Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 9 Đồ thị (phần hai) 1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với các bài toán, giải thuật và ứn[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Đồ thị (phần hai) Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với toán, giải thuật ứng dụng lý thuyết đồ thị Sinh viên cần xem lại lý thuyết Chương trước thực tập Bài tập mẫu Đồ thị G1 hình bên (G1 ) 11 A C E 10 S 10 B D F H 14 G Câu Tìm đường ngắn xuất phát từ S đến tất đỉnh lại giải thuật Dijkstra Lời giải Câu Tìm đường ngắn xuất phát từ S đến tất đỉnh lại giải thuật Bellman-Ford Lời giải Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 1/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Tìm đường ngắn xuất phát từ S đến tất đỉnh lại giải thuật Floyd-Warshall Lời giải Bài tập cần giải Câu Xác định xem đồ thị có liên thơng mạnh hay khơng, khơng, có liên thơng yếu hay khơng b a c b f e d a c f d e Lời giải a) Liên thông yếu b) Liên thông mạnh Câu Chứng minh đồ thị sau đỉnh cắt a) Cn với n ≥ b) Wn với n ≥ c) Km,n với m ≥ n ≥ d) Qn với n ≥ Lời giải Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 2/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Cn với n ≥ 3: Ta có cạnh sau: {x0 , x1 },{x1 , x2 }, ,{xn−2 , xn−1 },{xn−1 , x0 } Giả sử ta bỏ đỉnh i (0 ≤ i ≤ n-1) Đồ thị cạnh sau: {x0 , x1 },{x1 , x2 }, ,{xi−2 , xi−1 },{xi+1 , xi+ Việc bỏ đỉnh i không làm tăng thành phần liên thơng đồ thị tồn đường từ điểm lại Vậy Cn khơng có đỉnh cắt (Hoặc đồ thị có chu trình Haminton Việc loại đỉnh tồn đường Haminton) b) Wn với n ≥ 3: Là đồ thị thu từ Cn , điểm cũ Cn bỏ đảm bảo liên thông Nếu bỏ điểm trung tâm trở lại thành Cn c) Km,n với m ≥ n ≥ 2: Ta chứng bỏ đỉnh phía trái đồ thị liên thơng, từ phía bên phải tương tự Dùng phương pháp quy nạp: Với K2,n (n ≥ 2) đồ bỏ đỉnh phía trái đồ thị có dạng hình với điểm nối với đỉnh phía phải (liên thơng) Giả sử với m ≥ 2, ta cần chứng minh với m = m + Thật với m = m + 1, ta có đồ thị Km+1,n Lúc bỏ điểm bên trái đồ thị trở Km,n (liên thơng) Vậy Km,n khơng có đỉnh cắt d) Qn với n ≥ 2: Ln chứa chu trình Haminton Vì bỏ điểm khỏi đồ thị tồn đường Haminton, liên thơng Vậy Qn khơng có đỉnh cắt Câu Hãy vẽ đồ thị G có κ(G) = 1, λ(G) = 2, bậc nhỏ đỉnh f g c b e Lời giải a d i h Câu Xác định xem đồ thị sau có chu trình Euler hay khơng Nếu có, xác định Nếu khơng, xác định xem có đường Euler hay khơng Nếu có, vẽ đường Euler Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 3/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính c b c b i a d a g h e d k g l i j h e f f Lời giải a) Khơng có chu trình Euler Có đường Euler b) Có chu trình Euler Câu Xác định xem đồ thị sau có chu trình Hamilton hay khơng Nếu có, xác định Nếu khơng, đưa lý luận khơng có g a d a b c f b e e c d f Lời giải a) Khơng có chu trình Hamilton liên thơng cạnh λ(G) = b) Khơng có chu trình Hamilton có đỉnh deg(v)=1 Câu Hãy dùng giải thuật Dijsktra để tìm đường ngắn đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị G3 sau Lời giải Dựa theo giải thuật Dijkstra, cần xây dựng bảng sau Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 4/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G3 ) B E 2 A D F C i π(0) π(1) π(2) π(3) π(4) π(5) A B 4 C 1 D +∞ 6 E +∞ +∞ 10 8 F +∞ 8 8 Từ bảng trên, ta xác đinh đường ngắn từ A đến đỉnh cịn lại • A→B • A→C • A→B→D • A→B→D→E • A→C→F Câu 10 Hãy dùng giải thuật Bellman-Ford để tìm đường ngắn đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị G4 bên Lời giải Dựa theo giải thuật Bellman-Ford, xây dựng bảng sau Step A 0 0 0 B +∞ 3 3 Giáo trình Toán Rời Rạc C D E F G +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ 12 +∞ 12 16 12 16 12 16 Stop since Step = Step H +∞ +∞ +∞ 22 22 22 I +∞ +∞ +∞ 19 19 19 J +∞ +∞ +∞ +∞ 21 21 Trang 5/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G4 ) B E 3 A G C J 12 D H 10 15 F I Từ bảng trên, ta xác đinh đường ngắn từ A đến đỉnh cịn lại • A→B • A→C • A→C→D • A→B→E • A→C→D→F • A→B→E→G • A→C→D→F →H • A→C→D→F →H→I • A→C→D→F →H→I→J Câu 11 Hãy dùng giải thuật Floyd-Warshall để tìm đường ngắn đỉnh đến đỉnh khác đồ thị G8 bên Lời giải L(0) Giáo trình Tốn Rời Rạc = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Trang 6/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G8 ) D G = L(2) = L(3) Giáo trình Tốn Rời Rạc = E L(1) C A B F H ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ 10 ∞ ∞ 15 ∞ ∞ ∞ ∞ 11 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ 10 ∞ ∞ 15 ∞ 12 15 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 17 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Trang 7/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính L(4) = L(5) = L(6) = L(7) Giáo trình Tốn Rời Rạc = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ 10 ∞ ∞ 15 ∞ 10 15 7 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 15 20 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ 10 ∞ ∞ 15 ∞ 10 15 11 ∞ ∞ 13 ∞ ∞ ∞ ∞ 11 15 20 ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 13 ∞ 10 ∞ 13 15 11 10 15 11 ∞ ∞ 13 ∞ ∞ ∞ ∞ 11 15 20 ∞ 13 ∞ 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 14 ∞ ∞ 13 ∞ 10 16 13 15 11 10 15 11 ∞ ∞ 13 ∞ ∞ ∞ ∞ 11 15 20 ∞ 13 ∞ Trang 8/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính L(8) = ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 14 ∞ ∞ 13 ∞ 10 16 12 15 11 10 15 11 ∞ ∞ 12 ∞ ∞ ∞ ∞ 11 15 11 ∞ 13 ∞ Câu 12 Xác định xem đồ thị sau có phẳng hay khơng Nếu có, vẽ lại đồ thị cho khơng có cạnh giao a a b c b c f d e f e d Lời giải a) Khơng, K3,3 b) Phẳng: a d b f e c Câu 13 Vẽ đồ thị đối ngẫu đồ sa, sau tìm số màu cần thiết để tơ đồ cho vùng kế không màu với Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 9/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính E D E A F B B A Lời giải C D C Bài tập làm thêm Câu 14 Cho đồ thị G = (V, E) đồ thị có hướng Đỉnh w ∈ V gọi đến từ đỉnh v ∈ V có đường có hướng từ v sang w Hai đỉnh v w gọi đến tồn đường có hướng từ v đến w đường có hướng từ w đến v G Chứng minh G = (V, E) đồ thị có hướng u, v, w đỉnh thuộc V u v đến v w đến nhau, u w đến Câu 15 Chứng minh đồ thị liên thơng có n đỉnh phải có n − cạnh Câu 16 a) Bạn trao bình lít bình lít Bạn làm ba hành động, đổ nước đầy bình, đổ nước hồn tồn khỏi bình, đổ nước qua lại bình Hãy sử dụng đường đồ thị có hướng thấy bạn thể làm cho bình có chứa lít nước b) Có hai cặp vợ chồng muốn qua sơng Họ có thuyền chở lần hai người từ bờ sang bờ bên Vấn đề chỗ hai ơng chồng Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 10/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính có tính