Luận văn hệ thức vi ét trong chương trình toán phổ thông

MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Danh mục chữ viết tắt MỞ ĐẦU 1 Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Phương pháp nghiên cứu .3 Cấu trúc luận văn Chương 1: Phân tích thể chế dạy học bậc đại học định lí Vi-ét 1.1 Định lý Vi-ét giáo trình [a] .6 1.2 Định lí Vi-ét giáo trình [b] 13 Kết luận chương 18 Chương 2: Phân tích thể chế dạy học bậc phổ thơng định lí Vi-ét .20 2.1 Phân tích SGK, SBT Tốn 21 2.2 Phân tích SGK, SBT nâng cao Toán 10 34 2.3 Phân tích SGK 11, 12 nâng cao 48 Chương 3: Điều kiện sinh thái hệ thức Vi-ét 53 3.1 Trong chương trình tốn THCS .53 3.2 Trong chương trình tốn THPT 57 Kết luận chương 60 Chương 4: Thực nghiệm 62 4.1 LỚP 62 4.1.1 Mục đích thực nghiệm .62 4.1.2 Tổ chức thực nghiệm .62 4.1.3 Phân tích tiên nghiệm 63 4.1.4 Phân tích hậu nghiệm .70 4.2 LỚP 10 77 4.2.1 Mục đích thực nghiệm .77 4.2.2 Tổ chức thực nghiệm .77 4.2.3 Phân tích tiên nghiệm 77 4.2.4 Phân tích hậu nghiệm .78 4.3 LỚP 12 85 4.3.1 Mục đích thực nghiệm .82 4.3.2 Hình thức thực nghiệm 82 4.3.3 Phân tích tiên nghiệm 82 4.3.4 Phân tích hậu nghiệm .85 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Phương trình hệ phương trình hai số kiến thức đại số toán học trường phổ thơng Khái niệm phương trình đưa vào chương trình tốn phổ thơng từ sớm Ở bậc tiểu học em tiếp xúc với phương trình bậc ẩn thơng qua tốn “tìm x”, phương trình thức giới thiệu SGK Tốn Trong kì thi tuyển sinh lớp 10 tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cơng cụ để giải tốn liên quan đến phương trình hệ phương trình thiếu muốn đạt kết cao Một cơng cụ mạnh mẽ hữu ích “hệ thức Vi-ét” Hệ thức Vi-ét trình bày SGK Tốn tập sau học sinh học xong hệ phương trình bậc hai ẩn phương trình bậc hai Qua ứng dụng hệ thức Vi-ét học sinh giải tốn liên quan đến tổng tích nghiệm phương trình bậc 2, dạng tốn nằm đề thi tuyển sinh 10 tuyển sinh vào lớp 10 chuyên khắp nước nhiều năm qua Tuy nhiên, ứng dụng vào việc giải hệ phương trình cấp học mờ nhạt Ở lớp 10, định lý Vi-ét trình bày ngắn gọn với mục đích ơn lại cho học sinh đến năm học 20112012 nằm phần giảm tải Bộ giáo dục đào tạo với mục tiêu “cắt giảm nội dung trùng lặp” Vậy để tìm hiểu tồn hệ thức Vi-ét chương trình tốn phổ thơng nay, câu hỏi sau cần thiết giải đáp: Những ứng dụng hệ thức Vi-ét xuất hiện, tồn tiến triển SGK? Chúng có thực khai thác hết chương trình tốn phổ thơng hành? Liệu học sinh có thực hiểu nắm rõ cơng cụ giải toán mạnh mẽ này? Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 việc sử dụng hệ thức Vi-ét ln đề cập, điều nói lên tầm quan trọng cấp học Hệ thức Vi-ét ứng dụng trình bày SGK lớp học, lên lớp 10 đề cập dạng mục nhỏ “Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau khơng cịn xuất giảm tải, theo văn Bộ giáo dục phần “I Ơn tập phương trình bậc nhất, bậc hai” không dạy Vậy phải ứng dụng khơng cịn thích hợp q mơi trường để sử dụng Một cách hệ thống hơn, thấy cần thiết phải đặt câu hỏi sau: - Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét ứng dụng trình bày nào? Có khác biệt với trình bày tri thức trường phổ thơng? Tại lại có khác biệt này? - Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất nào? Chúng trình bày để giải tốn gì? - Có tương