Cd tich phan ham an co dap an va loi giai

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN HÀM ẨN Chuyên đề phát triển từ câu 41 đề tham khảo mơn Tốn 2021 Bộ Giáo Dục KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Các tính chất tích phân: b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx ⬥a a b ⬥ với a  c  b c b k f  x  dx kf  x  dx  k 0  a a b a f  x  dx  f  x  dx ⬥a b b ⬥ b f  x  dx F  x  a a F  b   F  a  b b b  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx ⬥a a b b a b f  x  dx f  t  dt f  z  dz ⬥a a a b ⬥ f  x  dx  f  x  a b a Công thức đổi biến số:  f  b  f  a  f  u  x   u x  dx f  u  du , u u  x  u b b f  u  x   u x  dx   f  u  du, u u  x  a u a Phương pháp đổi biến số thường sử dụng theo hai cách sau đây: b ♦ Giả sử cần tính b a Nếu ta viết u b g  x dạng f  u  x   u  x  u b g  x  dx   f  u  du a g  x  dx u a  Vậy tốn quy tính  f  u  du u a , nhiều trường hợp tích phân đơn giản  ♦ Giả sử cần tính  f  x  dx  b Đặt x x  t  thỏa mãn a b f  x  dx f  x  t   x t  dt g  t  dt    x  a  ,  x  b  a , TBÀI TẬP MẪU Trang g  t   f  x  t   x t   x2  f ( x )  x  2x  (ĐỀ MINH HỌA LẦN 1-BDG 2020-2021) Cho hàm số x 2 x  Tích phân  f (2sin x 1) cos x dx bằng: 23 A 23 B 17 17 C D Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm giá trị tích phân hàm số HƯỚNG GIẢI: B1: Dựa vào biểu thức bên dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý toán b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx, c   a; b  a c B2: Sử dụng tính chất a   B3: Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau: Lời giải Chọn B  Xét I f (2sin x  1) cos x dx dt cos xdx Đặt x 0  t 1  x   t 3 Đổi cận: 3  23 1 1 I  f (t )dt  f ( x )dx    x  x  3 dx   x  1 dx   21 21 21  Bài tập tương tự phát triển: ⮲ Mức độ e x x 0 f ( x )   x  x  x  Biết tích phân Câu Cho hàm số giản) Giá trị a  b  c A B C Lời giải t 2sin x   a e2 a f ( x) dx  b  c b 1 ( phân số tối D 10 Chọn C 1 e2 I  f ( x)dx   x  x   dx  e x dx   1 1 Ta có: Vậy a  b  c 9 Câu  x   x  x 3  e4 f ( x )  f (ln x) dx x    x x   Cho hàm số Tích phân e bằng: 40 95 189 189  ln  ln  ln  ln A B C D Lời giải Trang Chọn D e4 I  Xét e2 f (ln x) dx x t ln x  dt  dx x Đặt x e  t 2 Đổi cận: x e  t 4 4 189 I f (t )dt f ( x)dx  dx  x   x  dx   ln x 4 2 Câu Cho hàm số m  2n bằng: A 1  f ( x)  x  x  x 1 x  f ( Tích phân  x )dx  2 m m n ( n phân số tối giản), C Lời giải B D Chọn A Xét I  f (  x )dx 7 Đặt t   x   3t dt dx x   t 2 Đổi cận: x 1  t 0 2 1  25 I  3t f (t )dt 3x f ( x )dx 