Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
668,11 KB
Nội dung
Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong x4 - 4x2 + y2 - 6y + = (1) Bài Tốn Gi i h phương trình sau: x2y + x2 + 2y - 22 = (2) (I) (Chuyên Vĩnh Phúc) ⇒ HD gi i: T (1) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + = ⇔ (x4 - 4x2 + 4) + (y2 - 6y + 9) = ⇔ (x2 - 2)2 + (y - 3)2 = T (2) ⇔ (x2 + 2)y + x2 - 22 = ⇔ (x2 - + 4)(y - + 3) + (x2 - 2) - 20 = 2 u + v = (3) u = x - ■ Đ t v = y - h (I) thành (u + 4)(v + 3) + u - 20 = (4) (II) T (4) ⇔ uv + 4v + 3u + u + 12 - 20 = ⇔ uv + 4v + 4u - = ⇔ uv + 4(u + v) - = S - 2P = (5) S = u + v ■ Đ t P = uv h (II) thành P + 4S - = (6) S = 2⇒ P = T (6) ⇔ P = - 4S thay vào (5) ta ñư c: S2 - 2(8 - 4S) = ⇔ S2 + 8S - 20 = ⇔ S = -10 ⇒ P = 48 X=0 ►Khi u, v hai nghi m c a phương trình X2 - 2X = hay X2 + 10X + 48 = ⇔ X = 2 u = u = x - = x - = V y h (II) có nghi m v = hay v = ⇔ y - = hay y - = x = ± x = ± hay ⇔ y = y = V y nghi m (x;y) c a h (I) (2;3) (-2;3), ( 2;5), (- 2;5) ⇒ HD gi i: (Cách khác) ☺Ý tư ng: HPT có b c cao có th gi m b c b ng cách đ t t = x2 V y cách t nhiên nh t ta đưa v PT b c Đ đ m b o ∆ phương ta s dùng h s b t ñ nh sau: ⇒ HD gi i: Ta có (1) + k.(2) ⇔ x4 - 4x2 + y2 - 6y + + k(x2y + x2 + 2y - 22) = ⇔ x4 + (k + ky - 4)x2 + y2 - 6y + + 22ky - 22k = Xem ñây PT b c hai theo n x2, ta có ∆ = (k2 - 4)y2 + (2k2 - 16k + 24)y + k2 + 80k - 20 Đ ∆ m t bình phương trư c h t h s c a y2 ph i s phương, nghĩa ta ph i gi i PT nghi m nguyên k2 - = α2 ( v i α ∈ Z) 2k2 - 16k + 24 = Khi α = ⇒ k = ⇒ k + 80k - 20 = 144 Và v y ta ch n k = L y (1) + 2.(2) ta có: x4 + (2 + 2y - 4)x2 + y2 - 6y + + 4y - 44 = Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao đ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m ⇔ x4 + 2(y - 1)x2 + y2 - 2y - 35 = Xét ∆' = (y - 1)2 - (y2 - 2y - 35) = 36 ≥ x2 = - y - Khi x2 = - y ■ V i y = - x2 - thay vào (2) ta ñư c: x2(- x2 - 5) + x2 + 2(- x2 - 5) - 22 = ⇔ - x4 - 6x2 - 32 = (PT vô nghi m) ■ V i y = - x2 thay vào (2) ta ñư c: x2(7 - x2) + x2 + 2(7 - x2) - 22 = x2 = ⇔ - x4 + 6x2 - = ⇔ x2 = (Vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c !) Như v y nghi m (x;y) c a h (I) (2;3), (-2;3); (- 2;5), ( 2; 5) x(x + y) + y2 = 4x - (1) Bài Toán Gi i h phương trình sau: x(x + y)2 - 2y2 = 7x + (2) (I) ⇒ HD gi i: T (1) ⇔ x(x + y) + y2 + 1= 4x (Nh n xét x = không nghi m c a pt (1) nên ta chia v PT cho x) y2 + = ⇔ (x + y) + x T (2) ⇔ x(x + y)2 - 2y2 = 7x + ⇔ x(x + y)2 - 2y2 - = 7x ⇔ x(x + y)2 -2(y2 + 1) = 7x (Nh n xét x = không nghi m c a PT (2)) y2 + ⇔ (x + y)2 - = x u = x2+ y u + v = (3) ■ Đ t v = y + h (I) thành u2 - 2v = (4) (II) x T (3) ⇔ v = - u thay vào (4) ta ñư c: u = ⇒ v = u2 - 2(4 - u) = ⇔ u2 + 2u - 15 = ⇔ u = -5 ⇒ v = x2+ y = x = x = u = x = - y x = - y ►V i v = ⇔ y + = ⇔ y2 + = - y ⇔ y2 + y - = ⇔ hay y = -2 y = x x2+ y = -5 u = -5 ►V i v = ⇔ y + = (h vô nghi m) x V y nghi m (x;y) c a h (I) (2;1), (5;-2) 2 x2 + 3y - y2 + 8x - = (1) Bài Toán Gi i h phương trình sau: (I) x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x2 + 3y ≥ 0, y2 + 8x ≥ T (2) ⇔ x(x + 8) + y(y + 3) - 13 = ⇔ (x2 + 3y) + (y2 + 8x) = 13 (1;1) (-5;-7) u = x2 + 3y 2u - v = (3) ■ (u,v ≥ 0) h (I) thành u2 + v2 = 13 (4) v = y + 8x T (3) ⇔ v = 2u - thay vào (4), ta ñư c u = (nh n) (4) ⇔ u2 + (2u - 1)2 = 13 ⇔ 5u2 - 4u - 12 = ⇔ u = -6 (lo i) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m y = -3x y = - x + 3y = ⇔ ⇔ 4 - x + 8x = + 72x - 65 = 8x x + 8x = y = -3x x = 1⇒ y = ⇔ ⇔ x = -5 ⇒ y = -7 x = + x - 7x + 65) = x = -5 2 ►V i u = ⇒ v = v y x y 2 2 y = - x ⇔ (x - 1)(x3 V y nghi m (x;y) c a h (I) (1;1), (-5;-7) x - + y + = (1) (I) Bài Toán Gi i h phương trình sau: x + (y + 1) = x (y + 2) + xy + (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ 1, y ≥ -1 T (2) ⇔ x4 + (y + 1)2 = x3(y + 2) + xy + ⇔ x4 + y2 + 2y + = x3y + 2x3 + xy + ⇔ y2 + (2 - x - x3)y + x4 - 2x3 = Xét ∆ = (2 - x - x3)2 - 4(x4 - 2x3) = (4 + x2 + x6 - 4x - 4x3 + 2x4) - 4x4 + 8x3 = (4 + x2 + x6 - 4x + 4x3 - 2x4) = (x3 - x + 2)2 ≥ y=x-2 V y PT (2) ⇔ y = x3 ►V i y = x - thay vào (1), ta ñư c: (1) ⇔ x - + x - = ⇔ x - = ⇔ x = 5⇒ y = ►V i y = x3 thay vào (1), ta ñư c: (1) ⇔ x - + x3 + = ⇔ x - - + x3 + - = x3 - x-2 + =0 ⇔ x-1+1 x +1+3 x2 + 2x + + =0 x-1+1 x + + 3 ⇔ (x - 2) ⇔ x = hay x2 + 2x + + = (vơ nghi m) x-1+1 x +1+3 Do x = ⇒ y = V y nghi m (x;y) c a h (I) (2;8), (5;3) 8(x + 1)3 = 8y3 - 12y2 + 2y - + 12x2 + 10x + (1) y Bài Toán Gi i h phương trình sau: (I) 2y - 4(x + 2) + - 6x + = (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n y ≥ , 2y - 4(x2 + 2) ≥ T (1) ⇔ 8(x + 1)3 - 12x2 - 10x - = 8y3 - 12y2 + 2y - ⇔ 8x3 + 12x2 + 14x + = 4y2(2y - 3) + 2y - 3 ■ Xét VP = 2|y| 2y - + 2y - (do y ≥ ) = (2y + 1) 2y - = (2y - + 4) 2y - = (2y - 3) 2y - + 2y - ■ Xét (2x + b)3 + 4(2x + b) = 8x3 + 12x2 + 14x + ⇔ 8x3 + 12bx2 + (6b + 8)x + 4b + b3 = 8x3 + 12x2 + 14x + 12b = 12 ⇔ 6b + = 14 ⇔ b = b3 + 4b = Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m V y t (1) ⇔ (2x + 1)3 + 4(2x + 1) = ( 2y - 3)3 + 2y - ⇔ f (2x + 1) = f ( 2y - 3) (3) ■ Xét hàm ñ c trưng: f (t) = t3 + 4t (t ∈ R) có f '(t) = 3t2 + > ∀t ∈ R x ≥ -1 ≥0 ⇔ 4x + 4x + = 2y - 2y = 4x2 + 4x + -1 Thay vào (2) ta ñư c: 4x2 + 4x + - 4(x2 + 2) + x2 + x + - 6x + = (v i x ≥ ) 2x + Do (3) tương đương 2x + = 2y - ⇔ ⇔ 4x - + x2 - 5x + = ⇔ x - + (x - 1)(x - 4) = (x ≥ 1) ⇔ x - + (x - 1)(x - - 3) = ⇔ x - + (x - 1)2 - 3(x - 1) = (4) t = (nh n) ► Đ t t = x - ≥ (4) ⇔ 2t + t4 - 3t = ⇔ t(t3 - 3t + 2) = ⇔ t = (nh n) t = -2 (lo i) V it=0⇔ x-1=0⇔x=1⇒y=6 V i t = ⇔ x - = ⇔ x = ⇒ y = 14 V y nghi m (x;y) c a h (I) (2;14), (1;6) (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = (1) (TTL1 - 2014 - Amsterdam) Bài Tốn Gi i h phương trình sau: 12y2 - 10y + = x3 + (2) ⇒ HD gi i: ■ Ta có y2 + > y2 = ± y ⇒ y2 + + y > Xét (y + y2 + 1)( y2 + - y) = ⇔ y2 + - 1= y + y2 + T (1) ⇔ (x + x2 + 4)(y + y2 + 1) = ⇔ x + x2 + = y + y2 + ⇔ x + x2 + = 2( y2 + - y) ⇔ x + x2 + = (-2y)2 + + (-2y) ⇔ f (x) = f(-2y) (3) ■ Xét hàm ñ c trưng: f (t) = t + t2 + (t ∈ R) có f '(t) = + t t2 + + t |t| + t = > ≥ ∀t t2 + t2 + t +4 Do (3) tương đương v i x = - 2y ► Thay 2y = -x vào (2) ta ñư c: 3x2 + 5x + = x3 + ⇔ x3 + + (3x2 + 5x + 2) = x3 + + x3 + Xét VT = x3 + 3x2 + 5x + = (x + b)3 + 2(x + b) ⇔ x3 + 3x2 + 5x + = x3 + 3bx2 + (3b2 + 2)x + b3 + 2b 3 = 3b2 ⇔ 5 = 3b + ⇔ b = 3 = b3 + 2b 3 V y (2) ⇔ (x + 1)3 + 2(x + 1) = x3 + + x3 + ⇔ g(x + 1) = g( x3 + 1) (4) ■ Xét hàm ñ c