Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Các phương pháp chứng minh Dẫn nhập Trong tập đây, làm quen với phương pháp chứng minh bao gồm chứng minh trực tiếp, phản chứng, phản đảo quy nạp Sinh viên cần ôn lại lý thuyết phương pháp chứng minh chương 2, trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Chứng minh ’với giá trị nguyên n ≥ 1, 10n+1 + 112n−1 111’ Lời giải Chúng ta chứng minh phép qui nạp sau a) Với n = 1, biểu thức bên trái có trị 102 + 111 = 111 Do vậy, mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề đứng với n = k nghĩa 10k+1 + 112k−1 111 Nói cách khác, tồn số nguyên x cho 10k+1 + 112k−1 = 111.x Chúng ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa 10k+2 + 112k+1 111 Khai triển biểu thức bên trái, ta có: 10k+2 + 112k+1 = (10k+2 − 112 10k+1 ) + (112 10k+1 + 112k+1 ) = 10k+1 (10 − 112 ) + 112 (10k+1 + 112k−1 ) = 10k+1 (−111) + 121(10k+1 + 112k−1 ) 111 Do đó, 10k+2 + 112k+1 111; mệnh đề với số nguyên n ≥ qui nạp ✷ Câu Hãy chứng minh qui nạp tổng + + + + + 2n − số phương, với n ≥ Lời giải Đầu tiên, ta đặt Sn = + + + + + 2n − Do vậy, ta có Sn+1 = Sn + (2n + 1) Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 1/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính a) Kết dễ dàng chứng minh với n = 1, thân số số phương b) Giả sử Sn số phương với n ≥ 1, nghĩa tồn số nguyên x cho Sn = x2 Chúng ta cần chứng minh mệnh đề ’Sn+1 số phương’ Ta có Sn+1 = Sn + (2n + 1) = x2 + 2n + Chọn x = n, ta có Sn+1 = (x + 1)2 Do vậy, kết chứng minh với số nguyên n ≥ bằn phương pháp qui nạp ✷ Bài tập cần giải Câu Cho Fn số Fibonacci number thứ n (F0 = 0, F1 = 1, Fn+2 = Fn + Fn+1 với n ≥ 0) Chứng minh với n ≥ 1, F3n số chẵn Lời giải Chúng ta chứng minh điều phương pháp qui nạp Với n = 1, ta cóf (3) = số chẵn Giả sử tồn số k ≥ cho f (3k) chẵn, nghĩa tồn số nguyên m cho f (3k) = 2m Chúng ta cần chứng minh f (3k + 3) số chẵn Mặt khác, ta có: f (3k + 3) = f (3k + 2) + f (3k + 1) = f (3k + 1) + f (3k) + f (3k + 1) = 2f (3k + 1) + f (3k) = 2f (3k + 1) + 2m = 2(f (3k + 1) + m) Nghĩa f (3k + 3) số chẵn (đpcm) ✷ Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 32n−1 + chia hết cho Lời giải Với n = 1, ta có 4 - điều luôn Giả sử tồn số nguyên k ≥ cho 32k−1 + chia hết cho Hay nói cách khác, tồn số nguyên m cho 32k−1 + = 4m Chúng ta cần chứng minh 32(k+1)−1 + chia hết cho Điều tương đương với việc chứng minh 32k+1 + chia hết cho Mặt khác, ta có: 32k+1 + = 32 (32k−1 + − = 9(32k−1 + 1) − 2.4 = 4(9m + 2) Và vậy, 32k+1 + bội 4, nên mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 6n − chia hết cho Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 2/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Lời giải Với n = 1, ta có 61 − = 5 - điều luôn Giả sử tồn số nguyên n ≥ cho 6n − chia hết cho Hay nói cách khác, tồn số nguyên m cho 6n − = 5m Chúng ta cần chứng minh 6n+1 − chia hết cho Mặt khác, ta có: 6n+1 − = 6.6n − + = 6(6n − 1) + = 30m + = 5(6m + 1) Và vậy, 6n+1 − bội 5, nên mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 52n−1 + chia hết cho Lời giải Với n = 1, ta có 52−1 + = 4 - điều luôn Giả sử tồn số nguyên n ≥ cho 52n−1 + chia hết cho Hay nói cách khác, tồn số nguyên m cho 52n−1 + = 6m Chúng ta cần chứng minh 52(n+1)−1 + chia hết cho Điều tương đương với việc chứng minh 52n+1 + chia hết cho Mặt khác, ta có: 52n+1 − = 52 52n−1 + 25 − 24 = 52 (52n−1 + 1) − 24 = 150m − 24 = 6(25m − 4) Và vậy, 52n−1 + bội 6, nên mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 