Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 7 Xác suất rời rạc 1 Dẫn nhập Trong chương bài tập này, chúng ta sẽ luyện tập với bài tập cơ bản về Xác suất r[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Xác suất rời rạc Dẫn nhập Trong chương tập này, luyện tập với tập Xác suất rời rạc Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Xác suất để chọn ngẫu nhiên ngày mà ngày hơm ngày tháng bao nhiêu? Biết năm chọn năm nhuận (366 ngày) Lời giải Khi chọn ngày năm, chọn |S| = 366 ngày Số ngày chọn thỏa mãn ngày tháng |E| = 30 ngày (vì tháng có 30 ngày) Vậy xác suất để chọn ngày tháng 30/366 ≈ 0.08 = 8% Câu Xác suất để có mặt số thảy đồng xu cân lần bao nhiêu, lần thảy cho mặt số? Lời giải Đây dạng tốn tìm xác suất có điều kiện Gọi F kiện lần thảy xuất mặt số, E kiện có mặt số sau tổng cộng lần thảy Sau thảy lần mặt số, lần thảy để thành công phải trường hợp {SSSH, SSHS, SHSS, HSSS}, số 24 khả xảy Vậy xác suất cần tìm 244 = 14 Bài tập cần giải Câu Với câu sau, liệt kê khơng gian mẫu nói xem kiện có khả xảy hay khơng? Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 1/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Tung đồng xu; ghi lại thứ tự xuất mặt số mặt hình b) Gia đình có ba con; ghi lại số trai c) Tung đồng xu bạn có mặt số mặt hình liên tiếp d) Thảy hai xúc xắc; ghi lại số lớn Lời giải a) Gọi H (head) mặt ngửa T (tail) mặt sấp, ta có S = { HH, HT, TH, TT} Các kiện có khả xảy b) S = { 0, 1, 2, 3} Khả xảy kiện c) S = {H, TH, TTH, TTT } Khả xảy không d) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Khả xuất không nhau, rõ ràng khó xảy (chỉ (1,1)), dễ xảy Câu sau dựa kiện trò chơi Xì tố sau Trong dạng chơi xì tố, bạn chia Người thắng người có tổ hợp tốt Tổ hợp theo thứ tự từ xấu đến tốt sau: Khơng có đơi Có đơi (hai có số) Có hai đơi (hai cặp số) Bộ ba (ba số) Sảnh (năm theo thứ tự không đồng chất) Thùng (năm chất khơng có thứ tự, ví dụ bích) Cù lũ (một ba đơi) Tứ quý (bốn số) Thùng phá sảnh (một dây đồng chất, ví dụ 8, 9, 10, J, Q chuồn) 10 Thùng phá sảnh lớn (là thùng phá sảnh với xì cao nhất) Câu Trong trị chơi xì tố, tìm xác suất để có được: Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 2/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Thùng phá sảnh lớn? b) Tứ quý? c) Thùng? d) Cù lũ? e) Bộ ba? f) Khơng có thùng phá sảnh lớn? Lời giải a) Thùng phá sảnh lớn: 10, J, Q, K, A chất Chỉ có khả có thùng phá sảnh lớn với chất khác cơ, rơ, chuồn, pích Số khả có bài: 52 = 2.589.960 Xác suất 4/2.598.960 = 0, 0000015 Hay nói cách khác, 650.000 b) Tứ quý: bốn số Các khả có tứ quý: • Có 13 khả có tứ quý • Lá thứ năm 48 cịn lại • Vì vậy, tổng khả 13 × 48 = 624 Xác suất = 624/2.598.960 = 0,00024 Hay nói cách khác, 4165 c) Thùng: chất khơng có thứ tự Thực thứ tự sau: • Chọn chất cho thùng: 41 • Chọn chất đó: 13 • Vì khơng có sảnh, nên liệt kê trường hợp có sảnh gồm có (A, K, Q, J, 10) đến (6, 5, 4, 3, 2) (5, 4, 3, 2, A) (Lưu ý: A lớn bé xì tố), nên có 10 khả sảnh • Vì 41 ( 13 − 10) = 5108 Xác suất = 5108/2.598.960 = 0,00197 Hay nói cách khác, 509 d) Cù lũ: Một ba đơi Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 3/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính • Chọn số cho ba: • Chọn lá: • Chọn số cho cặp: 13 12 • Chọn cho cặp: 42 4 12 4 • Cho ra: 13 = 3744 Xác suất = 3744/2.598.960 = 0,00144 Hay nói cách khác, 694 e) Bộ ba: ba số, cù lũ tứ q • Chọn số cho ba: 13 • Chọn để dùng: 43 • Chọn hai cịn lại có giá trị khác nhau: 12 • Chọn chất cho hai này: 41 ∗ 