Một số phương pháp sáng tác và giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình

Sử dụng các đồng nhất thức đại số có xuất sứ từ các hàm lượng giác hypebôlic ta có thể sáng tác được một số phương trình đa thức bậc cao có cách giải đặc thù.. Giải phương trình..[r]

NGUYỄN TÀI CHUNG GV THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TÁC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH WWW.MATHVN.COM WWW.MATHVN.COM Lop12.net Mục lục Lời nói đầu 1.1 Một số phương pháp sáng tác và giải các bài toán phương trình, hệ phương trình 1.1.1 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 11 Sử dụng các đồng thức đại số có xuất sứ từ các hàm lượng giác hypebôlic để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao 14 1.1.4 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức 17 1.1.5 Xây dựng phương trình từ các đẳng thức 24 1.1.6 Xây dựng phương trình từ các hệ đối xứng loại II 27 1.1.7 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số 30 1.1.8 Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào các phương trình lượng giác 35 1.1.9 Sử dụng bậc n số phức để sáng tạo và giải hệ phương trình 40 1.1.10 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác để sáng tạo các phương trình lượng giác hai ẩn và xây dựng thuật giải 47 1.1.11 Sử dụng hàm ngược để sáng tác số phương trình, hệ phương trình 56 1.1.2 1.1.3 WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Lời nói đầu WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Chương 1.1 Một số phương pháp sáng tác và giải các bài toán phương trình, hệ phương trình Như chúng ta đã biết phương trình, hệ phương trình có nhiều dạng và phương pháp giải khác Người giáo viên ngoài nắm các dạng phương trình và cách giải chúng để hướng dẫn học sinh cần phải biết xây dựng lên các đề toán để làm tài liệu cho việc giảng dạy Bài viết này đưa số phương pháp sáng tác, quy trình xây dựng nên các phương trình, hệ phương trình Qua các phương pháp sáng tác này ta rút các phương pháp giải cho các dạng phương trình, hệ phương trình tương ứng Các quy trình xây dựng đề toán trình bày thông qua ví dụ, các bài toán đặt sau các ví dụ đó Đa số các bài toán xây dựng có lời giải hướng dẫn Quan trọng là số lưu ý sau lời giải giúp ta giải thích "vì lại nghĩ lời giải này" 1.1.1 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình Ví dụ Xét hệ đối xứng loại hai 
x = − 3y 2 ⇒ x = − − 3x y = − 3x Ta có bài toán sau Bài toán (THTT, số 250, tháng 04/1998) Giải phương trình
