Đang tải... (xem toàn văn)
() ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 c ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2016 c Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Người viết luận văn CHOUAKHA HOUATOUXAY i c Mục lục MỞ ĐẦU Chương Vành đa thức iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức 1.2 Iđêan đơn thức 1.3 Iờan u v c s Grăobner 1.4 Thuật toán Buchberger 13 Chương Đa thức Hilbert iđêan đơn thức 18 2.1 Đa thức Hilbert chuỗi Hilbert 18 2.2 Phức đơn hình vành Stanley-Reisner 34 2.3 Đồ thị vành mặt 38 KẾT LUẬN 45 Tài liệu tham khảo 45 ii c MỞ ĐẦU Cho đại số giao hoán phân bậc hữu hạn sinh trường, hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert ba khái niệm có quan hệ mật thiết với nhau, xác định biến thiên chiều thành phần đại số Các khái niệm thường nghiên cứu đối tượng sau: Vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức; Vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan nhất; Vành địa phương với lọc lũy thừa iđêan tối đại Đa thức Hilbert chuỗi Hilbert cơng cụ quan trọng Hình học Đại số Chúng công cụ dễ để xác định chiều bậc đa tạp Đại số xác định phương trình đa thức Luận văn tìm hiểu hàm Hilbert, đa thức Hilbert chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Trường hợp cho ta nhiều kết trực quan, liên hệ với hai lớp vành quan trọng Đại số giao hốn, Hình học đại số Đại số tổ hợp vành Stanley-Reisner vành mặt Hơn kết Macaulay cho thấy ta chuyển việc nghiên cứu hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Luận văn tổng hợp nhiều tai liệu ( [2], [4], [6], [7], ) Luận văn bao gồm hai chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị vành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức, s Grăobner v thut toỏn Buchsberger tỡm c s Grăobner õy l cụng c chuyn bi toỏn tỡm hiểu hàm Hilbert lớp vành thương vành đa thức c nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Chương chương luận văn Trong chương luận văn trình bày hàm Hilbert (afin), đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Đặc biệt để mô tả kỹ kết trên, luận văn tìm hiểu hai lớp vành Stanley-Reisner vành mặt Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình TS Trần Ngun An Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin cảm ơn thầy Viện Tốn học, Khoa Tốn Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi q trình học tập trường Cuối xin cảm ơn người thân, bạn bè cổ vũ động viên tơi để tơi hồn thành luận văn khóa học c Chương Vành đa thức iđêan đơn thức Trong chương này, ta nhắc lại số khái niệm tính chất vành đa thức iđêan đơn thức 1.1 Vành đa thức Cho R vành giao hoán x1 , , xn(n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ đơn thức Nếu a1 = = an = 0, đơn thức kí hiệu Phép nhân tập đơn thức định nghĩa sau: (xa11 xann )(xb11 xbnn ) = xa11+b1 xann +bn Do đồng x1 với đơn thức x11 x02 x0n, , xn với đơn thức x01 x0n−1x1n, đơn thức tích biến Từ biểu thức có dạng αxa11 xann , với α ∈ R gọi hệ số từ Hai từ khác không αxa11 xann βxb11 xbnn gọi đồng dạng với = bi, ∀i = 1, n Ta kí hiệu x = (x1, , xn), a = (a1 , , an) ∈ Nn xa = xa11 xann Đa thức n biến x1, , xn R tổng hình thức c từ: f (x) = X αa xa , a∈Nn αa ∈ R có số hữu hạn hệ số αa 6= Từ αa xa với αa 6= gọi từ đa thức f (x) xa đơn thức f (x) Phép cộng đa thức định nghĩa sau: X X X a a βa x = (αa + βa )xa αa x + a∈Nn a∈Nn a∈Nn Vì αa + βa 6= hai hệ số αa βa khác Vì biểu thức vế phải có hữu