VẤN ĐỀ DẠY HỌC LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG VÀ NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ LOGARIT NGUYỄN VIẾT HIẾU* TÓM TẮT Chuyển hóa sư phạm tạo điều kiện cho người học tiếp cận nhanh và có hệ thống các tr[.]
Nguyễn Viết Hiếu Tạp chí KHOA HỌC ĐHSP TPHCM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ VẤN ĐỀ DẠY HỌC LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG VÀ NHỮNG ĐIỀU CẦN BIẾT VỀ LOGARIT NGUYỄN VIẾT HIẾU* TÓM TẮT Chuyển hóa sư phạm tạo điều kiện cho người học tiếp cận nhanh có hệ thống tri thức nhân loại thừa nhận Tuy nhiên, trình làm cho tri thức khơng cịn giống nguồn gốc ban đầu nó, đơi có khác biệt lớn Điển hình tri thức logarit chương trình Tốn phổ thơng hành Với mong muốn tìm lại nghĩa vai trị cho đối tượng logarit, viết giới thiệu xuất lịch sử vai trị cơng cụ qua ứng dụng bật Từ khóa: logarit, nghĩa tri thức, lịch sử Toán ABSTRACT The issue of teaching logarithm in high school mathematics syllabus and what to know about logarithm The pedagogical transfer has brought learners opportunities to approach quickly and systematically the knowledge that has been acknowledged by all human beings However, that process has made the knowledge on longer the same as its origin; in fact, there’re sometimes wide disparities A very typical example is the knowledge about logarithm, which has been presented in the current high school mathematics syllabus Aiming to retrieve the meanings as well as the roles of logarithm, the article will discuss the appearance of logarithm in history and its main roles as a tool through outstanding applications Keywords: logarithm, meanings of the knowledge, the history of maths Vài nét sơ lược lịch sử xuất khái niệm logarit Logarit John Napier1 (1550 – 1617) giới thiệu tác phẩm “Mirifici logarithmorum canonis descriptio” vào năm 1614, sau 20 năm nghiên cứu Dựa ý tưởng “nhân hai số theo cộng trừ" phương pháp (PP) prosthaphaeresis2 có trước Tuy nhiên, PP prosthaphaeresis chứa đựng nhiều bất lợi thực phép chia khai Trong đó, phát triển khoa học thời địi hỏi cần phải tính nhân, chia, khai hiệu Chính điều thơi thúc Napier sáng tạo PP tính nhân, chia, bậc hai, bậc ba dựa logarit Tuy nhiên định nghĩa khái niệm logarit Napier đưa hoàn toàn khác so với biết ngày * HVCH, Trường Đại học Sư phạm TPHCM Hình Hai đường thẳng song song, đoạn SQ , đoạn SQ cho trước điểm hai điểm B, b vạch Theo [10], Edward Wright rằng: Napier tưởng tượng hai điểm B b chuyển động hai đường thẳng song song (Hình 1), điểm B chuyển động theo chiều định đường thẳng dài vô hạn với tốc độ không đổi, A điểm b chuyển động từ a đoạn thẳng az với tốc độ giảm dần Ở khoảng thời gian điểm B vạch điểm C, D, E,… tương ứng với thời RQ cz dz ez điểm 1, 2, 3,…, điểm b vẽ điểm c, d, e,… thỏa = = = … SQ az cz dz với đoạn thẳng SQ điểm R thuộc đoạn SQ cho trước Napier định nghĩa: AC=lognap(cz) với cz = Sinθ1 AD=lognap(dz) với dz = Sinθ2 AE=lognap(ez) với ez = Sinθ3 Tương tự cho điểm khác mà B b vạch hai đường thẳng theo khoảng thời gian Napier chọn độ dài az = tạo bảng tính logarit cần thiết cho tính tốn 10.000.000 Như vậy, khái niệm logarit Napier xây dựng dường khác biệt so với khái niệm logarit biết ngày 3, liên hệ phần tử cấp số cộng (CSC) phần tử cấp số nhân (CSN) Logarit biến đổi phần tử CSN thành phần tử CSC tương ứng Tuy nhiên, khơng có định nghĩa logarit số thực dương cho trước, khơng có mối liên hệ với lũy thừa mũ số thực định nghĩa ban đầu Thêm nữa, khơng có định nghĩa tường minh cho số logarit Vậy, logarit Napier xây dựng sử dụng để làm gì? Tính chất khái niệm logarit thiết lập? Nghiên cứu [10] thấy: Napier chứng minh số tính chất quan trọng khái niệm logarit tạo Cụ thể sau: a c • Nếu a,b,c,d bốn số CSN thỏa = b d lognap a − lognap b = lognap c − lognap d • Nếu a,b,c ba số hạng liên tiếp CSN log nap b = log nap a + log nap c • Nếu a , b, c, d bốn số hạng liên tiếp CSN log nap b = log nap a + log nap d log nap c = log nap d + log nap a Theo [10] [14], Napier kiểm chứng tính ưu việt logarit thơng qua tốn: tính trung bình nhân hai số 10.000.000, 5.000.000 tìm số hạng thứ hai, thứ ba CSN gồm số hạng biết số hạng đầu 14142135 số hạng cuối 5.000.000 Napier khẳng định rằng: Tính theo logarit dễ dàng cách tính thơng thường Cụ thể tính 10.000.000×5.000.000, Napier dựa tính chất chứng minh, ông lấy lognap 10.000.000 + lognap 5.000.000 = + 6931470 = 6931470 6931470 ÷ = 3465735 Napier tra bảng logarit tìm kết 7071068, tương đối gần với kết Với toán thứ hai, để tiện theo dõi chúng tơi kí hiệu CSN với số hạng sau a; b; c; d a =14142135, d =5000000 Rõ ràng b3 = a2.d ; c3 = d2.a , ta tính b; c theo cơng thức b = a2.d ; c = d2.a Nhưng Napier tính theo cách dựa phép cộng, nhân hai chia ba, có hỗ trợ bảng logarit, lognap d + lognap a × 6931470 + ( − 3465735) c 3465735 tra bảng logarit = = log na p 3 ≈ ơng tính c ≈ 7071068 Tương b ≈ 107 , có CSN 14142135, 10000000, tự 7071068, 5000000 Như vậy, logarit Napier tạo nhằm mục đích để đơn giản hóa phép tính nhân, chia, bậc hai, bậc ba theo phép tính đơn giản cộng, trừ, chia hai chia ba Dù tính tốn cải thiện số logarit chưa thực tiện lợi, x lí thuyết tốn đại người ta chứng minh x =107.log Song lo g với 10 ưu điểm vượt trội, logarit tạo hứng thú cho nhiều nhà toán học Henry Briggs (1561–1630), Nicolaus Mercator (1620–1687), Leonhard Euler (1707–1783),… nghiên cứu sâu rộng logarit nap 1e Cùng với phát triển khoa học, Toán học phát triển nhanh logarit khơng phải ngoại lệ Vai trị logarit thực “tiến xa” vai trị lịch sử Không ứng dụng rộng rãi Tốn học mà logarit cịn xuất cơng thức tính mơn khoa học khác Chúng xin điểm qua vài ứng dụng logarit vai trị cơng cụ thể qua ứng dụng Vai trị cơng cụ logarit qua số ứng dụng 2.1 Logarit – công cụ đơn giản hóa phép tính phức tạp Như ta biết, từ đời logarit đóng vai trị cơng cụ đơn giản hóa phép tính nhân, chia khai