2 x + − 3x2 = Giải Đặt y = − 3x2 Ta có hệ   x + 3y = x = − 3y (1) ⇔ y = − 3x2 y = − 3x2 (2) WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Lấy (1) trừ (2) ta x − y = 3(x2 − y 2) ⇔  x−y =0 ⇔ 3(x + y) = " y=x − 3x y= • Với y = x, thay vào (1) ta 3x + x − = ⇔ x ∈ • Với y =  −1,  − 3x , thay vào (2) ta √ − 3x ± 21 2 = − 3x ⇔ 9x − 3x − = ⇔ x = Phương trình đã cho có bốn nghiệm √ √ − 21 + 21 ,x= x = −1, x = , x = 6 Lưu ý Từ lời giải trên ta thấy khai triển (2 − 3x2 ) thì đưa phương trình đã cho phương trình đa thức bậc bốn, sau đó biến đổi thành (x + 1)(3x − 2)(9x2 − 3x − 5) = Vậy xây dựng bài toán, ta cố ý làm cho phương trình không có nghiệm hữu tỉ thì phương pháp khai triển đưa phương trình bậc cao, sau đó phân tích đưa phương trình tích gặp nhiều khó khăn Ví dụ Xét phương trình bậc hai có hai nghiệm là số vô tỉ 5x2 − 2x − = ⇔ 2x = 5x2 − Do đó ta xét Ta có bài toán sau   2 5x − 2y = 5x2 − ⇒ 2x = −1 2x = 5y − Bài toán Giải phương trình 8x − (5x2 − 1) = −8 Giải Đặt 2y = 5x2 − Khi đó   2y = 5x2 − 2y = 5x2 − (1) ⇔ 8x − 5.4y = −8 2x = 5y − (2) WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 2(y − x) = 5(x2 − y 2) ⇔  y−x=0 ⇔ = −5(x + y) " y=x y=− 5x + • Với y = x, thay vào (1) ta √ 1± 5x − 2x − = ⇔ x = • Với y = − 5x + , thay vào (1) ta √ −5 ± 50 10x + 2 − = 5x − ⇔ 25x + 10x − = ⇔ x = 25 √ √ ± −1 ± Phương trình đã cho có bốn nghiệm , 5 Ví dụ Xét phương trình bậc ba √ √ √ 3 4x − 3x = − ⇔ 8x3 − 6x = − ⇔ 6x = 8x3 − Do đó ta xét  √ !3 √ 8x3 − −  √ √ 3 ⇒ 1296x + 216 = 8x3 −  √ 3 √ ⇒ 162x + 27 = 8x − √ 6y = 8x3 − √3 ⇒ 6x = 6x = 8y − Ta có bài toán sau √ √
3 Bài toán Giải phương trình 162x + 27 = 8x3 − √ Giải Đặt 6y = 8x3 − Ta có hệ √ √   6y = 8x3 − 6y = 8x − √ √3 (1) ⇔ 162x + 27 = 216y 6x = 8y − (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 
 6(y − x) = 8(x3 − y 3) ⇔ (x − y) x2 + xy + y + = WWW.MATHVN.COM Lop12.net (3) WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Vì x2 + xy + y ≥ nên (x2 + xy + y 2) + > Do đó từ (3) ta x = y Thay vào (1) ta √ √ 5π 3 6x = 8x − ⇔ 4x − 3x = − ⇔ 4x3 − 3x = cos (4) α α Sử dụng công thức cos α = cos3 − cos , ta có 3 5π 5π 5π cos = cos3 − cos , 18 18 17π 17π 17π cos = cos − cos , 18 18 7π 7π 7π = cos3 − cos cos 18 18 5π 17π 7π Vậy x = cos , x = cos , x = cos là tất các nghiệm phương trình (4) 18 18 18 và là tất các nghiệm phương trình đã cho √ √ Lưu ý Phép đặt 6y = 8x3 − tìm sau : Ta đặt ay + b = 8x3 − (với a, b tìm sau) Khi đó từ PT đã cho có hệ √  ay + b = 8x − √ 3 162x + 27 = a y + 3a2 by + 3ab2y + b3 Cần chọn a và b cho  √  b+  a b=0 = = √ ⇒ 162 a 27 − b a =  3a b = 3ab2 = √ Vậy ta có phép đặt 6y = 8x3 − Ví dụ Ta xây dựng phương trình vô tỉ có ít nghiệm theo ý muốn Xét x = Khi đó x=3 2x − = ⇒ (2x − 5)3 = = x − √ Ta mong muốn có phương trình chứa (ax + b)3 và chứa cx + d, phương trình này giải cách đưa hệ "gần" đối