41 4 12 4 4 • Cho 13 1 = 54912 Xác suất = 54912/2.598.960 = 0,0211 Hay nói cách khác, 47 f) Khơng có thùng phá sảnh lớn Câu a co thấy xác suất để có thùng phá sảnh lớn 0,0000015 Vậy xác suất để khơng có thùng phá sảnh lớn − 0, 0000015 = 0, 9999985 Câu Một khảo sát nhà trọ cho thấy có 38% số nhà trọ có tủ lạnh, 52% có TV, 21% có tủ lạnh lẫn TV Xác suất để nhà trọ lựa chọn ngẫu nhiên nhà trọ có: a) TV khơng có tủ lạnh? b) có TV có tủ lạnh, khơng có hai thứ? c) khơng có TV lẫn tủ lạnh? Lời giải Vẽ sơ đồ Venn, dễ thấy vùng giao hai tập hợp 21% có tủ lạnh lẫn TV Tập TV có 52% tập 38% có tủ lạnh Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 4/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Tỷ lệ có TV khơng có tủ lạnh = 52 − 21 = 31% b) Tỷ lệ có TV có tủ lạnh hai = 38 + 52 − × 21 = 48% c) Khơng có TV lẫn tủ lạnh = 100 − (38 + 52 − 21) = 31% Câu Để đến trường, sinh viên phải băng qua đường ray xe lửa Thời gian xe lửa chạy qua đường ray có xê xích qua ngày, sinh viên ước tính chị ta đứng đợi xe lửa khoảng 15% số ngày học Trong tuần học có ngày, xác suất sinh viên a) Gặp xe lửa vào thứ lại gặp xe lửa vào thứ 3? b) Lần gặp xe lửa tuần thứ 5? c) Gặp xe lửa ngày? d) Gặp xe lửa lần tuần? Lời giải Gọi Xi kiện gặp xe lửa vào ngày thứ i Ta thấy kiện gặp xe lửa vào ngày hồn tồn độc lập với Hay nói cách khác, việc gặp hay không gặp xe lửa vào ngày không ảnh hưởng đến xác suất gặp hay không gặp xe lửa vào ngày khác a) p(X2 ∩ X3 ) = p(X2 ) × p(X3 ) = 0.15 × 0.15 = 0.0225 b) p(X2 ∩ X3 ∩ X4 ∩ X5 ) = 0.853 × 0.15 = 0.0921 c) 0.155 = 7.6 × 10−5 d) Xác suất để khơng gặp xe lửa lần tuần 0.855 Vậy xác suất để gặp xe lửa lần − 0.855 = 0.5563 Câu Giả sử 23% số người trưởng thành hút thuốc Một điều tra cho thấy 57% người hút thuốc 13% người không hút thuốc bị bệnh phổi trước 60 tuổi a) Giải thích số cho thấy việc bị bệnh phổi hút thuốc không độc lập với nhau? b) Xác suất để lựa chọn ngẫu nhiên người 60 tuổi mắc bệnh phổi bao nhiêu? Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 5/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Lời giải Gọi E biến cố hút thuốc Gọi F biến cố bị bệnh lao phổi Theo đề bài, ta có: p(E) = 0.23 p(F |E) = 0.57 p(F |E) = 0.13 a) Nếu hai kiện hút thuốc bị lao phổi độc lập với thì: p(F |E) = p(F ) = p(F |E) Tuy nhiên, thật p(F |E) 6= p(F |E) nên chúng độc lập với b) Ta có xác suất để bị bệnh phổi cộng đồng là: p(F ) = p(F ∩ E) + p(F ∩ E) = p(F |E) × p(E) + p(F |E) × p(E) = 0.57 × 0.23 + 0.13 × (1 − 0.23) = 0.2312 Câu Một sinh viên muốn đến trường phải qua ngã tư có đèn giao thơng, phải dừng lại có đèn đỏ Sinh viên ước lượng mơ hình xác suất cho số đèn đỏ mà người gặp phải, sau X = số đèn đỏ P (X = x) 0.05 0.25 0.35 0.15 0.15 0.05 a) Sinh viên nên kỳ vọng gặp đèn đỏ ngày? b) Độ lệch chuẩn bao nhiêu? Lời giải a) E(X) = × 0.05 + × 0.25 + × 0.35 + × 0.15 + × 0.15 + × 0.05 = 2.25 Vậy người kỳ vọng gặp 2.25 đèn đỏ ngày b) V (X) = (0 − 2.25)2 × 0.05 + (1 − 2.25)2 × 0.25 + (2 − 2.25)2 × 0.35 + (3 − 2.25)2 × 0.15 + (4 − 2.25)2 × 0.15 + (5 − 2.25)2 × 0.05 = Câu Ta sử dụng mơ hình xác suất dựa phép thử Bernoulli cho tình hay khơng? Giải thích Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 6/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Thảy 50 xúc xắc để tìm phân bố số dấu chấm mặt b) Khi kiểm tra 120 người khả đa số có nhóm máu A bao nhiêu, ta biết nhóm máu A chiếm 43% dân số? c) Chia từ nhận toàn Khả nào? d) Ta muốn dự đoán kết bỏ phiếu sách trường, cách chọn 500 tổng số 3000 sinh viên