3  x  x  1 dx  xdx   0  12 Câu Cho hàm số A I 3 f  x liên tục  B I 5 f  x  dx 4 f  x  dx 6 , C I 6 Lời giải I  f  x   dx 1 Tính D I 4 Chọn B  d x  du Đặt u 2 x  Khi x  u  Khi x 1 u 3 3  1 I  f  u  d u   f  u  d u  f  u  d u   1 1  Nên  1   f   u  d u  f  u  d u   1  f  x  d x 4 Xét Đặt x  u  d x  d u Khi x 0 u 0 Khi x 1 u  Nên f  x  d x   Ta có 1 f   u  d u  f   u  d u 1 f  x  d x 6  f  u  d u 6 0 Trang Câu  1 I   f   u  d u  f  u  d u      5  1  Nên F  x f  x  1  x   x F  1 3 Cho nguyên hàm hàm số tập  thỏa mãn F    F    F   3 Tính tổng A B 12 C 14 D 10 Lời giải: Chọn C Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối: Ta có: ⮚ ⮚ 2 f  x  dx F    F  1 F    f  x  dx 2dx 2 mà 1 f  x  dx F  1  F   3  F   f  x  dx 2 xdx x mà nên 1 1 f  x  dx F    F   1 2  F   1 f  x  dx  2 xdx x mà f  x  dx F   1  F   3 3  F   3 Vậy F    F    F   3 2   14 1 mà F   2 1 3 nên 0 1 F   5 1 ⮚ 2 1 nên 1 F   1 3 1 f  x  dx   2dx  3  3 nên F   3 7 Câu x  1 I  dx 4  a ln  b ln x Biết với a, b   Tính S a  b A S 9 B S 11 C S  D S 5 Lời giải: Chọn D  x  x 2 x   2  x x 2 Ta có x  1 x  1 I  dx   dx x x Do 5   x  1  x   1 3 5    dx   dx    dx     dx x x x  1 x 2  5ln x  x    x  3ln x  4  8ln  3ln a 8   b   S a  b 5 Câu Cho hàm số f  x f  x3  x  1 3x   có đạo hàm liên tục thỏa mãn , với x   Tích phân xf  x  dx Trang A  31 17 B 33 C Lời giải 49 D Chọn C f  x3  x  1 3x  Từ giả thiết ta có nên suy 5 I xf  x  dx xf  x   Do Vậy Câu , f   5 f  x  dx 23  f  x  dx  1 59 f  x  dx f  t  3t  1  3t  3 dt  3t    3t   dt   0 I 23  Cho hàm số 1 Suy x t  3t 1  dx  3t  dt Đặt Với x 1  t 0; x 5  t 1  f  1 2 59 33  4 y  f  x f  x  x  3 2 x  1, x    xác định liên tục thoả Tích phân  f  x dx 2 32 C Lời giải B 10 A D 72 Chọn B x t  4t   dx  5t   dt Đặt  x   t   Đổi cận:  x 8  t 1 Khi 1 4 f  x  dx  f  t  4t  3  5t   dt   2t 1  5t   dt 10 2 1 1 Câu  f ( x )   f ( x)   x Cho hàm số y  f ( x) xác định liên tục  thỏa mãn với x   10 I  f ( x)dx Tính A I 0 B I 3 C I 5 Lời giải D I 6 Chọn B Đặt t  f ( x )  2t  3t   x  dx (6t  3)dt x 5  2t  3t  5  t 0 x 10  2t  3t  10  t 1 10 Vậy Câu I  f ( x)dx t (6t  3)dt 3 1   \  ,  x   f , f   1 f x f 2   thỏa 2x  Cho hàm số   xác định   Giá trị biểu f   1  f  3 thức A ln15 B  ln15 Trang C  ln15 Lời giải D  ln15 Chọn C Ta có f  x   2x   ln   x   C1  f  x   dx ln x   C  2x  ln  x  1  C  f   1  C1 1 f  1 2  C2 2 ;x  ;x   ln  x  ; x      f  x   ln  x  1  ; x   Do  f   1  f  3 3  ln15 3x  x f ( x)  5  x Câu 10 Cho hàm số 15 A B 15  f   1 ln    f  