xứng loại hai (nghĩa là trừ theo vế hai phương trình hệ ta có thừa số (x − y)) Vậy ta xét hệ  (2y − 5)3 = x − (2x − 5)3 = −x + 2y − √ Nếu có phép đặt 2y − = x − 2, thì sau thay vào phương trình (2x − 5)3 = −x + 2y − WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai ta 8x3 − 60x2 + 150x − 125 = −x + Ta có bài toán sau CHƯƠNG √ x − + − Bài toán Giải phương trình √ x − = 8x3 − 60x2 + 151x − 128 Giải Cách Tập xác định R Phương trình viết lại √ x − = (2x − 5)3 + x − √ Đặt 2y − = x − Kết hợp với (1) ta có hệ  (2y − 5)3 = x − (2) (2x − 5)3 = −x + 2y − (3) (1) Lấy (3) trừ (2) theo vế ta   (x − y) (2x − 5)2 + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5)2 = 2(y − x)  x−y =0 (4) ⇔ 2 (2x − 5) + (2x − 5) (2y − 5) + (2y − 5) + = (5) • Ta có (4) ⇔ y = x Thay vào (2) ta (2x − 5)3 = x − ⇔ 8x3 − 60x2 + 149x − 123 = ⇔ (x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x =  2 3B B • Do A2 + AB + B = A + + ≥ nên (5) không thể xảy Phương trình có nghiệm x = Do phương trình có nghiệm x = nên ta nghĩ đến phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số sau √ Cách Tập xác định R Đặt y = x − Ta có hệ  8x − 60x2 + 151x − 128 = y x = y3 + Cộng vế theo vế hai phương trình hệ ta 8x3 − 60x2 + 152x − 128 = y + y + ⇔8x3 − 60x2 + 150x − 125 + 2x − = y + y WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai ⇔(2x − 5)3 + (2x − 5) = y + y CHƯƠNG (*) Xét hàm số f(t) = t3 + t Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm f đồng biến trên R Do đó (∗) viết lại f(2x − 5) = f(y) ⇔ 2x − = y Bởi (2x − 5) = √ x − ⇔ (2x − 5)3 = x − ⇔8x3 − 60x2 + 149x − 123 = ⇔(x − 3)(8x2 − 36x + 41) = ⇔ x = Phương trình có nghiệm x = Ví dụ Xét phương trình bậc ba nào đó, chẳng hạn xét 4x3 + 3x = Phương trình này tương đương √ 8x3 + 6x = ⇔ 8x3 = − 6x ⇔ 2x = − 6x Ta "lồng ghép" phương trình cuối vào hàm đơn điệu sau √ √ (2x3 ) + 2x = − 6x + − 6x ⇔ 8x3 + 8x − = − 6x Ta bài toán sau Bài toán Giải phương trình 8x3 + 8x − = √ − 6x Giải Tập xác định phương trình là R Cách Phương trình đã cho tương đương √ (2x)3 + 2x = − 6x + − 6x (1) Xét hàm số f(t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f(t) đồng
√ biến trên R Mà PT (1) viết lại f − 6x = f(2x) nên nó tương đương √ − 6x = 2x ⇔ 8x3 + 6x = ⇔ 4x3 + 3x = (2) Vì hàm số g(x) = 4x3 + 3x có g (x) = 12x2 + > 0, ∀x ∈ R nên PT (2) có không quá nghiệm Xét   √ 1 2= α − ⇔ (α3 )2 − 4α3 − ⇔ α3 = ± α WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG   p √ 1 3 α − Ta có Do đó, đặt α = + thì = α        3 1 1 1 α − =3 α− +4 α− α α α   p √ √  1 p 3 Vậy x = α− = + + − là nghiệm PT (2) và α là nghiệm phương trình đã cho Cách Phương trình viết lại √ (2x)3 = −6x + − 8x + √ Đặt 