Tuyển chọn 410 bài hệ phương trình đại số28808

Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên K62CLC - Khoa Toán Tin ĐHSPHN TUYỂN CHỌN 410 BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC - CAO ĐẲNG ThuVienDeThi.com Hà Nội, ngày tháng 10 năm 2013 ThuVienDeThi.com Mục lục Lời nói đầu Một số phương pháp loại hệ 1.1 Các phương pháp để giải hệ phương trình 1.2 Một số loại hệ Tuyển tập hệ đặc sắc 2.1 Câu đến câu 30 2.2 Câu 31 đến câu 60 23 2.3 Câu 61 đến câu 90 38 2.4 Câu 91 đến câu 120 50 2.5 Câu 121 đến câu 150 65 2.6 Câu 151 đến câu 180 82 2.7 Câu 181 đến câu 210 99 2.8 Câu 211 đến câu 240 114 2.9 Câu 241 đến câu 270 131 2.10 Câu 271 đến câu 300 149 2.11 Câu 301 đến câu 330 168 2.12 Câu 331 đến câu 360 185 2.13 Câu 361 đến câu 390 201 2.14 Câu 391 đến câu 410 218 Tài liệu tham khảo 228 ThuVienDeThi.com Lời nói đầu Hệ phương trình Đại số nói chung hệ phương trình Đại số hai ẩn nói riêng phần quan trọng phần Đại số giảng dạy THPT Nó thường hay xuất kì thi học sinh giỏi kì thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng Tất nhiên để giải tốt hệ phương trình hai ẩn khơng phải đơn giản Cần phải vận dụng tốt phương pháp, hình thành kĩ trình làm Trong kì thi Đại học, câu hệ thường câu lấy điểm Đây tài liệu tuyển tập dày nên tơi trình bày dạng sách có mục lục rõ ràng cho bạn đọc dễ tra cứu Cuốn sách tuyển tập khoảng 400 câu hệ đặc sắc, từ đơn giản, bình thường, khó, chí đến đánh đố kinh điển Đặc biệt, hoàn toàn hệ Đại số ẩn Tôi muốn khai thác thật sâu khía cạnh Đại số Nếu coi Bất đẳng thức biến phần đẹp Bất đẳng thức, mang uy nghi ơng hồng Hệ phương trình Đại số ẩn lại mang vẻ đẹp giản dị, sáng gái thôn quê làm say đắm gã si tình Xin cảm ơn bạn, anh, chị, thầy diễn đàn tốn, facebook đóng góp cung cấp nhiều hệ hay Trong sách ngồi việc đưa hệ tơi cịn lồng thêm số phương pháp tốt để giải Ngồi tơi cịn giới thiệu cho bạn phương pháp đặc sắc tác giả khác Mong nguồn cung cấp tốt hệ hay cho giáo viên học sinh Trong q trình biên soạn sách tất nhiên khơng tránh khỏi sai sót.Thứ nhất, nhiều tốn tơi khơng thể nêu rõ nguồn gốc tác giả Thứ hai : số lỗi sinh trình biên soạn, lỗi đánh máy, cách làm chưa chuẩn, trình bày chưa đẹp kiến thức LATEX hạn chế Tác giả xin bạn đọc lượng thứ Mong sách hoàn chỉnh thêm phần đồ sộ Mọi ý kiến đóng góp sửa đổi xin gửi theo địa sau : Nguyễn Minh Tuấn Sinh Viên Lớp K62CLC Khoa Toán Tin Trường ĐHSP Hà Nội Facebook :https://www.facebook.com/popeye.nguyen.5 Số điện thoại : 01687773876 Nick k2pi, BoxMath : Popeye ThuVienDeThi.com Chương Một số phương pháp loại hệ 1.1 Các phương pháp để giải hệ phương trình I Rút x theo y ngược lại từ phương trình II Phương pháp Thế số từ phương