Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 5 Quan hệ 1 Dẫn nhập Trong bài tập dưới đây, chúng ta sẽ làm quen với các kiến thức liên quan đến lý thuyết tậ[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Quan hệ Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến lý thuyết tập hợp (bao gồm quan hệ, quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Cho quan hệ R = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)} tập X = {1, 2, 3} Hãy xác định R a) phản xạ b) đối xứng c) bắc cầu Lời giải a) Quan hệ R khơng có tính chất phản xạ (2, 2) ∈ / R; b) Quan hệ R có tính chất đối xứng đối xứng R−1 = R; c) Quan hệ R khơng có tính chất bắc cầu (3, 2) ∈ R (2, 3) ∈ R, (3, 3) ∈ / R Câu Quan hệ R N định nghĩa “n R m m = n + 1” a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Lời giải a) Nếu R có tính chất đối xứng, ta có m = n + ⇐⇒ n = m + (vơ lý!) Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 1/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) Nếu R có tính chất phản xạ, n = n + (vơ lý!) c) Nếu R có tính chất bắc cầu, ta có m = n + p = m + =⇒ p = n + (vô lý!) Bài tập cần giải Câu Trong quan hệ sau tập {1, 2, 3, 4}, xác định xem có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)} {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(2, 4), (4, 2)} {(1, 2), (2, 3), (3, 4)} {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)} Lời giải Không phản xạ (thiếu (1,1)), không đối xứng (có (2,4) khơng có (4,2)), khơng phản đối xứng (có (2,3) (3,2) 6= 3), có bắc cầu Có phản xạ, có đối xứng, khơng phản đối xứng (có (1,2) (2,1) 6= 1), có bắc cầu Khơng phản xạ, có đối xứng, khơng có phản đối xứng, khơng có bắc cầu Khơng phản xạ, khơng có đối xứng, có phản đối xứng, khơng có bắc cầu Có phản xạ, có đối xứng, có phản đối xứng, có bắc cầu Khơng có phản xạ, khơng có đối xứng, khơng có phản đối xứng, khơng có bắc cầu Câu Quan hệ R N định nghĩa “n R m m n có ước số chung lớn 1” Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 2/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) đối xứng? b) phản xạ? c) bắc cầu? Lời giải a) Để R có tính chất đối xứng, với m, n ∈ N, (m, n) ∈ R (n, m) ∈ R Giả sử (m, n) có ước số chung k > rõ ràng (n, m) có ước số chung k Vậy quan hệ đối xứng b) Để R có tính chất phản xạ, với m ∈ N, (m, m) ∈ R Trong số tự nhiên, ta tìm thấy cặp (1, 1) ∈ / R chúng có ước số chung Vậy R khơng có tính phản xạ c) Để R có tính chất bắc cầu, với m, n, p ∈ N, (m, n) ∈ R (n, p) ∈ R (m, p) ∈ R Tìm thấy cặp (2, 6) ∈ R (6, 9) ∈ R rõ ràng (2, 9) ∈ / R Vậy khơng có bắc cầu Câu Xác định quan hệ R tập tất người phản xạ, đối xứng, phản đối xứng hay bắc cầu Biết (a, b) ∈ R a) a cao b; b) a b sinh ngày; c) a b có ơng bà nội Lời giải a) Đây quan hệ không phản xạ (một người khơng thể cao mình), khơng đối xứng, có phản đối xứng (vì khơng thể tìm người mà người cao người kia, người cao người này) có bắc cầu b) Đây quan hệ phản xạ, đối xứng, khơng có phản đối xứng có tính bắc cầu c) Quan hệ quan hệ phản xạ, đối xứng, khơng có phản đối xứng có tính bắc cầu Câu Liệt kê cặp quan hệ tương đương tạo phân hoạch sau {0, 1, 2, 3, 4, 5} {0}, {1,2}, {3,4,5} Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 3/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính {0,1}, {2,3}, {4,5} {0,1,2}, {3,4,5} {0}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5} Lời giải a) {(0,0), (1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4), (5,5), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4)} b) {(0,0), (1,1), (0,1), (1,0), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (4,4), (5,5), (4,5), (5,4)} c) {(0,0), (1,1), (2,2), (0,1), (1,0), (0,2), (2,0), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4), (5,5), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4)} d) {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} Câu Quan hệ tập {0,1,2,3} sau thứ tự phận? Nếu khơng có thứ tự phận, xác định tính chất thứ tự phận mà quan hệ cịn thiếu {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3) } {(0,0), (1,1), (2,0), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)} {(0,0), (1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} {(0,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,3)} {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2), (3,3)} Lời giải a) Là thứ tự phận b) Không thứ tự phận (không phản đối xứng) c) Là thứ tự phận d) Là thứ tự phận e) Không phải thứ tự phận (khơng phản đối xứng, khơng bắc cầu) Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 4/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Trả lời câu hỏi sau poset ({2, 4, 6, 9, 12, 18, 27, 36, 48, 60, 72}, |) Tìm phần tử cực