THÔNG TIN TÀI LIỆU
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10 Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội Th De Các toán tài liệu Tuấn tổng hợp số diễn đàn, số tài liệu, phần lời giải đa số Tuấn giải lại số câu nhác :3 nên chép i nguyên lời giải Vì nên tài liệu có sai sót mong bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại Tài liệu Tuấn viết tặng bạn ( Đừng hỏi :v ) Bên cạnh hi vọng bạn có tài liệu để tham khảo thêm Chúc bạn học tốt ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ Bài ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ Giải phương trình sau: √ x+3+ √ √ √ 3x + = x + 2x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ iTh √ √ √ 3x + − 2x + = x − x + √ √ ⇐⇒ 3x + + 2x + − 6x2 + 8x + = 4x + x + − x2 + 3x √ √ ⇐⇒ 6x2 + 8x + = x2 + 3x ⇐⇒ 6x2 + 8x + = (x2 + 3x) ⇐⇒ 2x2 − 4x + = ⇐⇒ x = Vậy nghiệm phương trình cho là: x = u.N Bài Giải phương trình sau: √ √ 3 x 35 − x3 x + 35 − x3 = 30 Lời giải: √ Đặt 35 − x3 = y ⇐⇒ x3 + y = 35 x3 + y = 35 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ www.Dethithu.Net ⇐⇒ (x + y)3 = 125 xy (x + y) = 30 ⇐⇒ et Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: (x + y)3 − 3xy (x + y) = 35 xy (x + y) = 30 x+y =5 xy = ThuVienDeThi.com ⇐⇒ x=3 x=2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ Vậy nghiệm phương trình là: Bài ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ x=3 x=2 Giải phương trình sau: Th De √ 16x4 + = 4x3 + x Lời giải: Ta có V T > nên điều kiện để phương trình cho có nghiệm V P > ⇐⇒ x > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho số dương ta có: √ 4x3 + x = 2.3 (4x3 + x) 1.1 ≤ 4x3 + x + + Mặt khác ta có: 16x4 + ≥ 4x3 + x + + ⇐⇒ 16x4 − 8x3 − 2x + ≥ ⇐⇒ (2x − 1)2 4x2 + 2x + ≥ iTh Do đó: V T ≥ V P √ 16x4 + = 4x3 + x ⇐⇒ 4x3 + x = 2x − = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Giải phương trình sau: 2 u.N Bài ⇐⇒ x = √ x2 − + 4x = 4x 4x − Lời giải: Điều kiện: x ≥ Ta có: √ √ x2 − + 4x = 4x 4x − ⇐⇒ 3x2 + 4x − = 4x 4x − ⇐⇒ www.Dethithu.Net √ x = 4x − √ 3x = 4x − ⇐⇒ x− √ 4x − x2 = 4x − 9x2 = 4x − ThuVienDeThi.com et √ ⇐⇒ 3x2 − 4x 4x − + 4x − = ⇐⇒ 3x − ⇐⇒ √ 4x − = x=3 x=1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ x=3 x=1 Giải hệ phương trình sau: √ x + + 3y x + (3y + 1) x + − 51y − 27 = 7y + 36y x2 + y + 3x + 5y + 10 = Th De √ Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 Đặt: √ x + = a (a ≥ 0) Thay a2 − = x vào phương trình thứ ta iTh (a + 