thành phép tính đơn giản Dưới tác động logarit biểu thức cho dạng tích, thương, lũy thừa đưa biểu thức đơn giản Rõ ràng, sử dụng logarit số a ( < a ≠ ) tác động vào biểu thức x+2 loga ( x, y, z > ) ta biến đổi thành 3log x y z a y+ log z , thay tính a nhân, lũy thừa ta tính tốn dựa phép cộng logarit Theo tiến trình phát triển Tốn học, vai trị logarit tiếp tục kế thừa có phát triển Vai trị cơng cụ đơn giản hóa biểu thức phức tạp cho dạng tích, thương, lũy thừa thể qua ứng dụng sau logarit: a) Tính giới hạn vơ định dạng 1∞ , 00 , ∞0 b) Tính đạo hàm hàm số có dạng y = f ( x) g(x) y = f α ( x) f α ( x ) f α ( x) 1 2 n n c) Chuyển hàm mũ, lũy thừa hàm tuyến tính hay bán tuyến tính ( x) ( x) d) Giải phương trình mũ dạng a f = b , a f (x) = bg Chúng khảo sát cụ thể ứng dụng logarit qua mục sau: 2.1.1 Tính giới hạn vô định dạng 1∞ , 00 , ∞0 Trong giải tích đơi ta cần tính giới hạn vơ định 1∞ , 00 , ∞0 ; giới hạn có dạng lim f → 1∞ ( x) g ( x) a hữu hạn vơ Trong trường hợp x a lim f → x ( x) =1 lim g ( x ) = ∞ , chẳng hạn a x→ a lim 1+ x→+∞ , tương tự cho trường hợp x x 00 , ∞0 Nghiên cứu tài liệu tham khảo, thấy có nhiều kĩ thuật tìm giới hạn dạng vô định 1∞ , 00 , ∞0 phổ biến chung cho ba dạng kĩ thuật sử dụng logarit Sau hai ví dụ lời giải tương ứng: Ví dụ 1: Tìm Lời giải: Đặt lim ( sin x ) tan x (Giới hạn vô định dạng 00) (Tham khảo [13]) x→0+ y = ( sin x ) tan x Lấy logarit nêpe hai vế có ln( sin x) ln y = tan x.ln( sin x) = cos x cot x Mặt khác ln ( sin x lim ) x→0+ L' Hospital = cot x lim sin x x→0+ −1 sin2 x = lim =0 ( − cos x.sin x ) Do lim ln y = x→0+ Vậy, lim ( sin x ) tan x = lim y = lim eln y = e0 = x→0+ x→0+ x→0+ Ví dụ 2: Tìm giới hạn: lim ( sin x ) tan x π x→ (Giới hạn vô định dạng 1∞ ) + x→0 Lời giải: 5) Đặt ln( 1+ ( sin x A = ( sin x) tan x = 1+ ( sin − 1) ) x −1) tan x ln( 1+ ( sin x − 1) ) ln A = tan x.ln( 1+ ( sin x −1) = Và sin x − cot x = sin x sin x − cos x ) = sin x −1 cot x Do lim π x→ sin x − cot x =0 sin x −1 cot x Cuối cùng: lim ln A = , nghĩa là: lim A = lim ( sin x ) tan x = e0 = π x→ π x→ ([8], tr.46) π x→ Từ hai ví dụ ta thấy: logarit tham gia vào kĩ thuật tìm giới hạn vô định dạng ∞ , 00 góc độ tác động vào biểu thức f thành ( x)g ( ) g ( x ) ln [ f (x)] Từ x biến thay tính giới hạn trực tiếp, logarit chuyển hàm số y = f ( ( dạng đơn giản ) x) g x áp dụng công thức L’Hospital ln ( 1+ α ) lim g ( x ) ln [ f (x)] để tính =1 α Mục đích tính tốn thực thơng qua biến đổi logarit Dù chúng tơi khơng đưa ví dụ lời giải cụ thể cho dạng vô định ∞0 bạn đọc áp α →0 sin x dụng kĩ thuật tương tự để tìm giới hạn Bạn đọc thử tìm lim 1 x→0 x 2.1.2 Tính đạo hàm hàm số có y=f( y = f α ( x) f α ( x ) f α dạng x) g(x) + 1 2 n ( x) n Trong giải tích, ta thường gặp tốn tính đạo hàm hàm số có dạng y = f ( x ) g ( x) , chẳng hạn tập sau: Bài Tính đạo hàm hàm số: y= xx Lời giải trình bày tác giả Nguyễn Đình Trí: Để ý hàm số y = x không thuộc dạng ax (vì x