đại Tìm phần tử cực tiểu Có phần tử lớn hay khơng? Có phần tử nhỏ hay khơng? Tìm tất cận {2,9} Tìm cận nhỏ {2,9}, có Tìm tất cận {60,72} Tìm cận lớn {60,72}, có Lời giải a) 27, 48, 60, 72 b) 2, c) Không d) Không e) 18, 36, 72 f) 18 g) 12, 6, 4, h) 12 Câu Liệt kê cặp có thứ tự quan hệ tập {1, 2, 3, 4} tương ứng với ma trận sau (trong hàng cột tương ứng với số nguyên liệt kê theo thứ tự tăng dần) Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 5/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) b) c) 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 Lời giải a) {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,3), (4,4)} b) {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,4)} c) {(1,2), (1,4), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} Câu 10 Xác định quan hệ có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng bắc cầu hay không Lời giải a) Không phản xạ, đối xứng, không phản đối xứng, không bắc cầu b) Phản xạ, khơng đối xứng, có phản đối xứng, khơng bắc cầu c) Không phản xạ, đối xứng, không phản đối xứng, không bắc cầu Câu 11 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận Bài dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Lời giải Sinh viên tự thực Câu 12 Cho R quan hệ {(a, b) | a 6= b} tập số nguyên Bao đóng phản xạ R gì? Lời giải Z × Z Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 6/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập nâng cao Câu 13 Quan hệ sau poset? a) (Z, =) b) (Z, 6=) c) (Z, ≥) d) (Z, -) Câu 14 Các cặp phần tử so sánh poset (Z+ , |)? 5, 15 6, 8, 16 7, Câu 15 Tìm thứ tự chuỗi sau theo chữ tiếng Anh: quack, quick, quicksilver, quicksand, quacking open, opener, opera, operand, opened zoo, zero, zoom, zoology, zoological Câu 16 Xác định xem quan hệ R tập tất trang Web phản xạ, đối xứng, phản đối xứng, hay bắc cầu, (a, b) ∈ R Tất xem trang Web a xem trang Web b Tại hai trang Web a b khơng có liên kết giống Có liên kết giống trang Web a trang Web b Có trang Web có chứa liên kết đến trang Web a lẫn trang Web b Câu 17 Cho R quan hệ tập {1, 2, 3, 4, 5} có chứa cặp (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (3,5), (4,2), (4,5), (5,1), (5,2) (5,4) Tìm Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 7/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) R2 b) R3 c) R4 d) R5 Câu 18 Gọi R quan hệ phản xạ Chứng minh Rn quan hệ phản xạ với số nguyên dương n Câu 19 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi phản xạ? Với định nghĩa quan hệ R tập A phi phản xạ với a ∈ A, (a, a) ∈ / R Câu 20 Làm để xác định ma trận quan hệ R tập A phi đối xứng? Với định nghĩa quan hệ R gọi phi đối xứng (a, b) ∈ R nghĩa (b, a) ∈ / R Câu 21 Cho R quan hệ tập {0,1,2,3} có chứa cặp (0,1), (1,1), (1,2), (2,0), (2,2) (3,0) Tìm a) bao đóng phản xạ R b) bao đóng đối xứng R c) bao đóng bắc cầu R Câu 22 Cho R quan hệ {(a, b) | a ước b} tập số nguyên Bao đóng đối xứng R gì? Câu 23 Cho ma trận quan hệ tập {a, b, c, d} sau (trong hàng cột tương ứng với chữ liệt kê theo thứ tự tăng dần) 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 8/9 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 1 0 1 0 1 Vẽ đồ thị có hướng từ ma trận dựa vào đó, vẽ đồ thị có hướng bao đóng phản xạ, vẽ đồ thị có hướng bao đóng đối xứng Câu 24 Các quan hệ sau {0, 1, 2, 3}, quan hệ tương đương Nếu khơng phải, tính chất cịn thiếu để trở thành tương đương Nếu tương đương, lớp đương tương a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} Câu 25 Cho R quan hệ tập gồm cặp số nguyên dương cho ((a, b), (c, d)) ∈ R a + d = b + c a) Chứng minh R quan hệ tương đương b) Lớp tương đương (1,2) với quan hệ tương đương R gì? c) Hãy biểu diễn lời lớp tương đương quan hệ tương đương R Tổng kết Thông qua tập phần này, hiểu rõ làm quen với lý thuyết quan hệ (bao gồm quan hệ tương đương quan hệ thứ tự) mà chi tiết lý thuyết trình bày slide chương Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 9/9 ... (5, 5), (4 ,5) , (5, 4)} c) {(0,0), (1,1), (2,2), (0,1), (1,0), (0,2), (2,0), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4), (5, 5), (3,4), (4,3), (3 ,5) , (5, 3), (4 ,5) , (5, 4)} d) {(0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5, 5)}... {4}, {5} Lời giải a) {(0,0), (1,1), (2,2), (1,2), (2,1), (3,3), (4,4), (5, 5), (3,4), (4,3), (3 ,5) , (5, 3), (4 ,5) , (5, 4)} b) {(0,0), (1,1), (0,1), (1,0), (2,2), (3,3), (2,3), (3,2), (4,4), (5, 5),... trang Web b Câu 17 Cho R quan hệ tập {1, 2, 3, 4, 5} có chứa cặp (1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,1), (3,4), (3 ,5) , (4,2), (4 ,5) , (5, 1), (5, 2) (5, 4) Tìm Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 7/9 Trường