Thông tin tài liệu
Nguyn Phi Hùng - Võ Thành Vn
i hc Khoa hc Hu
**************
Phng pháp đt n ph
trong gii phng trình vô t
A. Li nói đu
Qua bài vit này chúng tôi mun gii thiu cho các bn mt s k nng đt n ph trong gii
phng trình vô t. Nh chúng ta đã bit có nhiu trng hp gii mt phng trình vô t mà ta
bin đi tng đng s ra mt phng trình phc tp , có th là bc quá cao Có l phng
pháp hu hiu nht đ gii quyt vn đ này chính là đt n ph đ chuyn v mt phng trình
đn gin và d gii quyt hn .
Có 3 bc c bn trong phng pháp này :
- t n ph và gán luôn điu kin cho n ph
- a phng trình ban đu v phng trình có bin là n ph
Tin hành gii quyt phng trình va to ra này . i chiu vi điu kin đ chn n ph thích
hp.
- Gii phng trình cho bi n ph va tìm đc và kt lun nghim
* Nhn xét :
- Cái mu cht ca phng pháp này chính là bc đu tiên . Lí do là nó quyt đnh đn toàn
b li gii hay, d , ngn hay dài ca bài toán .
- Có 4 phng pháp đt n ph mà chúng tôi mun nêu ra trong bài vit này đó là :
+ PP Lng giác hoá
+ PP dùng n ph không trit đ
+ PP dùng n ph đa v dng tích
+ PP dùng n ph đa v h
NGUOITHAY.VN
2
B. Ni dung phng pháp
I. Phng pháp lng giác hoá :
1. Nu |x|
a
thì ta có th đt
tax sin
,t
2
;
2
hoc
;0,cos
ttax
Ví d 1 : Gii phng trình:
)121(11
22
xxx
Li gii
: K :|
1|
x
t
2
;
2
,sin
ttx
Phng trình đã cho tr thành :
2
cos
2
3
sin22sinsin
2
cos2)cos21(sincos1
tt
tt
t
ttt
3
4
6
)12(
2
1
2
3
sin
0
2
cos
0)1
2
3
sin2(
2
cos
kt
kt
t
t
tt
Kt h p vi điu kin ca t suy ra :
6
t
Vy phng trình có 1 nghim :
2
1
6
sin
x
Ví d 2
: Gii phng trình:
3
1
3
2
)1()1(11
2
332
x
xxx
Li gii
: K :
1||
x
Khi đó VP > 0 .
Nu
0)1()1(:0;1
33
xxx
Nu
0)1()1(:1;0
33
xxx .
t
t
x
cos
, vi
2
;0
t
ta có :
ttt
tttt
sin2sin
2
1
1cos62sin2
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin62
33
6
1
cos0sin21cos6 ttt
Vy nghim ca phng trình là
6
1
x
Ví d 3 : Gii phng trình:
x
x
x
x
xx
21
21
21
21
2121
Li gii :
K :
2
1
|| x
t
;0,cos2
ttx
phng trình đã cho tr thành :
0cos02sinsin
sin
4
sin12
2
cot
2
tan2
2
cos
2
sin
23
2
ttt
t
t
t
an
ttt
Vy phng trình có nghim duy nht
0
x
NGUOITHAY.VN
3
Ví d 4 (THTT): Gii phng trình: 23
3
xxx (1)
H
ng dn :
Nu
2
x
: phng trình không xác đnh .