trình vào phương trình cịn lại Thế biểu thức từ phương trình vào phương trình cịn lại Sử dụng phép phương trình nhiều lần III Phương pháp hệ số bất định Cộng trừ phương trình cho Nhân số vào phương trình đem cộng trừ cho Nhân biểu thức biến vào phương trình cộng trừ cho IV Phương pháp đặt ẩn phụ V Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số VI Phương pháp lượng giác hóa VII Phương pháp nhân chia phương trình cho VIII Phương pháp đánh giá Biến đổi tổng đại lượng không âm Đánh giá ràng buộc trái ngược ẩn, biểu thức, phương trình Đánh giá dựa vào tam thức bậc Sử dụng bất đẳng thức thông dụng để đánh giá IX Phương pháp phức hóa X Kết hợp phương pháp ThuVienDeThi.com 1.2 Một số phương pháp loại hệ Một số loại hệ A Hệ phương trình bậc ẩn ax + by = c (a2 + b2 = 0) I Dạng a′ x + b′ y = c (a′2 + b′2 = 0) II Cách giải Thế Cộng đại số Dùng đồ thị Phương pháp định thức cấp B Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai ax2 + by + cxy + dx + ey + f = I Dạng a′ x + b′ y = c II Cách giải: Thế từ phương trình bậc vào phương trình bậc hai C Hệ phương trình đối xứng loại I I Dấu hiệu Đổi vai trò x y cho hệ cho không đổi II Cách giải: Thường ta đặt ẩn phụ tổng tích x + y = S, xy = P (S ≥ 4P ) D Hệ phương trình đối xứng loại II I Dấu hiệu Đổi vai trò x y cho phương trình biến thành phương trình II Cách giải: Thường ta trừ hai phương trình cho E Hệ đẳng cấp I Dấu hiệu Đẳng cấp bậc ax2 + bxy + cy = d a′ x2 + b′ xy + c′ y = d′ Đẳng cấp bậc ax3 + bx2 y + cxy + dy = e a′ x3 + b′ x2 y + c′ xy + d′ y = e′ II Cách giải: Thường ta đặt x = ty y = tx Ngồi cịn loại hệ tơi tạm gọi bán đẳng cấp, tức hồn tồn đưa dạng đẳng cấp Loại hệ khơng khó làm, nhìn nhận cần phải khéo léo xếp hạng tử phương trình lại Tơi lấy ví dụ đơn giản cho bạn đọc x3 − y = 8x + 2y Giải hệ : x2 − 3y = Với hệ ta việc nhân chéo vế với vế tạo thành đẳng cấp Và ta có quyền chọn lựa chia vế cho y đặt x = ty Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com Chương Tuyển tập hệ đặc sắc 2.1 Câu Câu đến câu 30 (x − y) (x2 + y ) = 13 (x + y) (x2 − y ) = 25 Giải Dễ dàng nhận thấy hệ đẳng cấp bậc 3, bình thường ta nhân chéo lên chia vế cho x3 y Nhưng xem cách giải tinh tế sau đây: Lấy (2) − (1) ta : 2xy(x − y) = 12 (3) Lấy (1) − (3) ta : (x − y)3 = ⇔ x = y + Vì có hướng ? Xin thưa dựa vào hình thức đối xứng hệ Ngon lành Thay vào phương trình đầu ta (y + 1)2 + y = 13 ⇔ y=2 y = −3 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 2), (−2; −3) Câu x3 − 8x = y + 2y x2 − = (y + 1) Giải Để ý sau : Phương trình gồm bậc ba bậc Phương trình gồm bậc bậc (hằng số) Rõ ràng hệ dạng nửa đẳng cấp Ta viết lại để đưa đẳng cấp Hệ cho tương đương : x3 − y = 8x + 2y x2 − 3y = Giờ ta nhân chéo hai vế để đưa dạng đẳng cấp ⇔ x3 − y = (8x + 2y) x2 − 3y ⇔ 2x (3y − x) (4y + x) = ThuVienDeThi.com Tuyển tập hệ đặc sắc TH1 : x = thay vào (2) vô nghiệm TH2 : x = 3y thay vào (2) ta có: 6y = ⇔ y = 1, x = y = −1, x = −3 TH3 : x = −4y thay vào (2) ta có:  y= , x = −4  13  13y = ⇔  y=− ,x = 13 Vậy hệ cho có nghiệm :(x; y) = (3; 1), (−3; −1), −4 Câu ; 13 13 13 13 , ;− 13 13 x2 + y − 3x + 4y = 3x2 − 2y − 9x − 8y = Giải Để ý nhân vào PT(1) trừ PT(2) y Vậy √ 3±  y=0⇔x= √ 3.P T (1) − P T (2) ⇔ y + 4y = ⇔  3± y = −4 ⇔ x = √ √ 3± 3± ;0 , ; −4 Vậy hệ cho có nghiệm : (x; y) = 2  Câu x2 + xy + y = 19(x − y)2 x2 − xy + y = (x − y) Giải Nhận xét vế trái có dạng bình phương thiếu, ta thử thêm bớt để đưa dạng bình phương xem Nên đưa (x − y)2 hay (x + y)2 Hiển nhiên nhìn sang vế phải ta chọn phương án đầu (x − y)2 + 3xy = 19(x − y)2 Hệ cho tương đương (x − y)2 + xy = (x − y) Đặt x − y = a xy = b ta có hệ Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 2.1 Câu đến câu 30 b = 6a ⇔ a2 + b = 7a   a = 0, b = ⇔  a = 1, b = x−y =0 xy = x−y =1 xy =  x = 0, y = ⇔  x = 3, y = x = −2, y = −3 Vậy hệ cho có nghiệm :(x; y) = (0; 0) , (3; 2) (−2; −3) Câu x3 + x3 y + y = 17 x + xy + y = Giải Hệ đối xứng loại I No problem!!! (x + y)3 − 3xy(x + y) + (xy)3 = 17 Hệ cho tương đương (x + y) + xy = Đặt x + y = a xy = b ta có hệ  x+y =2 3  a − 3ab + b = 17 a = 2, b = xy = ⇔ ⇔  x+y =3 a+b=5 a = 3, b = xy = ⇔ x = 2, y = x = 1, y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 2), (2; 1) Câu x(x + 2)(2x + y) = x2 + 4x + y = Giải Đây loại hệ đặt ẩn tổng tíc quen thuộc (x2 + 2x) (2x + y) = Hệ cho tương đương (x2 + 2x) + (2x + y) = Đặt x2 + 2x = a 2x + y = b ta có hệ ab = ⇔a=b=3⇔ a+b=6 x2 + 2x = ⇔ 2x + y = x = 1, y = x = −3, y = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 1), (−3; 9) Câu √ xy = x + y − √ √ x+1+ y+1=4 Giải Không làm ăn phương trình, trực giác ta bình phương để phá khó chịu thức Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 10 Tuyển tập hệ đặc sắc (2) ⇔ x + y + + √ Mà từ (1) ta có x + y = + xy nên (2) ⇔ + √ xy + + xy + √ xy + x + y + = 16 xy + = 16 ⇔ √ xy = ⇔x=y=3 x+y =6 xy = ⇔ Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 3) √ √ x + + √ √y − = x−2+ y+5=7 Câu Giải Đối xứng loại II Khơng cịn để nói Cho phương trình bình phương tung tóe để phá khó chịu thức Điều kiện : x, y ≥ Từ phương trình ta có √ x+5+ ⇔x+y+3+2 ⇔ Thay lại ta có y−2= √ x−2+ y−5 (x + 5)(y − 2) = x + y + + (x + 5)(y − 2) = √ x+5+ √ (x − 2)(y + 5) x − 2)(y + 5) ⇔ x = y x − = ⇔ x = 11 Vậy hệ cho có nghiệm : (x; y) = (11; 11) Câu √ √ + y2 + x 2xy = √ √ x+ y =4 Giải Hệ cho nửa đối xứng nửa đẳng cấp, để ý bậc PT(2) nhỏ PT(1) chút Chỉ cần phép biến đổi bình phương (2) vừa biến hệ trở thành đẳng cấp vừa phá bỏ bớt Điều kiện : x, y ≥ Hệ cho ⇔ √ 2(x2 + y ) + xy = 16 ⇔ √ x + y + xy = 16 (x2 + y ) = x + y ⇔ x = y √ Thay lại ta có : x = ⇔ x = Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 11 2.1 Câu đến câu 30 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (4; 4) Câu 10 6x2 − 3xy + x = − y x2 + y = n Giải Câu 11 M in h Tu ấ Một cách trực giác nhìn thấy hệ chứa tam thức bậc thử xem liệu có phân tích thành nhân tử hay khơng ? Ta thử cách tính ∆ theo ẩn có phương hay không Ngon lành PT(1) ∆x đẹp tiên Phương trình đầu tương √ đương (3x − 1)(2x − y + 1) = 2 Với x = ⇒ y = ± 3 x = 0, y = −3 Với y = 2x + ⇒ x2 + (2x + 1)2 = ⇔ x = − ,y = 5 √ 2 , (0, 1), − ; − ;± Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = 3 5 √ x √− 2y − √xy = x − + 4y − = Giải Ng uy ễn Phương trình đầu dạng đẳng cấp Điều kiện x ≥ 1, y ≥ √ √ √ √ x+ y x − y = ⇔ x = 4y Từ phương trình đầu ta có : Thay vào (2) ta có √ √ x−1+ x−1=2⇔x=2 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = 2; Câu 12 xy√+ x + y√= x2 − 2y x 2y − y x − = 2x − 2y Giải Điều kiện : x ≥ 1, y ≥ Phương trình đầu tương đương (x + y) (2y − x + 1) = ⇔ x = −y x = 2y + Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 12 Tuyển tập hệ đặc sắc Với x = −y loại theo điều kiện x, y phải dấu Với x = 2y + phương trình tương đương (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ 2y(y + 1) = 2y + ⇔ y = ⇒ x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (5; 2) n √ x+1+ y+2=6 x + y = 17 Giải Điều kiện x, y ≥ −1 √ Tu ấ Câu 13 √ √ x+1+ y+2=6 Hệ cho tương đương (x + 1) + (y + 2) = 20 √ √ Đặt x + = a ≥ 0, y + = b ≥ Hệ cho tương đương a+b=6 ⇔ a2 + b2 = 20 x = 15, y = x = 3, y = 14 M in h a = 4, b = ⇔ a = 2, b = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (15; 2), (3; 14) y = (5x + 4)(4 − x) y − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = Giải uy ễn Câu 14 Phương trình tương đương y + (5x + 4)(4 − x) − 4xy − 8y = ⇔ 2y − 4xy − 8y = ⇔ Với y = suy : (5x + 4) (4 − x) = ⇔ y=0 y = 2x + x=4 Ng Với y = 2x + suy (2x + 4)2 = (5x + 4)(4 − x) ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (4; 0), − ; , (0; 4) Câu 15 x=− x2 − 2xy + x + y = x4 − 4x2 y + 3x2 + y = Giải Hệ cho tương đương Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 13 2.1 Câu đến câu 30 x2 + y = x(2y − 1) ⇒ x2 (2y − 1)2 + 3x2 (2y − 1) = ⇔ x2 (2y − 1)(2y − 4) = (x2 + y) + 3x2 (1 − 2y) = x = 0, y =  ⇔  y = (L) y = 2, x = ∪ Câu 16 x + y + xy(2x + y) = 5xy x + y + xy(3x − y) = 4xy Giải M in Với xy = ⇒ x + y = ⇔ x = y = Với x = 2y − xy = x = 2y − h P T (1) − P T (2) ⇔ xy(2y − x) = xy ⇔ Tu ấ Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) n  y = 1, x = √ √1   y = − 41 , x = − + 41 ⇒ (2y − 1) + y + (2y − 1)y(5y − 2) = 5(2y − 1)y ⇔  20 √ √ 10  41 − + 41 y= ,x = 20 10 √ √ √ √ 41 − + 41 + 41 − 41 ; ; , Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 1), − 10 20 10 20 uy ễn  x2 − xy + y = 2x3 − 9y = (x − y)(2xy + 3) Ng Câu 17 Giải Nếu xét phương trình khơng làm ăn Nhưng để ý người bị ràng buộc với số bí ẩn Phép ? Đúng vậy, thay xuống ta phương trình đẳng cấp kết đẹp mong đợi Thế từ xuống ta có 2x3 − 9y = (x − y) x2 + xy + y ⇔ x3 = 8y ⇔ x = 2y (1) ⇔ 3y = ⇔ y = ±1, x = ±2 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1), (−2; −1) Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 14 Tuyển tập hệ đặc sắc √ √ √x + y√+ x − y = + x+ y =1 Câu 18 x2 − y Giải Điều kiện :x ≥ y ≥ Phương trình đầu tương đương x−y √ x+y−1 ⇔ √ x+y =1 √ ⇔ x−y =1  √ √ y = 0, x = 1−y+ y =1  √ √ ⇔ y = 1, x = 0(L) Từ ⇒ y+1+ y =1 y = 0, x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; 0) 2x − y = + x3 − y = x(y + 1) h Câu 19 √ x = √1 − y x= 1+y n x+y−1= √ Tu ấ √ M in Giải uy ễn Điều kiện : x(y + 1) ≥ Từ (2) dễ y ≥ −1 √ √ thấy√x > ⇒ √ x− y+1 x+ y+1 =0⇔x=y+1 (1) ⇔ ⇒ (y + 1)3 − y = ⇔ y = 1, x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (2; 1) Ng Từ câu 20 trở xin giới thiệu cho bạn phương pháp mạnh để giải gọn đẹp nhiều hệ phương trình hữu tỉ Đó gọi hệ số bất định (trong tơi gọi tên khác : UCT) Sẽ khoảng chục ví dụ để diễn tả trọn vẹn phương pháp Trước hết điểm qua mẹo phân tích nhân tử đa thức hai biến nhanh máy tính Casio Bài viết tác giả nthoangcute Ví dụ : A = x2 + xy − 2y + 3x + 36y − 130 Thực tam thức bậc tính ∆ phân tích Nhưng thử phân tích Casio xem Nhìn thấy bậc x y nên ta chọn Cho y = 1000 ta A = x2 + 1003x − 1964130 = (x + 1990) (x − 987) Cho 1990 = 2y – 10 987 = y – 13 A = (x + 2y − 10) (x − y + 13) Ví dụ : B = 6x2 y − 13xy + 2y − 18x2 + 10xy − 3y + 87x − 14y + 15 Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 15 2.1 Câu đến câu 30 Tu ấ Ví dụ : C = x3 − 3xy − 2y − 7x2 + 10xy + 17y + 8x − 40y + 16 Bậc x y Cho y = 1000 ta C = x3 − 7x2 − 2989992x − 1983039984 Phân tích C= (x − 1999) (x + 996)2 Cho 1999 = 2y − 996 = y − C = (x − 2y + 1) (x + y − 4)2 n Nhìn thấy bậc x nhỏ hơn, cho y = 1000 B = 5982x2 − 12989913x + 1996986015 = 2991 (2x − 333) (x − 2005) y−1 , 2005 = 2y + Cho 2991 = 3y – ,333 = y−1 (x − 2y − 5) = (y − 3) (6x − y + 1) (x − 2y − 5) B = (3y − 9) 2x − M in h Ví dụ : D = 2x2 y + x3 + 2y + 4x2 + xy + 6y + 3x + 4y + 12 Bậc x y Cho y = 1000 ta D = (x + 2000004) (x2 + 1003) Cho 2000004 = 2y + 1003 = y + D = (x + 2y + 4) (x2 + y + 3) uy ễn Ví dụ : E = x3 y + 2x2 y + 6x3 + 11x2 y − xy − 6x2 − 7xy − y − 