Giao trinh bai tap 7 điện môi và vật dẫn

Trả lời câu hỏi Một vật có khối lượng m1 đặt ván khối lượng m2; ván lại đặt mặt phẳng ngang nhẵn Hệ số ma sát m1 m2 k Người ta tác dụng lên ván lực có phương nằm ngang, độ lớn F = ct, c số t thời gian Tìm thời điểm lúc ván bắt đầu trượt vật m1 m1 m1 fms F m2 Khi ma sát ma sát nghỉ, m1 đứng yên so với m2 Hệ (m1 + m2) chuyển động với gia tốc: ‫ܨ‬ ݉ଵ + ݉ଶ ܽ= DL cho riêng vật m1 phương ngang: ݉ଵ ܽ = ݂௠௦ Suy ra: ݂௠௦ = ݉ଵ ܿ‫ݐ‬ ݉ଵ + ݉ଶ Để m1 không bị trượt ma sát nghỉ phải không vượt giá trị cực đại nó: ݂௠௦ ≤ ݇ܰ = ݇݉ଵ ݃ Vậy: ݉ଵ ܿ‫݉݇ ≤ ݐ‬ଵ ݃ ݉ଵ + ݉ଶ Vậy thời điểm lúc m1 bắt đầu trượt là: ‫=ݐ‬ ݇݃ሺ݉ଵ + ݉ଶ ሻ ܿ Vật m nằm đỉnh bán cầu nhẵn cố định bán kính R nối với vật M sợi dây nhẹ không giãn Hệ thả không vận tốc đầu Xác định tỉ số m/M để vật rời bán cầu trượt góc 45° Lê Quang Nguyên 1/10 Trả lời câu hỏi m Rg(1 − cos θ) R θ M Rθ Khi m bắt đầu rời bán cầu vị trí có góc lệch θ phản lực vuông góc N không, DL cho m phương pháp tuyến lúc đó: ݉ ‫ݒ‬ଶ = ݉݃ܿ‫ ߠݏ݋‬ሺ1ሻ ܴ Định lý động cho hệ hai vật vị trí θ đỉnh bán cầu: ሺ݉ + ‫ܯ‬ሻ‫ ݒ‬ଶ = ܴ݉݃ሺ1 − ܿ‫ߠݏ݋‬ሻ + ‫ ߠܴ݃ܯ‬ሺ2ሻ với ܴߠ độ cao mà M xuống m trượt xuống góc θ bán cầu Từ (1) (2) suy ra: ሺ݉ + ‫ܯ‬ሻܿ‫ = ߠݏ݋‬2݉ሺ1 − ܿ‫ߠݏ݋‬ሻ + 2‫ߠܯ‬ Đặt x = m/M θ = π/4 biểu thức ta có: ߨ √2 √2 ሺ1 + ‫ݔ‬ሻ = 2‫ ݔ‬ቆ1 − ቇ + 2 Giải phương trình ta được: ߨ − √2 ‫ = ݔ‬൫3 √2 + 4൯ · ቆ ቇ ≈ 7.12 Một hạt khối lượng m, bắt đầu chuyển động từ lúc t = tác dụng lực F = F0cos(ωt) (vectơ), với F0 ω không đổi Tính vận tốc cực đại hạt quãng đường hạt tới hạt dừng lại lần đầu tiên? Gia tốc hạt phương lực F là: ܽ= ‫ܨ‬଴ ܿ‫ݐ߱ݏ݋‬ ݉ Vì: ܽ = ݀‫ ݒ‬⁄݀‫ ݐ‬, tích phân lên ta có vận tốc hạt: ‫=ݒ‬ ‫ܨ‬଴ ‫ݐ߱݊݅ݏ‬ ݉߱ Lê Quang Nguyên 2/10 Trả lời câu hỏi Suy vận tốc cực đại: ‫ݒ‬௠௔௫ ൌ ‫ܨ‬଴ ݉߱ Thế hạt trường lực có dạng ܷ ൌ ܽ/‫ ݎ‬ଶ െ ܾ/‫ݎ‬, với a, b số dương r khoảng cách từ tâm trường Xác định (a) vị trí cân hạt (b) giá trị cực đại lực hút Đề không nói rõ, phải coi lực lực xuyên tâm, tức có phương nằm ‫ݎ‬Ԧ, giải (a) Vị trí cân hạt ứng với cực tiểu: ܷ݀ 2ܽ ܾ 2ܽ ൌ ଷ െ ଶ ൌ → ‫ݎ‬଴ ൌ ݀‫ݎ‬ ‫ݎ‬ ‫ݎ‬ ܾ (b) Công lực độ giảm năng: ‫ܨ‬Ԧ ݀‫ݎ‬Ԧ ൌ ‫ܨ‬௥ ݀‫ ݎ‬ൌ െܷ݀ Fr hình chiếu ‫ܨ‬Ԧ phương ‫ݎ‬Ԧ (độ lớn lực F = |Fr|) Suy ra: ‫ܨ‬௥ ൌ െ ܷ݀ 2ܽ ܾ ൌ ଷെ ଶ ݀‫ݎ‬ ‫ݎ‬ ‫ݎ‬ Dưới giản đồ Fr ứng với a = 0.5, b = Lực khoảng cách nhỏ lực đẩy (Fr > 0), khoảng cách lớn lại lực hút (Fr < 0) Khoảng cách rm ứng với lực hút cực đại rm rm xác định từ ݀‫ܨ‬௥ ⁄݀‫ ݎ‬ൌ 0: ‫ݎ‬௠ ൌ 3ܽ ܾ Thay rm vào biểu thức Fr ta suy lực hút cực đại: ‫ܨ‬௠௔௫ ൌ ܾଷ 27ܽଶ Lê Quang Nguyên 3/10 Trả lời câu hỏi Một sợi dây mảnh chịu tải trọng 25 kg Một vật có khối lượng kg mắc vào sợi dây quay thành vòng tròn có bán kính 0.8 m mặt bàn nằm ngang không ma sát, đầu cố định Tính khoảng vận tốc mà vật đạt trước dây đứt? DL cho vật phương pháp tuyến: ݉ ‫ݒ‬ଶ ൌܶ ܴ Để dây không đứt: ܶ ൑ ܶ௠௔௫ ൌ 250ܰ Suy ra: ܴܶ௠௔௫ ‫ݒ‬൑ඨ ൌ 8.16 ݉⁄‫ݏ‬ ݉ Một vật nhỏ có khối lượng m thả không vận tốc đầu xuống mặt nghiêng nêm có khối lượng M góc nghiêng α Giả thiết nêm chuyển động tịnh tiến mặt phẳng ngang Bỏ qua ma sát Biết vận tốc vật trước va chạm v0 Tìm vận tốc nêm sau va chạm, suy góc α để vận tốc nêm lớn Chú thích: Để giải cần phải biết phương vận tốc vật sau va chạm Do đề không nói rõ nên giả sử va chạm hoàn toàn đàn hồi, để vận tốc sau va chạm (so với nêm) hợp với pháp tuyến mặt nghiêng góc α hình vẽ ሬԦ (1) Trong hệ quy chiếu mặt đất vận tốc sau va chạm là: ‫ݒ‬Ԧ ൌ ‫ݑ‬ ሬԦ ൅ ܸ Tổng ngoại lực phương ngang không nên động lượng phương ngang trước sau va chạm bảo toàn: ൌ ݉‫ݒ‬௫ ൅ ‫ܸܯ‬௫ Từ (1) ta có: ‫ݒ‬௫ ൌ ‫ݑ‬௫ ൅ ܸ௫ ൌ ‫݊݅ݏݑ‬2ߙ െ ܸ Suy ra: ൌ ݉ሺ‫݊݅ݏݑ‬2ߙ െ ܸሻ െ ‫( ܸܯ‬2) Không có ma sát nên động bảo toàn trước sau va chạm: ଵ ݉‫ݒ‬଴ଶ ଶ ൌ ݉‫ ݒ‬ଶ ൅ ‫ ܸܯ‬ଶ ଵ ଶ ଵ ଶ ሬԦ ൅ ܸ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ ൅ 2‫ݑ‬௫ ܸ௫ ൅ ܸ ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ െ 2‫݊݅ݏݑ‬2ߙܸ ൅ ܸ ଶ Cũng từ (1) ta có: ‫ ݒ‬ଶ ൌ ‫ݑ‬ଶ ൅ 2‫ݑ‬ ሬԦ ܸ Lê Quang Nguyên 4/10 Trả lời câu hỏi Suy ra: ଶ ݉‫ݒ‬଴ଶ = ଶ ݉ሺ‫ݑ‬ଶ − 2‫݊݅ݏݑ‬2ߙܸ + ܸ ଶ ሻ + ଶ ‫ ܸܯ‬ଶ (3) ଵ ଵ ଵ Thay u từ (2) vào (3) ta tìm V: ܸ= ݉ ‫ܯ‬ ‫ݒ‬଴ ට1 + ‫ ܭ‬ଶ + ݉ ‫ܯ‬ 1 ݉ ‫ = ܭ‬൬ܿ‫ ߙݐ݋‬− ൰ ቀ + 1ቁ ܿ‫ܯ ߙݐ݋‬ với Nhận xét: V cực đại K2 = 0, tức α = 45° Điều hợp lý, vật bay ngang sau va chạm, động lượng giật lùi nêm lớn Lưu ý: Kết khác với đáp án BM Vật Lý biểu thức K, theo đó: 1 ݉ ‫ = ܭ‬ቆܿ‫ ߙݐ݋‬− ቀ + 1ቁቇ ܿ‫ܯ ߙݐ݋‬ Nếu kết BM Vật Lý V cực đại K2 = 0, tức α thỏa: ܿ‫ = ߙݐ݋‬ට1 + ݉ ‫ܯ‬ Điều theo không hợp lý, vật không bay ngang sau va chạm nêm có động lượng giật lùi cực đại được? Một hạt chuyển động mặt phẳng Oxy với vận tốc v có độ lớn không đổi Hãy xác định gia tốc hạt vị trí x = quỹ đạo hạt parabol cho y = cx2, với c số Vận tốc v = số nên gia tốc tiếp tuyến: ܽ௧ = ݀‫ݒ‬/݀‫ = ݐ‬0, gia tốc ܽ = ܽ௡ (gia tốc pháp tuyến) Ở vị trí x = (đỉnh hay đáy parabol) tiếp tuyến nằm ngang: phương pháp tuyến phương y Vậy x = ta có ܽ = ܽ௡ = ܽ௬ Từ ‫ ݔܿ = ݕ‬ଶ lấy đạo hàm hai vế theo thời gian t ta được: ‫ݒ‬௬ = 2ܿ‫ݒݔ‬௫ (1) Lấy đạo hàm hai vế (1) theo thời gian ta có: ܽ௬ = 2ܿ(‫ݒ‬௫ଶ + ‫ܽݔ‬௫ ) (2) Ở x = từ (1) ta suy ra: ‫ݒ‬௬ = Vậy ‫ ݒ‬ଶ = ‫ݒ‬௫ଶ Ở x = từ (2) ta có: ܽ௬ = 2ܿ‫ݒ‬௫ଶ Nhưng ܽ = ܽ௬ ‫ ݒ‬ଶ = ‫ݒ‬௫ଶ nên ܽ = 2ܿ‫ ݒ‬ଶ Vật có khối lượng m = kg, đứng yên mặt phẳng nằm ngang chịu lực kéo F = N hướng xiên góc 60° so với phương ngang Hệ số ma sát trượt ma sát nghỉ 0,2 0,25 Tính lực ma sát tác dụng lên vật? Lực kéo phương ngang: ‫ܨ‬௫ = ‫ݏ݋ܿܨ‬60° = 2,5ܰ Lê Quang Nguyên 5/10 Trả lời câu hỏi Ma sát nghỉ cực đại: ݂௦௠௔௫ = ߤ௦ ܰ = ߤ௦ (݉݃ − ‫݊݅ݏܨ‬60°) = 3,8ܰ ‫ܨ‬௫ < ݂௦௠௔௫ : vật đứng yên, ma sát ma sát nghỉ: ݂௦ = ‫ܨ‬௫ = 2,5ܰ Một tên lửa có m = 3000 kg bắn lên từ mặt đất với góc nâng 60° Động tạo lực đẩy 6×104 N cho tên lửa, có phương không đổi 60° so với phương ngang 50 s, sau ngừng hoạt động Bỏ qua sức cản không khí khối lượng nhiên liệu Hãy tính độ cao tên lửa động ngừng hoạt động? DL cho tên lửa phương y (hướng lên) thời gian động hoạt động: ݉ܽ௬ = ‫݊݅ݏܨ‬60° − ݉݃ = √3 ‫ ܨ‬− ݉݃ Lấy tích phân ta thành phần phương y vận tốc (vận tốc đầu không): ‫ݒ‬௬ = √3‫ܨ‬ ‫ ݐ‬− ݃‫ݐ‬ 2݉ Lấy tích phân ta vị trí y (vị trí ban đầu = 0): ‫=ݕ‬ √3‫ ܨ‬ଶ ଶ ‫ ݐ‬− ݃‫ݐ‬ 4݉ Thay t = 50 s, ta độ cao tên lửa ngừng hoạt động: y ≈ 9,15 km 10 Một khỉ khối lượng m = 10 kg leo lên sợi dây không khối lượng, vắt qua cành không ma sát Đầu dây buộc vào thùng khối lượng M = 15 kg đặt mặt đất Hỏi khỉ phải leo lên với gia tốc để thùng nâng lên khỏi mặt đất? DL cho khỉ thùng phương y hướng lên: ݉ܽଵ = ܶ − ݉݃ (1) ‫ܽܯ‬ଶ = ܶ − ‫( ݃ܯ‬2) Để thùng nâng khỏi mặt đất phải có a2 ≥ Lê Quang Nguyên 6/10 Trả lời câu hỏi Do từ (2) suy điều kiện sức căng dây: T ≥ Mg Thay điều kiện vào (1) ta được: ܽଵ ൒ ‫ܯ‬െ݉ ݃ ൌ ݉ ⁄‫ ݏ‬ଶ ݉ 11 Một đoàn tàu có tổng khối lượng M chuyển động thẳng với vận tốc v0 đường ray nằm ngang Lực cản toa tàu k lần trọng lực không phụ thuộc vào vận tốc tàu Tại thời điểm toa tàu cuối có khối lượng m bị tuột khỏi đoàn tàu, lực kéo đầu tàu không đổi Hỏi thời điểm toa cuối vừa dừng lại vận tốc v đoàn tàu phía trước bao nhiêu? Lúc đầu lực toàn phần phương ngang không đoàn tàu chuyển động thẳng Nếu gọi F lực kéo x trục hướng theo chiều chuyển động ta có: ‫ܨ‬௧௢௧,௫ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇‫ ݃ܯ‬ൌ → ‫ ܨ‬ൌ ݇‫݃ܯ‬ Sau toa cuối tách rời lực toàn phần tác động lên hệ (đoàn tàu lại + toa tách rời) phương ngang không: ‫ܨ‬௧௢௧,௫ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇ሺ‫ ܯ‬െ ݉ሻ݃ െ ݇݉݃ ൌ ‫ ܨ‬െ ݇‫ ݃ܯ‬ൌ Do F không thay đổi Vậy động lượng hệ phương x bảo toàn: ‫ݒܯ‬଴ ൌ ሺ‫ ܯ‬െ ݉ሻ‫ ݒ‬൅ ݉ሺ0ሻ → ‫ ݒ‬ൌ ‫ܯ‬ ‫ݒ‬ ‫ܯ‬െ݉ ଴ 12 Một hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R quay với vận tốc ω0 đặt (không có vận tốc ban đầu) xuống mặt phẳng nằm ngang Tìm vận tốc hình trụ lăn không trượt mặt ngang Khi đặt vật xuống mặt ngang lực ma sát trượt làm vận tốc góc ω giảm dần từ giá trị ban đầu ω0, lại làm vận tốc tịnh tiến v khối tâm tăng dần từ 0, v = ωR vật bắt đầu lăn không trượt DL cho khối tâm phương x (chiều dương hướng sang phải): ݉ ݀‫ݒ‬ ൌ ߤ݉݃ ሺ1ሻ ݀‫ݐ‬ với μ hệ số ma sát trượt Lê Quang Nguyên 7/10 Trả lời câu hỏi DL cho chuyển động quay quanh trục: ‫ܫ‬ ݀߱ = −ߤܴ݉݃ (2) ݀‫ݐ‬ Tích phân hai vế (1) ta có vận tốc khối tâm v theo t: ‫( ݐ݃ߤ = ݒ‬3) Tương tự, từ (2) ta có vận tốc góc theo thời gian: ߱ = ߱଴ − ߤ݃ ‫( ݐ‬4) ܴ ta dùng I = mR2/2 Khi v = ωR vật bắt đầu lăn không trượt Dùng v ω từ (3) (4) ta được: ߤ݃‫߱ = ݐ‬଴ ܴ − 2ߤ݃‫ݐ‬ Hay: 3ߤ݃‫ = ݐ‬3‫߱ = ݒ‬଴ ܴ Suy ra: ‫߱ = ݒ‬଴ ܴ ⁄3 13 Một chất điểm chuyển động với phương trình: ‫ = ݔ‬3‫ ݐ‬ଶ − 4‫ ݐ‬ଷ ⁄3 , ‫ = ݕ‬8‫ݐ‬ Xác định bán kính cong quỹ đạo chất điểm lúc t = 2s Thay t = y/8 vào biểu thức x ta có phương trình quỹ đạo: ‫=ݔ‬ ଶ ଷ ‫ ݕ‬− ‫ ݕ‬ሺ1ሻ 64 384 Bán kính cong đường cong có phương trình x(y) xác định từ công thức toán học: ܴ=ቤ ሺ1 + ‫ݔ‬′ଶ ሻଷ⁄ଶ ቤ, ‫ݔ‬′′ ‫ݔ‬ᇱ = Áp dụng cho (1) ta được: 3‫ ݕ ݕ‬ଶ ቆ1 + ൬32 − 128൰ ቇ ተ ܴ= ‫ݕ‬ ተ − 32 64 ଶ ଷ ⁄ଶ ݀‫ݔ‬ ݀ଶ‫ݔ‬ ‫ ݔ‬ᇱᇱ = ଶ ݀‫ݕ‬ ݀‫ݕ‬ ተ ተ Lúc t = 2s y = 16, thay vào ta có: ܴ = 8,94 ݉ Lê Quang Nguyên 8/10 Trả lời câu hỏi 14 Ân có khối lượng 80 kg Bích có khối lượng nhỏ dạo chơi hồ ca-nô khối lượng 30 kg Khi ca-nô đứng yên mặt hồ yên tĩnh họ đổi chỗ cho nhau, chỗ cách m đối xứng qua tâm ca-nô Ca-nô dịch chuyển 40 cm so với trụ bến thuyền họ đổi chỗ Tìm khối lượng Bích Đề không nói rõ để giải ta phải bỏ qua lực cản nước Vì hai người ca-nô di chuyển chậm nên ca-nô dịch chuyển chậm, lực cản nhỏ, hoàn