để xem có người ủng hộ e) Một cơng ty nhận thấy có 10% gói hàng khơng niêm phong quy chuẩn Nếu lấy 24 gói hàng, có khả có gói chưa niêm phong khơng? Lời giải a) Khơng Vì việc kết việc thảy xúc xắc có đến khả xảy ra, không khả phép thử Bernoulli u cầu b) Khơng Vì lần thử khơng độc lập với Nhóm máu có tính di truyền, giả sử ta kiểm tra người cha có nhóm máu A, người mẹ có nhóm máu A, dẫn đến xác suất có nhóm máu A cao c) Không Tuy lần chia có kết khơng có Xác suất có qua lần chia thay đổi việc chia trước có hay khơng ảnh hưởng đến xác suất lần chia sau d) Khơng Tuy nhìn ta nghĩ phép thử Bernoulli, thực tế có nguyên tắc thống kê: “Nếu ta lấy mẫu với số lượng 10% quần thể, xem mẫu tuân theo phép thử Bernoulli” Trong trường hợp này, số lượng mẫu chiếm đến 1/6 nên mẫu không xem thỏa mãn phép thử Bernoulli (Tham khảo thêm trang số http://www.docstoc.com/docs/27673823/STAT-100-Lecture10-Bernoulli-Trials-and-the-Binomial) e) Được Với hai kết thí nghiệm, lần kiểm tra hồn tồn độc lập có xác suất khơng đổi, kiện mở hộp kiểm tra hồn toàn phù hợp với phép thử Bernoulli Câu 10 Một cung thủ thi đấu Olympic có xác suất bắn trúng hồng tâm 80% Giả sử lần bắn độc lập với Nếu cung thủ bắn mũi tên, xác suất trường hợp sau nào? a) Cú trúng hồng tâm phát bắn thứ Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 7/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) Cung thủ bắn hụt hồng tâm lần c) Phát trúng hồng tâm phát thứ thứ d) Cung thủ bắn xác phát trúng hồng tâm e) Cung thủ bắn phát trúng hồng tâm f) Cung thủ bắn nhiều phát trúng hồng tâm Lời giải Sự kiện bắn trúng hồng tâm hay khơng cung thủ xem phép thử Bernoulli a) Đây dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình hình học p(X = 3) = (1 − 0.8)3−1 0.8 = 0.032 b) Đây dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình nhị thức Xác suất để bắn trúng hồng tâm phát là: 66 0.86 0.20 = 0.262144 Vậy xác suất để bắn hụt lần là: − 0.262144 = 0.737856 c) Đây dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình hình học p = p(X = 4) + p(X = 5) = (1 − 0.8)4−1 0.8 + (1 − 0.8)5−1 0.8 = 0.00768 d) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình nhị thức p = 64 0.84 0.22 = 0.24576 e) Đây là dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình nhị thức p = 64 0.84 0.22 + 65 0.85 0.21 + 66 0.86 0.20 = 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 0.90112 f) Đây dạng câu hỏi cần sử dụng mơ hình nhị thức Xác suất để bắn nhiều phát bù bắn trúng phát p = − 0.393216 − 0.262144 = 0.34464 Bài tập làm thêm Câu 11 Một tổ chức tiêu dùng ước tính qua năm sử dụng 17% số xe máy cần sửa chữa lần, 7% cần sửa chữa hai lần, 4% cần sửa chữa từ ba lần trở lên a) Xác suất để xe chọn ngẫu nhiên không cần phải sửa? Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 8/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính khơng q lần sửa? có bị sửa chữa? b) Nếu bạn có hai xe máy, xác suất hai không cần sửa? hai cần phải sửa? Lời giải Câu 12 Hãng sản xuất kẹo Sơ-cơ-la M&M nói số viên màu vàng trơn chiếm 20% lượng sản xuất, đỏ chiếm 20%, cam, xanh dương xanh màu chiếm 10% Còn lại màu nâu a) Nếu bạn lấy ngẫu nhiên viên kẹo M&M, xác suất để màu nâu? màu vàng màu cam? khơng phải màu xanh lá? có sọc? b) Nếu bạn lấy liên tiếp ba viên kẹo M&M, xác suất để chúng có màu nâu? viên thứ ba viên có màu đỏ? khơng có viên màu vàng? có viên màu xanh lá? Lời giải Câu 13 Trong Bài tính xác suất có loại kẹo M&M khác Trong số câu trả lời, phải dựa vào giả định kết có rời nhau; tức là, chúng đồng thời xảy lúc Các câu trả lời khác lại dựa kiện chúng độc lậpl tức là, xảy kết không ảnh hưởng đến xác suất kết khác Bạn có hiểu khác rời độc lập? Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 9/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Nếu bạn lấy vien M&M, kiện lấy viên đỏ lấy viên cam rời hay độc lập với hay hai? b) Nếu bạn lấy viên M&M, kiện lấy viên đỏ tiếp đến viên đỏ rời hay độc lập với nhau? c) Các kiện rời độc lập với hay khơng? Giải thích Câu 14 Cơng an vừa thiết lập trạm kiểm tra–trong người lái xe yêu cầu dừng lại để trả lời vài câu hỏi ngắn để công an định người có say rượu hay khơng Nếu viên cơng anh khơng cảm thấy có vấn đề, người lái xe tiếp tục cho Ngược lại, người lái xe yêu cầu thổi vào ống kiểm tra để định xem họ có bị bắt giữ hay không Công an cho dựa việc hỏi đáp, cơng an viên định 80% Tại thời điểm tối thứ 7, chuyên gia cho có khoảng 12% người lái xe có uống bia rượu a) Bạn bị chặn xe trạm, tất nhiên, bạn không uống bia rượu Xác suất bạn bị yêu cầu thổi vào ống kiểm tra bao nhiêu? b) Xác suất người bị yêu cầu thổi vào ống bao nhiêu? c) Xác suất để lái xe bị yêu cầu thổi vào ống thực say rượu? d) Xác suất để láu xe thả thực say rượu? Câu 15 Một công ty bán túi hạt giống, túi có 20 hạt Số hạt trung bình mọc thành 18, với độ lệnh chuẩn 1.2 Bạn mua năm túi hạt giống khác a) Bạn kỳ vọng có hạt bị hỏng? b) Độ lệch chuẩn gì? Câu 16 Bạn chơi hai lượt trò chơi với đối thủ Xác suất để bạn thắng lượt 0.4 Nếu bạn thắng trận đầu, xác suất để bạn thắng trận thứ hai 0.2 Nếu bạn thua trận đầu, xác suất để bạn thắng trận thứ hai 0.3 a) Hai lượt chơi có độc lập với hay khơng? Giải thích b) Xác suất để bạn thua hai lượt chơi gì? c) Xác suất để bạn thắng hai lượt chơi gì? d) Gọi biến ngẫu nhiên X số lượt chơi mà bạn thắng Tìm mơ hình xác suất cho X Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 10/11 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính e) Giá trị kỳ vọng độ lệch chuẩn X bao nhiêu? Câu 17 Một cầu thủ bóng rổ ném thành cơng 80% số ném phạt mà ném Giả sử lần ném độc lập với nhau, tìm xác suất trận đấu tối mà a) ném hụt lần lần ném thứ năm b) ném thành công lần lần ném thứ tư c) ném thành công lần ba lần ném d) Số lần ném kỳ vọng cầu thủ ném hụt bao nhiêu? Lời giải Câu 18 Giả sử vận động viên bắn cung Bài bắn 10 mũi tên a) Tìm giá trị trung bình độ lệch chuẩn số lần bắn trúng hồng tâm người b) Xác suất để cô ta không bắt trượt phát bao nhiêu? c) Xác suất để có không lần bắn trúng hồng tâm bao nhiêu? d) Xác suất để có xác lần bắn trúng hồng tâm bao nhiêu? e) Xác suất để số lần cô ta bắn trúng hồng tâm nhiều số lần bắn hụt bao nhiêu? Lời giải Tổng kết Thông qua tập phần này, hiểu rõ làm quen với phép đếm (bao gồm lượng số, tổ hợp, chỉnh hợp, nguyên lý đếm) mà chi tiết lý thuyết trình bày slide chương Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 11/11 ... để bắn hụt lần là: − 0.262144 = 0 .73 7856 c) Đây dạng câu hỏi cần sử dụng mô hình hình học p = p(X = 4) + p(X = 5) = (1 − 0.8)4−1 0.8 + (1 − 0.8)5−1 0.8 = 0.0 076 8 d) Đây là dạng câu hỏi cần sử... 0.155 = 7. 6 × 10−5 d) Xác suất để khơng gặp xe lửa lần tuần 0.855 Vậy xác suất để gặp xe lửa lần − 0.855 = 0.5563 Câu Giả sử 23% số người trưởng thành hút thuốc Một điều tra cho thấy 57% người... mẫu không xem thỏa mãn phép thử Bernoulli (Tham khảo thêm trang số http://www.docstoc.com/docs/ 276 73823/STAT-100-Lecture10-Bernoulli-Trials-and-the-Binomial) e) Được Với hai kết thí nghiệm, lần