2y = − 6x Ta có hệ   8y = −6x + (a) 8y = − 6x ⇔ 3 8x + 8x − = 2y 8x = 2y + − 8x (b) Lấy PT (b) trừ PT (a) theo vế ta 8(x3 − y 3) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x2 + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (a) ta 8x3 = −6x + ⇔ 4x3 + 3x = Đến đây làm giống cách Bài toán (Chọn đội tuyển Hồ Chí Minh dự thi quốc gia năm học 2002-2003) Giải phương trình √ 3x − = 8x3 − 36x2 + 53x − 25 Giải Tập xác định R Phương trình viết lại √ 3x − = (2x − 3)3 − x + √ Đặt 2y − = 3x − Kết hợp với (1) ta có hệ  (2y − 3)3 = 3x − (2) (2x − 3) = x + 2y − (3) (1) Lấy (3) trừ (2) theo vế ta   (x − y) (2x − 3)2 + (2x − 3) (2y − 3) + (2y − 3)2 = 2(y − x) WWW.MATHVN.COM Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai ⇔  CHƯƠNG x−y =0 (4) (2x − 3)2 + (2x − 3) (2y − 3) + (2y − 3)2 + = (5) • Ta có (4) ⇔ y = x Thay vào (2) ta (2x − 3)3 = 3x − ⇔ 8x3 − 36x2 + 54x − 27 = 3x −  x=2 √ ⇔ (x − 2)(8x2 − 20x + 11) = ⇔  5± x=  2 B 3B 2 + ≥ nên (5) không thể xảy • Do A + AB + B = A + √ 5± Phương trình có ba nghiệm x = 2, x = Bài toán (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2006) Giải phương trình √ 6x + = 8x3 − 4x − √ Giải Tập xác định phương trình là R Đặt 6x + = 2y Ta có hệ   8x − 4x − = 2y 8x = 4x + 2y + (1) ⇔ 6x + = 8y 8y = 6x + (2) Lấy (1) trừ (2) theo vế ta 8(x3 − y 3) = 2(y − x) ⇔ (x − y)[4(x2 + xy + y ) + 1] = ⇔ y = x Thay y = x vào (2) ta π 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = cos (3) α α Sử dụng công thức cos α = cos3 − cos , ta có 3 π π π cos = cos3 − cos , 9 7π 7π 7π cos = cos3 − cos , 9 5π 5π 5π cos = cos3 − cos 9 π 5π 7π Vậy x = cos , x = cos , x = cos là tất các nghiệm phương trình (3) và 9 là tất các nghiệm phương trình đã cho Lưu ý Ta còn có thể giải cách khác sau : Phương trình viết lại √ 6x + + 6x + = (2x)3 + 2x (3) WWW.MATHVN.COM 10 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Xét hàm số f(t) = t3 + t, ∀t ∈ R Vì f (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f(t) đồng
√ biến trên R Mà PT (2) viết lại f 6x + = f(2x) nên nó tương đương √ 1.1.2 6x + = 2x ⇔ 8x3 − 6x = ⇔ 4x3 − 3x = Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao Ví dụ Từ công thức cos 6α = 32 cos6 α − 48 cos α + 18 cos α − 1, lấy cos α = x ta Chọn α = cos 6α = 32x6 − 48x4 + 18x2 − π ta 32x6 − 48x4 + 18x2 − = Ta có bài toán sau Bài toán (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình 64x6 − 96x4 + 36x2 − = Giải Ta có