trưng: g(u) = u3 + 2u (u ∈ R) có g '(u) = 3u2 + > ∀u ∈ R 3 Do (4) tương đương v i x + = x3 + Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao đ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m ⇔ x3 + 3x2 + 3x + = x3 + ⇔ 3x2 + 3x = x = ⇒ y = ⇔ x = -1 y = ⇒ V y nghi m (x;y) c a h (I) (0;0), (-1; ) x4 - x3y + x2y2 = (1) Bài Toán Gi i h phương trình sau: x3y - x2 + xy = - (2) (I) ⇒ HD gi i: C ng v theo v hai phương trình (1) (2) ta ñư c: x4 + x2y2 - x2 + xy = (khơng ti p đư c → "k t") Tr v theo v hai PT (1) (2), ta ñư c: x4 - 2x3y + x2y2 + x2 - xy - = ⇔ (x4 - 2x3y + x2y2) + (x2 - xy) - = ⇔ x2(x2 - 2xy + y2) + x(x - y) - = ⇔ x2(x - y)2 + x(x - y) - = ( ñ t t = x(x - y)) x2 - xy = t=1 Thì PT thành t2 + t - = ⇔ t = -2 ⇔ x2 - xy = -2 ■ TH1: v i x2 - xy = ⇔ xy = x2 - Thay vào pt (2) ta ñư c: (2) ⇔ x3y - x2 + xy = - ⇔ x2(xy) - x2 + xy + = ⇔ x2(x2 - 1) - x2 + x2 - + = x2 = ⇔ x2 = V i x = ⇒ vô nghi m V i x = ⇒ y = 0, x = -1 ⇒ y = ■ TH2: v i x2 - xy = -2 ⇔ xy = x2 + Thay vào pt (2) ta ñư c: (2) ⇔ x2(xy) - x2 + xy + = ⇔ x2(x2 + 2) - x2 + x2 + + = ⇔ x4 + 2x2 + = (vô nghi m) x = K t lu n, t hai trư ng h p h phương trình có hai nghi m y = hay (x;y) = (0;-1) ⇒ HD gi i: ( Gi i b ng cách th rút th ) Ta có phương trình (2)⇒ (x3 + x)y = x2 - x2 - Nh n xét x = khơng nghi m c a phương trình (2) nên ta có y = x(x2 + 1) x2 - x2 - + x2 Thay vào (1) ta ñư c: x - - x =0 x(x + 1) x(x + 1) x2 - x2 + (x2 - 1) ⇔ (x - 1)(x + 1) - (x - 1) =0 x +1 x + 1 2 2 x2 - 2 x2 ⇔ (x - 1) (x + 1) - + =0 x + x2 + 1 ⇔ x2 = hay (x2 + 1) - x2 - x2 =0 + x + (x + 1)2 x = ⇒ y = ■ TH1: x2 = ⇒ x = - ⇒ y = ■ TH2: (x2 + 1)3 - x2(x2 + 1) + (x2 - 1) = (Đ t t = x2 > 0) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m ⇔ (t + 1)3 - t2 - t + t - = ⇔ (t + 1)3 - t2 - = ⇔ t3 + 3t2 + 3t + - t2 - = ⇔ t3 + 2t2 + 3t = ( lo i t > 0) V y nghi m (x;y) c a h (I) (0;1), (0; -1) x + + y - = (1) Bài Toán Gi i h phương trình sau: (I) x + + y + = (2) ⇒ HD gi i: ( Gi i b sung!!!! ^^^) Đi u ki n x ≥ -1, y ≥ -1 C ng tr hai PT (1) (2) v theo v ta ñư c: (I) ⇔ u = x + + x + x + + x + + y + + y - = 10 (II) Đ t ⇔ x+6- x+1+ y+4- y-1=2 v = y + + y - u y+4- y-1= v x+6- x+1= u + v = 10 Do ñó (II) thành: 5 + = (Đây h Đ i x ng lo i - vi c gi i h xin dành cho b n ñ c !) u v x + + x + = u = ⇔ v = ⇔ (Vi c gi i PT xin dành cho b n ñ c!) y + + y - = x = ⇔ y = (Nh n) V y nghi m (x;y) c a h (I) (3;5) x4 + 2x3y + x2y2 = 2x + (1) Bài Tốn Gi i h phương trình sau: x2 + 2xy = 6x + (2) (I) (ĐH Kh i B - 2008) ⇒ HD gi i: ( Gi i b ng cách rút th ) Nh n xét, không h n m t h PT ta s rút x theo y (ho c y theo x) mà có th rút "m t c m" - m t nhóm c a PT cho có m i liên h v i PT x2 T PT (2) ⇔ xy = 3x + - thay vào (1) ta ñư c: x2 x2 ) + 3x + - = 2x + ( khai tri n thu g n PT ta ñư c) 2 (1) ⇔ x4 + 2x2(3x + - x=0 ⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = ⇔ x = -4 V i x = (2) vơ nghi m 17 17 V i x = -4 (2) ⇒ y = V y h PT có m t nghi m (x;y) = (0; ) 4 ⇒ HD gi i: ( Gi i b ng cách rút th ) Nh n xét x = không nghi m c a (2) nên t (2) ⇔ y = 6x + - x2 (v i x ≠ 0) 2x 6x + - x2 6x + - x2 + x2 = 2x + ( khai tri n thu g n PT ta ñư c) 2x 2x Thay vào (1) ta ñư c: x4 + 2x3 x=0 ⇔ x(x3 + 12x2 + 48x + 64) = ⇔ x = -4 (tương