3y) (a2 − 1) + (3y + 1) a − 51y − 27 = 7y + 36y ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay = 7y + 36y + 54y + 27 ⇐⇒ a3 + 3a2 y + 3ay + y = 8y + 36y + 54y + 27 √ ⇐⇒ (a + y)3 = (2y + 3)3 ⇐⇒ a = y + ⇐⇒ y = a − ⇒ y = x + − Thế xuống phương trình thứ ta được: x2 + 4x + = Đặt √ √ x+1 x + = y + (y ≥ −2) Khi ta có hệ phương trình: ⇐⇒ x2 − y + (x − y) = x2 + 4x + = y ⇐⇒ (x − y) (x + y + 5) = x2 + 4x + = y Vậy hệ phương trình cho vô nghiệm x=y x2 + 3x + = ⇐⇒ Giải phương trình sau: 2x − + Lời giải: Điều kiện: x ≥ √ 3x − = √ (V N ) et Bài u.N x2 + 4x + = y y + 4y + = x 8x2 − 2x − 2 www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Biến đổi phương trình đầu trở thành: √ 2x − + 3x − = ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ 2(2x − 1)2 + (3x − 2) ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ Th De 2x − = a a≥ Đặt: √ 3x − = b (b ≥ 0) Khi phương trình cho trở thành: √ a + b = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 ⇐⇒ (a − b)2 = ⇐⇒ a = b Từ ta có: 2x − = √ 3x − ⇐⇒ 4x2 − 4x + = 3x − ⇐⇒ 4x2 − 7x + = ⇐⇒ Vậy nghiệm phương trình cho là: Lời giải: x=1 x= Giải hệ phương trình sau: √ 6x − = 3x − y + 3y (1) y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − (2) Điều kiện: 3x ≥ y = √ 3x + 3x − y ≥ Ta có: u.N iTh Bài x=1 x= √ √ (1) ⇐⇒ (3x − y) = y 3x − y + 3y ⇐⇒ (3x − y) − y 3x − y − 3y = √ √ √ 3x − y = 3y 3x − y + y = ⇐⇒ ⇐⇒ 3x − y − 3y √ 3x − y = −y Trường hợp 2: √ √ 3x − y = 3y 6x + 3y ≥ (6x + 3y) = 6x + 3y − 3x − y = −y √ 3x − y = −y √ 3x + 3x − y = 6x + 3y − www.Dethithu.Net ⇐⇒ √ 3x − y = 3y 6x + 3y = et √ Trường hợp 1: 3x − y = 3y √ 3x − y = 3y ⇐⇒ 3x + 3y = 6x + 3y − ⇐⇒ ThuVienDeThi.com √ 3x − y = −y √ 3x − y = 6x + 3y − Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ｄ･ｔｨｩｔｨｵＮｎ･ｴ＠Ｍ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ ｩ＠ｈ ｣＠Ｍ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡＠Ｍ＠ｔ￠ｩ＠ｌｩ ｵ＠ￔｮ＠ｔｨｩＮｃ ｰ＠ｮｨ ｴ＠ｨ ｮｧ＠ｮｧ￠ｹＡ √ 3x − y = −y −2y = 6x + 3y − ⇐⇒ ⇐⇒ √ 3x − y = −y 6x + 5y = Th De Từ bạn tự tìm nghiệm Bài Giải phương trình sau: √ 2x2 + x + + √ 2x2 − x + = x + Lời giải: Xét x = −4 nghiệm phương trình ta biến đổi phương trình sau: √ 2x2 + x + + √ 2x2 − x + = x + 2x + √ ⇐⇒ √ =x+4 2+x+9− 2−x+1 2x 2x √ √ ⇐⇒ 2x2 + x + − 2x2 − x + = iTh Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ: √ √ 2x2 + x + − 2x2 − x + = √ √ 2x2 + x + + 2x2 − x + = x + √ ⇒ 2x2 + x + = x + ⇐⇒ (2x2 + x + 9) = x2 + 12x + 36 Thử lại ta thấy thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho Bài x=0 x = 87 u.N ⇐⇒ 7x2 − 8x = ⇐⇒ Giải phương trình sau: 5+ √ x−1=6 Lời giải: et x+ x=0 x= Điều kiện: x ≥ www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Biến đổi phương trình cho sau: x+ √ x−1=a √ 5+ x−1=b √ x − = ⇐⇒ x − + 5+ √ x−1=5 (a ≥ 0, b ≥ 5) Th De Đặt: 5+ Khi ta có: a2 + b = b2 = a + ⇐⇒ ⇐⇒ a2 + b = a2 − b + a + b = a2 + b = a+b=0 a−b+1=0 a2 + b = a2 − a − = a2 + a + = √ −1 + 17 a= 2√ ⇐⇒ b = + 17 iTh a + b =√5 ± 21 ⇐⇒ a= 2√ −1 ± 17 a= ⇐⇒ a2 + b = (a + b) (a − b + 1) = ⇐⇒ √ 11 − 17 Từ ta tính x = √ 11 − 17 Vậy x = nghiệm phương trình cho Giải phương trình sau: √ Lời giải: u.N Bài 10 − x2 = √ − x Khi ta có hệ www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com et − x2 ≥ ⇐⇒ ≤ x ≤ x≥0 √ a= x Đặt: a ≥ 0, b ≤ √ b= − x 3 Điều kiện: Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Th De a+b= a+b= ⇐⇒ 3 √ − a4 = b a4 + b = 2 a+b= a+b= ⇐⇒ ⇐⇒ (a + b)2 − 2ab − 2a2 b2 = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 = 2 a+b= a + b = 3 ⇐⇒ ⇐⇒ 16 65 2 2 2a b − ab − =0 − 2ab − 2a b = 81 a+b= √3 − 194 ab = 18 ⇐⇒ a+b= √3 + 194 ab = 18 √ − 194 y − y+ =0 √ 18 a, b nghiệm phương trình + 194 y2 − y + = (V N ) 18 Từ ta tìm nghiệm phương trình cho là: x = −2 + √ 194 − + Giải hệ phương trình sau: x + = (3y − x) (y + 1) (1) √ 3y − − x + = xy − 2y − (2) y≥2 Điều kiện: x ≥ −5 (3y − x) (y + 1) ≥ Ta có: u.N Lời giải: iTh Bài 11 y≥2 ⇐⇒ x ≥ −5 3x − y ≥ et √ √ (1) ⇐⇒ (y + 1) − (3y − x) = 3y − x y + √ √ √ √ √ 2 =0 y+1 − 3y − x ⇐⇒ y + − 3y − x y + + √ √ √ √ √ √ √ y + + 3y − x = ⇐⇒ y + y + − 3y − x + y + − 3y − x √ √ √ √ y + − 3y − x y + + 3y − x = ⇐⇒ √ √ √ √ y + − 3y − x = ⇐⇒ ⇐⇒ y + = 3y − x ⇐⇒ x = 2y − (3) √ √ = y + + 3y − x > (L) www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn 97 Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Thay (3) vào (2) ta √ √ y + = 2y − 3y − 2 (y − 2) √ = (y − 2) (2y + 1) ⇐⇒ √ 3y − + y + 2 √ − (2y + 1) = ⇐⇒ (y − 2) √ 3y − + y+2 y=2⇒x=3 ⇐⇒ √ √ − (2y + 1) = (4) 3y − + y + 3y − − Th De Và (2) ⇐⇒ − (2y + 1) Do √ 3y − + √ y + = (5) √ √ 2 ⇒ (2y + 1) 3y − + y + ≥ + 3 √ √ ⇐⇒ − (2y + 1) 3y − + y − ≤ − 3 y≥ √ 3y − + √ y−2 ≤2− < nên (5) vô nghiệm iTh Mà − (2y + 1) +2 So với điều kiện hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y) = (3; 2) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: √ x + x2 + = y + x2 + y − xy = Điều kiện: y≥1 y ≤ −1 u.N Lời giải: y2 − et Biến đổi phương trình đầu sau: √ √ x + x2 + = y + y − ⇐⇒ x − y = y − − x2 + √ ⇒ x2 − 2xy + y = x2 + y − x2 + y − √ ⇐⇒ xy = x2 + y − ⇒ x2 y = (x2 + 1) (y − 1) ⇐⇒ y − x2 = Khi ta hệ mới: www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ y − x2 = x2 + y − xy = 2x2 − xy = y − x2 = x2 + y − xy = y − x2 y − x2 = x=0 y = ±1 x=0 ±1 ⇐⇒ ⇐⇒ 2x = y x= √ y − x2 = ±2 y=√ ⇐⇒ Th De ⇐⇒ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Thử lại hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (0; 1) , √ ;√ 3 Lưu ý: Bài tốn giải hồn chỉnh lại phải thử lại nghiệm Ở biến đổi phương trình thứ không đặt điều kiện nên sau giải nghiệm phải thử lại Mặt khác khơng đặt điều kiện mà bình phương dùng dấu ⇒ Bài 13 Giải phương trình sau: √ x2 + x + = + 5x + 4x2 − 2x3 − x4 (1) iTh Lời giải: Ta có: (x2 + x + 1) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Khi √ (1) ⇐⇒ x2 + x + = − x2 + x + √ x2 + x + (a > 0) Khi phương trình cho trở thành: a4 − 7a2 + 4a + = ⇐⇒ √ a2 − a − √ 1+ a= 2√ a2 + a − = ⇐⇒ −1 + 21 a= et √ 1+ Với a = + x2 + x + − u.N Đặt: a = √ √ √ + + + −1 ± ⇐⇒ x2 + x − = ⇐⇒ x = x2 + x + = 2 www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Với a = √ x2 ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ √ −1 + 21 √ √ −1 + 21 −9 + 21 −1 ± +x+1= ⇐⇒ x + x + = ⇐⇒ x = 2 Th De Vậy nghiệm phương trình cho là: Bài 14 x= x= −1 ± −1 ± √ 19 − 21 √ 3+2 √ 19 − 21 Giải phương trình sau: 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) √ 4x2 + 4x − Lời giải: √ −1 + 2 x≥ √ Điều kiện: −1 − 2 x≤ iTh Ta có: u.N √ 16x2 − 23x + 10 = (x + 2) 4x2 + 4x − √ √ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) 4x2 + 4x − + (5x + 1) 4x2 + 4x − − (5x + 1) (4x − 3) = √ √ 4x2 + 4x − − (4x − 3) = ⇐⇒ 4x2 + 4x − + 5x − √ √ 4x2 + 4x − + 5x − = 4x2 + 4x − = − 5x √ √ ⇐⇒ ⇐⇒ 4x2 + 4x − − (4x − 3) = 4x2 + 4x − = 4x − 1 x≤ x≤ 5 2 4x + 4x − = 25x − 10x + 21x − 14x + = x = ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ x≥ x≥ x=1 4 4x2 + 4x − = 16x2 − 24x + 12x2 − 28x + 16 = x= Vậy nghiệm phương trình cho là: x=1 Giải phương trình sau: √ 12x2 + 46x − 15 − √ x3 − 5x + = 2x + Lời giải: Đặt: a = √ 12x2 + 46x − 15, b = 2x + 1, c = www.Dethithu.Net √ et Bài 15 x3 − 5x + ThuVienDeThi.com 10 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Ta có: ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ √ Th De √ 12x2 + 46x − 15 − x3 − 5x + = 2x + √ √ ⇐⇒ 12x2 + 16x − 15 − (2x + 1) = x3 − 5x + + x3 − 5x + 12x2 + 46x − 15 − (2x + 1)3 = ⇐⇒ a2 + ab + b2 c −c+1 3 −8(x − 5x + 2) x − 5x + ⇐⇒ = a2 + ab + b2 c −c+1 + )=0 ⇐⇒ (x − 5x + 2)( a + ab + b2 c2 − c + x=2 √ ⇐⇒ x = −1 + √ x = −1 − x=2 √ Vậy nghiệm phương trình là: x = −1 + √ x = −1 − Bài 16 Giải phương trình sau: √ x2 + x + + 4x2 + x + √ 5x2 + − √ 2x2 + = 3x2 iTh Lời giải: √ Biến đổi phương trình đầu trở thành: √ √ √ x2 + x + + 4x2 + x + 5x2 + − 2x2 + = 3x2 √ √ √ √ ⇐⇒ x2 + x + + 4x2 + x + 3x2 = 3x2 5x2 + + 2x2 + √ √ ⇐⇒ x2 +x+1+ √ 4x2 x=0 √ √ + x + = 5x2 + + 2x2 + u.N Mặt khác: √ √ √ x2 + x + + 4x2 + x + = 5x2 + + 2x2 + √ √ √ √ ⇐⇒ 5x2 + − 4x2 + x + = 2x2 + − x2 + x + x2 − x x2 − x √ √ √ √ ⇐⇒ = 5x2 + + 4x2 + x + 2x2 + + x2 + x + x2 − x = √ √ √ √ ⇐⇒ 2x2 + + x2 + x + = 5x2 + + 4x2 + x + x=1 x=0 ⇐⇒ ⇐⇒ x = √ √ x=1 2x2 + = 5x2 + √ et Vậy nghiệm phương trình là: www.Dethithu.Net x=0 x=1 ThuVienDeThi.com 11 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Bài 17 ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Giải bất phương trình sau: (x + 1) (x − 3) √ −x2 + 2x + < − (x − 1)2 Lời giải: x≥3 x ≤ −1 Th De Điều kiện: Biến đổi bất phương trình sau: √ (x + 1) (x − 3) −x2 + 2x + < − (x − 1)2 √ ⇐⇒ (x2 − 2x − 3) −x2 + 2x + < −x2 + 2x + Đặt: √ −x2 + 2x + = t (t ≥ 0) Khi bất phương trình cho trở thành: t3 < t2 − ⇐⇒ t3 − t2 + < ⇐⇒ (t + 1) (t2 − 2t + 2) < ⇐⇒ t < −1 (KT M ) iTh Vậy bất phương trình cho vơ nghiệm Bài 18 Giải phương trình sau: (3x + 1)2 + √ 3x + = a √ ⇒ a3 − b = 3x − = b Khi ta có hệ phương trình: a2 + b2 + ab = a3 − b = www.Dethithu.Net ⇐⇒ ⇐⇒ a2 + b2 + ab = a=b+2 ⇐⇒ a=1 b = −1 √ 3x + = √ 3x − = −1 √ 9x2 − = a2 + b2 + ab = (a − b) (a2 + b2 + ab) = ⇐⇒ 3b2 + 6b + = a=b+2 et Lúc đó: (3x − 1)2 + u.N Lời giải: Đặt: ⇐⇒ x = ThuVienDeThi.com 12 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = Bài 19 Giải bất phương trình sau: (3 − x) √ √ x−1+ − 2x ≥ √ −x3 + 10x2 − 34x + 40 (1) Th De Lời giải: Điều kiện: ≤ x ≤ Ta có: (1) ⇐⇒ (3 − x) (x − 1) (5 − 2x) ≥ −2x3 + 17x2 − 47x + 44 √ √ ⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 x − ≥ (−2x3 + 17x2 − 48x + 45) + (x − 1) √ √ ⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 − x − ≤ √ √ ⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 48x + 45 = x − ⇐⇒ −2x3 + 17x2 − 49x + 46 ⇐⇒ x = (T M ) Vậy nghiệm bất phương trình là: x = iTh Bài 20 Giải hệ phương trình sau: √ Lời giải: x−1+ √ x + = −x3 + Ta có x = nghiệm phương trình Trường hợp Với x > ta có: √ u.N Mặt khác: x−1+ √ x+8> √ 0−1+ √ + = −x3 + < phương trình cho vơ nghiệm √ x−1+ √ x + < < −x3 + nên phương trình Vậy phương trình cho có nghiệm x = et Trường hợp Với x < ta có vơ nghiệm Bình loạn: Thơng thường gặp tốn mà số mũ phần tử khơng có tý liên quan đến hay đốn nghiệm sử dụng đánh giá xem www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 13 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Bài 21 Giải hệ phương trình sau: √ + x = 3x + y (1) 2x y √4x2 + 2y √ 4x + y = 2x + − y (2) Th De Lời giải: ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Điều kiện: Đặt: √ −3 ≤ x = y>0 y = z (z > 0) phương trình (1) trở thành: 2x2 + z 3x + 3z = ⇐⇒ (2x2 + z ) = xz (3x + 3z) xz 2x + z ⇐⇒ 4x4 + 4x2 z + z = 3x2 z + 3xz ⇐⇒ 4x4 + x2 z − 3xz + z = x x 2x x x x −1 ⇐⇒ + − + = ⇐⇒ + +1 =0 z z z z z z √ ⇐⇒ 2x = z ⇒ 2x = y Thay vào phương trình cịn lại ta được: iTh 4x2 + 8x = √ 2x + ⇐⇒ x>0 16x + 64x + 64x2 = 2x + ⇐⇒ x>0 8x + 32x + 32x2 − x − = 4 x>0 (2x + 3x − 1) (4x2 + 10x + 3) = √ √ 13 − 17 −3 + 17 ⇒y= ⇐⇒ x = ⇐⇒ u.N Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = Bài 22 Giải phương trình sau: √ √ x+1 x2 + √ x2 + 4x + = 2x et x+3− √ √ −3 + 17 13 − 17 ; Lời giải: Điều kiện: x ≥ −1 www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 14 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Ta có phương trình cho tương đương với: √ x2 + (x + 3) (x + 1) = 2x x+3+ x+1 √ √ ⇐⇒ x2 + (x + 3) (x + 1) = x x + + x + √ √ ⇐⇒ x − x + x − x+ = √ Th De √ x= x+3 √ x= x+1 ⇐⇒ ⇐⇒ x≥0 x2 − x − = x≥0 x2 − x − = 1+ √ 13 x= 2√ ⇐⇒ 1+ x= √ 1+ x= 2√ Vậy nghiệm phương trình cho là: + 13 x= Ps: Bài tốn làm nhiều thời gian đăng lên diễn đàn nhìn đáp án lại thấy Do rút kinh nghiệm làm nên sử dụng biến đổi đơn giản, không nên sử dụng biến đổi phức tạp, biến tốn trở nên khó khăn iTh Bài 23 Giải phương trình sau: √ Lời giải: Điều kiện: + x2 + x4 + x = √ x − x3 0≤x≤1 −∞ < x ≤ −1 u.N Xét với x = nghiệm phương trình Với x ∈ (0; 1] ta có: x Đặt + x2 + + x = x x2 − x ⇐⇒ x + x2 + + = x2 −x x √ t4 + + = t ⇐⇒ Xét với (−∞; −1] ta có − www.Dethithu.Net t−1≥0 t4 + = t2 − 2t + 1 + x2 + + = − x2 ThuVienDeThi.com 15 et 1 − x = t ⇒ t4 = + x2 − phương trình cho trở thành: x x ⇐⇒ t = −1 (loai) −x x Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - Tương tự ta có: ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ 1 − x = t ⇒ t = + x2 − x x Khi Th De √ − t4 + + = −t ⇐⇒ t+1≥0 t + = t2 + 2t + ⇐⇒ t = (T M ) Với √ −1 + (loai) x= √ t = ⇒ − x = ⇐⇒ x2 + x − = ⇐⇒ −1 − x x= −1 − Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 