Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Phép đếm Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với kiến thức liên quan đến phép đếm (bao gồm lượng số, tổ hợp, chỉnh hợp, nguyên lý đếm) Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Giả sử môn Khoa học máy tính có tổng cộng 10 môn học chuyên ngành.Trong môn có 12 giảng viên (6 kĩ sư, tiến sĩ giáo sư) Biết môn học tiến sĩ giáo sư đảm nhiệm Mỗi môn học có trợ giảng kĩ sư Cho biết: a) Tổng số kết hợp có môn học giảng viên môn Cho trước kết hợp 3: Môn học + Giảng viên lý thuyết + trợ giảng b) Nếu số lượng môn học giảng viên giảm nửa Tổng số kết hợp có bao nhiêu? c) Giả sử số lượng môn học giảng viên câu b, khoa tuyển thêm thạc sĩ toán học chuyên giảng dạy Toán rời rạc Tổng số kết hợp có bao nhiêu? Lời giải a) Kết hợp tích Đề Các A × B × C với A tập tất môn học, B tập tiến sĩ giáo sư, C tập kĩ sư Tổng số kết hợp 10 × b) × × c) Số lượng tăng thêm × × ✷ Câu Nhà nhiếp ảnh có cách xếp hàng người từ nhóm gồm 10 người lễ cưới, rể cô dâu nằm số 10 người đó, Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 1/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính cô dâu phải có mặt ảnh? cô dâu rể phải có mặt ảnh? phải có xác người, cô dâu, rể có mặt ảnh? Lời giải Bài toán chia làm giai đoạn: chọn vị trí cho cô dâu trước, sau chọn vị trí cho người lại • Chọn vị trí cho cô dâu: cách chọn • Chọn vị trí cho người lại: chọn hoán vị người người lại, P (9, 5) = 9! 4! 9! Vậy số cách xếp: 4! Bài toán chia làm giai đoạn: chọn vị trí cho cô dâu rể, sau chọn vị trí cho người lại • Chọn vị trí cho cô dâu rể: chọn hoán vị vị trí: P (6, 2) = 6! 4! • Chọn vị trí cho người lại: chọn hoán vị người người lại, 8! P (8, 4) = 4! Vậy số cách xếp: 6! 8! 4! 4! Có cách làm: 1) chọn vị trí cho rể, sau chọn vị trí lại cho người (trừ cô dâu), sau nhân để có thêm trường hợp chọn cô dâu, 2) lấy kết câu a nhân với để có trường hợp có mặt cô dâu rể, sau trừ lần câu b để loại trường hợp có mặt cô dâu rể, mà ta đếm lần cho câu a, có mặt cô dâu, có mặt rể Đáp số: 2.P (6, 1).P (8, 5) = 2.6.P (9, 5) − 2.P (6, 2).P (8, 4) ✷ Bài tập cần giải Câu Nhà nhiếp ảnh có cách xếp hàng người lễ cưới, có cô dâu rể, cô dâu phải đứng kế rể? Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 2/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính cô dâu không đứng kế rể? cô dâu đứng phía bên trái rể? Lời giải Vì cô dâu rể đứng kế nhau, nên ta ghép hai người thành vị trí, toán trở thành hoán vị hàng gồm có người: P (5) Ngoài ra, cô dâu đứng bên trái bên phải rể, nên kết 2.P (5) Cô dâu không đứng kế rể toàn trường hợp xếp trừ trường hợp tính câu a, tức là, P (6) − 2.P (5) Trong trường hợp ta phải xét vị trí đứng cụ thể rể hàng Giả sử đánh số vị trí đứng từ đến từ trái sang • Chú rể đứng bên trái (vị trí 1), cô dâu chỗ đứng: • Chú rể đứng vị trí 2, cô dâu có chỗ đứng, người lại hoán vị qua lại: 1.P (4) • Chú rể đứng vị trí 3, cô dâu có chỗ đứng (ở vị trí 2), người lại hoán vị qua lại: 2.P (4) • Kết là: P (4) + 2.P (4) + 3.P (4) + 4.P (4) + 5.P (4) ✷ Câu Có chuỗi bit có chiều dài 10 có năm số liên tiếp số liên tiếp? Lời giải Gọi A tập chuỗi bit có chiều dài 10 có số liên tiếp Với i từ đến 6, Ai tập chuỗi bit có chiều dài 10 năm số xuất phát vị trí i Khi A1 , A2 , A3 , A4 , A5 A6 đôi rời A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 Theo luật cộng, ta có |A| = |A1 | + |A2 | + |A3 | + |A4 | + |A5 | + |A6 | Với chuỗi bit A1 , năm chữ số chữ số sau Do |A1 | = × × × × × × × × × = 32 Với chuỗi bit A2 , chữ số đầu 1, năm chữ số tiếp chữ số Do |A2 | = × × × × × × × × × = 16 Với chuỗi bit A3 , chữ số đầu 0, chữ số thứ 1, năm chữ số ba chữ số cuối Do |A3 | = × × × × × × × × × = 16 Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 3/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Tương tự, |A4 | = |A5 | = |A6 | = 16 Do đó, |A| = 32 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 112 Gọi B tập chuỗi bit có chiều dài 10 có chứa dãy số liên tiếp Tương tự A, ta có |B| = 32 + 16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 112 Hơn nữa, A ∩ B = {0000011111, 1111100000} Theo nguyên lý inclusion-exclusion, số chuỗi bit có chiều dài 10 có chứa số liên tiếp số liên tiếp |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 112 + 112 − = 222 ✷ Câu Giả sử mật hệ thống máy tính phải có tối thiểu ký tự, không 12 ký tự, ký tự phải chữ tiếng Anh dạng chữ thường chữ hoa, chữ số, sáu ký tự đặc biệt *, >,