3 ln   x 0 I  cos xf  sin x dx   x  Khi 17 D C Lời giải: Chọn A    x   t    x   t 1 Đặt t sin x  dt cos xdx Đổi cận  1  I  f  t  dt  f  x  dx 1 1 3x  x f ( x)  5  x Do x 0 x  15  I    x  dx   3x  x  dx  1 x 2 x  2x  f ( x)   x 1 Câu 11 Cho hàm số 41 A B 21 x  Khi I f   x  dx 41 C 12 Lời giải 41 D 21 Chọn C t 3  x  dt  2dx  dx  Đặt 3 1  I  f  t  dt  f  x  dx 21 21  x2  2x  f ( x)   x 1 Do dt Đổi cận x 2 k hi x  Trang  x 0  t 3   x 1  t 1  41 1  I    x  1 dx   x  x  3 dx   2  12   x  x x   f ( x )  x  I  sin xf  cos x  1 dx x    Khi  Câu 12 Cho hàm số 35 19 10 A 12 B C D Lời giải: Chọn A  x 0  t 2    x   t 1  Đặt t cos x   dt  sin xdx Đổi cận  2  I f  t  dt f  x  dx 1 3 x    x  x f ( x )  x   Do x   I  x   dx   x  x  dx  35 12   x  x x 0 I  cos xf  sin x dx f ( x)    x  Khi x Câu 13 Cho hàm số    A B  C D Lời giải: Chọn A   x   t     x   t 1 Đặt t sin x  dt cos xdx Đổi cận  1  I  f  t  dt  f  x  dx 1 1 x  x f ( x )  x Do x 0 x   I  xdx   x  x  dx  1 2  x  x 1 f ( x)  2 x  Câu 14 Cho hàm số x 3 I xf  x  1 dx x  Khi Trang 73 B A 24 74 C Lời giải: D 25 Chọn B t  x   dt 2 xdx  xdx  dt Đổi cận Đặt 5 1  I  f  t  dt  f  x  dx 21 21  x 0  t 1   x 2  t 5  x  x  x 3 f ( x )  x  2 x  Do  73 1  I    x  1 dx   x  x  1 dx   2   3 x  x  f ( x )   x  x   Tính tích phân Câu 15 Cho hàm số 17 13 A B C Lời giải: Chọn B  f  sin x  cos xdx 21 D  I f  sin x  cos xdx Xét Đặt sin x t  cos xdx dt Với x 0  t 0  x  t 1  1 2 1 17 I f  t  dt f  x  dx f ( x )dx  f ( x )dx  x   dx   x   dx  1 0 0 Câu 16 Cho hàm số 33 A 2 x 0 2 x  f ( x )  2 x  x  x  15 B 23  Tính tích phân C 12 Lời giải: Chọn D  Xét I f  3cos x   sin xdx Đặt 3cos x  t  Với x 0  t 1  t  x 3  3sin xdx dt  sin xdx  Trang dt f  3cos x   sin xdx 19 D 24 I 1 f  t  dt     3  f  x  dx   0  f ( x)dx   f ( x )dx 3  x  x 1 dx   19 x  1 dx    30 24 1  x x 1 f ( x )  2 x  x  Câu 17 Cho hàm số 11 A 10 43 B 31  Tính tích phân 31 C 30 Lời giải:   f  5sin x  1 cos xdx 31 D 10 Chọn C  I   f  5sin x  1 cos xdx  Xét  10 cos xdx dt  cos xdx  dt 10 Đặt 5sin x  t   x   t  Với  x  t 4 4 1 1  I  f  t  dt  f  x  dx  f ( x )dx  f ( x )dx 10  10  10  10 1 1 31    x dx   x   dx  10  10 30   e  x  x  x 2 f ( x )  x  Tính tích phân 11  x Câu 18 Cho hàm số 69 25 A B 12 C Lời giải: Chọn A e I f   ln x  dx x Xét f   ln x  x dx e D 30 dx dt Đặt  ln x t  x x e  t 1 Với x e  t 3  3 I f  t  dt f  x  dx f  x  dx  f  x  dx  11  x  dx   x  x   dx  1 2 1  x x 3 f ( x )  7  x x  Tính tích phân Câu 19 Cho hàm số Trang ln  f  3e x  