hạn hệ số khác đa thức Ta đồng αxa với đa thức P βb xb , βa = α βb = b∈Nn với b 6= a Theo cách tất từ với hệ số đồng với đa thức có tất hệ số 0, ta gọi đa thức đa thức khơng, kí hiệu Đa thức α đa thức tương ứng với từ α · Nếu α1 xa1 , , αp xap tất từ f (x) xem f (x) tổng từ qua phép đồng f (x) = α1 xa1 + + αp xap , a1 , , ap ∈ Nn số mũ khác Biểu diễn gọi biểu diễn tắc đa thức f (x) P P αa xa g(x) = βa xa biểu diễn Giả sử f (x) = a∈Nn a∈Nn tắc hai đa thức f (x) g(x), chúng xem αa = βa , với a ∈ Nn Vậy biểu diễn tắc f (x) Phép nhân đa thức định nghĩa sau X X X a a ( αa x )( βa x ) = γa xa , a∈Nn a∈Nn a∈Nn c γa = P αb βc Ta thấy γa 6= tồn b c b,c∈Nn ,b+c=a thỏa mãn αb 6= 0, βc 6= b + c = a Do có số hữu hạn hệ số γa khác khơng phép nhân đa thức hồn tồn xác định Với hai phép tốn cộng đa thức nhân đa thức nêu trên, tập tất đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị Tập kí hiệu R[x1, , xn] hay R[x] Định nghĩa 1.1.1 Vành R[x1, , xn] xây dựng gọi vành đa thức n biến x1, , xn vành R Chú ý 1.1.2 (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức biến thơng thường Đa thức biến x thường viết dạng f (x) = an xn + + a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , , an ∈ R) (ii) Cho ≤ m ≤ n Bằng cách xem từ αxa11 xann R a m+1 xann vành R[x1, , xm], xem từ (αxa11 xamm )xm+1 R[x1, , xn] vành đa thức n − m biến xm+1, , xn vành R[x1, , xm], tức R[x1, , xn] = R[x1, , xm][xm+1, , xn] Với quan điểm xây dựng vành nhiều biến (vơ hạn biến R[xi, i ∈ I]) từ vành biến theo quy nạp Tuy nhiên đa thức vành đa thức hữu hạn biến (iii) Khi tập biến xác định, ta kí hiệu đa thức đơn giản f, g, thay cho f (x), g(x), (iv) Quy ước phép nhân biến giao hoán ta có R[x1, , xn] = R[xδ(1) , , xδ(n) ], với phép δ ∈ Sn P αa xa số Định nghĩa 1.1.3 Bậc tổng thể đa thức f (x) = a∈Nn deg f (x) = max{a1 + + an | αa 6= 0} c Đối với đa thức biến, bậc tổng thể bậc thông thường Đôi bậc tổng thể đa thức nhiều biến gọi tắt bậc, khơng có hiểu lầm xảy Chú ý 1.1.4 (i) Bậc tổng thể đa thức bậc tổng thể đa thức quy ước −∞ (ii) Nhiều ta dùng bậc đa thức tập biến, chẳng hạn x1, , xm, định nghĩa sau: degx1 xm f (x) = max{a1 + + am | αa 6= 0}, m < n cố định Khi R[x1, , xn] = R[x1, , xm][xm+1, , xn] Mệnh đề 1.1.5 Nếu R miền nguyên, với đa thức f (x), g(x) ∈ R[x] có: deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)} Mệnh đề 1.1.6 Nếu R miền nguyên, vành R[x] miền nguyên Nhận xét 1.1.7 Khi R trường vành đa thức R[x] miền nguyên bậc tổng thể đa thức thỏa mãn mệnh đề Định nghĩa 1.1.8 Cho R vành giao hốn, có đơn vị Các điều kiện sau tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng các iđêan R có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm) (ii) Mọi dãy tăng iđêan R: I1 ⊆ I2 ⊆ In ⊆ In+1 , dừng, tức tồn k để Ik = Ik+1 = (iii) Mọi iđêan R hữu hạn sinh: tức với iđêan I ⊆ R tồn f1 , f2, , fs ∈ I cho I = (f1, f2, , fs) c ... xác định chiều bậc đa tạp Đại số xác định phương trình đa thức Luận văn tìm hiểu hàm Hilbert, đa thức Hilbert chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Trường hợp cho... việc nghiên cứu hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert lớp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Luận văn tổng hợp nhiều... hiểu hàm Hilbert lớp vành thương vành đa thức c nhiều biến iđêan trường hợp vành thương vành đa thức nhiều biến iđêan đơn thức Chương chương luận văn Trong chương luận văn trình bày hàm Hilbert