t cách làm trên) 2 x + + y + yx = 4y (1) Bài Tốn 10 Gi i h phương trình sau: x+ y - = y (2) (I) x2 + Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m ⇒ HD gi i: T (1) ⇔ x2 + = - y2 - yx + 4y = y(4 - x - y) thay vào (2), ta ñư c y ( nh n y = không nghi m c a PT (2)) (2)⇔ x + y - = y(4 - x - y) (3) Đ t t = x + y (3) ⇔ 6t - t2 - = ⇔ t = = x + y ⇔ (x + y) - = - (x + y) (Vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c !) V y nghi m (x;y) c a h (1; 2), (-2 ; 5) x - 4y2 - 8x + 4y + 15 = (1) Bài Toán 11 Gi i h phương trình sau: x2 + 2y2 - 2xy = (2) (I) ⇒ HD gi i: ( Gi i b ng cách xét delta ) (1) ⇔ x2 - 8x - 4y2 + 4y + 15 = (xem x n, y tham s ) Xét ∆' = 16 - (- 4y2 + 4y + 15) = 4y2 - 4y2 + = (2y - 1)2 ≥ x = - 2y -b' ± ∆' V yx= ⇔ x = + 2y a ■ TH1: v i x = - 2y thay vào (2), ta ñư c: (2) ⇔ (5 - 2y)2 + 2y2 - 2y(5 - 2y) = ⇔ 10y2 - 30y + 20 = y = ⇒ x = ⇔ y = ⇒ x = ■ TH2: v i x = + 2y thay vào (2), ta ñư c: (2) ⇔ (3 + 2y)2 + 2y2 - 2y(3 + 2y) = ⇔ 2y2 + 6y + = y = -1 ⇒ x = ⇔ y = -2 ⇒ x = -1 K t lu n: h phương trình (I) có nghi m (1;-1), (-1;-2), (3;1), (1;2) + y2 - 3xy + 3x - 2y + = (1) (I) (ĐH kh i B - 2013) 2 4x - y + x + = 2x + y + x + 4y (2) 2x2 Bài Toán 12 Gi i h phương trình sau: ⇒ HD gi i: ( Gi i b ng cách xét delta ) Đi u ki n: 2x + y ≥ 0, x + 4y ≥ (1) ⇔ 2x2 + 3(1 - y)x + y2 - 2y + = Xét ∆ = 9(1 - y)2 - 4.2.(y2 - 2y + 1) = y2 - 2y + = (y - 1)2 ≥ x = y - Khi ñó x = y - ■ TH1: thay y = x + vào (2) ta ñư c: 3x2 - x + = 3x + + 5x + (Vi c gi i xin dành cho b n ñ c) x = ⇒ y = ⇔ x = 1⇒ y = ■ TH2: thay y = 2x + vào (2) ta ñư c: - 3x = 4x + + 9x + (HSTL) ⇔ x = ⇒ y = V y h phương trình có nghi m (0;1), (1;2) y + xy2 = 6x2 Bài Tốn 13 Gi i h phương trình sau: 1 + x2y2 = 5x2 (I) ⇒ HD gi i: y = Khi x = h phương trình (I) thành 1 = (vơ nghi m) ⇒ x = không nghi m c a (I) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích ñ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Khi x ≠ nên chia hai v c a h phương trình cho x2 ta đư c: y y2 y + =6 +y =6 x2 x x x (I) ⇔ ⇔ (II) 2 2+ y = + y = x x u= +y v = u - (1) x uv = h (II) thành: u2 - 2v = ⇔ Đ t y uv = (2) v= x Thay (1) vào (2), ta ñư c (2) ⇔ (u2 - 5)u = 12 ⇔ u3 - 5u - 12 = ⇔ u = ⇒ v = +y=3 x = y = 2x x x = y = 2x u = V i v = ⇔ y ⇔ 2x2 - 3x + = ⇔ x = v x = ⇔ y = hay y = =2 x V y nghi m (x;y) c a h (1;2), ( ;1) ( ) xy + x + = 7y (1) Bài Toán 14 Gi i h phương trình sau: x2y2 + xy + = 13y2 (2) (I) (ĐH Kh i B - 2009) ⇒ HD gi i: Khi y = (2) vơ nghi m Khi y ≠ h x + xy + 1y = (I) ⇔ ⇔ x x + + = 13 y y 2 x + 1y + xy = 1 x (II) x + y - y = 13 S = -5 S = P = - S S + P = x Đ t S = x + P = h (II) thành S2 - P = 13 ⇔ S2 + S - 20 = ⇔ P = hay P = y y Khi x nghi m c a phương trình X2 + 5X + = hay X2 - 4X + = (Đ i x ng lo i 1) y X = -1 ⇔ X = -4 x = -1 x = -4 ⇔ 1 = -4 hay 1 = -1 y y x = -1 x = -4 ⇔ y = -1 hay y = -1 -1 K t lu n v y h (I) có nghi m (-1; ) hay (-4;-1) 4 Bài Toán 15 Gi i h phương trình sau: x + + x - - y + = y (1) (I) 2 x + 2x(y - 1) + y - 6y + = (2) (ĐH Kh i A - 2013) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ Đ t u = x - suy u ≥ PT (1) tr thành: u4 + + u = y4 + + y (3) (Như b n th y u ≥ 0, li u y ≥ ??? khó c a tốn n m ! Vì n u em h c sinh xét hàm ñ c trưng s khơng ch rõ đư