2 cos 6α = cos2 3α − = cos3 α − cos α − = 32 cos α − 48 cos4 α + 18 cos2 α − (1) Phương trình đã cho tương đương 32x6 − 48x4 + 18x2 − = π ⇔ 32x6 − 48x4 + 18x2 − = cos (2) Từ công thức (1) suy (2) có nghiệm là   π k2π x = cos + , k = 0, 1, 2, 3, 4, 3.6 Ví dụ Từ công thức cos 5α = 16 cos α − 20 cos3 α + cos α, WWW.MATHVN.COM 11 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG x Đặt cos α = √ ta 16x5 20x3 5x x5 5x3 5x √ − √ + √ = √ − √ + √ 288 24 3 18 3 x − 15x + 45x √ = 18 cos 5α = Chọn 5α = π ta √ x5 − 15x3 + 45x √ = ⇔ x5 − 15x3 + 45x − 27 = 18 Ta có bài toán sau Bài toán Giải phương trình x5 − 15x3 + 45x − 27 = √ Giải Tập xác định R Đặt x = 3t, thay vào phương trình đã cho ta √ √ √ 288 3t5 − 360 3t3 + 90 3t − 27 =
√ π ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = cos (1) Mặt khác ta có cos 5α + cos α = cos 3α cos 2α

⇔ cos 5α = cos3 α − cos α cos2 α − − cos α
⇔ cos 5α = cos5 α − 10 cos3 α + cos α − cos α ⇔ cos 5α = 16 cos5 α − 20 cos3 α + cos α (2) Từ công thức (2) suy (1) có nghiệm là   π k2π t = cos + , k = 0, 1, 2, 3, 6.5 Phương trình đã cho có nghiệm là   √ π k2π x = cos + , k = 0, 1, 2, 3, 30 √ Lưu ý Trong lời giải trên, phép đặt x = 3t tìm sau : Do công thức cos 5α = 16 cos α − 20 cos3 α + cos α, WWW.MATHVN.COM 12 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG nên ta đặt x = at, với a tìm sau Thay x = at vào phương trình đã cho ta a5t5 − 15a3 t3 + 45at − 27 = Ta tìm a thoả mãn điều kiện √ −15a3 45a a4 3a2 a5 = = ⇒ = = ⇒ a = ±2 16 −20 16 √ Vậy ta có phép đặt x = 3t Ví dụ Từ công thức sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α, lấy sin α = 2x ta sin 5α = 512x5 − 160x3 + 10x π , ta có √ √ = 512x5 − 160x3 + 10x ⇔ 1024x5 − 320x3 + 20x − = Ta bài toán sau Chọn 5α = Bài toán 10 Giải phương trình 1024x5 − 320x3 + 20x − √ = t Giải Đặt x = , thay vào phương trình đã cho ta √ π 32t5 − 40t + 10 = ⇔ 16t5 − 20t3 + 5t = sin Ta có sin 5α + sin α = sin 3α cos 2α

⇔ sin 5α = sin α − sin3 α − sin2 α − sin α
⇔ sin 5α = sin5 α − 10 sin3 α + sin α − sin α ⇔ sin 5α = 16 sin5 α − 20 sin3 α + sin α (1) (2) Từ công thức (2) suy (1) có nghiệm là   π k2π t = sin + , k = 0, 1, 2, 3, 3.5 Phương trình đã cho có nghiệm là   π k2π x = sin + , k = 0, 1, 2, 3, 15 WWW.MATHVN.COM 13 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai 1.1.3 CHƯƠNG Sử dụng các đồng thức đại số có xuất sứ từ các hàm lượng giác hypebôlic để sáng tác các phương trình đa thức bậc cao Sử dụng các đồng thức đại số có xuất sứ từ các hàm lượng giác hypebôlic ta có thể sáng tác số phương trình đa thức bậc cao có cách giải đặc thù Ví dụ Xét đồng thức  