khơng phải số), x khơng thuộc dạng xα (vì khơng phải số), đó, muốn tính y’ thiết phải x lấy logarit hai vế có ln y = ln x x y' 1 1 Và = − ln x + = ( 1− ln x ) y x2 x x x2 Do đó: y ' = ln x) y ( 1− ln x) = x x ( 1− ([8], tr.61) x2 x2 Rõ ràng, hàm số y = f (x)g(x) cho tập có đặc điểm y = g ( x ) y= f x) ( không hàm nên hàm số y = f (x)g(x) hàm số mũ không hàm lũy thừa, kéo theo ta khơng thể tính đạo hàm công thức thông thường Việc lấy đạo hàm thực cách lấy logarit nêpe hai vế phương trình y = f (x)g(x) , biến đổi dạng ln y = g ( x ) ln f (x) lấy đạo hàm theo biến x hai vế Dù không trực tiếp đưa đạo hàm hàm số y = f (x) g(x) logarit cho phép chuyển hàm số dạng đơn giản ln y = g ( x ) ln f tạo điều kiện thuận (x) lợi cho việc tính đạo hàm Khơng riêng hàm số có dạng y = f (x) g(x) , hàm số cho công thức y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x ) (α ∈ ¡ , ∀i = 1; n ) tính đạo hàm thơng n i n qua tác động logarit Dưới ví dụ minh chứng điều đó: Bài Tính đạo hàm hàm số y = 1 x3 , x≠ x3 ±1 ([8], tr.54) Lời giải dựa hướng dẫn tài liệu [8]: 1 1 x3 1 x3 3 ( 2) x Suy ln y = ln 1+ − ln 1− x y ' 3x2 33x2 1 = + = + x Lấy đạo hàm hai vế (2) có: y 1+ x3 1− x 1+ x3 1− x Ta có: ∀x ≠ ±1 y = Do y ' = , x ≠ 2x21 x3 x61 x3 Hàm số cho tốn khơng có dạng y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x) (α ∈ ¡ , ∀i = 1; n ) ta chuyển y = f α ( x ) f α ( x ) f nhờ α ( x) 1 n n i n tính chất lũy thừa mũ số thực Logarit tham gia kĩ thuật tính đạo hàm hàm số y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x ) ? 1 2 n n Từ ví dụ ta thấy: việc lấy logarit tác động vào hai vế y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x ) thực cách tùy ý, mà biến đổi 2 n n tiến hành giá trị x mà hàm số có đạo hàm fi ( x ) > , ∀i = 1; n Ở ví dụ trên, giá trị x≠ ±1 fi ( x) > hàm số ln có đạo hàm 1 x3 > nên việc lấy logarit nêpe hai vế y = 1 x3 hồn tồn 1 x3 1 x3 thực Theo đó, cách tổng quát logarit tác động vào hai vế y= f ( x) α1 f ( x) α f ( x) αn, n biến đổi thành n ln y = α1 ln f ( x) + α2.ln f2 ( x) + + αn ln fn ( x ) , việc tính đạo hàm hàm số ban đầu chuyển tính tổng đạo hàm hàm số đơn giản Như vậy, logarit tham gia vào kĩ thuật tính đạo hàm hàm số dạng y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x ) công cụ biến đổi hàm số cho dạng tích hàm 1 2 n n số đơn giản Thông qua biến đổi cho phép ta thực mục đích tính tốn 2.1.3 Chuyển hàm mũ, lũy thừa hàm tuyến tính bán tuyến tính Theo [5], kinh tế lượng mơn tốn kinh tế đo lường, định lượng mối quan hệ kinh tế dự báo khả phát triển Việc thiết lập mơ hình tốn học, hay đơn giản xây dựng hàm toán học diễn tả mối quan hệ kinh tế ảnh hưởng lớn đến ước lượng dự báo Trong thực tế để diễn tả tốc độ tăng trưởng dân số, lượng cung tiền, việc làm,… nhà kinh tế học sử dụng mơ hình hồi quy mũ lũy thừa, chẳng hạn hàm sản xuất Cobb-Douglas cơng thức lãi gộp4 Có nhiều phương pháp ước lượng thường dùng bình phương nhỏ – gọi phương pháp OLS (Ordinary Least Square) nhà toán học Đức, Carl Friedrich Gauss đề xuất Mơ hình hồi quy mũ, lũy thừa ước lượng theo phương pháp Vậy nhà toán học, nhà kinh tế học sử dụng cơng cụ sử dụng để biến đổi mơ hình hồi quy mũ, lũy thừa mơ hình hồi quy tuyến tính? Chúng tơi tìm thấy câu trả lời phần trình bày trang 64 trang 99, tài liệu [5] sau: • Trong lí thuyết tiền tệ, tài ngân hàng, biết cơng thức tính lãi suất gộp: Yt =Y ( 1+ r ) t ( 3.20 ) , với r tốc độ tăng trưởng (theo thời gian) Y Lấy lôgarit tự nhiên (3.20) ta được: ln Yt = ln Y0 + t.ln ( + r ) Nếu đặt lnYt = β1 + β2.t β1 =lnY0 ; β2 =ln( 1+r) ta viết (3.21) ( 3.22) Nếu thêm yếu tố ngẫu nhiên vào (3.22), ta có: lnYt = β1 + β2.t +Ui tr.64) • ( 3.21) dạng: ( 3.23 ) ([5], Từ phương trình (4.42)5, rõ ràng quan hệ Y với X2 X3 khơng phải tuyến tính Tuy nhiên, lấy Lôgarit hai vế ta được: ln Yi = ln β1 + β2 ln X 2i + β3.ln X 3i + Ui = β0 + β2 ln X 2i + β3.ln X 3i + Ui ( 4.43) Trong β0 = ln β1 , (4.43) mơ hình hồi quy tuyến tính logarit ([5], tr.99) Từ trình bày ta thấy: biến đổi hàm hồi quy mũ Y =Y ( 1+ r) t , lũy thừa Y = β X β2 X β3 e lnX i 2i Ui dạng lnY = β + β t lnY = β + β lnX + β t 3i i 2i t 3i +U thực i nhờ tác động logarit nêpe vào hai vế phương trình Dù mơ hình hồi quy (3.23) (4.43) chưa phải mơ hình hồi quy tuyến tính, với phép đặt Y t* = ln Y (3.23) đặt Y * = ln Y ; X * = ln X ; X * = ln (4.43) cho phép ta chuyển chúng X t i 2i 2i 3i 3i dạng tuyến tính Việc chuyển tạo điều kiện cho việc ước lượng mơ hình thực theo phương pháp OLS Từ cho thấy, logarit công cụ tốt để chuyển hàm hồi quy phức tạp cho dạng mũ, lũy thừa hàm đơn giản hơn, hàm tuyến tính hay bán tuyến tính Thơng qua biến đổi việc ước lượng dễ thực thay ước lượng trực tiếp hàm hồi quy mũ, lũy thừa ( x) ( x) = b , a f (x) = bg 2.1.4 Giải phương trình mũ dạng a f ( < a ≠ 1, b > 0) Từ thực tế sống, có nhiều kiện dẫn đến việc giải phương trình (PT) dạng a b f ( x) = ( < a ≠1, b > 0) , chẳng hạn: - Tính số năm gởi tiền N từ công thức lãi kép C = A ( 1+ r ) N biết số tiền gởi ban đầu A, lãi suất r% năm, tổng số tiền bao gồm lãi lẫn vốn sau N năm - Tính thời gian phân rã t chất phóng xạ từ công thức − m=me biết λt m0 , m khối lượng ban đầu, khối lượng lại sau thời gian t chất phóng xạ Ta giải PT mũ af b, ( x) = ax) f ( x ) = b g( kĩ thuật đưa số biến đổi “b thành a loga b ” dẫn đến kết f ( x) = f ( x ) = g ( x ) loga loga b b Tuy nhiên, ta giải PT kĩ thuật sử dụng logarit Dưới hai ví dụ điển hình lời giải tương ứng cho hai dạng PT mũ nêu: Ví dụ 8: Giải PT e53x 10 57 75 ([3], Bài 2.98: Giải PT Lời giải đề nghị tác giả tr.86) James Stewart: Lời giải: Lấy logarit số hai vế Lấy logarit hai vế phương trình sử dụng (9)6: chia hai vế cho 5x , ta được: xx ln e53x ln10 3x ln10 x log 57 x log log 757 5 ([3], tr.118) x 5 ln10 ([12], tr.66) Từ hai ví dụ ta tổng quát được: logarit số a tác động hai vế PT a f ( x) = b , g( f (x) b Nhờ tác động a = b biến đổi thành f ( x ) = loga b f ( x ) = g ( x) x) loga đó, thay giải trực tiếp PT a f ( x) = g a f ( x ) = b ( ta giải PT f ( x ) = loga x) b, b, f ( x ) = g ( x) loga b kĩ thuật giải PT đại số thông thường Dù chưa đưa nghiệm cụ thể cho PT ban đầu, logarit xem phần thiếu kĩ ( x) thuật giải PT af =b, ( x) ( x) ( x) a f (x) = bg af = a f (x) = bg , logarit Qua kĩ thuật b, giải PT bật với ứng dụng giải hai loại PT quan trọng vai trị cơng cụ cho phép chuyển việc tìm nghiệm PT có dạng mũ tìm nghiệm PT đơn giản Nhận xét: Trong Toán học, logarit ứng dụng để tính giới hạn dạng vô định 1∞ , 00 , ∞0 ; chuyển hàm mũ, lũy thừa hàm tuyến tính, bán tuyến tính; tính đạo hàm hàm số có dạng y = f y = f α ( x) f α ( x ) f giải PT mũ dạng ( x) g(x) , ( x) g( x ) α n ( x) 2 n a =b,a =b Thông qua ứng dụng đó, logarit thực bật với vai trị cơng cụ cho phép chuyển việc nghiên cứu biểu thức phức tạp có dạng tích, thương, f f (x) lũy thừa biểu thức đơn giản nhờ mối quan hệ phép nhân phép cộng Thông qua tác động logarit, biểu thức phức tạp chuyển dạng đơn giản mục đích tính tốn thực biểu thức đơn giản 2.2 Logarit – cơng cụ tính số chữ số số ngun dương Trong tính tốn, ta cần phải xác định số nguyên dương có chữ số Có nhiều cách tính số chữ số, tính cách đếm chữ số Chẳng hạn với số 1357902468, cách đếm ta xác định có 10 chữ số Tuy nhiên, ta xác định cách đếm có chữ số 22013 viết hệ thập phân Nhưng logarit cho phép làm điều Giả sử x số nguyên dương cho trước cần xác định số chữ số Theo tính chất số tự nhiên, ta tìm số tự nhiên n cho 10n ≤ x < 10n+1 ( 1) Lấy logarit số 10 hai vế (1) ta n ≤ log x < n + Điều chứng tỏ Do đó, số chữ số số nguyên dương x [ log x] n = [ log x] +1 Từ lập luận ta dễ dàng tính số chữ số số 22013 log 22013 + = 606 Tương tự, số nguyên tố M1398269 = 21398269 −1 có Mersenne log 21398269 − + = 420921 chữ số Như vậy, logarit xem cơng cụ tốt để tính số chữ số số nguyên dương ( ) 2.3 Tỉ lệ logarit Trong tính tốn, nhiều ta cần phải chuyển phạm vi đại lượng để tiện so sánh, đối chiếu phân tích Có thể phóng to kích thước hình lớn gấp m lần thu nhỏ n lần để xem xét Với dãy số liệu 0,01; 0,1; 10; 100; 1000; 10.000; 100.000; 1.000.000.000 thực giảm với tỉ lệ ta có dãy số nhỏ 10 lần 10 sau: 0,001; 0,01; 1; 10; 100; 1000; 10.000; 100.000.000 Xét cho ta có dãy số phức tạp Nếu lấy logarit thập phân số từ dãy số liệu ban đầu ta có dãy số sau: -2; -1; 1, 2, 3, 4, 5, Rõ ràng dãy số ban đầu chuyển dãy số dễ theo dõi dễ kiểm soát Thực tế cho thấy, logarit thực chuyển đại lượng có phạm vi rộng nhỏ phạm vi kiểm soát Điều minh họa thang đo pH, thang độ Richter thang đo decibel - thể cụ thể hóa tỉ lệ logarit Chúng tơi phân tích cụ thể tỉ lệ logarit qua thang đo pH Theo tài liệu [7],“Trong nước nguyên chất dung dịch ln ln có mặt ion H+ OH-” “nồng độ ion8 H+ OH- biểu diễn tính axit bazơ dung dịch” Tuy nhiên, nồng độ ion H+ dung dịch thường thay đổi phạm vi nhỏ, khó kiểm sốt từ 10−14 mol / l 10 mol / l Và theo [7]: “Mơi trường dung dịch biểu diễn đại lượng thuận lợi hơn: đại lượng số hydro pH: pH = − log CH ” ([7], tr.119) Vậy, số hydro pH thuận lợi nồng độ ion H+ thể chỗ nào? + Qua phân tích, chúng tơi nhận thấy số điểm thuận lợi sau: y = − log x , với x + Thứ nhất, theo cơng thức tính pH pH giá trị hàm số đại diện cho nồng độ ion H+ giá trị x thuộc đoạn 10 −14 ;100 Mà ta biết: hàm số y = −log x hàm nghịch biến khoảng ( 0; +∞) nên giá trị x thuộc đoạn 10−14 ;100 có giá trị pH tương ứng thuộc đoạn [ 0;14] ngược lại Từ cho thấy phạm vi hẹp 10 −14 ;10 nồng độ ion H+ đưa phạm vi theo dõi [ 0;14] dễ + Thứ hai, dựa vào số pH ta xác định tính axit hay bazơ dung dịch Thay so sánh nồng độ ion H+ 10−7 mol / l ta so sánh số pH với ( − log ( 10 ) −7 =7 ) Theo đó, dung dịch có pH = có mơi trường trung tính, dung dịch có pH > có mơi trường bazơ dung dịch có pH ) định nghĩa số thực α thỏa aα = b Logarit số a b biết đến nghiệm PT a x = (với < a ≠1,b > ) b Các tính chất logarit chủ yếu vận dụng để tính giá trị hay đơn giản biểu thức chứa logarit, chẳng hạn “Tính 36 log + 101−log − 8log ” ([6], tr.92) hay “Đơn giản biểu log + log 36 + log ”([6], tr.93) Logarit thực bật với ứng dụng thức 2 ( x) ( x) ( x) ( giải PT mũ dạng a x = b , a f = bg hay a f bg BPT mũ x) =c Về ứng dụng khác logarit, SGK Giải tích 12 CT chuẩn hành khơng đưa thêm ứng dụng khác, SGK Giải tích 12 nâng cao (GT12NC) có đưa vào ứng dụng tính số chữ số số nguyên dương phần học tập Ngoài ra, GT12NC bổ sung số đọc thêm “Về lịch sử phát minh logarit bảng logarit”,“Logarit số công thức đo lường” Thông qua đọc đó, GT12NC cung cấp thêm ứng dụng “đo độ pH dung dịch, đo độ chấn động trận động đất, đo độ to nhỏ âm thanh” logarit, vài nét lịch sử xuất logarit, có đề cập“Thực tế, logarit Nêpe làm cách mạng thiên văn nhiều lĩnh vực toán cách thay việc thực “phép tính nhân, chia, tính bậc hai, bậc ba số lớn mà bên cạnh việc tiêu phí thời gian cách tẻ nhạt, người ta cịn bị nhầm lẫn” thực phép tính cộng, trừ, đơn giản số tương ứng Phát minh Nêpe phương thức tiết kiệm thời gian” ([6], tr.91) Tuy nhiên, khơng có nhận xét hay tình để nhấn mạnh vai trị “cơng cụ cho phép đơn giản hóa biểu thức phức tạp cho dạng tích, thương, lũy thừa dạng đơn giản hơn” logarit phân tích để vai trị “cơng cụ chuyển đại lượng có phạm vi rộng hẹp phạm vi kiểm sốt được” Trong đó, giáo viên (GV) giảng dạy lớp bám sát CT, SGK Nếu có mở rộng, nâng cao GV chủ yếu tập trung vào toán giải PT mũ, hệ PT mũ đề thi đại học, chẳng hạn “Giải log (8− x2) +log ( 1+ x 1− x) −2 = ”9 Còn học PT + sinh (HS) chủ yếu học qua giảng GV tham khảo nội dung SGK Do vậy, nói HS học xong CT phổ thông biết đến logarit với ứng dụng giải PT, BPT mũ; tính độ pH dung dịch, đo độ chấn động trận động đất, đo độ to nhỏ âm cơng cụ tính số chữ số số nguyên dương cho trước Trong đó, vai trị “cơng cụ cho phép đơn giản hóa biểu thức phức tạp cho dạng tích, thương, lũy thừa dạng đơn