đồng khác biệt ứng dụng hệ thức Vi-ét cấp học (THCS THPT)? - Tại hệ thức Vi-ét xuất lại chương trình tốn THPT? Có mà SGK cấp học muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải học sinh THCS có cịn xuất hiện? Tương lai hệ thức Vi-ét chương trình tốn phổ thơng nước ta? Mục đích nghiên cứu phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu luận văn tìm cách trả lời cho câu hỏi nêu Để đạt mục tiêu này, vận dụng yếu tố cơng cụ Didactic Tốn: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng học cách tiếp cận sinh thái học Cụ thể khái niệm lý thuyết nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học quan hệ dinh dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái Bằng công cụ lý thuyết này, rút quy tắc hợp đồng didactic thực tế dạy học Ngoài sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên cứu sức sống tri thức thể chế dạy học trường phổ thông Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, xin trình bày lại câu hỏi nghiên cứu sau: CH1: Trong thể chế dạy học bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ thức Vi-ét có đặc trưng gì? Vai trị chức chúng sao? CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét xây dựng tiến triển chương trình tốn phổ thơng? Có chuyển hóa didactic gắn với tri thức này? CH3: Có tương đồng khác biệt mối quan hệ thể chế với hệ thức Vi-ét cấp THCS THPT? Tại lại có khác biệt này? Đặc trưng TCTH liên quan đến hệ thức cấp học? Có ràng buộc gắn với TCTH này? CH4: Hệ thức Vi-ét tồn lâu thể chế dạy học Việt Nam? Sự tồn gắn liền với điều kiện ràng buộc nào? Phương pháp nghiên cứu Để đạt mục đích nghiên cứu nêu trên, xác định phương pháp nghiên cứu minh họa sơ đồ sau: Nghiên cứu tri thức khoa học Thể chế dạy học Toán bậc đại học Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy Thể chế dạy học Tốn trường phổ thơng Nghiên cứu thực nghiệm Quan hệ cá nhân học sinh Trên sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể làm công việc sau: - Trước tiên chúng tơi phân tích giáo trình bậc đại học để nghiên cứu hệ thức Vi-ét cấp độ tri thức khoa học Qua phân tích này, thấy chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức - Sau đó, chúng tơi phân tích sách giáo khoa, sách tập cấp THCS (lớp 9) cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham khảo sách giáo viên Cụ thể phân tích TCTH liên quan đến hệ thức để thấy tiến triển ứng dụng qua cấp học Ngồi chúng tơi tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm ràng buộc thể chế gắn liền với tri thức Qua thấy “quan hệ dinh dưỡng” tri thức thể chế dạy học - Những kết nghiên cứu giúp ta rút giả thuyết nghiên cứu số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giáo viên học sinh mà tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng Cấu trúc luận văn Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận chương - Phần mở đầu gồm số ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát dẫn đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu cấu trúc luận văn - Trong chương nghiên cứu trình bày hệ thức Vi-ét ứng dụng cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu giáo trình đại học - Mở đầu chương phân tích SGK Tốn 9, cụ thể TCTH liên quan đến hệ thức Vi-ét Tiếp đến phân tích SGK Tốn 10 nâng cao để thấy tiến triển