24 √ −1 − ⇐⇒ x = √ 5 Giải bất phương trình sau: iTh √ − 2x >4 x x+ √ x Lời giải: Điều kiện x > x+ −2 x u.N Bất phương trình cho tương đương với √ √ x2 − 2x + > x2 − 2x + ⇐⇒ x2 − 2x + − x2 − 2x + + > √ √ √ x2 − 2x + < 2 √ x − 2x + − > ⇐⇒ ⇐⇒ x − 2x + − x2 − 2x + > √ x>1+ √ ⇐⇒ x2 − 2x − > ⇐⇒ x + Lời giải: www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 16 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Đặt: − 3x2 = y ta có hệ x + 3y = y + 3x2 = Th De ⇐⇒ x = − 3y y = − 3x2 x=y x − y = 3x2 − 3y − 3x ⇐⇒ y= y = − 3x y = − 3x2 ⇐⇒ Với y = x thay vào phương trình cịn lại ta 3x2 + x − = ⇐⇒ Với y = − 3x ta có: x = −1 x= √ − 3x ± 21 2 = − 3x ⇐⇒ 3x − x − = ⇐⇒ x = 3 Bài 26 iTh x = −1 x= Vậy nghiệm phương trình cho là: √ ± 21 x= Giải bất phương trình sau: √ Lời giải: √ x3 − + √ x2 − 2x u.N Điều kiện: x ≥ 3x2 − 12x + ≤ Bất phương trình cho tương đương với: 3x2 − 12x + ≤ x3 − + x2 − 2x + (x − 1) (x2 + x + 1) x (x − 2) ⇐⇒ x3 − 2x2 + 10x − + (x − 1) (x − 2) (x2 + x + 1) x ≥ √ √ ⇐⇒ (x3 + x2 + x) − (x2 − 3x + 2) + x2 − 3x + x3 + x2 + x ≥ x2 − 3x + x2 − 3x + ⇐⇒ − 3 + ≥0 x + x2 + x x3 + x2 + x x2 − 3x + (a ≥ 0) lúc ta có: x3 + x2 + x et Đặt: a = −1 ≤ a ≤ ⇐⇒ a ≤ ⇐⇒ x2 − 3x + ≤ x3 + x2 + x ⇐⇒ x3 + 4x − ≥ − 3a2 + 2a ≥ ⇐⇒ www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 17 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Nhận thấy với x ≥ Vậy nghiệm bất phương trình là: x ≥ Th De Bài 27 Giải phương trình sau: 4x2 − 7x − 19 = Lời giải: 1+ √ 4x2 − 4x − 14 √ 15 x ≥ 2√ Điêu kiện: − 15 x≤ Biến đổi phương trình cho sau: √ 4x2 − 7x − 19 = 4x2 − 4x − 14 ⇐⇒ ⇐⇒ 16x4 + 49x2 + 361 − 56x3 − 152x2 + 266x = 4x2 − 4x − 14 4x2 − 7x − 19 ≥ iTh ⇐⇒ (4x2 − 7x − 19) = 4x2 − 4x − 14 4x2 − 7x − 19 ≥ 16x4 − 56x3 − 107x2 + 270x + 375 = 4x2 − 7x − 19 ≥ ⇐⇒ (x − 2x − 5) (16x − 24x − 75) = 4x2 − 7x − 19 ≥ √ x=1± √ ± 21 ⇐⇒ x= 4x − 7x − 19 ≥ √ x=1+ √ ⇐⇒ − 21 x= Bài 28 Giải bất phương trình sau: u.N √ x=1+ √ Vậy nghiệm phương trình − 21 x= 2x2 √ − + 2x Lời giải: −9 ≤x=0 www.Dethithu.Net < x + 21 et Điều kiện: ThuVienDeThi.com 18 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Ta có: 2x2 √ − + 2x ⇐⇒ < x + 21 x2 √ < x + 21 + x − + 2x √ x2 < (x + 21) + x − + 2x √ (x + 21) + 2x < 10x + 63 (x + 21)2 (9 + 2x) < (10x + 63)2 x2 (2x − 7) < ⇐⇒ = x < Th De ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ ⇐⇒ Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm bất phương trình P = Bài 29 −9 ; \ {0} 2 Giải hệ phương trình sau: √ x √ x2 − xy + 7x + y = √ √ √ x+1− x−1 x− y = −4 Lời giải: ⇐⇒ iTh Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ Hệ phương trình cho tương đương (x − 1) (x − y + 8) = √ √ x − xy = x2 − − x x2 − x− √ x=1 x+8=y √ xy = x2 − − x x2 − u.N Trường hợp 1: x = ⇒ y = ⇐⇒ Trường hợp 2: y = x + thay vào ta được: Vậy nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (1; 1) , www.Dethithu.Net 1+ ThuVienDeThi.com 19 et √ √ √ x x − x + = −8 + 8x x − x2 − √ √ √ √ ⇐⇒ x + x + − x = 8x x − x2 − √ √ ⇐⇒ x + √ √ = 8x x +√8 + x x + x2 − √ √ √ ⇐⇒ x + x + x − = x x + + x √ ⇐⇒ (x + 8) (x2 − 1) = x x ⇐⇒ 8x2 − x − = √ √ + 257 129 + 257 ⇒x= ⇒y= 16 16 √ √ 257 129 + 257 ; 16 16 √ Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Bài 30 ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Giải phương trình sau: x= √ √ √ √ √ √ − x − x + − x − x + − x − x Lời giải: Th De Điều kiện: x ≤ Biến đổi phương trình trở thành: √ Đặt: 3−x √ 2−x+ √ 4−x + √ √ − x − x − x = a2 + b √ 2−x=a = (3 − x) √ ⇒ (a + b) − = −x + √4 − x.√2 − x 4−x=b (a < b) Khi phương trình cho trở thành hệ phương trình sau: (a + b)2 a2 + b2 (a + b) + =3 2 a2 − b2 = −2 Vậy nghiệm phương trình là: x = Giải phương trình sau: √ 5x2 + 14x + − √ et Bài 31 47 24 u.N iTh −3 (a + b)2 a2 + b (a − b2 ) = (a + b) + 2 2 −3 a + b2 a + b ⇐⇒ (a + b) (a − b) = (a + b) + 2 a+b=0 a2 + b 2 ⇐⇒ ⇐⇒ −2a + b = −3 a +b a+b + (a − b) = 2 b ≥ 2a 2 ⇐⇒ 4a2 − 4ab + b2 = a + b √ √ − x ≥ 2−x b ≥ 2a √ √ b ≥ 2a ⇐⇒ ⇐⇒ 4−x= 2−x a=b ⇒ √ √ 7a2 − 8ab + b2 = 2−x= 4−x 7a = b √ √ 4−x≥2 2−x 47 ⇐⇒ ⇐⇒ x = 24 49 (2 − x) = − x ⇒ √ x2 − x − 20 = x + Lời giải: Điều kiện: x ≥ www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 20 Nguyễn Văn Quốc Tuấn ... ThuVienDeThi.com 12 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình -hệ phương trình -bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ - ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Vậy nghiệm hệ phương trình là: x = Bài 19 Giải bất phương trình. .. phương trình là: www.Dethithu.Net x=0 x=1 ThuVienDeThi.com 11 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình -hệ phương trình -bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Bài 17 ＠ｔｨｩ＠ｔｨ ＠ｔｈｐｔ＠ｑｵ ｣＠ｇｩ｡ Giải bất. .. dụng đánh giá xem www.Dethithu.Net ThuVienDeThi.com 13 Nguyễn Văn Quốc Tuấn Tài liệu phương trình -hệ phương trình -bất phương trình www.DｅｔｈｉｔｈｕＮｎｅｔ Bài 21 Giải hệ phương trình sau: √ + x =
Ngày đăng: 28/03/2022, 22:02
Xem thêm: