Bài giảng toán kinh tế chương 2 ts trần ngọc minh

BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Một số tình hoạt động kinh tế mơ hình tốn QHTT Bài tốn lập kế hoạch sản xuât CTy RM sản xuất loại SP (A B) Nguyên liệu đầu vào gồm: lạo I loại II, trữ lƣợng tƣơng ứng Một đơn vị SP A cần: nguyên liệu loại I nguyên liệu loại II Hai số tƣơng ứng SP B Qua điều tra thị trƣờng biết: -Nhu cầu SP A ≤ nhu cầu SP B 10 đơn vị -Nhu cầu cực đại SP B 20 đơn vị - Dự kiến pA = 2.000USD; pB = 3.000USD Cty cần sản xuất số lƣợng SP loại để có tổng doanh thu cực đại kỳ Mơ hình tốn: Gọi x1, x2 số lƣợng SP loại cần SX kỳ Khi tổng doanh thu là: f(x) = 2x1 + 3x2 →Max (nghìn đồng)đƣợc gọi hàm mục tiêu 2x1 + x2 ≤ x1 + 2x2 ≤ -x1 + x2 ≤ 10 x2 ≤ 20 x1 ≥ 0; x2 ≥ x = (x1, x2) phƣơng án chấp nhận đƣợc thỏa mãn ràng buộc (nghiệm chấp nhận đƣợc) www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Một số tình hoạt động kinh tế mơ hình tốn QHTT Bài tốn xác định phần ăn Bài toán vận tải Cần chế biến ăn từ nhiều thành phần (thực phẩm) cho đủ chất bổ (đạm, béo, đƣờng, ) cho tổng chi phí nhỏ Giả sử có n thành phần, với giá đơn vị thành phần cj (j = 1, 2, , n) Đồng thời có m chất Biết đơn vị thành phần j chứa aij đơn vị chất i (i = 1, 2, , m) mức chấp nhận đƣợc số đơn vị chất i hỗn hợp nằm li ≥ ui ≥ Mơ hình tốn: Gọi xi số lƣợng đơn vị khối lƣợng thành phần j đơn vị khối lƣợng ăn Khi đó, ta có: Tìm xj (j = 1, 2, n) cho: f(x) = c1x1 + c2x2 + +cnxn →Min đƣợc gọi hàm mục tiêu ĐK ràng buộc: li ≤ ∑aij xj ≤ ui ; i = 1, 2, , m ∑xj = xj ≥ 0; j = 1, 2, , n x = (x1, x2) phƣơng án chấp nhận đƣợc thỏa mãn ràng buộc (nghiệm chấp nhận đƣợc) Hàng hóa cần v/c từ m kho đếm n điểm tiêu thụ Lƣợng hàng kho i ≥ (i = 1, 2, ,m) điểm tiêu thụ j có nhu cầu bj (j = 1, 2, , n) Cƣớc phí v/c đơn vị hàng từ i đến j cij Giả sử tổng khối lƣợng hàng kho tổng nhu cầu điểm tiêu thụ Hãy lập kế hoạch phân phối hàng cho tổng chi phí v/c nhỏ đảm bảo kho phát hết hàng điểm tiêu thụ thu đủ hàng? Mơ hình tốn: Gọi xij lƣợng hàng cần vận chuyển từ i đến j Khi ta có f(x) = c11x11 + c12x12 + +c1nx1n + c21x21 + c22x22 + + c2nx2n + + cm1xm1 + cm2xm2 + .+ cmn xmn →Min đƣợc gọi hàm mục tiêu ĐK ràng buộc: ci1xi1 + ci2xi2 + +cinxin = ; i = 1, 2, , m c1jx1j + c2jx2j + +cmjxmj = bj ; j = 1, 2, , n xij ≥ 0; i = 1,2, , m;j = 1, 2, , n x = (xij)m.n phƣơng án chấp nhận đƣợc thỏa mãn ràng buộc (nghiệm chấp nhận đƣợc) www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Bài tốn QHTT tổng qt Tìm biến số x1, x2, , xn, cho hàm mục tiêu: n f(x ) c jx j M in (M a x ) j= thỏa mãn điều kiện: Chú ý n a ij x j b i ( i = , , , m ) a ij x j b i ( i = m + , , m + m ) a ij x j b i ( i = m + m + , , m ) j= n j= n j= x j ( j = , , , n ) ; x j ( j = n + , , n + n n) dó aịj, bi, cj số cho trƣớc x biến cần tìm hay cịn gọi phƣơng án, Có m ràng buộc n ràng buộc dấu Điểm x = (x1,x2, xn) ϵ Rn thỏa mãn ràng buộc toán gọi p/án Tập hợp tất p/án, ký hiệu D, gọi miền ràng buộc hay miền chấp nhận đƣợc Một p/án làm cho f(x) đạt cực trị gọi p/án tối ƣu (lời giải toán) www.ptit.edu.vn - Các ràng buộc đƣợc xếp theo thứ tự: ≤, ≥ = - m1 số ràng buộc ≤; m2 số ràng buộc ≥; m tổng số ràng buộc; n số biến, n1 số ràng buộc xj ≥ 0; n2 số ràng buộc xj ≤ (có thể n1 = n2 = 0) - Với toán bất kỳ, viết ràng biệt dạng cho bi ≥ (i = 1, 2, , m) Nêu bi ≤ ta nhân hai vế ràng buộc với -1, đổi chiều dấu bất đẳng thức xếp lại thứ tự ràng buộc cần GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Bài tốn QHTT dạng chuẩn dạng tắc Bài tốn QHTT dạng tắc Bài tốn QHTT dạng chuẩn tắc n n f(x ) c jx j f(x ) M in (M a x ) c jx j M in (M a x ) j= j= n n a ij x j b i (i = , , , m ) a ij x j b i ( i = , , , m ) x j ( j = , , , n ) j= j= xj (j = , , , n ) Để viết toán gọn hơn, ta dùng ký hiệu véc tơ ma trận a 1 a a n A= a a 2 .a n Aj = a 1j b1 c1 x1 a b2 c2 x2 2j a a m a m a m n B= mj bm c= x= cn xn 0 0= Min{f(x) = : Ax ≥ b; x ≥ Max{f(x) = : Ax ≤ b; x ≥ Min{f(x) = : Ax = b; x ≥ Max{f(x) = : Ax = b; x ≥ tích vơ hƣớng hai véc tơ c x www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Thí dụ 2.1: Đƣa tốn quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc chuẩn tắc: f(x) = 2x1 - x2 với điều kiện: x1 - 2x2 + x3 ≤ 2x1 - 2x2 - x3 ≥ x1 + x2 + x3 = x2 ≥ 0, x3 ≥ a) Dạng tắc: Bằng cách thay x1 = x4 - x5 với x4, x5 ≥ thêm hai biến phụ x6, x7 ≥ 0, ta đến toán: f(x) = - x2 + 2x4 - 2x5 với điều kiện: - 2x2 + x3 + x4 + x5 + x6 =2 - 2x2 - x3 + 2x4 - 2x5 - x7 = x2 + x3 + x4 - x5 =4 xj ≥ 0, (j = 2, 3, 4, 5, 6, 7) b) Dạng chuẩn tắc: Bằng cách thay x1 = x4 - x5 với x4, x5 ≥ 0, đổi dấu hai vế bất đẳng thức đầu thay đẳng thức cuối hai bất đẳng thức ≥, ta đến toán: f(x) = - x2 + 2x4 - 2x5 với điều kiện: 2x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -2 - 2x2 - x3 + 2x4 - 2x5 ≥ x2 + x3 + x4 - x5 ≥ -x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -4 xj ≥ 0, (j = 2, 3, 4, 5) www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MÔN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Phương pháp hình học giải qui hoạch tuyến tính biến Xét tốn quy hoạch tuyến tính với hai biến số: max{f(x) = c1x1 + c2x2: x = (x1, x2) } với D = { x R2: a11x1 + a12x2 ≤ bi, i = 1, 2, , m; xj ≥ 0, j = 1, 2}} Nhƣ ta biết, bất phƣơng trình tuyến tính ai1x1 + ai2x2 ≤ bi (hoặc ai1x1 + ai2x2 ≥ bi) ràng buộc dấu xj ≥ xác định R2 nửa mặt phẳng (nửa khơng gian đóng) giới hạn đƣờng thẳng {x R2: ai1x1 + ai2x2 = bi } Miền ràng buộc D giao m + nửa mặt phẳng đa giác lồi R2 Phƣơng trình c1x1 + c2x2 = α α thay đổi xác định mặt phẳng đƣờng thẳng song song với mà ta gọi đường mức ( với giá trị mức α) Theo ngơn ngữ hình học, toán trở thành: Trong số đƣờng mức cắt D tìm đƣờng mức với giá trị mức α lớn Nếu dịch chuyển song song đƣờng mức theo hƣớng véc tơ pháp tuyến c = (c1, c2) giá trị mức tăng, cịn dịch chuyển theo hƣớng ngƣợc lại giá trị mức giảm Vì vậy, để giải tốn đặt ta tiến hành nhƣ sau: Bắt đầu từ đƣờng mức cắt D ta dịch chuyển song song theo hƣớng véc tơ pháp tuyến c= (c1, c2) việc dịch chuyển làm cho đƣờng mức không cắt D dừng Điểm D (có thể nhiều) nằm đƣờng mức cuối lời giải cần tìm tốn, cịn giá trị mức giá trị lớn hàm mục tiêu f(x) www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MƠN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Tính chất tốn QHTT Tính chất chung -Tập hợp D p/án toán QHTT (dạng bất kỳ) tập hợp lồi Hơn tập lồi đa diên (khúc lồi) -Nếu QHTT có p/án f(x) bị chặn D (bài tốn min) tốn chắn có p/án tối ưu -Nếu x0 p/án tối ưu toán QHTT (dạng bất kỳ) x1, x2 (x1 ≠ x2) hai p/án thỏa mãn: x0 = λx1 + (1 - λ)x2 ; 0≤ λ ≤1 x1, x2 ϵ D x1 ,x2 p/án tối ưu (Tập p/án tối ưu) - Bài tốn QHTT có p/án tối ưu gọi tốn giải được, khơng có p/án tối ưu gọi tốn khơng giải hai ngun nhân sau: Bài tốn khơng có p/án (D = Φ) Bài tốn có p/án f(x) không bị chặn miền ràng buộc -Nếu p/án x mà ràng buộc i thỏa mãn với dấu đẳng thức, nghĩa ∑aijxj = bi xj = ta nói phương án x thỏa chặt ràng buộc i - Nếu p/án x mà ràng buộc i thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực , nghĩa ∑aijxj ) bi xj ≠ ta nói phương án x thỏa lỏng ràng buộc i www.ptit.edu.vn Phƣơng án cực biên Một p/án x ϵ D, đồng thời đỉnh D gọi p/án cực biên, nghĩa x biểu diễn dạng tổ hợp lồi hai p/án khác D Hay nói cách khác x = λx1 + (1 - λ)x2 ; 0≤ λ ≤1 x1, x2 ϵ D phải có x ≡ x1 ≡ x2 0 - Để p/án x0 = ( x ,x , ,x n ) toán QHTT dạng p/án cực biên không suy biến điều kiện cần đủ p/án x phải thỏa chặt n ràng buộc (kể ràng buộc dấu) hệ véc tơ tương ứng với ràng buộc độc lập tuyến tính 0 - Để p/án x0 = ( x ,x , ,x n ) tốn QHTT dạng tắc p/án cực biên điều kiện cần đủ véc tơ cột Aj ma trận A ứng với thành phần xj > độc lập tuyến tính - Một nhóm ràng buộc có hệ véc tơ Aj tương ứng độc lập tuyến tính gọi ràng buộc độc lập tuyến tính -Các ràng buộc dấu ln độc lập tuyến tính véc tơ Aj véc tơ đơn vị thứ j -Số p/án cực biên toán QHTT hữu hạn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Quy hoạch tuyến tính đối ngẫu www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Các thí dụ www.ptit.edu.vn Viết tốn đối ngẫu toán sau cặp rang buộc đối ngẫu: f(x) = -4x1 + x2 + 5x3 + 5x5 → Min với điều kiện: 3x1 – 6x2 - x3 + 2x4 + 4x5 ≥ -15 (1) -2x1 + 3x2 + 4x3 – 5x4 + x5 ≤ (2) - 6x2 + 3x3 + 8x4 – 4x5 = 3x1 + 2x2 – 3x4 + x5 ≥ 24 (3) x1 ≥ (4), x3 ≤ (5), x5 ≥ (6) Giải: Bài toán đối ngẫu: g(y) = -15y1 + 8y2 + 9y3 + 25y4 → Max 3y1 – 2y2 + 3y4 ≤ - (7) -6y1 + 3y2 – 6y3 + 2y4 = -y1 + 4y2 + 3y3 ≥ (8) 2y1- - 5y2 + 8y3 + - 3y4 = 4y1 + y2 – 4y3 + y4 ≤ (9) y1 ≥ (10) y2 ≤ (11) y4 ≥ (12) Các cặp ràng buộc đối ngẫu là: (1)-(10); (2)-(11); (3)-(12); (4)-(7); (5)-(8); (6)-(9) GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MÔN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Các định lý đối ngẫu Định lý đối ngẫu yếu: Nếu x phƣơng án toán gốc y phƣơng án toán đối ngẫu thì: f(x) = c1x1 + c2x2 +….+ cnxn ≥ g(y) = b1y1 + b2y2 + … + bmym Hệ 1: a) Giá trị mục tiêu phƣơng án đối ngẫu cận dƣới cho giá trị mục tiêu phƣơng án toán gốc b) Nếu hàm mục tiêu tốn gốc khơng bị chặn dƣới miền rang buộc tốn đối ngẫu khơng có phƣơng án c) Nếu hàm mục tiêu tốn đối ngẫu khơng bị chặn miền rang buộc tốn gốc khơng có phƣơng án d) Nếu x* phƣơng án toán gốc, y* phƣơng án toán đối ngẫu f(x*) = g(y*) x*- phƣơng án tối ƣu toán gốc y* phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu Định lý đối ngẫu mạnh: Nếu quy hoạch có phƣơng án tối ƣu quy hoạch đối ngẫu có phƣơng án tối ƣu giá trị tối ƣu chúng Định lý định lý tồn Đối với cặp quy hoạch đối ngẫu sảy ba khả loại trừ sau đây: - Cả hai quy hoạch khơng có phƣơng án - Cả hai quy hoạch có phƣơng án, bđó hai quy hoạch có phƣơng án tối ƣu giá trị hàm mục tiêu - Một quy hoạch có phƣơng án quy hoạch khơng có phƣơng án Khi đó, quy hoạch có phƣơng án khơng có phƣơng án tối ƣu hàm mục tiêu khơng bị chặn miền ràng buộc www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Các định lý đối ngẫu www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Các ứng dụng cặp tốn đối ngẫu Sử dụng tính chất định lý đối ngẫu xử lý tình dƣới mà khơng thiết phải giải lại toán a) Khảo sát tồn phương án, phương án tối ưu Thí dụ: Cho tốn QHTT: f(x) = 2x1 – x2 + 3x3 – 2x4 Min x1 – x2 = 15 x3 – x = xj ≥ ( ) Hãy viết tốn đối ngẫu chứng tỏ có phƣơng án cực biên tối ƣu? Giải: Bài toán đối ngẫu: g(y) = 15y1 + 8y2 Max y1 ≤2 -y1 ≤-1 y2 ≤ -y2 ≤-2 Dễ dàng thấy x = (15, 8) y = (1, 2) phƣơng án cặp toán đối ngẫu Suy cặp tốn có phƣơng án tối ƣu Mặt khác, hạng hệ ràng buộc toán đối ngẫu có phƣơng án cực biên tối ƣu www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Các thí dụ Cho tốn QHTT: f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 Min 3x1 + x2 + x3 =1 5x1 + x2 + x3 + x4 =3 2x1 +5x2 + x3 + x5 = xj ≥ ( ) * có phƣơng án tối ƣu x = (0, 1, 2, 3) với fmin = f(x*) = Hãy tìm phƣơng án tối ƣu toán đối ngẫu Giải: Bài toán đối ngẫu có dạng: g(y) = y1 + 3y2 + 8y3 Max với điều kiện: 3y1 + 5y2 + 2y3 ≤ y1 + y2 + 5y3 ≤ y1 + y2 + y3 ≤ y2 ≤1 y3 ≤ Gọi y* phƣơng án tối ƣu toán Do nên theo định lý (1.15) y* nghiệm hệ phƣơng trình: y1 + y2 + 5y3 = y2 =1 y3 = * Giải hệ đƣợc y = (-5, 1, 1) với gmax = = fmin www.ptit.edu.vn Cho toán QHTT: f(x) = 7x1 + 6x2 – 12x3 + x4 → Max 2x1 – 2x2 – 3x3 + 2x4 = 3x2 + 2x3 – 2x4 ≤-1 2x1 - 3x3 + x4 = 10 xj ≥ ( ) véc tơ x = (0, 6, 0, 10) Viết toán đối ngẫu Phân tích tính chất x0 tốn cho Xác định tập phƣơng án tối ƣu hai tốn Chỉ phƣơng án tối ƣu khơng cực biên toán gốc x0 thoả mãn Giải: Bài toán đối ngẫu: ràng buộc g(y) = 8y1 – y2 + 10y3 → Min toán, x0 phƣơng 2y1 + 2y3 ≥ án; phƣơng án x0 -2y1 + 3y2 ≥6 thoả chặt ràng -3y1 + 2y2 – 3y3 ≥ -12 buộc 1, ràng 2y1 – 2y2 + y3 ≥ buộc dấu, y2 ≥0 ràng buộc độc Theo định lý đối ngẫu ta có: lập tuyến tính nên -2y1 + 3y2 =6 x0 phƣơng án 2y1 – 2y2 + y3 = cực biên (không y2 =0 suy biến) GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Phƣơng pháp đơn hình đối ngẫu Đây phƣơng pháp đơn hình áp vào toán đối ngẫu, nhƣng để tim lời giải toán gốc Phƣơng pháp ĐHĐN xuất phát từ “Giả p/án” (nghiệm Ax = b) thỏa mãn ∆k ≤ 0, nhƣng chƣa thỏa mãn điều kiện xj ≥ 0, nghĩa cột p/án có phần tử âm Các bảng đơn hình đƣợc biến đổi cho đản bảo tiêu chuẩn tối ƣu trình tiếp diễn phần tử cột p/án khơng cịn phần tử âm ta nhận đƣợc p/án tối ƣu toán gốc Min{f(x) = : Ax = b; x ≥ 0} (b tùy ý) Bài toán đối ngẫu: Max{g(y) = : ATy ≤ c; y ≥ Rõ ràng y0 = PACB g(y), ATy = ≤ c www.ptit.edu.vn Thuật tốn đơn hình: Bƣớc 1: lập bảng đơn hình đối ngẫu ban đầu Bƣớc 2: Kiểm tra tối ƣu Nếu phần tử cột giả p/án không âm p/án có tối ƣu, Trái lại sang B3 Bƣớc 3: Chọn dòng xoay: Chứa phần tử âm nhỏ cột giả p/án Chọn cột xoay: Lấy phần tử dịng ƣớc lƣợng (tính từ cột j= 1) chia cho phần tử tƣơng ứng dòng xoay, nhƣng chia cho phần tử âm Cột xoay ứng với tỷ số nhỏ Giao dòng xoay cột xoay phần tử xoay Bƣớc 4: Biến đổi bảng đơn hình nhƣ phƣơng pháp đơn hình thƣờng Sau trở lại thực bƣớc p/án phần tử âm cột giả p/án Chú ý: Khi tìm cột xoay, phần tử dịng xoay khơng âm tốn ban đầu khơng có p/án tối ƣu GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MÔN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Thí dụ Giải toán QHTT sau: f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x2 → Min Đ/K ràng buộc: 3x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 160 x1 + 2x2 + 3x3 ≥ 140 xj ≥ (j = 1, 2, 3) Đƣa toán dạng tắc: f(x) = 15x1 + 12x2 + 10x2 → Min Đ/K ràng buộc: -3x1 - 4x2 - 2x3 + x4 = -160 -x1 - 2x2 - 3x3 + x5 = -140 xj ≥ (j = 1, 2, 3, 4, 5) với giả p/án là: x = (0, 0, 0, -160, -140) Ở bảng 3, phần tử cột giả phương án dương, nên ta nhận phương án tối ưu: x* = (0, 25, 30), f(x*) = 600 Quy tắc tìm nghiệm đối ngẫu: Nếu sở ban đầu ma trận đơn vị để tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu, ta chọn từ bảng đơn hình đối ngẫu cuối Δj cột biến xj mà chúng biến sở bước lặp (Bảng 1), cộng them hệ số cj tương ứng Sau đó, đổi dấu tổng tìm biến sở tương ứng ban đầu nhận giá trị âm Với thí dụ này, ta thấy biến sở bước lặp (Bảng 1) x4, x5 Lúc đầu biến nhận giá trị âm, nên phương án tối ưu toán đối ngẫu y* = (y*1, y*2 ) xác định sau: Vậy y* = (2, 2) g(y*) = 600 = fmin www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH Để phân tích ý nghĩa kinh tế mối quan hệ toán đối ngẫu nta sử dụng cặp toán đối ngẫu: (P) f ( x ) c jx j M ax j= n a ij x b i (i= ,m ) j j= x j (j = ,n ) m (Q) g (y) = biyi b i= n a T y ij i c j ( j= ,n ) j= y i ( i = 1, m ) Nội dung toán (P): Sử dụng m loại tài nguyên khác để SX n loại sản phẩm Số lượng tài nguyên bị hạn chế bi Định mức chi phí tài nguyên i cho đơn vị SP j aij Biết ước lượng giá trị đơn vị SP j cj.Xác định xj SX kỳ cho tổng giá trị SP đạt cực đại đảm bảo chi phí tài ngun khơng vượt q số lượng cho Như m loại tài nguyên tham gia vào trình SX, phải đánh giá loại tài nguyên có ích, loại khơng cần thiết www.ptit.edu.vn Ứng dụng lý thuyết đối ngẫu Để giả vấn dề người ta dùng toán đối ngẫu (Q) Trong yi giá trị ước lượng đơn vị tài nguyên, g(y) tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng cho việc sản xuất loại sản phẩm, ràng buộc i giá trị chung tài nguyên tiêu phí cho đơn vị sản phẩm j không giá trị đơn vị sản phẩm j Hãy tìm phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên cho tổng giá trị nguồn tài nguyên sử dụng nhỏ với điều kiện chi phí tài nguyên dùng cho sản phẩm không giá trị Dựa vào định lý đối ngẫu cặp tốn này, phân tích ý nghĩa kinh tế mối quan hệ chúng Giả sử x phương án số lượng sản phẩm tối ưu toán (P), y phương án đánh giá trị giá ước lượng tài nguyên tối ưu toán (Q) GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # BÀI GIẢNG MƠN TỐN KINH TẾ CHƢƠNG MƠ HÌNH TỐI ƢU TUYẾN TÍNH - QUY HOACH TUYẾN TÍNH www.ptit.edu.vn GIẢNG VIÊN: TS Trần Ngọc Minh BỘ MÔN: KINH TẾ - KHOA QTKD1 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trang # ... c11x11 + c12x 12 + +c1nx1n + c21x21 + c22x 22 + + c2nx2n + + cm1xm1 + cm2xm2 + .+ cmn xmn →Min đƣợc gọi hàm mục tiêu ĐK ràng buộc: ci1xi1 + ci2xi2 + +cinxin = ; i = 1, 2, , m c1jx1j + c2jx2j + +cmjxmj... ta đến toán: f(x) = - x2 + 2x4 - 2x5 với điều kiện: 2x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -2 - 2x2 - x3 + 2x4 - 2x5 ≥ x2 + x3 + x4 - x5 ≥ -x2 - x3 - x4 + x5 ≥ -4 xj ≥ 0, (j = 2, 3, 4, 5) www.ptit.edu.vn GIẢNG... sau: f(x) = 2x1 - 2x2 + x3 - x4 với điều kiện x1 + 2x2 + x3 + 2x4 =7 3x1 - x2 - 2x3 + x4 = 2x1 - 2x2 - x3 + x4 = xj ≥ (j =1 ,2, ,n ) Giải: Pha 1: Đƣa vào biến giả t1, t2, t3 ≥ giải toán phụ: g(t)