6x − 5y + Bậc y nhỏ Cho x = 1000 ta E = 1998999y + 1010992995y + 5993994006 2997 (667y + 333333) (y + 6) Ảo hóa E=999 (2001y + 999999) (y + 6) Cho 999 = x − 1, 2001 = 2y + 1, 999999 = x2 − E = (x − 1) (y + 6) (x2 + 2xy + y − 1) = Ng Ví dụ : F = 6x4 y + 12x3 y + 5x3 y − 5x2 y + 6xy + x3 + 7x2 y + 4xy − 3y − 2x2 − 8xy + 3y − 2x + 3y − Bậc y nhỏ Cho x = 1000 ta F = 5997y + 11995004003y + 6005006992003y + 997997997 Phân tích F= (1999y + 1001001) (3y + 5999000y + 997) Cho 1999 = 2x − 1, 1001001 = x2 + x + 1, 5999000 = 6x2 − x, 997 = x − F = (x2 + 2xy + x − y + 1) (6x2 y − xy + 3y + x − 3) Làm quen ? Bắt đầu    x2 + y = Câu 20 57   4x2 + 3x − = −y(3x + 1) 25 Giải Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 16 Tuyển tập hệ đặc sắc Lời giải gọn đẹp 25.P T (1) + 50.P T (2) ⇔ (15x + 5y − 7)(15x + 5y + 17) = 14x2 − 21y − 6x + 45y − 14 = 35x2 + 28y + 41x − 122y + 56 = Câu 21 Giải Lời giải gọn đẹp , 11 ; 25 25 n ; 5 Tu ấ Đến dễ dàng tìm nghiệm hệ : (x; y) = 49.P T (1) − 15.P T (2) ⇔ (161x − 483y + 218)(x + 3y − 7) = h Và đến dễ dàng tìm nghiệm (x; y) = (−2; 3), (1; 2) a1 x2 + b1 y + c1 xy + d1 x + e1 y + f1 = a2 x2 + b2 y + c2 xy + d2 x + e2 y + f2 = uy ễn Tổng Quát: M in Qua ví dụ ta đặt câu hỏi : Vì lại ? Cái nhóm thành nhân tử tơi khơng nói hẳn bạn đọc Vì lại nghĩ số nhân vào phương trình, tình cờ may mắn phương pháp Xin thưa ví dụ UCT UCT cơng cụ mạnh qt gần toàn hệ dạng hai tam thức Cách tìm số Tơi xin trình bày sau Bài viết tác giả nthoangcute Giải Ng Hiển nhiên nhận xét hệ gồm hai tam thức bậc hai Mà nhắc đến tam thức khơng thể khơng nhắc tới đối tượng ∆ Một tam thức phân tích nhân tử hay xem ∆x ∆y có phương hay khơng Nếu hệ loại mà từ phương trình ∆ kì diệu chẳng nói làm gì, hai phương trình ∆ kì cục ta làm Khi UCT lên tiếng Ta chọn số thích hợp nhân vào (hoặc hai phương trình) để ép cho ∆ phương Như phải tìm số k cho P T (1) + k.P T (2) phân tích thành nhân tử Đặt a = a1 + ka2 , b = b1 + kb2 , c = c1 + kc2 , d = d1 + kd2 , e = e1 + ke2 , f = f1 + kf2 Số k nghiệm phương trình sau với a = cde + 4abf = ae2 + bd2 + f c2 Dạ có hẳn cơng thức để giải hệ phương trình loại Tác giả xuất sắc !!! Thử kiểm chứng lại ví dụ 21 a = 14 + 35k, b = −21 + 28k, c = 0, d = −6 + 41k, e = 45 − 122k, f = −14 + 56k Số k nghiệm phương trình 4(14+35k)(−21+28k)(−14+56k) = (14+35k)(45−122k)2 +(−21+28k)(−6+41k)2 ⇔ k = − Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 15 49 17 2.1 Câu đến câu 30 15 P T (2) hay 49.P T (1) − 15.P T (2) 49 Một chút lưu ý hệ đầy đủ số Nếu khuyết thiếu phần cho số Ok!! Xong dạng Hãy làm tập vận dụng Đây hệ tổng hợp từ nhiều nguồn 10 uy ễn 11 Tu ấ h x2 + 8y − 6xy + x − 3y − 624 = 21x2 − 24y − 30xy − 