1 a − = 4m3 + 3m + 2m2 − m = 16m5 + 20m3 + 5m, a   1 x đó m = a− Đặt m = √ , đó a 2   1 16x5 20x3 5x x5 10x3 20x √ √ √ √ a − = + + = + √ + √ a 128 16 2 8   1 a5 − = √ , ta bài toán sau Lấy a Bài toán 11 Giải phương trình x5 + 10x3 + 20x − 18 = Giải Ta thấy √   √ √ √ x ± x2 + √ x = a− ⇔ 2a − xa − = ⇔ a = a 2   √ Do đó ta có quyền đặt x = a − Khi đó a   √ 10 5 x = a − 5a + 10a − + 3− a a a   √ 10x3 = 20 a3 − 3a + − a a   √ 20x = 20 a − a Thay vào phương trình đã cho ta   √ √ √ a − − 18 = ⇔ 2(a5)2 − 18a5 − = a WWW.MATHVN.COM 14 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG √ + 113  a = 4√2 √ √ ⇔  − 113 √ √ a = =− + 113  Phương trình đã cho có nghiệm s  s √ √ √ 113  + √ √ x = 2 − + 113   √ tìm sau : Do công Lưu ý Trong lời giải trên, phép đặt x = a − a thức  

1 a − = 4m3 + 3m + 2m2 − m = 16m5 + 20m3 + 5m, a   1 đó m = a− nên ta đặt x = pm, với p tìm sau Thay x = pm vào a phương trình đã cho ta p5 m5 + 10p3 m3 + 20pm − 18 = Ta tìm p thoả mãn điều kiện  10 20   = p 16 ⇒ p2 = ⇒ p = 2√2 20   = p4 16   √ Vậy ta có phép đặt x = a − a Ví dụ 10 Từ đồng thức   1 a + = −m + 2(4m3 − 3m)(2m2 − 1) = 16m5 − 20m3 + 5m, a   1 đó m = a+ Lấy m = x ta a   1 a + = 16x5 − 20x3 + 5x a   1 Lấy a5 + = −7 ta phương trình a 16x5 − 20x3 + 5x + = WWW.MATHVN.COM 15 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Từ phương trình này ta phương trình (x − 1)(16x5 − 20x3 + 5x + 7) = Vậy ta có bài toán sau Bài toán 12 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2008) Giải phương trình 16x6 − 16x5 − 20x4 + 20x3 + 5x2 + 2x − = (1) Giải Ta có (1) ⇔  x=1 ⇔ 16x5 − 20x3 + 5x + =  x=1 16x5 − 20x3 + 5x = −7 (2) Tiếp theo ta giải phương trình (2) • Nếu |x| ≤ thì đặt x = cos t, với t ∈ [0; π] Thay vào (2) ta cos5 t − 20 cos3 t + cos t = −7 ⇔ cos 5t = −7 (vô nghiệm) • Nếu |x| > thì xét phương trình   1 x= a+ ⇔ a2 − 2xa + = a (3) Vì |x| > nên ∆0 = x2 − > 0, suy (3) luôn có hai nghiệm phân biệt a1 và a2 (giả sử a1 < a2) Đặt f(a) = a2 − 2xa + Nếu x > thì f(1) = − 2x = 2(1 − x) < và f(0) = > Mà a1 a2 = nên suy < a1 < < a2 Nếu x < −1 thì f(−1) = + 2x = 2(1 + x) < và f(0) = > Mà a1 a2 = nên suy a1 < −1 < a2 < Vậy (3) có nghiệm a thoả  |a| >1 Tóm lại |x| > thì có số 1 thực a thoả mãn |a| > và x = a+ Ta có a   5   1 10 5 16x = 16 a+ = a + 5a + 10a + + 3+ (3) a a a a   3   1 3 20x = 20 a+ = a + 3a + + (4) a a a   5x = a+ (5) a Suy   1 16x − 20x + 5x = a + a WWW.MATHVN.COM 16 Lop12.net (6) WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Từ (6) và (2) ta có  
2 1 a + = −7 ⇔ a5 + 14a5 + = a " p  √ √ a = −7 − √48 a = p−7 − 48 √ ⇔ ⇔ a5 = −7 + 48 a = −7 + 48 Vậy (2) có nghiệm x = đã cho có hai nghiệm p √ √  p 5 −7 − 48 + −7 + 48 Do đó phương trình x = 1, x = 1.1.4 q √ −7 − 48 + q −7 + √  48 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức Ta biết phương trình đẳng cấp bậc k hai biểu thức P (x) và Q(x) P (x) thì giải cách chia hai vế cho [P (x)]k (hoặc [Q(x)]k ), sau đó đặt t = Q(x) Q(x) (hoặc t = ), đưa phương trình đa