c t p xác ñ nh cho c bi n u y) T (2) ta ñư c x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y + = 4y ⇔ 4y = (x + y - 1)2 ⇒ y ≥ Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong 2t3 + > ∀t > t4 + Do PT (3) tương đương v i y = u, nghĩa x = y4 + y=0 Thay vào PT (2) ta ñư c y(y7 + 2y4 + y - 4) = ⇔ y7 + 2y4 + y - = V iy=0⇒x=1 V i y7 + 2y4 + y - = (4) Xét hàm g(y) = y7 + 2y4 + y - (y ≥ 0) g'(y) = 7y6 + 8y3 + > ∀y ≥ Mà g(1) = nên (4) có nghi m khơng âm y = 1⇒ x = V y nghi m (x;y) c a h (I) (1;0) (2;1) Xét f(t) = t4 + + t v i t ≥ Ta có f '(t) = (8x - 3) 2x - - y - 4y3 = (1) (I) Bài Tốn 16 Gi i h phương trình sau: 4x - 8x + 2y + y - 2y + = (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ T PT (1) ⇔ (8x - 3) 2x - = 4y3 + y (Do VP có d ng f(t) = 4t3 + t nên ta s bi n ñ i VT có d ng VP) Đ t u = 2x - ≥ ⇒ u2 = 2x - ⇒ 2x = u2 + thay vào PT (1) ta ñư c: (1) ⇔ (4u2 + - 3)u = 4y3 + y ⇔ 4u3 + u = 4y3 + y (3) Xét hàm f(t) = 4t3 + t (t ∈ R) có f '(t) = 12t2 + > ∀t ∈ R Do ñó PT (3) ⇔ u = y ⇔ 2x - = y ⇔ y2 = 2x - (Do u ≥ ⇒ y ≥ 0) ■ Cách 1: thay vào PT (2) ta ñư c: 4x2 - 8x + 2y(y2 - 1) + y2 + = ⇔ 4x2 - 8x + 2x - 1(2x - 2) + 2x + = ⇔ 2x2 - 3x + + 2x - 1(x - 1) = ⇔ 2(x - 1)(x - ) + 2x - 1(x - 1) = x = ⇔ (x - 1) 2x - + 2x - 1 = ⇔ 2x - + 2x - = (4) y = (nh n) V i x = 1⇒ ⇒ y = ⇒ y = -1 (lo i) V i PT (4), ñ t t = 2x - ≥ nên (4) ⇔ t2 + 2t = ⇔ t = ⇔ x = ⇒ y = V y nghi m (x;y) c a h (I) ( ; 0), (1;1) ■ Cách 2: PT (2) ⇔ 4x - 8x + 2y + y2 - 2y + = ⇔ (4x2 - 4x + 1) - 4x + + 2y3 + y2 - 2y = ⇔ (2x - 1)2 - 2(2x - 1) + 2y3 + y2 - 2y = Thay 2x - = y2 ≥ vào PT (2) ta ñư c: y4 + 2y3 - y2 - 2y = ⇔ y(y3 + 2y2 - y - 2) = y=0⇒x= ⇔ y = 1⇒ x = y = -1 (lo i) y = -2 (lo i) V y nghi m (x;y) c a h (I) ( ; 0), (1;1) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao đ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong 10 x + xy = y + y (1) (I) Bài Tốn 17 Gi i h phương trình sau: 4x + + y + = (2) ☺Nh n xét: nhìn vào h ta th y r ng không th dùng "PP rút th " PT (1) có n đ c l p v i nên ta nghĩ t i vi c th! nhóm l i phân tích nh n t!, l i có x - y2 m t nhân t! chung, v y vi c phân tích tương đ i ph c t p dùng h ng ñ ng th c liên quan t i A5 - B5 Ta xét cách khác ñơn gi n hơn, v i d ñoán x = y2 m i quan h nh t c a x, y ⇒ ta nghĩ t i dùng tính ñơn ñi u c a hàm s Th! ! -5 ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ D! th y y = không nghi m c a h (I) V i y ≠ 0, chia c v c a PT (1) cho y5, ta ñư c: x5 x (1) ⇔ + = y5 + y (3) y y Xét hàm ñ c trưng f (t) = t5 + t (t ∈ R) có f '(t) = 5t4 + > ∀t ∈ R x Do PT (3) ⇔ = y ⇔ x = y2 ≥ y Thay x = y2 vào (2) ta ñư c 4x + + x + = (vi c gi i PT vô t" xin dành cho b n ñ c !) y=1 ⇔ ⇔ x = ⇒ y = -1 V y nghi m (x;y) c a h (I) (1;1), (1;-1) 4x4 + y4 = 4x + y (1) Bài Toán 18 Gi i h phương trình sau: x3 + y3 = xy2 + (2) (I) ☺Nh n xét: Gi s! kí hi u DEG b c c a PT ta có Deg(VTPT1) = > Deg(VPPT1) = PT (2) ⇔ x3 + y3 - xy2 = có Deg(VTPT2) = > Deg(VPPT2) = Như v y ñ PT (1) tr# thành PT Đ$NG C%P, ta s nhân thêm m t lư ng đ VPPT(1) có Deg = ⇒ HD gi i: Ta có 4x4 + y4 = (4x + y).1 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2) ⇔ 4x4 + y4 = (4x + y)(x3 + y3 - xy2) ⇔ 3xy3 - 4x2y2 + yx3 = ⇔ xy(3y2 - 4xy + x2) = ⇔ x = hay y = hay 3y2 - 4xy + x2 = ■ V i x = 0, thay vào (2) ta ñư c y = ■ V i y = 0, thay vào (2) ta ñư c x = ■ V i 3y2 - 4xy + x2 = (3) + Xét x = ⇒ y = không nghi m c a h (I) y = x y2 y + Xét x ≠ (3) ⇔ - + = ⇔ y = x x x Thay y = x vào (2) ta ñư c x = = y x Thay y = vào (2) ta ñư c x = 1⇒ y = 3 V y nghi m (x;y) c a h (I) (1;0), (0;1), (1;1), (1; ) x3 - 8x = y3 + 2y (1) Bài Tốn 19 Gi i h phương trình sau: x2 - 3y2 = (2) (I) ⇒ HD gi i: 3 x - y = 2(4x + y) H (I) có th vi t l i x2 - 3y2 = Ta nghĩ ñ n cách ñ ng b c PT (1) b ng phép th t PT (2) Nhưng trư c ta ph i làm xu t hi n s nên ta làm sau PT(1) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 10 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m (1) ⇔ x3 - y3 = 2(4x + y) ⇔ 3(x3 - y3) = 6(4x + y) ⇔ 3x3 - 3y3 = (x2 - 3y2)(4x + y) ⇔ x3 + x2y - 12xy2 = ⇔ x(x2 + xy - 12y2) = ( gi i tương t toán 6.1) x = ⇔ x = 3y (vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c) x = -4y ; 13 V y nghi m (x;y) c a h (I) (3;1), (1;3), ( -4 ), (4 13 ;13 ) 13 x + + x + + x + = y - + y - + y - (1) (I) Bài Toán 20 Gi i h phương trình sau: 2 x + y + x + y = 80 (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x ≥ -1, y ≥ ►N u x + > y - x + > y - x + > y - Nên x + + x + + x + > y - + y - + y - ⇒ PT(1) vô nghi m ►N u x + < y - x + < y - x + < y - Nên x + + x + + x + < y - + y - + y - ⇒ PT(1) vô nghi m ►Do t (1) ta suy x + = y - ⇔ x = y - Thay vào (2) ta ñư c: y - + y + (y - 6)2 + y2 = 80 ⇔ ⇔ y = - 2125 (lo i) y = + 125 (nh n) ⇒ x = y - = V y nghi m (x;y) c a h ( 125 - 125 - + 125 ; ) 2 x + 32 - x - y2 = - (1) Bài Toán 21 Gi i h phương trình sau: (I) x + 32 - x + 6y = 24 (2) ⇒ HD gi i: C ng v theo v hai PT (1) (2) ta ñư c: 4 ( x + 32 - x) + ( 32 - x + x) = y2 - 6y + 21 (3) L i có: ■ VP = y2 - 6y + 21 = (y - 3)2 + 12 ≥ 12 ■ ( x + 32 - x)2 ≤ (1 + 1)(x + 32 - x) = 64 ⇒ x + 32 - x ≤ a b (BĐT Bunhiac pxki (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2), d u "=" x y = ) x y 4 4 ■ ( 32 - x + x)2 ≤ 2( x + 32 - x) ≤ 2.8 = 16 ⇒ 32 - x + x ≤ 4 ■ VT = ( x + 32 - x) + ( 32 - x + x) ≤ + = 12 y-3=0 x = 16 x = 32 - x Do d u đ ng th c ch x y ⇔ ⇔ y = 4 32 - x = x V y nghi m (x;y) c a h (I) (16;3) Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 11 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m x4 + 2(3y + 1)x2 + (5y2 + 4y + 11)x - y2 + 10y + = (1) Bài Tốn 22 Gi i h phương trình sau: y3 + (x - 2)y + x2 + x + = (2) (I) ☺Ý tư ng: Đ gi i toán ta s ti n hành bư c: Bư c 1: tìm nghi m c a h ? N u bi t đư c nghi m ý tư#ng c a ta s rõ ràng nhi u & ñây l'n lư t th! x = -2;-1;0;1;2;3; ta tìm đư c nghi m c a h (x;y) = (-1;1) , (2;-2) Bư c 2: tìm quan h n tính gi a hai nghi m ? D( th y y = -x Bư c 3: thay vào h phân tích thành nhân t ? ta thay x b#i y (ho c y b#i x) tùy trư)ng h p xem cách phù h p có l i V i ta thay y = -x vào PT c a h thu ñư c: 2 (x + 1) (x - 1)(x - 2) = x + 2(-3x + 1)x + (5x - 4x + 11)x - x - 10x + = ⇔ 2 (x + 1) (x - 2) = - x - (x - 2)x + x + x + = Vi c phân tích khơng khó ta nh m ñư c trư c nghi m Bư c 4: L a ch n bi u th c thích h p ? Như th , so v i PT (1) v*a nh n đư c PT (2) thi u ñi bi u th c x - 1, ý r ng bi u th c tương ñương v i - y - Ta s ch n m t hai bi u th c ñ nhân vào Rõ ràng n u ch n (- y - 1) vi c nhân s t o đa th c có ch a bi n y ñ ng b c v i ña th c # PT (1) Ta ti n hành sau: ⇒ HD gi i: Nh n xét y = -1 không nghi m c a h (1) - (y + 1).