8n − chia hết cho Lời giải Với n = 1, ta có 81 − = 7 - điều luôn Giả sử tồn số nguyên n ≥ cho 8n − chia hết cho Hay nói cách khác, tồn số nguyên m cho 8n − = 7m Chúng ta cần chứng minh 8n+1 − chia hết cho Mặt khác, ta có: 8n+1 − = 8.8n − + = 8(8n − 1) + = 56m + = 7(8m + 1) Và vậy, 8n+1 − bội 7, nên mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 3n > n2 Lời giải Với n = 1, ta có 31 = 12 = Do đó, mệnh đề với n = Với n = 2, ta có 32 = 22 = Do đó, mệnh đề với n = Giả sử tồn số nguyên n ≥ cho 3n > n2 Chúng ta cần chứng minh 3n+1 lớn (n + 1)2 Mặt khác, khai triển biểu thức bên phải bất đẳng thức, ta thu được: (n+1)2 = n2 +2n+1 Do ta xét n geq2, nên n2 = n × n ≥ 2n 3n > Xét biểu thức bên trái bất đẳng thức: 3n+1 = × 3n = 3n + 3n + 3n > n2 + n2 + > n2 + 2n + = (n + 1)2 (đpcm) Do vậy, mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 3/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu Chứng minh với số nguyên n ≥ 4, n! > 2n Lời giải Với n = 4, ta có 4! = 24 > 24 = 16 Giả sử tồn số nguyên n ≥ cho n! > 2n Chúng ta cần chứng minh (n + 1)! lớn 2n+1 Mặt khác, ta có: (n + 1)! = (n + 1) × n! Theo giả thuyết, ta có: (n + 1)! > (n + 1) × 2n Hơn nữa, biểu thức bên phải có giá trị lớn × 2n = 2n+1 (vì n ≥ > 2) Và vậy, mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Câu 10 a) Chứng minh ∀n ∈ N + (n + 1)2 − (n + 2)2 − (n + 3)2 + (n + 4)2 = b) Từ suy với số tự nhiên m, tồn n nguyên dương để viết m dạng tổng bình phương 12 , 22 , , n2 , nghĩa là: ∀m ∈ N + , ∃n ∈ N + , ∃ε1 , , εn ∈ {−1, 1}, m = ε1 12 + ε2 22 + + εn n2 (Gợi ý: thử biểu diễn giá trị m ∈ {0, 1, 2, 3, 4}) Lời giải • m = 0: = 12 + 22 − 32 + 42 − 52 − 62 + 72 • m = 1: = 12 • m = 2: = −12 − 22 − 32 + 42 • m = 3: = −12 + 22 • m = 4: =? • m = 5: =? ✷ Câu 11 Xét tập D (N × N ) đinh nghĩa đệ quy sau: (i) (n, 0) ∈ D (ii) (n, m) ∈ D, (n, n + m) ∈ D Hãy Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 4/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính 1) xác định vài phần tử D 2) chứng minh phép quy nạp k ’nếu m = k.n ’(n, m) ∈ D’ 3) chứng minh (n, m) ∈ D, với k ∈ N , có m = kn Câu 12 • Hãy tìm công thức tính tổng n số nguyên chẵn • Dùng quy nạp toán học để chứng minh công thức tìm Câu 13 Với n nguyên dương, tìm công thức tính tổng của: a) b) 1.2 + + + + 2.3 2n + + n(n+1) Câu 14 Dùng quy nạp toán học để chứng minh với n nguyên dương rằng: 3(5n+1 −1) a) + 3.5 + 3.52 + + 3.5n = b) − 2.7 + 2.72 + + 2.(−7)n = c) 12 + 22 + 32 + + n2 = 1−(−7)n+1 n(n+1)(2n+1) d) 13 + 23 + + n3 = [ n(n+1) ]2 (n+1)(2n+1)(2n+3) e) 12 + 32 + + (2n + 1)2 = f) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − g) 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n(n+1)(n+2) h) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = i) 12 − 22 + 32 − + (−1)n−1 n2 = j) + + + + n2 k) 14 + 24 + + n4 = l) 1.3.5 (2n−1) 2.4 (2n) ≥ ≤2− n(n+1)(n+2)(n+3) (−1)n n(n+1) n n(n+1)(2n+1)(3n2 +3n−1) 30 2n Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 5/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập làm thêm Câu 15 Hãy chứng minh n số nguyên dương n3 +5 số lẻ n số chẵn cách: Chứng minh gián tiếp (phản đảo) Chứng minh phản chứng Câu 16 Chứng minh: + + + + n2 1, n ∈ Z Câu 17 Tìm công thức của: 1 1 + + + + n cách kiểm tra với giá trị n nhỏ Chứng minh công thức vừa tìm thấy Câu 18 Hãy chứng minh: + √1 + √1 + + √1 k √ > 2( k + − 1), với n > 0, n ∈ Z Câu 19 Các bước suy luận sau để tìm lời giải cho phương trình 2x2 − = x có hay