Chú ý vi
2
x
ta có :
243
23
xxxxxxx
Vy đ gii phng trình (1) ta ch cn xét vi
2;2
x
t
;0,cos2
ttx
khi đó phng trình đã cho tr thành :
2
cos3cos
t
t
2. Nu ax
|| thì ta có th đt :
0,
2
;
2
,
sin
tt
t
a
x
hoc
2
;;0,
cos
tt
t
a
x
Ví d 5
: Gii phng trình: 1
1
1
1
2
2
x
x
Li gii :
K :
1||
x
t
2
;
2
,
sin
1
t
t
x
Phng trình đã cho tr thành :
0
sin
1
coscoscotcos1cot1
sin
1
2
2
t
ttanttant
t
kt
t
t
12
2
1
2sin
0cos
kt hp vi điu kin ca t suy ra
12
t
Vy phng trình có 1 nghim :
132
12
sin
1
x
Tng quát: Gii phng trình
a
x
ax
1
1
2
2
Ví d 6
: Gii phng trình: 2
9
3
2
x
x
x
Li gii
: K :
3||
x
t
2
,;0,
cos
3
tt
t
x , phng trình đã cho tr thành :
23
4
cos
3
4
12sin2sin22sin122
sin
1
cos
1
2
xtttt
tt
(tho mãn)
Tng quát: Gii phng trình:
b
ax
ax
x
22
vi ba, là các hng s cho trc
3. t
2
;
2
,tan
ttx
đ đa v phng trình lng giác đn gin hn :
Ví d 7
: Gii phng trình: 03333
23
xxx (1)
NGUOITHAY.VN
4
Li gii :
Do
3
1
x
không là nghim ca phng trình nên (1)
3
3
1
3
2
3
x
xx
(2)
t
2
;
2
,tan
ttx
, Khi đó (2) tr thành :
3
9
33tan
ktt
Suy ra (1) có 3 nghim :
9
7
tan;
9
4
tan;
9
tan
xxx
Ví d 8 :
Gii phng trình:
2
2
22
2
12
1
2
1
1
xx
x
x
x
x
Li gii :
K :
1;0
xx
t
4
;0,
2
;
2
,tan
tttx
, phng trình đã cho tr thành :
012cos2cos.sin20
2cos.sin2
1
sin2
1
1
cos
1
4sin
2
2sin
1
cos
1
ttt
ttttttt
2
6
2
2
2
1
sin
1sin
0sin
0sin2sin1sin0sin2sin21sin2
222
kt
kt
t
t
t
tttttt
Kt hp vi điu kin suy ra :
6
t
Vy phng trình có 1 nghim :
3
1
6
tan
x
4. Mc đnh điu kin :
ax
||
. Sau khi tìm đc s nghim chính là s nghim ti đa ca phng
trình và kt lun :
Ví d 9
: Gii phng trình: xx 216
3
Li gii :
Phng trình đã cho tng đng vi :
168
3
xx
(1)
t
;0,cos
ttx
, Lúc đó (1) tr thành :
Zkktt
3
2
9
2
1
3cos
Suy ra (1) có tp nghim :
9
7
cos;
9
5
cos;
9
cos
S
Vy nghim ca phng trình đã cho có tp nghim chính là S
II. Phng pháp dùng n ph không trit đ
* Ni dung phng pháp :
a phng trình đã cho v phng trình bc hai vi n là n ph hay là n ca phng trình đã cho :
a phng trình v dng sau :
xxPxfxQxf
khi đó :
t
0, ttxf . Phng trình vit thành :
0.
2
xPxQtt
n đây chúng ta gii t theo x. Cui cùng là gii quyt phng trình
txf sau khi đã đn gin hóa
và kt lun
Ví d 10 :
Gii phng trình 16924422
2
xxx (1)
Li gii : K : 2||
x
NGUOITHAY.VN
5
t
2
42 xt
Lúc đó :(1)
xxxxxxxx 84216481692164216424
22222
Phng
trình tr thành :
08164
22
xxtt
Gii phng trình trên vi n t , ta tìm đc :
4
2
;
2
21
x
t
x
t
Do
2||
x
nên
0
2
t
không tha điu kin
0
t
Vi
2
x
t thì :
3
24
48
0
2
42
22
2
x
xx
x
x
x
( tha mãn điu kiên
2||
x
)
Ví d 11
:Gii phng trình 36112
2
xxx
Li gii : K : 1
x
t
01 xt ,phng trình đã cho tr thành :
x
t
ttxt
66
03612
2
* Vi
x
t
t
66
, ta có :
66
tx
(vô nghim vì :
0;0
VPVT
)
* Vi
x
t
t
66
, ta có : tx)6(6
Do
6
x
không là nghim ca phng trình nên :
x
x
x
t
6
6
1
6
6
Bình phng hai v và rút gn ta đc :
3
x
(tha mãn)
Tng quát: Gii phng trình:
22
2 baxbaxx
Ví d 12
: Gii phng trình:
128311123
22
xxxx
Li gii :
t
112
2
tx
Phng trình đã cho vit thành :
03383831313
2222
xxtxtxtxtxt
T đó ta tìm đc
3
x
t hoc xt 31
Gii ra đc : 0
x
* Nhn xét
: Cái khéo léo trong vic đt n ph đã đc th hin rõ trong phng pháp này và c th
là ví d trên . bài trên nu ch dng li vi vic chn n ph thì không d đ gii quyt trn vn nó .
Vn đ tip theo chính là vic kheo léo bin đi phn còn li đ làm bin mt h s t do , vic gi
quyt t theo x đc thc hin d dàng hn .
Ví d 13
: Gii phng trình: 342007342008
2
xxxx
Li gii : K :
4
3
x
t
034 tx phng trình đã cho tr thành : 020072008
22
txtx
Gii ra :
t
x
hoc
2008
t
x (loi)
*
t
x
ta có :
3
1
034
2
x
x
xx
Vy
3,1
xx
là các nghim ca phng trình đã cho .
Ví d
14 :
Gii phng trình:
122114
33
xxxx
NGUOITHAY.VN
6
Li gii : K :
1
x
t
1
3
xt
,Phng trình đã cho tr thành
012142141212
22
xtxttxxt
Phng trình trên đã khá đn gin !!!!!!!
III. Phng pháp dùng n ph đa v dng tích
1. Dùng mt n ph
Ví d 15 :
Gii phng trình:
4
9
2
3
2
xx (1)
Li gii :
K :
2
3
x
t
0
2
3
tx phng trình (1) tr thành :
2013
0
013
4
9
2
3
3
3
2
2
tt
t
ttttt
(2) gii đoc bng cách áp dng phng pháp I :
t
;0,cos2
ttx
đ đa v dng :
2
1
3cos t
Tng quát: Gii phng trình:
22
aaxx
vi
a
là hng s cho trc .
Ví d 16
:Gii phng trình:
16223
3
23
xxxx
Li gii :
K :
2
x
Vit li (1) di dng :
202223
3
3
xxxx
t
02 xt , Khi đó (2) tr thành :
22
2
2
02023
2
323
xx
xx
tx
tx
txtxtxtx
322
2
084
0
02
0
2
2
x
x
xx
x
xx
x
Vy phng trình đã cho có 2 nghim :
322,2 xx
Ví d 17 :
Gii phng trình :
015 xx
Li gii :
K :
6;1
x
(1)
t
01 xt (2) , phng trình đã cho tr thành :
55
2
tt (3)
05402010
2224
ttttttt
i chiu vi hai điu kin (1) và (2) thay vào và gii ra :
2
1711
x
Ví d 18 :
Gii phng trình:
2
112006
xxx
Li gii :
K :
1;0
x
(1)
t
101 txt
, Khi đó :
2
22
1,1 txtx
,phng trình đã cho tr thành :
010031212007111120061
2
22
2
222
22
tttttttttt
Vì 10
t nên 01003
2
tt
Do đó phng trình tng đng vi :
101
tt
Do vy 0
x (tha (1))
