − q Đồng hệ số ta   p=2 p+q =5 ⇔  p − q = −1 p=2 q = Ví dụ 13 Xét x = Khi (x2 + 2x + 2) = 10, x + = 3, 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = 6, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 30, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = x3 + 3x2 + 4x + Vậy với x = 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ √ 30 √ = √ x + 3x2 + 4x + 30 30 Ta có tốn sau 19 DeThiMau.vn ... Một số phương pháp sáng tác giải tốn phương trình, hệ phương trình Như biết phương trình, hệ phương trình có nhiều dạng phương pháp giải khác Người giáo viên ngồi nắm dạng phương trình cách giải. .. lục Lời nói đầu 1.1 Một số phương pháp sáng tác giải toán phương trình, hệ phương trình 1.1.1 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình ... đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy Bài viết đưa số phương pháp sáng tác, quy trình xây dựng nên phương trình, hệ phương trình Qua phương pháp sáng tác ta rút phương pháp giải cho dạng phương