toàn bỏ qua Vì tổng ngoại lực tác dụng lên hệ (ca-nô + hai hành khách) không lúc đầu hệ đứng yên nên khối tâm hệ đứng yên Cách 1: Vì vị trí khối tâm O hệ không thay đổi nên sau đổi chỗ khoảng cách từ A, B khối tâm C ca-nô tới O phải không thay đổi, minh họa hình vẽ Lưu ý khối tâm hệ gần A A có khối lượng lớn Chọn O gốc tọa độ trục x hướng sang phải hình vẽ ta có: 2‫ݔ‬஼ ൌ 0,4 → ‫ݔ‬஼ ൌ 0,2 ‫ݔ‬஺ ൌ ‫ݔ‬஼ െ 1,5 ൌ െ1,3 ‫ݔ‬஻ ൌ ‫ݔ‬஼ ൅ 1,5 ൌ 1,7 Vị trí khối tâm hệ: 0ൌ ݉஺ ‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ‫ݔ‬஻ ൅ ݉஼ ‫ݔ‬஼ → 80 ൈ ሺെ1,3ሻ ൅ 1,7݉஻ ൅ 30 ൈ 0,2 ൌ ݉஺ ൅ ݉஻ ൅ ݉஼ Suy ra: ݉஻ ൌ 80 ൈ 1.3 െ 30 ൈ 0.2 ൌ 57,6݇݃ 1.7 Cách 2: Độ dịch chuyển khối tâm so với bờ không: ∆‫ݔ‬஼ெ ൌ ݉஺ ∆‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ∆‫ݔ‬஻ ൅ ݉஼ ∆‫ݔ‬஼ ൌ → 80∆‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ∆‫ݔ‬஻ ൅ 60∆‫ݔ‬஼ ൌ ሺ1ሻ ݉஺ ൅ ݉஻ ൅ ݉஼ Lê Quang Nguyên 9/10 Trả lời câu hỏi Độ dịch chuyển A so với bờ = Độ dịch chuyển A so với ca-nô + Độ dịch chuyển ca-nô so với bờ ∆‫ݔ‬஺ = − 0,4 = 2,6 Độ dịch chuyển B so với bờ = Độ dịch chuyển B so với ca-nô + Độ dịch chuyển ca-nô so với bờ ∆‫ݔ‬஻ = −3 − 0,4 = −3,4 Thay độ dịch chuyển vào (1) ta suy ra: ݉஻ = 80 × 2,6 − 60 × 0,4 = 57,6 ݇݃ 3,4 Lê Quang Nguyên 10/10 ... ‫ݔ‬஻ ൌ ‫ݔ‬஼ ൅ 1,5 ൌ 1 ,7 Vị trí khối tâm hệ: 0ൌ ݉஺ ‫ݔ‬஺ ൅ ݉஻ ‫ݔ‬஻ ൅ ݉஼ ‫ݔ‬஼ → 80 ൈ ሺെ1,3ሻ ൅ 1 ,7 ஻ ൅ 30 ൈ 0,2 ൌ ݉஺ ൅ ݉஻ ൅ ݉஼ Suy ra: ݉஻ ൌ 80 ൈ 1.3 െ 30 ൈ 0.2 ൌ 57, 6݇݃ 1 .7 Cách 2: Độ dịch chuyển... định từ ݀‫ܨ‬௥ ⁄݀‫ ݎ‬ൌ 0: ‫ݎ‬௠ ൌ 3ܽ ܾ Thay rm vào biểu thức Fr ta suy lực hút cực đại: ‫ܨ‬௠௔௫ ൌ ܾଷ 27 ଶ Lê Quang Nguyên 3/10 Trả lời câu hỏi Một sợi dây mảnh chịu tải trọng 25 kg Một vật có khối lượng... x (chiều dương hướng sang phải): ݉ ݀‫ݒ‬ ൌ ߤ݉݃ ሺ1ሻ ݀‫ݐ‬ với μ hệ số ma sát trượt Lê Quang Nguyên 7/ 10 Trả lời câu hỏi DL cho chuyển động quay quanh trục: ‫ܫ‬ ݀߱ = −ߤܴ݉݃ (2) ݀‫ݐ‬ Tích phân hai vế