thức bậc k theo t Vận dụng điều này ta có P (x) phương pháp đơn giản để tạo nhiều phương trình thú vị Ví dụ 11 Xét phương trình bậc hai 7t2 + 13t − = Lấy t = x2 x−1 ta +x+1  2 x−1 x−1 + 13 − = x +x+1 x +x+1 Quy đồng bỏ mẫu ta bài toán sau Bài toán 13 (Đề nghị OLYMPIC 30/04/2009) Giải phương trình 2(x2 + x + 1)2 − 7(x − 1)2 = 13(x3 − 1) Giải Tập xác định R Do x2 + x + > nên chia hai vế phương trình cho (x2 + x + 1)2 > ta  2 x−1 x−1 − = 13 x2 + x + x2 + x + WWW.MATHVN.COM 17 Lop12.net WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai Đặt t = x2 CHƯƠNG x−1 Khi đó +x+1 − 7t2 = 13t ⇔ 7t2 + 13t − = ⇔ " t = −2 t= • Khi t = −2 ta x−1 = −2 ⇔ 2x2 + 3x + = ⇔ x +x+1 • Khi t = " x = −1 x=−  x=2 x = ta x−1 = ⇔ x2 − 6x + = ⇔ x +x+1 Phương trình đã cho có bốn nghiệm x = −1, x = − , x = 2, x = Lưu ý Phương trình này có nhiều nghiệm, và các nghiệm phương trình này là số nguyên và số hữu tỉ, đó ta có thể giải nhanh chóng cách khai triển đưa phương trình bậc bốn, sau đó nhẩm nghiệm, đưa phương trình tích Ví dụ 12 Xét phương trình bậc hai có nghiệm Lấy t = r 2t2 − 7t + = x2 + x + ta x−1 r x2 + x + x2 + x + −7 + = x−1 x−1 Quy đồng bỏ mẫu ta p 2(x2 + x + 1) + 3(x − 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) Ta có bài toán sau Bài toán 14 (Đề nghị OLYPIC 30/04/2007) Giải phương trình √ 2x2 + 5x − = x3 − √ Đáp số x = ± Giải Điều kiện x ≥ p (1) ⇔ 3(x − 1) + 2(x2 + x + 1) = (x − 1)(x2 + x + 1) WWW.MATHVN.COM 18 Lop12.net (1) (2) WWW.MATHVN.COM Nguyễn Tài Chung-Giáo Viên THPT Chuyên Hùng Vương-Gia Lai CHƯƠNG Vì x = không phải là nghiệm nên chia hai vế (2) cho x − > ta r x2 + x + x2 + x + 3+2 =7 (3) x−1 x−1 r x2 + x + Đặt t = ⇒ x2 + (1 − t2)x + + t2 = Điều kiện t là x−1  q √ t≥0 ⇔ t ≥ + ∆x = t − 6t − ≥   Phương trình (3) trở thành 2t − 7t + = ⇔ t ∈ 3, Kết hợp với điều kiện t ta t = Vậy r √ x2 + x + = ⇔ 9x − = x2 + x + ⇔ x2 − 8x + 10 = ⇔ x = ± x−1 √ Kết hợp với điều kiện ta x = ± là tất các nghiệm phương trình (1) Lưu ý Gọi Q(x) = x − 1, P (x) = x2 + x + Mấu chốt lời giải là phân tích vế trái PT (1) thành V T = 2P (x) + 3Q(x) Tinh ý ta thấy là hệ số x2 vế trái (1) Cũng từ đó suy Tuy nhiên dễ dàng tìm các số và phương pháp hệ số bất định 2x2 + 5x − = p(x2 + x + 1) + q(x − 1) ⇔ 2x2 + 5x − = px2 + (p + q)x + p − q Đồng hệ số ta    p=2 p=2 p+q =5 ⇔ q =  p − q = −1 Ví dụ 13 Xét x = Khi đó (x2 + 2x + 2) = 10, x + = 3, 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = 6, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = 30, (x + 1)(x2 + 2x + 2) = x3 + 3x2 + 4x + Vậy với x = thì 3(x2 + 2x + 2) − 8(x + 1) = √ 6 √ 30 √ = √ x + 3x2 + 4x + 30 30 Ta có bài toán sau WWW.MATHVN.COM 19 Lop12.net WWW.MATHVN.COM