1e x dx 69 13 A 15 B  102 33 C Lời giải:  94 25 D Chọn C ln Xét I   f  3e x  1 e x dx 3e x dx dt  e x dx  dt Đặt 3e  t  Với x 0  t 2 x ln  t 5 5 1 1 94 I  f  t  dt  f  x  dx  f  x  dx    x  dx  (7  x)dx  32 32 33 32 33  x ⮲ Mức độ  Câu Giá trị tích phân A max  sin x, cos x dx D C Lời giải B Chọn C    x  0;  Ta có phương trình sin x  cos x 0 có nghiệm đoạn Bảng xét dấu  Suy   max  sin x, cos x dx cos xdx  sin xdx  sin x     cos x   0  Câu Tính tích phân A   I max x , x dx 17 B 19 C Lời giải: 11 D Chọn B f  x  x3  x Đặt ta có bảng xét dấu sau: Dựa vào bảng xét dấu ta có x   0;1 , f  x  0  x  x 0  x  x  max x , x  x  Trang 10  s x   1; 2 , f  x  0  x  x 0  x  x  max  x , x  x Ta có:   Câu Câu   Nên   I max x3 , x dx max x , x dx  max x3 , x dx 1 1 17 I max x3 , x dx xdx  x3dx  x  x  4 0    f  1  ln   f   a  b ln 3; a, b    x  x  1 f  x   f  x   x  x y  f  x  \  0;  1 Cho hàm số liên tục thỏa mãn  2 Tính a  b 25 13 A B C D Lời giải Chọn B x x  1 f  x   f  x  x  x Ta có  (1) x x f  x   f  x  2 x 1  x  1 ta x 1  x 1 Chia vế biểu thức (1) cho x  x  x x f x    f  x   dx    x   \ 0;    x  , với    x 1 x 1  x 1 x x 1 f  x  x  ln x   C f  x   x  ln x 1  C   x 1  x f  ln    ln  C   ln  C  Mặt khác,   x 1 f  x   x  ln x 1  1 x Do 3 3 f  x     ln    ln a b  2 2 Với x 2 Suy a  b2  Vậy  f    f   1  f  x  y   f  x   f  y   3xy  x  y   y  f  x  Cho hàm số có đạo hàm thỏa mãn  , với x, y   Tính A f  x  1dx B  C Lời giải D Chọn C Lấy đạo hàm theo hàm số y f  x  y   f  y   x  xy x   , y 0  f  x   f    x  f  x  1  3x Cho 3  f  x  f  x  dx  x  x  C mà f   1  C 1 Do f  x   x  x  Trang 11 Vậy 0 f  x  1dx  f  x  dx   x3  x 1 dx  1 1 Câu Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục 1 x f  x  dx 3 thỏa mãn f  1 0 , dx 7  0;1  f  x   Tích phân A f  x  dx C Lời giải B D Chọn A 1  x3  x f x dx  f x          0 Ta có x3 f  x  dx  x Suy x3 f  x  dx   3 9 dx  63 Hơn ta dễ dàng tính 1 2 x x    f  x   dx  2.21 f  x  dx  21  dx 0   f  x   x  dx 0  0 Do 7 f  x   x  C C f  x   x f  1 0 4 Suy , Vì nên f  x  dx  Vậy Câu 7 x  1 dx    40 f  x f  1 1 f   4 Xét hàm số có đạo hàm liên tục  thỏa mãn điều kiện Tính  f  x   f  x    J    dx x x2  1 1 J ln  J   ln 2 A J 1  ln B J 4  ln C D Lời giải Chọn D 2 2  f  x   f  x    f  x  f  x 2  J   d x  d x  d x      dx    x x x x x x    1 1 Ta có Đặt  u  x   dv  f  x  dx   du  dx x  v  f  x   2  f  x   f  x    f  x J   d x  f x  dx     2  x x x x   1 2 f  x 2  d x     dx   x x x  1 1   f    f  1   ln x     ln x1  