giản hơn” vai trị “cơng cụ chuyển đại lượng có phạm vi rộng hẹp phạm vi kiểm sốt được” logarit khơng biết đến Đáng lẽ ra, làm bật hai vai trị logarit qua tình huống, phân tích từ ứng dụng “đo độ pH dung dịch, đo độ chấn động trận động đất, đo độ to nhỏ âm thanh” tính đạo hàm hàm số cho dạng y = f α ( x) f α ( x ) f α ( x) y = f (x)g(x) Cho nên, SGK thiết phải đưa 2 n n tình huống, phân tích kết luận vai trò logarit để HS biết vận dụng thực tiễn cần dùng đến Kết luận Logarit đời xuất phát từ nhu cầu lịch sử, nhằm mục đích đơn giản hóa phép tính phức tạp nhân, chia, khai thành phép cộng, trừ, chia hai chia ba Thay tính theo cách thơng thường logarit cho phép thực nhân, chia, khai theo cách đơn giản mà đảm bảo kết xác tương đối Theo tiến trình phát triển lịch sử Tốn học, lí thuyết logarit ngày hồn thiện Khơng đơn cơng cụ hỗ trợ tính nhân, chia, bậc hai, bậc ba, logarit biết đến với ứng dụng giải PT, BPT mũ; tính pH dung dịch; đo độ chấn động trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính số chữ số số ngun dương, tính giới hạn vơ định dạng 1∞ , 00 , ∞0 ; tính đạo hàm hàm số có dạng y = f (x) g(x) , y = f α ( x ) f α ( x ) f α ( x ) ;… Qua ứng dụng đó, logarit bật với 1 2 n n vai trị cơng cụ tính số chữ số số nguyên dương cho trước, cơng cụ chuyển đại lượng có phạm vi rộng hẹp phạm vi kiểm sốt cơng cụ cho phép đơn giản hóa biểu thức phức tạp có dạng tích, thương, lũy thừa dạng đơn giản Tuy nhiên, chương trình tốn phổ thơng hành đưa logarit vào thực làm bật ứng dụng giải BPT PT mũ dạng a x = b hay ( x) ( x) af = bg Các vai trị cơng cụ logarit chưa quan tâm cách thỏa đáng Chúng nhận thấy cần thiết phải bổ sung vào sách giáo khoa tập, hoạt động tình cho phép làm bật vai trị logarit, đặc biệt vai trị cơng cụ cho phép nghiên cứu biểu thức phức tạp thông qua biểu thức đơn giản cách dựa vào quan hệ phép nhân phép cộng John Napier nhà tốn học, vật lí, chiêm tinh thiên văn học người Scotland Ông địa chủ thứ tám vùng Merchiston Prothaphaeresis ghép từ hai từ prosthesis (cộng) aphaeresis (trừ), thay nhân theo cách thơng thường, PP prosthaphaeresis dựa theo công thức cos cos a cos b = ( a + b) + cos ( a − b) Chúng ám khái niệm logarit định nghĩa sau: “Cho a số dương khác b số dương Số thực α thỏa aα = b gọi logarit số a b kí hiệu loga b , tức α =loga b ⇔ aα = b ” ([6], tr.83) ... sốt Logarit chương trình tốn phổ thơng Chương trình (CT) tốn phổ thơng hành đặt yêu cầu cần đạt kĩ giải toán liên quan đến logarit là: ? ?biết vận dụng định nghĩa, tính chất logarit vào tính toán. .. rộng logarit nap 1e Cùng với phát triển khoa học, Toán học phát triển nhanh logarit khơng phải ngoại lệ Vai trị logarit thực “tiến xa” vai trò lịch sử Khơng ứng dụng rộng rãi Tốn học mà logarit. .. trung vào toán giải PT mũ, hệ PT mũ đề thi đại học, chẳng hạn “Giải log (8− x2) +log ( 1+ x 1− x) −2 = ”9 Còn học PT + sinh (HS) chủ yếu học qua giảng GV tham khảo nội dung SGK Do vậy, nói HS học