NGUOITHAY.VN
7
2. Dùng 2 n ph .
Ví d 19 :
Gii phng trình: 3912154
22
xxxxx
Li gii :
t
12;154
22
xxbxxa
0139
2222
babababaxba
65
56
0
3
1
292
39
3
1
01
0
x
x
x
xa
xba
x
ba
ba
Vy tp nghim ca pt là
65
56
;0;
3
1
S
Ví d 20
: Gii phng trình:
83232
32
xxx (1)
Li gii :
K :
2
12
x
x
(*)
t
2,42
2
xvxxu
ta có :
23
22
xxvu
Lúc đó (1) tr thành :
vuvuvuuvvu 202232
22
(Do
02
vu
)
Tìm x ta gii :
1330462242
22
xxxxxx (Tha (*))
Vy (1) có 2 nghim :
133
2,1
x
Ví d 21 : Gii phng trình: 15209145
22
xxxxx
Li gii : K :
5
x
Chuyn v ri bình phng hai v phng trình mi ,ta có:
045454354215410524951
222
xxxxxxxxxxxxx (2)
t
0,,4,54
2
vuxvxxu
,thì :
(2)
056254
095
32
0320532
2
2
22
xx
xx
vu
vu
vuvuuvvu
Gii ra ta đc 2 nghim tha mãn :
8;
2
615
21
xx
Ví d 22
: Gii phng trình:
4
2
4
3
4
3
4
2
1111 xxxxxxxx
Li gii :
K :
10
x
t :
1
0
0
1
44
4
4
vu
v
u
xv
xu
T phng trình ta đc :
1
0
01
232322
vu
vu
vuvuvuvuuvvuvu ( Do 0
vu )
t đó ta gii ra đc các nghim :
2
1
;1;0 xxx
3. Dùng 3 n ph .
Ví d 23 :
Gii phng trình: 218817
3
2
3
2
3
xxxxx
NGUOITHAY.VN
8
Li gii :
t
3 23 2
3
18,8,17 xxcxxbxa
ta có :
2818817
182
22333
3
xxxxxcba
cbacba
T (1) và (2) ta có :
03
333
3
accbbacbacba
Nên :
ac
cb
ba
accbba 0
t đó d dàng tìm ra 4 nghim ca phng trình :
9;1;0;1
S
Ví d 24 : Gii phng trình: 03492513
3333
xxxx (1)
Li gii :
t
333
92,5,13 xcxbxa
,ta có:
34
333
xcba
khi đó t (1) ta có :
0
333
3
accbbacbacba
Gii nh ví d 23 suy ra đc 3 nghim ca phng trình :
5
8
;4;3 xxx
IV. Phng pháp dùng n ph đa v h
1. Dùng n ph đa v h đn gin gii bng phép th hoc rút gn theo v .
a. Dùng mt n ph .
Ví d 25
: Gii phng trình:
55
2
xx
Li gii
: K :
5
x
t
0,5 txt
Ta có :
5
2
tx
2
211
2
211
1
5
0
5
01
5
0
5
5
5
2
2
2
22
2
2
2
x
x
tx
tx
tx
tx
txtx
tx
xttx
tx
xt
tx
Tng quát: Gii phng trình:
aaxx
2
b. Dùng 2 n ph .
* Ni Dung :
cxfbxfa
nm
* Cách gii :
t :
nm
xfbvxfau ,
Nh vy ta có h :
bavu
cvu
nm
Ví d 26 :
Gii phng trình: 54057
44
xx (1)
L
i gii :
K : 5740
x
t
44
40,,57 xvxu
Khi đó :(1)
0528102
5
9722
5
97
5
2
22
2
2
44
uvuv
vu
vuuvvu
vu
vu
vu
NGUOITHAY.VN
9
2
3
3
2
6
5
44
6
5
v
u
v
u
uv
vu
uv
uv
vu
(Do h
44
5
uv
vu
vô nghim)
n đây ch vic thay vào đ tìm nghim ca phng trình ban đu .