Câu  \   2;1 Cho hàm số f ( x) xác định thỏa mãn 1 f  x   , f   3  f  3 0, f    x x Giá trị biểu thức f     f  1  f   Trang 12 1 ln 20  A 1 ln  B C ln 80  Lời giải ln  D Chọn B Ta có: f  x   1 1      x  x  3 x x 2 1   ln   x   ln   x     C1 ; x    ;     1  x 1 f  x      C   ln   x   ln  x     C2 ; x    2;1  dx  ln  x x2 x2 3 1   ln  x  1  ln  x     C3 ; x   1;    1 1 f      ln     ln      C2   C2  ln  3 3 Với 1 f   3  f  3 0  C1  C3  ln 10 Với 1 1 f     f  1  f    ln  ln  ln  C2  C1  C3  ln  3 3 Nên Câu Câu   f  x   0, x    x  f  x   e f  x  , x     f  0 1 f  x Cho hàm số xác định liên tục  đồng thời thỏa mãn  f  ln  Tính giá trị 1 1 f  ln   f  ln   f  ln  ln  f  ln  ln 2  D A B C Lời giải Chọn B f  x    e x x f  x   e f  x  f  x  f  x Ta có ( ) f  x  1  e x  C  f  x   x   dx  e x dx   f  x f  x e C 1 f  0     C  e C Mà 1  f  x  x  f  ln   ln  e 1 e 1 Cho hai hàm f  x g  x có đạo hàm  1; 4 , thỏa mãn  f  1  g  1 4   g  x   xf  x   f  x   xg  x   x   1; 4 I  f  x   g  x   dx Tính tích phân A 3ln B ln C ln Lời giải Chọn D Trang 13 D 8ln với Từ giả thiết ta có f  x   g  x   x f  x   x.g  x    f  x   x f  x     g  x   x.g  x   0   x f  x      x.g  x    0 C  x f  x   x.g  x  C  f  x   g  x   x 4 f  1  g  1 4  C 4  I  f  x   g  x   dx  dx 8ln x 1 Mà 1; Câu 10 Cho hai hàm f ( x) g ( x) có đạo hàm   thỏa mãn f (1) g (1) 0  x  ( x  1) g ( x)  2017 x ( x  1) f ( x) , x   1; 2  x  g ( x )  f ( x) 2018 x  x  x 1  x  I  g ( x)  f ( x)  dx x 1 x  1 Tính tích phân A I B I 1 C Lời giải I D I 2 Chọn A x 1   ( x  1) g ( x )  x f ( x)  2017 , x   1; 2   x g ( x)  f ( x) 2018 x2 Từ giả thiết ta có:  x  Suy ra:    x 1 x   x    x 1    g ( x )  g ( x )  f ( x )  f ( x )   g ( x )  f ( x )  ( x  1)   x   x    x  1 x 1 x2    x x 1  g ( x)  f ( x)  x  C x 1 x 2 x 1  x  I  g ( x)  f ( x)  dx ( x  1)dx  x 1 x   Mà f (1) g (1) 0  C    x3  x  x  f ( x)  x 1 Tính tích phân x  Câu 11 Cho hàm số 21 13 20 A B C Lời giải: Chọn A  Xét I f  3sin x  1 sin xdx 3sin x  t  3sin xdx dt  sin xdx  dt Đặt Với x 0  t   x  t 2 Trang 14  f  3sin x  1 sin xdx D  I 1  1 1 f  t  dt  f  x  dx  f ( x )dx  f ( x )dx  1 1 1 31 1 21 x  x  dx   x  3 dx   1 31   2 x  x 1 f ( x )  x  x Câu 12 Cho hàm số Tính tích phân 231 97 16  A B C Lời giải: Chọn B 13 I  f Xét  13 f   x   dx 113 D  x   dx x  t   x  (t  2)  dx 2(t  2)dt Đặt x   t  Với x 1  t 0 x 13  t 2 2  I 2 (t  2) f  t  dt 2 ( x  2) f  x  dx 2 ( x  2) f  x  dx  ( x  2) f  x  dx 0 2 ( x  2) x 2dx  (2 x  1)( x  2)dx  1 97  2 2 