83x + 49y + 585 = x2 + y − 3x + 4y = 3x2 − 2y − 9x − 8y = y = (4x + 4)(4 − x) y − 5x2 − 4xy + 16x − 8y + 16 = xy − 3x − 2y = 16 x2 + y − 2x − 4y = 33 x2 + xy + y = x2 + 2xy − 7x − 5y + = (2x + 1)2 + y + y = 2x + xy + x = −1 x2 + 2y = 2y − 2xy + 3x2 + 2xy − y = 2x − y + (x − 1)2 + 6(x − 1)y + 4y = 20 x2 + (2y + 1)2 = 2x2 + 4xy + 2y + 3x + 3y − = x2 + y + 4xy + 2y = 2x2 + 3xy = 3y − 13 3y + 2xy = 2x + 11 4x2 + 3y(x − 1) = 3y + 4x(y − 1) = x2 + = x(y − 1) y − = y(x − 1) x2 + 2xy + 2y + 3x = xy + y + 3y + = M in n Như P T (1) − 12 Ng 13 Câu 22 x3 − y = 35 2x2 + 3y = 4x − 9y Giải Lời giải ngắn gọn cho tốn P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + Thay vào (2) ta dễ dàng tìm nghiệm (x; y) = (2; −3), (3; −2) Câu hỏi đặt sử dụng UCT ? Tất nhiên dạng Trước hết đánh giá hệ Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 18 Tuyển tập hệ đặc sắc Giải hệ: x3 + y = 91 4x2 + 3y = 16x + 9y x3 + y = (x − y)(xy − 1) x3 − x2 + y + = xy(x − y + 1) M in Câu 23 h Gợi ý : P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 4)3 = (y + 3)3 Tu ấ n - Bậc x y - Các biến x,y độc lập với - Phương trình có bậc cao PT(2) Những nhận xét đưa ta đến ý tưởng nhân số vào PT(2) để P T (1) + a.P T (2) đưa dạng đẳng thức A3 = B P T (1) + a.P T (2) ⇔ x3 + 2ax2 − 4ax − y + 3ay + 9ay − 35 = Cần tìm a cho vếtrái có dạng (x + α)3 − (y + β)3 = 3  α − β = −35  a = −3 α = −2 3α = 2a Cân ta : ⇔   3α2 = −4a β=3 3 Vậy P T (1) − 3.P T (2) ⇔ (x − 2) = (y + 3) OK ?? Thử ví dụ tương tự Giải uy ễn Hãy tơi phân tích tốn Tiếp tục sử dụng UCT Đánh giá hệ : -Bậc x cao bậc y -Các biến x,y không độc lập với -Hai phương trình có bậc cao x y Vì bậc x cao bậc y bậc y phương trình nên ta nhân tung viết lại phương trình theo ẩn y Cụ thể sau : y (x + 1) − y (x2 + 1) + x3 + x = y x − y (x2 + x − 1) + x3 − x2 + = Ng Bây ta mong ước thay x số vào hệ thu phương trình tương đương Tức hệ số phương trình tỉ lệ với Vậy : x2 + x3 + x x+1 = = ⇒x=1 x x +x−1 x − x2 + Rất may mắn ta tìm x = Thay x = lại hệ ta có (y − y + 1) = ⇒ 2.P T (2) − P T (1) có nhân tử x − y2 − y + = Cụ thể (x − 1) (y − (x + 3) y + x2 − x − 2) = TH1 :x = thay vào vô nghiệm TH2: Kết hợp thêm với PT(1) ta hệ : y − (x + 3) y + x2 − x − = (3) x3 + y − x2 y + x + xy − y = Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com 19 2.1 Câu đến câu 30 Nhận xét hệ có đặc điểm giống với hệ ban đầu bậc y Vậy ta lại viết lại hệ theo ẩn y hi vọng lại với x Thật vậy, x = − Tiếp tục thay vào hệ ta rút : Tu ấ y − (x − 1) y + x2 − x + = y − (x + 3) + x2 − x − = n 2P T (2) − P T (1) ⇔ (2x + 1) y − (x − 1) y + x2 − x + √ 5±3 TH1 : x = − ⇒ y = TH2 : Kết hợp với (3) ta (x + y) (25 − xy) = 4x2 + 17y + 105 x2 + y + 2x − 2y = M in Câu 24 h Với hệ ta việc trừ cho y = −1 ⇒ x2 + = (Vô nghiệm) √ √ 5−3 5+3 , − ; Vậy hệ cho có nghiệm :(x; y) = − ; 4 Giải uy ễn Hình thức hệ giống với câu 23 Một chút đánh giá hệ - Các biến x y không độc lập với - Bậc cao x phương trình , y Với đặc điểm ta thử viết hệ thành phương trình theo ẩn x y xem liệu hệ có với x y khơng Cách làm câu 23 Viết theo x ta khơng tìm y, viết theo y ta tìm x = khiến hệ ln Thay x = vào hệ ta 21y − 42y + 21 = ⇒ P T (1) − 21P T (2) ⇔ (x − 2) 2y + 2xy + 4y − 17x − 126 = y − 2y + = Ng TH1 : x = ⇒ y = 2y + 2xy + 4y − 17x − 126 = TH2 : x2 + y + 2x − 2y − = Hệ có cách giải ?? 3.P T (2) − P T (1) ⇔ (x − y + 5)2 + 2x2 + x + 80 = (Vô nghiệm) Vậy hệ cho có nghiệm : (x; y) = (2; 1) Tiếp theo đến với câu VMO 2004 Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com www.VNMATH.com 20 Câu 25 Tuyển tập hệ đặc sắc x3 + 3xy = −49 x2 − 8xy + y = 8y − 17x Giải Lời giải ngắn gọn : n P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (x + 1) (x + 1)2 + 3(y − 4)2 = Tu ấ Đến dễ dàng tìm nghiệm (x; y) = (−1; 4), (−1; −4) Câu hỏi đặt tìm số ? Có nhiều cách giải thích tơi xin trình bày cách giải thích tơi :tuzki: Làm tương tự theo hai câu 23 24 xem Viết lại hệ cho thành h 3xy + x3 + 49 = y + 8(x + 1)y + x2 − 17x = M in Một cách trực giác ta thử với x = −1 Vì ? Vì với x = −1 phương trình khơng cịn phần y phương trình tương đương Khi thay x = −1 hệ cho trở thành −3y + 48 = y − 16 = uy ễn Hai phương trình tương đương Trời thương !! Vậy x = −1 nghiệm hệ từ hệ thứ hai ta suy phải làm P T (1) + 3.P T (2) Việc cịn lại phân tích nốt thành nhân tử Tiếp theo đến với chùm hệ dị ý tưởng Tôi khơng trình bày chi tiết mà gợi ý kết y + 3xy = −28 x2 − 6xy + y = 6x − 10y Ng Câu 26 Gợi ý : P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (y + 1) (3(x − 3)2 + (y + 1)2 ) = Nghiệm hệ : (x; y) = (3; −1), (−3; −1) Câu 27 6x2 y + 2y + 35 = 5x2 + 5y + 2xy + 5x + 13y = Gợi ý : P T (1) + 3.P T (2) ⇔ (2y + 5) x + 2 + y+ 2 =0 Nguyễn Minh Tuấn - K62CLC Toán Tin - ĐHSPHN My facebook : Popeye Nguyễn ThuVienDeThi.com ... số phương pháp loại hệ 1.1 Các phương pháp để giải hệ phương trình I Rút x theo y ngược lại từ phương trình II Phương pháp Thế số từ phương trình vào phương trình cịn lại Thế biểu thức từ phương. .. B Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình bậc hai ax2 + by + cxy + dx + ey + f = I Dạng a′ x + b′ y = c II Cách giải: Thế từ phương trình bậc vào phương trình bậc hai C Hệ phương trình. .. trình vào phương trình cịn lại Sử dụng phép phương trình nhiều lần III Phương pháp hệ số bất định Cộng trừ phương trình cho Nhân số vào phương trình đem cộng trừ cho Nhân biểu thức biến vào phương