không? (1) √ 2x2 − = x; (2) Bình phương hai vế ta có 2x2 − = x2 ; (3) Trừ x2 vế, x2 − = 0; (4) Đặt nhân tử, (x − 1)(x + 1) = 0; (5) x = x = −1 Câu 20 Chứng minh hai toán tử ¬ ∧ đủ thể tất toán tử luận lý khác Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 6/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 21 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 22n − chia hết cho Câu 22 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 9n + chia hết cho Câu 23 Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 2, n3 − n bội Câu 24 Chứng minh với số tự nhiên lẻ n, n2 − chia hết cho Câu 25 Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 4n + 15n − chia hết cho Câu 26 Chứng minh với số nguyên n ≥ 3, tổng góc đa giác lồi với n đỉnh 180(n − 2) độ Câu 27 Hãy chứng minh dãy số Fibonacci có số đặc tính đặc biệt sau: a) với số nguyên n ≥ 1, F4n chia hết cho , + F4n+1 , + F4n+2 b) < (Fn+1 /Fn ) < với số nguyên n > c) Fn2 = Fn−1 Fn+1 + (−1)n+1 , với số nguyên n ≥ Câu 28 Dịch vụ bưu phát hành hai loại tem thư, tem xu 12 xu Trước gửi thư thông qua bưu điện, người gửi cần phải dán tem thư tương ứng với chi phí n phải trả theo trọng lượng Hãy chứng minh làm điều với n > 44 Câu 29 Chứng minh n đường thẳng phân biệt chia mặt phẳng thành tối đa (n2 +n+2)/2 miền Câu 30 Chúng ta định nghĩa cách đệ quy dãy số Ulam cách xác định u1 = 1, u2 = 2, với chuỗi số nguyên n, ta xác định n số Ulam viết cách tổng hai số Ulam khách nhau; ví dụ: u3 = 3, u4 = 4, u5 = 6, Chứng minh tồn số lượng vô hạn số Ulam Câu 31 Bất đẳng thức Bernoulli’s x > −1, x = n số nguyên dương lớn 1, ta có (1 + x)n > + nx Hãy chứng minh bất đẳng thức Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 7/8 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 32 Với số tự nhiên n ≥ 1, chứng minh xn − y n chia hết cho x − y Câu 33 Biết r số cho r + 1/r số nguyên Hãy chứng minh với số nguyên dương n, rn + 1/rn số nguyên Câu 34 Cho dãy số S(n) = n2 + n + 41 Chứng minh S(n) số nguyên tố với n = 1, 2, , 40, S(n) không số nguyên tố với n ≥ 41 Câu 35 Nếu hai thành phố thuộc tiểu bang A kết nối với đường chiều, ta xác định thành phố khởi đầu A hành trình từ A thông qua thành phố khác lần Câu 36 Điều sai chuỗi lý luận tất hoa có màu? - Đặt P (n) mệnh đề tất hoa tập n có màu - Ta thấy rõ ràng, P (1) - Nếu giả sử P (n) Nghĩa là, giả sử tất hoa tập n hoa có màu sắc - Xét tập n + bông; đánh số 1, 2, 3, , n, (n + 1) - Dựa theo giả định trên, chuỗi n hoa hoa có màu, chuỗi n hoa sau có màu - Do hai tập hợp hoa có giao thoa n − bông, nên tất n + hoa phải màu - Điều chứng minh P (n + 1) chứng minh phương pháp qui nạp Tổng kết Thông qua tập phần này, làm quen với phương pháp chứng minh (tham khảo chi tiết lý thuyết chương 2) Và tập giúp phần hiểu thêm việc lý giải sai toán thực tế Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 8/8 ... minh f (3k + 3) số chẵn Mặt khác, ta có: f (3k + 3) = f (3k + 2) + f (3k + 1) = f (3k + 1) + f (3k) + f (3k + 1) = 2f (3k + 1) + f (3k) = 2f (3k + 1) + 2m = 2(f (3k + 1) + m) Nghĩa f (3k + 3) số... n(n+1)(2n+1) d) 13 + 23 + + n3 = [ n(n+1) ]2 (n+1)(2n+1)(2n +3) e) 12 + 32 + + (2n + 1)2 = f) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − g) 1.2 + 2 .3 + + n(n + 1) = n(n+1)(n+2) h) 1.2 .3 + 2 .3. 4 + ... ≥ 2n 3n > Xét biểu thức bên trái bất đẳng thức: 3n+1 = × 3n = 3n + 3n + 3n > n2 + n2 + > n2 + 2n + = (n + 1)2 (đpcm) Do vậy, mệnh đề chứng minh qui nạp ✷ Giáo trình Toán Rời Rạc Trang 3/ 8 Trường