khác biệt so với cấp THCS Qua giúp ta nắm đặc trưng mối quan hệ thể chế hệ thức bậc học Sau chúng tơi phân tích SGK Tốn 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ dinh dưỡng hệ thức Vi-ét - Chương đúc kết từ kết chương kèm thêm phân tích chương trình SGK Tốn 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh dưỡng” hệ thức Vi-ét - Chương trình bày thực nghiệm với học sinh Qua câu hỏi thực nghiệm kiểm chứng hợp đồng didactic giả thuyết nghiên cứu nêu chương 2, - Phần kết luận tóm tắt lại kết nghiên cứu đạt chương trước đồng thời đề cập đến hướng mở từ luận văn Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” “cơng thức” nhằm mục đích tránh trùng lặp làm câu văn lủng củng “Hệ thức” “công thức” mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” sử dụng nhiều sách giáo khoa Tốn phổ thơng Việt Nam Ngồi ra, sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “cơng thức Vi-ét”, muốn đề cập đến “điều kiện để sử dụng cơng thức Vi-ét: phương trình cho phải có nghiệm” trình bày cách tường minh sách giáo khoa, từ chúng tơi rút chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức Chương PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC Mục tiêu chương Chương có mục tiêu làm rõ đặc trưng hệ thức Vi-ét đặc biệt ứng dụng cấp độ tri thức khoa học Cụ thể hơn, qua việc phân tích số giáo trình đại học chúng tơi cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc tiến trình mà cơng thức Vi-ét đưa vào, vai trị chức chúng bậc học Ở đây, chúng tơi chọn phân tích hai giáo trình sau: - Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục (ký hiệu [a]) -Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh (ký hiệu [b]) Mục tiêu việc lựa chọn hai giáo trình việc trình bày vấn đề liên quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú giáo trình khác hai giáo trình thường nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ dẫn xuất cơng thức Vi-ét, cịn ứng dụng trình bày đầy đủ giáo trình [b] 1.1 Định lý Vi-ét giáo trình [a] Trong giáo trình này, định lý Vi-ét đề cập thức chương V với nhan đề “Vành vành Ơclit” Nhưng hình dáng cơng thức Vi-ét ứng dụng trình bày chương trước, chương IV “ Vành đa thức” Cụ thể “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng trình bày trang 116 sau: “ Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Trước hết ta xét vành đa thức ẩn A[x ,x 2] Trong vành ta ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây: f(x ,x )= x + x , g(x ,x ) = x x ” Đến công thức Vi-ét phần giới thiệu, hai cơng thức: tổng tích Trong phần này, giáo trình lưu ý chúng hai đa thức đặc biệt Đa thức đối xứng coi yếu tố lý thuyết giải thích cho kĩ thuật giải dạng tốn liên quan đến định lí Vi-ét phổ thơng Tiếp đến, giáo trình cịn đề cập: “Các đa thức sau σ = x1 + x2 + + xn σ = x1 x2 + x1 x3 + + xn−1 xn σ= x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + + xn − xn −1 xn x1 x2 xn −1 + x1 x2 xn − xn + x2 x3 xn σ n−1 = σ n = x1 x2 xn đa thức đối xứng, gọi đa thức đối xứng bản.” Các đa thức đối xứng tổng quát hai đa thức đặc biệt mà giáo trình ý phần trên, khái niệm liên quan trực tiếp đến việc hình thành cơng thức Vi-ét tổng qt sau Ngoài ra, phần ứng dụng [a] nhắc tới sau hình bóng hệ thức Vi-ét rõ ràng “ Tìm số nguyên α , β , γ cho