ghen tng tới múc khơng muốn để vợ lại với người đàn ơng kia, dù thuyền hay bờ Làm cách để bốn qua bờ bên kia? Câu 17 Hãy xác định xem đồ thị vơ hướng sau có chứa đường đi/chu trình Euler Hamilton khơng ? Nếu có, vẽ (G10 ) 11 A C E 10 S 10 B D F H 14 G Câu 18 Một họp có ba đại biểu đến dự Mỗi người quen hai đại biểu khác.Hãy tìm cách để xếp chỗ ngồi đại biểu chung quanh bàn tròn, cho người ngồi hai người mà đại biểu quen Câu 19 Hãy dùng giải thuật Dijsktra giải thuật Ford để tìm đường ngắn đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị G5 bên (G5 ) B E A C D Giáo trình Tốn Rời Rạc G H F Trang 11/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 20 Hãy dùng giải thuật Bellman-Ford để tìm đường ngắn đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị G6 bên (G6 ) B C -3 A F D E Câu 21 Hãy dùng giải thuật Bellman-Ford để tìm đường ngắn đỉnh A đến đỉnh khác đồ thị G7 bên (G7 ) B A D -4 G C -3 -6 E 10 F H Câu 22 Liệu dùng giải thuật Dijsktra để giải tốn tìm đường ngắn xuất phát từ đỉnh đến đỉnh khác khơng ? Nếu có minh họa áp dụng vào đồ thị từ G5 đến G8 Câu 23 Hãy thiết kế giải thuật để đếm số đường ngắn đồ thị cho sẵn Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 12/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 24 a) Làm đếm số đường khác xuất phát từ đỉnh u đến đỉnh v đồ thị G cho trước? b) Hãy vẽ đồ thị minh họa việc đếm c) Liệu có tồn giải thuật đếm số đường có từ u đến v khơng? Câu 25 Liệu có tồn giải thuật xác định cách nhanh chóng tồn chu trình đồ thị cho trước khơng? Nếu có viết giải thuật Câu 26 Gọi Π∗ đường ngắn đồ thị Nếu trọng số tất cạnh tăng lên giá trị số liệu Π∗ có đường ngắn đồ thị khơng? Câu 27 Tìm đường ngắn đỉnh đến đỉnh khác đồ thị G9 sau Câu 28 Xác định xem đồ thị sau có đồng phôi với K3,3 hay không c a b d a b c g h e f g h d e f Câu 29 Một vườn thú muốn mở số khu vực trưng bày thú Tuy nhiên, vài lồi thú ăn thịt lẫn có hội Mơ hình đồ thị phương pháp tơ màu giúp ích Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 13/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G9 ) 1900 Hải Phòng Cà Mau 1200 400 200 Hồ Chí Minh 1000 Hà Nội 600 500 800 100 Nha Trang Đà Nẵng 200 500 Vũng Tàu Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 14/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính việc xác định xem vườn thú cần mở khu vực trưng bày cách đặt thú khu vực này? Câu 30 Số màu Wn bao nhiêu? Tổng kết Thông qua tập phần này, làm quen với lý thuyết đường chu trình (tham khảo chi tiết lý thuyết chương 9) Và tập giúp phần hiểu thêm ý tưởng, hướng giải thuật để giải vài toán thực tế đơn giản chung quanh Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 15/15 ... +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ 12 +∞ 12 16 12 16 12 16 Stop since Step = Step H +∞ +∞ +∞ 22 22 22 I +∞ +∞ +∞ 19 19 19 J +∞ +∞ +∞ +∞ 21 21 Trang 5/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật... Tìm đường ngắn đỉnh đến đỉnh khác đồ thị G9 sau Câu 28 Xác định xem đồ thị sau có đồng phơi với K3,3 hay không c a b d a b c g h e f g h d e f Câu 29 Một vườn thú muốn mở số khu vực trưng bày... Rời Rạc Trang 13/15 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính (G9 ) 190 0 Hải Phịng Cà Mau 1200 400 200 Hồ Chí Minh 1000 Hà Nội 600 500 800 100 Nha Trang Đà Nẵng 200