Ví d 27 :
Gii phng trình:
4
4
2
1
12
xx
Li gii :
K : 120 x
t :
vx
ux
4
12
vi
4
120
120
v
u
(*)
Nh vy ta đc h :
)1(12
2
1
2
1
12
2
1
4
2
4
4
42
4
vv
vu
vu
vu
Gii (1) :(1)
0
2
3
2
4
1
0
2
1
10
2
1
1
2,1
4
2,1
4
2
2
4
2
2
vvvvvv
Vy
2,1
v tha (*) chính là 2 nghim ca phng trình đã cho .
Ví d 28 :
Gii phng trình:
2
2
11
4
7
xxx
Li gii :
t :
(*)1
4
7
1
1
1
4
7
1
4
7
1
1
0
4
444
yyy
zy
yxzy
zy
xz
xy
Gii phng trình (*),ta có:
16
9
0
4
3
0
0
4
3
4
2
x
x
y
y
yy
2. Dùng n ph đa v h đi xng
Dng 1 : Gii phng trình:
n
n
baxabx
Cách gii:
t
n
baxt ta có h :
axbt
atbx
n
n
Vic gii h này đã tr nên d dàng
Ví d 29
: Gii phng trình:
3
3
1221 xx
Li gii :
t :
3
12 xt ta có h :
02
21
2
21
21
21
22
3
33
3
3
3
txtxtx
tx
xttx
tx
xt
tx
2
51
1
04
011
2
02
21
1
012
2
22
2
2
22
3
3
x
x
txxt
xxx
txtx
tx
xx
tx
NGUOITHAY.VN
10
Vy tp nghim ca phng trình là :
2
51
;1
S
Dng 2 : Gii phng trình:
xaax
Cách gii : t
xat ,phng trình đã cho tng đng vi
xat
tax
Ví d 30 : Gii phng trình:
xx 20072007
Li gii :
K :
0
x
t :
xt 2007 (1), PT
Ly (3) tr (2) ta đc :
txxtxtxttx 01
(1)
4
802928030
02007
xxx (Do
0
x
)
Dng 3 : Chn n ph t vic làm ngc :
Ví d 31
: Gii phng trình: 1222
2
xxx
Li gii : K :
2
1
x
t
bayx 12
Chn a, b đ h :
12
22
2
2
xbay
bayxx
1,
2
1
yx
(*) là h đi xng .
Ly 1,1
ba ta đc h :
0
122
122
122
22
2
2
2
yx
yxx
xyy
yxx
Gii h trên ta đc :
22 yx
i chiu vi điu kin ca h (*) ta đc nghim duy nht ca phng trình là :
22 x
Dng 4 :
Ni dung phng pháp :
Cho phng trình :
xedxcbax
n
n
vi các h s tha mãn :
bce
acd
Cách gii :
t
n
baxedy
Ví d 32 :
Gii phng trình: 77
28
94
2
x
x
Li gii :
K :
4
9
x
PT
4
7
2
1
7
28
94
2
x
x
- Kim tra :
4
7
,0,
2
1
,1,7,
28
9
,
7
1
edcba (tho mãn)
t :
yyxxyy
x
yy
x
y 77
2
1
4
9
4
7
77
28
94
4
1
28
94
2
1
222
(1)
NGUOITHAY.VN
. 0 122 122 122 22 2 2 2 yx yxx xyy yxx Gii h trên ta đc : 22 yx i chiu vi điu kin ca h (*) ta đc nghim duy nht ca phng trình là : 22 x Dng 4 : Ni. phng trình: 22 2 baxbaxx Ví d 12 : Gii phng trình: 128311123 22 xxxx Li gii : t 112 2 tx Phng trình đã cho vit thành : 03383831313 222 2 . (1) t 101 txt , Khi đó : 2 22 1,1 txtx ,phng trình đã cho tr thành : 010031212007111120061 2 22 2 222 22 tttttttttt Vì 10 t
Ngày đăng: 01/04/2014, 08:20
Xem thêm: ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 22 docx, ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013 MÔN TOÁN ĐỀ 22 docx