x  x 2  f  cos x sin xdx f ( x )  4  x x  Tính tích phân  Câu 13 Cho hàm số 21 A B C D 12 Lời giải: Chọn A    I   f   cos x  sin xdx  Xét   cos x t  sin xdx  dt Đặt  x   t 1 Với  x  t 3  I  3 1 1 f  t  dt  f  x  dx  f ( x )dx  f ( x )dx  41 41 41 42 1   x  dx   x   dx   31 32  x  x  x  f ( x)  x 1 3  x Câu 14 Cho hàm số Tính tích phân Trang 15 e4 f   ln x  1x dx 16 A 11 C Lời giải: B 17 D 11 Chọn C e4 I  f Xét   ln x  1x dx  ln x t   ln x t  Đặt Với x 1  t 2 x e  t 0 dx  2tdt x 2  I 2 t f  t  dt 2 x f  x  dx 2 x f ( x )dx  x f ( x)dx 0 1 11 2 x  x  x  1 dx  2x   x  dx  2 x  x   f ( x)  x  x 2 5  x x   Câu 15 Cho hàm số 201 A 77  Tính tích phân 155 C Lời giải: 34 B 103   f   tan x  cos x dx 109 D 21 Chọn D  I   f   tan x   Xét Đặt Với   tan x t  x  dx cos x 1 dx  dt cos x   t 9   t  9 1 1  I  f  t  dt  f  x  dx  f ( x)dx  f ( x )dx  f ( x )dx 5 5 5 70 72 x 1 109   x  1 dx   x  1 dx    x  dx  5 70 72 21  2  x  x x 0 f ( x)  I 2 cos xf  sin x dx  2f   x dx x  Khi x 0 Câu 16 Cho hàm số 10 A B C D Lời giải: Chọn D  Ta có: I 2 cos xf  sin x  dx  2f   x dx I1  I 0 Trang 16  x 0  t 0    x   t 1  Đặt t sin x  dt cos xdx Đổi cận  1  I1 2f  t  dt  f  t  dt  f  x  dx 1 x  x f ( x )  x Do 1 x 0 x   I1  xdx   x  x  dx  1 Đặt t 3  x  dt  2dx  dx  dt Đổi cận  x 0  t 3   x 2  t   I  f  t  dt  f  x  dx 1 1  x  x x 0 f ( x )  x  x Do 0   I  xdx   x  x  dx  4  1  10 I I1  I  Vậy x  4 x f ( x )   x  12 x 2 Tính tích phân Câu 17 Cho hàm số x f I   x 1 x 1  dx  ln e 2x f   e x  dx ln A 84 B 83 C 48 Lời giải: D  84 Chọn A Ta có: x f I   x 1 x 1  dx  ln e 2x f   e x  dx I1  I ln  x 0  t 1  2 x   t 2 t  x   t  x   tdt  xdx  xdx  tdt Đặt Đổi cận  2  I1 f  t  dt f  t  dt f  x  dx 1 4 x f ( x )   x  12 Do x  x 2  I1   x  12  dx 9  x ln  t 5  t 1  e2 x  dt 2e x dx  e x dx  dt Đổi cận  x ln  t 10 Đặt Trang 17 10 10 1  I  f  t  dt  f  x  dx 25 25 4 x f ( x )   x  12 Do 10  I  4 x 75 25 Vậy I I1  I 84 x  x 2  f  tan x  I  dx  cos x   x  x x 1 f ( x)    x  x  Biết Câu 18 Cho hàm số phân số tối giản Giá trị tổng a  b A 69 B 68 C 67 Lời giải: Chọn A  e1 f  tan x  I  dx   cos x   x f ln  x  1 x 1  dx I  I e1   x f ln  x  1 x2 1  dx  a b a với b a b a với b D 66   x   t 1    x   t  t tan x  dt  dx cos x Đổi cận  Đặt 3  I1  f  t  dt  f  x  dx 1  x 0  t 0   2x x x  e  1 t  t ln x   dt  dx  dx  dt  x 1 x 1 Đổi cận  Đặt    I2  1 f  t  dt  f  x  dx  20 20 2 x3  x f ( x)   3x  Do x 1 x   I I1  I   x  x  dx  1 53   3x   dx   a 53, b 16  20 16 Vậy a  b 69 1 e2  x  x