(2) ta nh n ñư c: x4 + 2(3y + 1)x2 + (5y2 + 4y + 11)x - y2 + 10y + 2 - [y3 + (x - 2)y + x2 + x + 2](y + 1) = ⇔ x4 + (6y + - y - 1)x2 + (5y2 + 4y + 11 - y2 - 2y - 1)x - y2 + 10y + - y4 + 2y2 - - y3 = ⇔ x4 + (5y + 1)x2 + (4y2 + 2y + 10)x - y4 - y3 + y2+ 10y = (Nh m nghi m x = - y ) ⇔ (x + y) x3 - (y)x2 + (y2 + 5y + 1)x - y3 - y2 + y + 10 = ⇔ x = - y (3) hay x3 - (y)x2 + (y2 + 5y + 1)x - y3 - y2 + y + 10 = (4) V i PT (4), ñã nh m ñư c nghi m x = 2, thay vào PT (4) có nghi m y = ⇒ x = y - nghi m n tính th" hai t PT (4) ta s nh m nghi m x = y - x=y-2 (4) ⇔ (x - y + 2)(x2 - 2x + y2 + 3y + 5) = ⇔ x2 - 2x + y2 + 3y + = ■ V i x = - y thay vào PT (2) ta ñư c: y3 + (- y - 2)y + y2 + - y + = y = - ⇒ x = ⇔ y3 - 3y + = ⇔ y = ⇒ x = -1 ■ V i x = y - thay vào PT (2) ta ñư c: y3 + (y - - 2)y + (y - 2)2 + y - + = y = - ⇒ x = - ⇔ y3 + 2y2 - 7y + = ⇔ y = 1⇒ ⇒x=-1 ■ V i x2 - 2x + y2 + 3y + = ⇔ (x2 - 2x + 1) + y2 + y + + = 4 ⇔ (x - 1)2 + (y + )2 + = (vô nghi m) V y nghi m (x;y) c a h (I) (-1;1), (2;-2), (-6;-4) Bài Toán 23 Gi i h x + x3x2 +- yy2 = (1) phương trình sau: x+ 3y y - x2 + y2 = (2) (I) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x2 + y2 ≠ _ x - yi Đ t z = x + yi (x, y ∈ R, i2 = -1) = 2 z z = |z| z x +y L y (1) + i(2) ta ñư c x + 3x - y x + 3y = + i y - x + y2 x2 + y2 Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 12 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao đ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong 3x - y - i(x + 3y) =3 x2 + y2 3x - 3yi - ix + yi2 = ( i2 = - 1) ⇔ x + iy + x2 + y2 3(x - yi) - (x - yi)i =3 ⇔ x + iy + x2 + y2 x - yi x - yi = ( = ) ⇔ z + (3 - i) x + y2 z x + y2 3-i =3 ⇔z+ z ⇔ z2 - 3z + - i = (Vi c gi i PT ph c xin dành cho b n ñ c !) z=2+i ⇔ z = - i V y nghi m (x;y) c a h (I) (2;1) (1;-1) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x2 + y2 ≠ (cách khác) 3xy - y2 xy + = 3y x + y2 L y v c ng v PT ta ñư c 2xy - = 3y ⇒ x = H (I) ⇔ x + 3yx 2y xy - =0 x + y2 Thay vào m t hai PT c a h , gi i (x;y) = (2;1), (1;-1) ⇔ x + iy + Bài Tốn 24 Gi i h phương trình sau: ) = (1) x+y (I) 7y(1 ) = (2) x+y 3x( + ⇒ HD gi i: Đi u ki n x + y ≠ 0, x ≥ 0, y ≥ Đ a = t b = a(1 + a +1 b ) = 23 (II) b(1) = a + b x (a,b > 0) h (I) thành y 2 Đ t z = a + bi (a,b ∈ R+) Ta có a - bi = z a2 + b2 L y (1) + i(2), ta ñư c: a + bi + a - bi = + i a2 + b2 ⇔z+ = + i z ⇔ z2 - ( z = z = + i)z + = (Vi c gi i PT ph c xin dành cho b n ñ c!) + 3 2 +( + 2)i 21 ⇔ 2 +( - 2)i 21 2 ; + 2) V y nghi m (a;b) c a (II) ( + 21 Nên nghi m (x;y) c a (I) ( 11 + 22 + ; ) 21 Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 13 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Th y Lâm Phong Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m x - 3xy = - (1) (I) Bài Tốn 25 Gi i h phương trình sau: y - 3x y= - (2) ☺Nh n xét: Đây h ñ ng c p b c 3, nhiên n u gi i b ng phương pháp thơng thư)ng s đ n phương trình b c ba: 3t3+ 3t2 - 3t - = PT khơng có nghi m đ c bi t ! ⇒ HD gi i: Đ t z = x + yi (x,y ∈ R, i2 = -1) Xét z3 = (x + yi)3 = x3 - 3xy2 +i(3x2y - y3), nên t h (I) ñã cho ta có: 2π 2π z3 = - + 3i = 2(cos + isin ) (3) 3 3 M t khác z = r(cosϕ + isinϕ)⇒ z = r (cos3ϕ + sin3ϕ) (4) r3 = 2π cos3ϕ = cos T (3) (4) ta có nghi m z th#a mãn 2π sin3ϕ = sin r = r = ⇔ 2π 8π 14π 2π k2π + (k ∈ Z) ϕ= ϕ ∈ { ; ; } 3 ⇔ Nên nghi m (x;y) c a (I) ( Bài Toán 26 Gi i h 2cos 2π π ; 2sin 2π π ), ( 2cos 8π π ; 2sin x2 + y + x3y + xy2 + xy = -54 (1) phương trình sau: -5 x + y + xy(1 + 2x) = (2) 8π π ), ( 2cos 14π π ; 14π π 2sin ) (I) (ĐH Kh i A - 2006) ⇒ HD gi i: x + y + xy + xy(x (I) ⇔ -5 (x + y) + xy = H 2 + y) = -5 2 u = x + y h Đ t v = xy u + v + uv = -54 thành -5 u + v = (I) (Vi c gi i h II xin dành cho b n ñ c !) x = ⇒ y = ⇔ x = ⇒ y = -3 3 25 16 V y nghi m (x;y) c a h (1; -3), ( ;4 25 ) 16 2 + 6y = x - x - 2y (1) y Bài Tốn 27 Gi i h phương trình sau: (I) x + x - 2y = x + 3y - (2) ⇒ HD gi i: Đi u ki n x - 2y ≥ 0, y ≠ 0, x + x - 2y ≥ x (1) ⇔ - - x - 2y - 6y = y x - 2y - x - 2y - 6y = ⇔ y ⇔ t=3 x - 2y x - 2y x - 2y - = (3) Đ t t = (3) ⇔ t2 - t - = ⇔ t = -2 y y y2 Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 14 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao ñ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn Toán H c [3K]- Ki n Th c - K Năng - Kinh Nghi m Th y Lâm Phong (Vi c gi i ti p xin dành cho b n ñ c!) 24 V y nghi m (x;y) c a h (12; -2), ( ; ) 9 + + x2)(y + + y2) = (1) (I) x 3x - 2xy + = 4xy + 3x + (2) (x Bài Toán 28 Gi i h phương trình sau: ⇒ HD gi i: + y2 > y2 = |y| = ± y ⇒ + y2 ± y > 0, tương t ta có + x2 ± x > Xét ( + y2 + y)( + y2 - y) = ⇒ + y2 - y = + y2 + y Ta có Do t phương trình (1) ⇔ + x2 + x = + y2 - y ⇔ (x + y) + + x2 - + y2 = x2 - y2 =0 ⇔ (x + y) + + x2 + + y2 ⇔ (x + y) x + + x2 + + y2 - y = (do + y2 - y + + x2 + x > 0) ⇔x=-y Thay vào (2) ta ñư c: x 3x + 2x2 + = - 4x2 + 3x + (Vi c gi i PT xin dành cho b n ñ c!) ⇔ ⇔ x = + 37 - 17 vx= 14 V y nghi m (x;y) c a h (I) ( + 37 - - 37 - 17 -3 + 17 ; ), ( ; ) 14 14 4 Thay cho l i k t, th y tin chuyên ñ v n không d ng l i nh ng d ng V n s có nh ng phương pháp m i m hơn, sáng t o t ng ngày t ng ngày ñư c nhi u ngư i u tốn tìm Hy v ng chun đ ñã mang ñ n cho b n m t s k b ích vi c ti p c n h phương trình Dù dành r t nhi u tâm huy t cho chuyên ñ , song khó tránh kh!i nh ng thi u sót Kính mong b n đ c b! qua M i góp ý chia s vui lịng g i v đ"a ch#: windylamphong@gmail.com ho$c lamphong9x_vn@yahoo.com CHÚC CÁC EM H C T P HI U QU VÀ Đ T K T QU CAO NH T TRONG KÌ THI TUY N SINH Đ I H C 2014 Ngh nghi p không làm nên s cao quý c a ngư i mà ngư i làm nên s cao quý 15 c a ngh nghi p (Theo D u Ư c Mơ - trích đ thi Cao đ ng kh i C & D 2012 ) DeThiMau.vn ... i: ( Gi i b ng cách th rút th ) Ta có phương trình (2)⇒ (x3 + x)y = x2 - x2 - Nh n xét x = không nghi m c a phương trình (2) nên ta có y = x(x2 + 1) x2 - x2 - + x2 Thay vào (1) ta ñư c:... x x Thay y = x vào (2) ta ñư c x = = y x Thay y = vào (2) ta ñư c x = 1⇒ y = 3 V y nghi m (x;y) c a h (I) (1;0), (0;1), (1;1), (1; ) x3 - 8x = y3 + 2y (1) Bài Toán 19 Gi i h phương trình sau:... xy2) ⇔ 3xy3 - 4x2y2 + yx3 = ⇔ xy(3y2 - 4xy + x2) = ⇔ x = hay y = hay 3y2 - 4xy + x2 = ■ V i x = 0, thay vào (2) ta ñư c y = ■ V i y = 0, thay vào (2) ta ñư c x = ■ V i 3y2 - 4xy + x2 = (3) + Xét