1 TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ HỆ ĐIỀU KHIỂN LIÊN QUAN Nguyễn Văn Mậu TÓM TẮT Bài viết này nhằm tổng quan các kết quả của lý thuyết toán tử khả nghịch một phía, khả nghịch suy rộng để từ đó điểm lạ[.]
TOÁN TỬ KHẢ NGHỊCH SUY RỘNG VÀ HỆ ĐIỀU KHIỂN LIÊN QUAN Nguyễn Văn Mậu TÓM TẮT: Bài viết nhằm tổng quan kết lý thuyết toán tử khả nghịch phía, khả nghịch suy rộng để từ điểm lại số kết nghiên cứu tốn điều khiển hệ mơ tả toán tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng, xem xét tính điều khiển từ trạng thái đến trạng thái khác hệ vô hạn chiều Gắn với chúng toán giá trị ban đầu, toán giá trị biên hỗn hợp hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng nghiên cứu tính điều khiển hệ Một mục đích tốn điều khiển hệ thống tìm điều khiển (đầu vào) cho hệ thống (đầu ra) có tính chất mà ta mong muốn Thơng thường, việc chuyển hệ thống có điều khiển từ vị trí tới vị trí khác thực nhiều phương pháp tác động biến điều khiển Căn vào mục đích cụ thể hệ thống để xác định toán điều khiển khác (như điều khiển được, điều khiển tối ưu, ổn định ổn định hóa, ) Bài tốn điều khiển tốn nghiên cứu lớp hàm điều khiển chấp nhận cho tác động hệ thống điều khiển vị trí mà mong muốn, kiểu hệ động lực mô tả phương trình vi phân dạng: vào u(t) x&= f (t, x, u) x(t) Trong x (.) biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, u(.) biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào hệ thống Dựa vào mục đích điều khiển hệ thống, người ta đưa khái niệm khác toán điều khiển được, điều khiển 0, đạt từ trạng thái đó, điều khiển hoàn toàn, điều khiển địa phương, Tính điều khiển hệ động lực bắt đầu ý tưởng kết quan trọng R Kalman từ đầu thập kỷ 60 kỷ XX, tiêu chuẩn đại số (còn gọi tiêu chuẩn hạng Kalman) điều kiện điều khiển hệ vi phân tuyến tính có hệ số số Từ đến nay, toán điều khiển được nghiên cứu phát triển mạnh mẽ, trở thành hướng quan trọng lý thuyết điều khiển hệ động lực (xem [3]-[6], [25]-[26]) Lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải kết nghiên GS TSKH, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội cứu D Przeworska- Rolewicz (xem [16-19]), sau phát triển nhiều nhà toán học H Von Trotha, Z Binderman, M Tasche, W Z Karwowski (xem [1-4],[7-18]) Với đời lý thuyết này, ngôn ngữ thống tổng qt hố phương trình vi phân, tích phân, vi tích phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình sai phân, thành phương trình toán tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng Việc áp dụng lý thuyết đại số toán tử khả nghịch phải khơng cho phép tìm điều kiện đủ, điều kiện cần đủ tồn nghiệm số lớp phương trình vi - tích phân, sai phân, đạo hàm riêng, mà cịn mơ tả nghiệm phương trình tốn giá trị biên, giá trị ban đầu lớp phương trình dạng biểu thức đại số tường minh Theo hướng này, nước ta từ cuối năm 80 kỷ XX có số nhà toán học nghiên cứu nhận số kết đáng kể Trên sở lý thuyết toán tử khả nghịch phải, ta tiếp cận lý thuyết điều khiển, xét tính điều khiển hệ tuyến tính mơ tả tốn tử khả nghịch phải trường hợp toán tử giải khả nghịch (xem [7-14],[21-25]) Các kết liên quan đến tính điều khiển hệ tổng quát hoá trường hợp tốn tử giải khả nghịch phía hệ mơ tả tốn tử khả nghịch suy rộng (xem [7-11]) Tiếp theo, việc nghiên cứu hệ suy biến, toán giá trị ban đầu, toán điều khiển hệ suy biến nghiên cứu (xem [27], [29]) Bài viết nhằm tổng quan kết lý thuyết toán tử khả nghịch phía, khả nghịch suy rộng để từ điểm lại số kết nghiên cứu tốn điều khiển hệ mơ tả toán tử khả nghịch phải khả nghịch suy rộng, xem xét tính điều khiển từ trạng thái đến trạng thái khác hệ vô hạn chiều Gắn với chúng toán giá trị ban đầu, toán giá trị biên hỗn hợp hệ mơ tả tốn tử khả nghịch phải, khả nghịch suy rộng nghiên cứu tính điều khiển hệ suy biến Tốn tử khả nghịch phải khơng gian tuyến tính Ta nhắc lại số kết dùng phần sau Giả sử X Y khơng gian tuyến tính trường vơ hướng Ƒ (Ƒ = ¡ £ ) Ký hiệu L(X → Y) tập tất toán tử tuyến tính có miền xác định X nhận giá trị Y Ký hiệu dom A, Im A miền xác định tập giá trị toán tử A Đặt L(X) = L(X → X), L0(X → Y) := {A L(X → Y) : dom A = X} L0(X):= L0(X → X) Toán tử A L0(X) gọi toán tử Volterra I - A khả nghịch với Ƒ Tập tất toán tử Volterra L0(X) ký hiệu V(X) Cho X Y không gian Banach, chuẩn không gian ký hiệu ||.|| Tập hợp tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y ký hiệu (X, Y), không gian Banach với chuẩn xác định || A || sup | Ax Hơn nữa, ký hiệu 0(X, Y)= {A (X, Y): dom A = X} || x||1 0(X)= 0(X,X) 1.1 Tính chất toán tử khả nghịch phải Định nghĩa Toán tử D L(X) gọi toán tử khả nghịch phải tồn toán tử R L0(X) cho Im R dom D DR = I dom R, với I toán tử đồng Khi R gọi nghịch đảo phải D Ký hiệu R(X) tập tất toán tử khả nghịch phải L(X), D tập tất nghịch đảo phải D R(X) Mệnh đề Nếu D R(X) R D dom D = RX Ker D (1) Định lí Giả sử D R(X) R1 D Khi đó, tập nghịch đảo phải D xác định D = {R1 + (I – R1D)A : A L0(X), AX dom D} (2) Định nghĩa Toán tử L0(X) gọi khả nghịch trái tồn toán tử L L(X) cho Im dom L L = I dom (3) Khi đó, toán tử L gọi nghịch đảo trái Ký hiệu (X) tập toán tử khả nghịch trái L(X), tập tất nghịch đảo trái (X) 1.2 Toán tử ban đầu tính chất Định nghĩa Mỗi toán tử F L0 (X) gọi toán tử ban đầu D R(X) tương ứng với nghịch đảo phải R D (i) F2 = F, FX = Ker D, (ii) FR = dom R Từ định nghĩa suy rằng: Fz = z với z Ker D, DF = X, Ker F = RX Ker D Ker F = {0} Định lí Cho D R(X) Điều kiện cần đủ để F L0 (X) toán tử ban đầu D tương ứng với R D F = I - RD dom D (4) Định lí (Cơng thức Taylor-Gontcharov) Giả sử D R(X) họ ƑD = {F} toán tử ban đầu D sinh D = {R} Lấy {n} dãy tuỳ ý số Khi số nguyên dương N thỏa mãn N 1 I F R R k 1F k D k R R N 1D N dom DN k 1 (5) Hệ (Công thức Taylor) Nếu D R(X) F toán tử ban đầu D tương ứng với R D N 1 I Rk FDk R N D N dom DN ( N 1,2, ) k 0 (6) Toán tử khả nghịch suy rộng Mục trình bày khái niệm toán tử khả nghịch suy rộng, toán tử ban đầu phải trái, số tính chất toán tử khả nghịch suy rộng Định nghĩa Toán tử V L(X) gọi khả nghịch suy rộng tồn W L(X) (gọi nghịch đảo suy rộng V) cho Im V dom W, Im W dom V VWV = V dom V Ký hiệu W(X) tập tất toán tử khả nghịch suy rộng L(X), V tập nghịch đảo suy rộng V W (X) - Nếu V W(X), W v WVW = W dom W W gọi hầu nghịch đảo V Tập tất hầu nghịch đảo V ký hiệu WV1 Bổ đề Nếu V W(X) W V dom V = WV(dom V) Ker V Định lí Nếu V W(X) W1 V tất nghịch đảo suy rộng V xác định W = W1 + A - W1 VAVW1, A L(X), Im A dom V Im V dom A Ta có khẳng định sau: Định lí Nếu V W(X) W v dom V = {W x + z : z Ker V, x Im V} Định nghĩa Toán tử F(r) L(X) gọi toán tử ban đầu phải V W(X) tương ứng với W 1V (F(r))2= F(r), Im F(r) = Ker V, dom F(r) = dom V F(r)W = dom W Tập tất toán tử ban đầu phải V ký hiệu FV( r ) Tốn tử ban đầu phải có tính chất: F(r) v = v , v Ker V, VF(r) = Ker F(r) Ker V = {0} Định lí Giả sử V W(X) W 1V Khi F(r) L(X) toán tử ban đầu phải V tương ứng với W F(r) = I - WV dom V (7) Định nghĩa Toán tử F(l) L0(X) gọi toán tử ban đầu trái V tương ứng với W 1V (F(l))2= F(l), F(l)X = Ker W F(l)V = dom V Tập tất toán tử ban đầu trái V ký hiệu FV( r ) Định lí Giả sử V W(X) W 1V Điều kiện cần đủ để F(1) L0 (X) toán tử ban đầu trái V tương ứng với W F(l) = I - VW dom W (8) Định lí Giả sử A, B L(X), Im A dom B Im B dom A Khi I - AB khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch, khả nghịch suy rộng) I - BA khả nghịch phải (khả nghịch trái, khả nghịch, khả nghịch suy rộng) Hơn nữa, RAB (LAB, (I - AB)-1, WAB) nghịch đảo phải (nghịch đảo trái, nghịch đảo, nghịch đảo suy rộng) I - AB tồn RBA I-BA (LBA I-BA, (I-BA)-1, WBA I-BA) thỏa mãn (i) RAB= I + ARBAB, RBA = I + BRABA , (ii) LAB = I + ALBAB, LBA = I + BLABA , -1 -1 (iii) (I – AB) = I + A(I - BA) B, (I - BA)-1 = I + B(I - AB)-1A , (iv) WAB = I + AWBAB, WBA = I + BWABA Ví dụ Cho đường cong đóng qui £ khơng gian X = H () (0