Trường Đại Học Bách Khoa Tp Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học và Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương 8 Lý thuyết đồ thị 1 Dẫn nhập Trong phần bài tập này, chúng ta sẽ làm quen với các khái niệm và định nghĩa tro[.]
Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Bài tập chương Lý thuyết đồ thị Dẫn nhập Trong phần tập này, làm quen với khái niệm định nghĩa lý thuyết đồ thị Sinh viên cần ôn lại lý thuyết chương trước làm tập bên Bài tập mẫu Câu Có cạnh đồ thị vơ hướng có đỉnh, đỉnh có bậc 4? Lời giải Vì tổng bậc đồ thị × = 24, nên 2e=24 Do đó, số cạnh đồ thị e=12 Đồ thị vẽ hình bên đây: A B F C E D Câu Có bậc vào bậc đỉnh đồ thị có hướng G đây? Lời giải • deg− (A) = 0, deg− (B) = 2, deg− (C) = 2, deg− (D) = 2, deg− (E) = 2, deg− (F ) = 3, • deg+ (A) = 4, deg+ (B) = 2, deg+ (C) = 1, deg+ (D) = 2, deg+ (E) = 1, deg+ (F ) = Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 1/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính A B F C E D Câu Liệu có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc : a) 1,1,2,2? b) 1,1,2,2,3,3,3? Nếu có vẽ đồ thị Lời giải a) Có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1, 1, 2, Đồ thị vẽ sau: B A C D b) Không tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1,1,2,2,3,3, tổng số bậc tất đỉnh số lẻ Bài tập cần giải Câu Có cạnh đồ thị vơ hướng có đỉnh, đỉnh có bậc 4? Lời giải Vì tổng bậc đồ thị × = 32, nên 2m=32 Do đó, số cạnh đồ thị m = 16 Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 2/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Đồ thị vẽ hình bên đây: A B H C G D F E Câu Có bậc vào bậc đỉnh đồ thị có hướng G đây? A B H C G D F E Lời giải • deg− (A) = 0, deg− (B) = 2, deg− (C) = 2, deg− (D) = 2, deg− (E) = 2, deg− (F ) = 3, deg− (G) = 2, deg− (H) = 3, • deg+ (A) = 4, deg+ (B) = 2, deg+ (C) = 1, deg+ (D) = 2, deg+ (E) = 1, deg+ (F ) = 1, deg+ (G) = 1, deg+ (H) = Câu Liệu có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc : a) 1,2,3,4? Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 3/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) 3,3,3,3? c) 1,2,3,4,5,6,7? Nếu có vẽ đồ thị Lời giải a) Không tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1, 2, 3, đơn đồ thị gồm n đỉnh, bậc đỉnh phải nhỏ n b) Có tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà đỉinh có bậc Đồ thị vẽ sau: B C A D c) Không tồn đơn đồ thị gồm đỉnh mà có bậc 1, 2, 3, 4, 5, 6, tổng số bậc tất đỉnh phải số chẵn Câu Số cạnh nhiều đơn đồ thị gồm 10 đỉnh bao nhiêu? Còn trường hợp đa đồ thị giả đồ thị nào? Lời giải Một đơn đồ thị gồm 10 đỉnh có tối đa 45 cạnh Còn đa đồ thị giả đồ thị có vơ số cạnh (số cạnh tối đa vô hạn) Câu Đồ thị phân đơi a) Các chu trình C3 ,C4 , C5 có phải đồ thị phân đơi khơng? b) Mệnh đề sau sai : "Nếu đồ thị có chứa tam giác khơng phải phân đôi" Chứng minh c) Mệnh đề nghịch đảo "Nếu đồ thị không chứa tam giác phân đơi" hay sai Chứng minh Lời giải a) C4 đồ thị phân đơi C3 , C5 khơng phải Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 4/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính b) Mệnh đề "Nếu đồ thị có chứa tam giác khơng phải phân đơi" Vì xét đỉnh tam giác, theo nguyên lý chuồng chim bồ câu, tồn đỉnh nằm tập V (hoặc V1 , V2 ) Và đỉnh ln có cạnh nối liền chúng, nên đồ thị loại đồ thị phân đôi c) Mệnh đề nghịch đảo "Nếu đồ thị không chứa tam giác phân đơi" sai C5 phản ví dụ Câu Do khói, bụi nước bốc lên từ miệng núi lửa bên mặt sông băng Eyjafjallajokull Iceland vào ngày thứ tư (14/04/2010), 90.000 chuyến bay châu Âu bị hủy Đây minh chứng bất ổn thiên nhiên gây tổn hại tới cơng việc kinh doanh tồn cầu Để giảm thiểu thiệt hại kinh tế, quan quản lý tối ưu hóa lập lịch đường bay EuroControl cố gắng tiếp tục trì số đường bay đến Việt Nam, liên quan đến thành phố lớn như: Hồ Chí Minh (A), Paris (B), Berlin (C), London (D) Tuy nhiên, ảnh hưởng mơi trường thiên nhiên nói trên, có vài chuyến bay hoạt động: từ A hướng đến B D, từ B hướng đến C, từ C hướng đến A D, từ D hướng đến B a) Hãy vẽ đồ thị có hướng tương ứng b) Viết ma trận kề M cho đồ thị có hướng c) Hãy tính M + M + M cho biết ý nghĩa ma trận Lời giải a) Đồ thị có hướng tương ứng : B C A D b) Viết ma trận matrix) gắn liền với đồ thị kề M (adjacent 1 0 M = 0 0 Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 5/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính c) Tính M M M2 = 0 Tính tổng ma trận 1 1 M3 = 1 0 M + M + M 1 1 1 1 2 0 0 2 M +M +M = 0 + + = 2 0 0 1 0 1 1 Vì M ma trận đại diện cho liên thông trực tiếp hai đỉnh đồ thị, M ma trận đại diện cho liên thông gián tiếp thông qua đỉnh trung gian, M ma trận đại diện cho liên thông gián tiếp thông qua hai đỉnh trung gian Do vậy, tổng M + M + M tạo thành ma trận đại diện cho đường liên thông trực tiếp gián tiếp thông qua tối đa hai đỉnh trung gian, hay nói cách khác, số đường hai điểm Bài tập nâng cao Câu 10 Đếm số cạnh đồ thị đặc biệt sau: a) Kn b) Cn c) Km,n d) Wn e) Qn Câu 11 Hãy vẽ đồ thị sau: a) K8 b) K1,7 c) K4,4 d) W8 Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 6/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính e) Q4 Câu 12 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc đồ thị sau: F B C A E D G Câu 13 • Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc đồ thị sau: B A C D F E • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phân đơi khơng Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phân đơi • Hãy cho biết đồ thị có phải đồ thị phẳng khơng Nếu có, vẽ lại dạng đồ thị phẳng Câu 14 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc hai đồ thị sau cho biết hai đồ thị có đẳng cấu khơng Câu 15 Hãy xác định danh sách kề, ma trận kề ma trận liên thuộc hai đồ thị sau cho Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 7/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính A D A B E E F F C B G1 D G2 C A B A B C F C D F G1 E E G2 D biết hai đồ thị có đẳng cấu khơng Câu 16 Hãy vẽ đồ thị sau: a) Hãy vẽ đồ thị gồm đỉnh biểu diễn số từ đến 10, đỉnh nối với số tương ứng chia hết cho số lại b) Hãy vẽ đồ thị gồm đỉnh biểu diễn số từ đến 10, đỉnh nối với số tương ứng có ước số chung lớn c) Tìm số cạnh, số bậc đỉnh đồ thị Câu 17 Một họp có ba đại biểu đến dự Mỗi người quen hai đại biểu khác.Hãy tìm cách để xếp chỗ ngồi đại biểu chung quanh bàn tròn, cho người ngồi hai người mà đại biểu quen Câu 18 Hãy chứng minh đơn đồ thị, ln tồn hai đỉnh có bậc Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 8/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Câu 19 Các đồ thị đặc biệt sau có phải đồ thị phân đơi khơng, giải thích: a) Kn b) Cn c) Wn d) Qn Câu 20 Hãy chứng minh đồ thị vô hướng G, a) số đỉnh số chẵn, tồn đỉnh G có số bậc lẻ b) số đỉnh số lẻ, tồn đỉnh G có số bậc chẵn c) số đỉnh số chẵn, số đỉnh bậc chẵn G phải số chẵn d) số đỉnh số lẻ, số đỉnh bậc chẵn G phải số lẻ e) số đỉnh số chẵn, số đỉnh bậc lẻ G phải chẵn f) số đỉnh số lẻ, số đỉnh bậc chẵn G phải lẻ Câu 21 Một buổi thảo luận có 101 khách mời; chứng minh tồn người khách mời tranh luận với số chẵn người khách mời khác Câu 22 Có người dân, ơng cha tên ác quỷ dracula cư ngụ đất nước X Do đất nước bị động đất, tất người muốn chuyển sang nước Y trù phú hơn, người đăng ký dịch vụ du lịch hỗ trợ di chuyển sang đất nước giàu có Y Vì cách trở địa lý, việc di chuyển thơng qua máy bay có máy bay trực thăng viên phi công cư ngụ nước X Hơn nữa, số lượng dự trữ xăng đủ để di chuyển vòng qua lại hai đất nước X Y Nếu đường di chuyển, số lượng dracula nhiều số lượng ơng cha, viên phi cơng bị tên ác quỷ hút hết máu khơng cịn khả điều khiển máy bay Ngồi ra, thời điểm đất nước bất kỳ, số lượng dracula nhiều số lượng ơng cha, dracula có khả hút máu người xung quanh đất nước Liệu tìm giải pháp tối ưu giúp viên phi công vận chuyển tất hành khách sang đất nước B mà đảm bảo an toàn cho hành khách thân sau tất chuyến bay, đồng thời di trú sang đất nước Y sau hồn thành nhiệm vụ Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 9/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Kỹ Thuật Máy Tính Tổng kết Thông qua tập phần này, làm quen với định nghĩa, tính chất, định lý lý thuyết đồ thị (tham khảo chi tiết chương 4) Ngoài ra, tập giúp phần hiểu thêm ứng dụng thực tiễn đồ thị Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 10/10 ... cạnh đồ thị đặc biệt sau: a) Kn b) Cn c) Km,n d) Wn e) Qn Câu 11 Hãy vẽ đồ thị sau: a) K8 b) K1,7 c) K4,4 d) W8 Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 6/10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa... bàn tròn, cho người ngồi hai người mà đại biểu quen Câu 18 Hãy chứng minh đơn đồ thị, ln tồn hai đỉnh có bậc Giáo trình Tốn Rời Rạc Trang 8/ 10 Trường Đại Học Bách Khoa Tp.Hồ Chí Minh Khoa Khoa