αβγ = α3 + β3 +γ = 36 α + β +γ = Theo ví dụ ta có α + β + γ = (α + β + γ )3 − 3(α + β + γ )(αβ + αγ + βγ ) Ta suy 11 αβ + αγ + βγ = Mặt khác xét đa thức f(x) ∈ Ζ [x] f ( x) = ( x − α )( x − β )( x − γ ) Giả sử a ∈ Ζ , ta có f (a) = (a − α )(a − β )(a − γ ) Vì f(a) = thừa số a − α , a − β , a − γ 0, nghiệm f(x) α , β , γ Khai triển f(x) ta f ( x) = x3 − (α + β + γ ) x + (αβ + αγ + βγ ) x − αβγ =x3 − x + 11x − α + β += γ 6,αβ + αγ + βγ = 11,αβγ = Đa thức f(x) có tổng hệ số 0, f(x) có nghiệm Theo hệ định lí (§1, 4), f(x) chia hết cho x -1 Chia f(x) cho x-1 ta f ( x) = ( x − 1)( x − x + 6) Đa thức x − x + cho ta hai nghiệm Vậy số nguyên α , β , γ cần tìm 1, 2, ” Phần ứng dụng cơng cụ giải hệ phương trình nhờ vào cơng thức Vi-ét mà yếu tố lý thuyết tảng đa thức đối xứng Ở chương V “ Vành vành Ơclit”, cơng thức Vi-ét trình bày phần ứng dụng để nghiên cứu vành đa thức K[x] với K trường Cụ thể định lí cơng thức xuất sau: “ Định lí Giả sử f(x) đa thức bậc n>1 vành K[x], với K trường Thế f(x) có khơng q n nghiệm K, nghiệm phân biệt trùng … Gọi α1 , α , , α n n nghiệm f(x) K, nghiệm phân biệt trùng nhau, giả sử (1) f ( x)= c0 x n + c1 x n −1 + + cn−1 x + cn f(x) phải có dạng phân tích f ( x) =c0 ( x − α1 )( x − α ) ( x − α n ) sau nhân đa thức x − α i , i = 1, 2, …, n, ta (2) f ( x= ) c0 [ x n − x n −1 (α1 + α + + α n ) + x n− (α1α + α1α + + α n−1α n ) + + (−1) n α1α α n ] So sánh (1) (2) ta công thức Vi-ét: α1 + α + + α n = − c1 c0 c c0 α1α + α1α + + α n−1α n =2 α1α 2α + α1α 2α + + α n−2α n−1α n = − c3 c0 α1α α n = (−1) n cn c0 Ta nhận thấy vế trái công thức chẳng qua đa thức đối xứng phần tử α1 , α , , α n (chương IV) ” Như công thức Vi-ét rút sau so sánh dạng phân tích đa thức f(x) có khơng q n nghiệm trường K Trong phần trình bày định lí câu “ nghiệm phân biệt trùng nhau” lặp lại hai lần, điều có nghĩa f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) cơng thức Vi-ét áp dụng Ngồi ra, định lí có đề cập “f(x) đa thức bậc n>1 vành K[x], với K trường” Do ta hiểu cơng thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi trường số, bao gồm trường số thực R trường số phức C Qua trình bày yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét giáo trình [a], ta thấy cơng thức xuất dạng cơng cụ, gắn liền với việc xét nghiệm đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K trường số Chúng ta thấy yếu tố lý thuyết quan trọng dẫn đến việc hình thành cơng thức đa thức đối xứng Để tìm hiểu xem ứng dụng hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, tiến hành phân tích tổ chức tốn học liên quan đến hệ thức [a] PHỤ LỤC 2: Một số làm học sinh LỚP LỚP 10 LỚP 12 ... hai giáo trình bậc đại học, sau số kết chính: - Về xuất hệ thức Vi- ét: Vi? ??c trình bày cách thức xuất hệ thức Vi- ét hai giáo trình [a] [b] tương tự Công thức Vi- ét có mặt chương “Vành đa thức? ??,... cơng cụ mạnh mẽ hữu ích ? ?hệ thức Vi- ét? ?? Hệ thức Vi- ét trình bày SGK Toán tập sau học sinh học xong hệ phương trình bậc hai ẩn phương trình bậc hai Qua ứng dụng hệ thức Vi- ét học sinh giải tốn liên... tìm hiểu quan hệ dinh dưỡng hệ thức Vi- ét - Chương đúc kết từ kết chương kèm thêm phân tích chương trình SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh dưỡng” hệ thức Vi- ét - Chương trình bày thực