Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Công thức mũ:
* Các đẳng thức cơ bản:
1) a a a
α β α β
+
=
2)
α
α β
β
−
=
a
a
a
3)
( )a a
α β αβ
=
4)
( )ab a b
α α α
=
5)
α
α
α
=
÷
a a
b
b
Với
>, 0a b
,
,
α β
là những số thực tuỳ ý.
* Cho
,
α β
là các số thực tuỳ ý , ta có:
1) Với
1a >
thì
a a
α β
α β
> ⇔ >
2) Với
0 1a< <
thì
a a
α β
α β
> ⇔ <
Nhận xét: Với
0a >
thì
a a
α β
α β
= ⇔ =
* Cho
0 a b< <
và số thực
m
, ta có:
1)
0
m m
a b m< ⇔ >
2)
0
m m
a b m> ⇔ <
Nhận xét : Với
> ≠, 0;a b a b
thì
0a b
α α
α
= ⇔ =
.
* Nếu
n
là số tự nhiên lẻ thì
< ⇔ <
n n
a b a b
,
n n
a b a b< ⇔ <
với mọi
,a b
Chú ý :
* Cho số thực
0a >
;
,m n
là hai số nguyên,
0n >
:
=
m
n
m
n
a a
.
* Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không.
* Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương.
2. Công thức Logarit
a. Định nghĩa: cho
0, 1a a> ≠
; b > 0. Ta có:
α
α
= ⇔ =log
a
b a b
Ví dụ :
2 2
log 8 8 2 3 log 8 3
x
x x= ⇔ = ⇔ = ⇒ =
Ta có kí hiệu:
10
log lga a=
(lô ga thập phân của a) và
log ln
e
a a=
(loga tự nhiên của a ).
b. Nhận xét: Từ định nghĩa, ta có:
log 1 0
a
• =
log 1
a
a• =
•
log
x
a
a x=
c. Tính chất:
Cho
, 0; 0 1x y a> < ≠
. Ta có:
log ( ) log log
a a a
xy x y• = +
•
log log log
a a a
x
x y
y
= −
Chú ý : Nếu
0xy >
thì
log ( ) log | | log | |
a a a
xy x y= +
và
log log | | log | |
a a a
x
x y
y
= −
d. Công thức đổi cơ số: Cho
0 , 1; 0a b c< ≠ >
, ta có:
log
log
log
a
b
a
c
c
b
=
.
Từ đó ta có các hệ quả sau:
Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
1
log . log 1 log
log
a b a
b
b a b
a
• = ⇔ =
α
α
α
• = ≠
1
log log , 0
a
a
b b
log log . log
b b a
c a c• =
log log
b b
c a
a c• =
Nhận xét: Ta có:
log log
a
a
b b
α
β
β
α
=
và
1
log log
n
a a
b b
n
=
3. Hàm số mũ:
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng
x
y a=
với
0; 1a a> ≠
b. Tính chất: Hàm số mũ
(0 1)
x
y a a= < ≠
có các tính chất sau
• Tập xác định là
¡
và tập giá trị là
(0; )+∞
• Liên tục trên
¡
.
•
1a
> ⇒
hàm đồng biến, tức là
1 2
1 2
x x
a a x x> ⇔ >
.
•
0 1a
< < ⇒
hàm nghịch biến, tức là
1 2
1 2
x x
a a x x> ⇔ <
.
• Giới hạn :
1
0
1
lim (1 ) lim (1 )
x
x
x x
x e
x
→±∞ →
+ = + =
và
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
−
=
• Đạo hàm:
(
)
( ) ' ln '
x x x x
a a a e e= ⇒ =
và
(
)
' . ' ln
u u
a a u a=
4. Hàm số Lôgarit
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng
log
a
y x=
, trong đó
0 1a< ≠
.
b. Tính chất: Các tính chất của hàm số lôgarit
• Liên tục trên tập xác định
(0; )D = +∞
và tập giá trị
¡
•
1a
> ⇒
hàm đồng biến
1 2 1 2
log log 0
a a
x x x x⇒ > ⇔ > >
•
0 1a
< < ⇒
hàm số nghịch biến
1 2 1 2
log log 0
a a
x x x x⇒ > ⇔ < <
• Giới hạn:
0
ln(1 )
lim 1
x
x
x
→
+
=
• Đạo hàm: với
0x
≠
ta có
( ) ( )
= ⇒ =
1 1
ln | | ' log | | '
ln
a
x x
x x a
và
( )
'
ln | | '
u
u
u
=
, u
0
≠
.
B. DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNGPHÁP GIẢI:
1. Các phương trìnhmũ cơ bản:
1.
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= ⇔ =
; a,b > 0. 2.
= ⇔ =
( )
( ) log
f x
a
a b f x b
; a,b > 0.
3.
( ) ( )
( ) ( ) log
f x g x
a
a b f x g x b= ⇔ =
; a,b > 0.
Để giảiphươngtrìnhmũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên.
Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phươngtrình sau:
2
3 4 1
1) 2 4
x x x+ − −
=
+
+ = −
3 5 8
2) (2 3) (2 3)
x x
2
2
3) 8 36.3
x
x
x
−
+
=
3
1 2 1 3
4) 2 . 4 .8 2 2.0, 125
x x x+ − −
=
3
3x 3
5) 2 . 4 . 0.125 4 2
x x
=
2 2
2
6) 2 4.2 2 4 0
x x x x x+ −
− − + =
− −
=
1 2
7) 2 .3 .5 12
x x x
. 8)
125.3.2
21
=
−− xxx
9)
x
x
x
−
+
=
2
2
3.368
10)
2
2
5 6
1 1
3
3
x
x x
+
+ −
=
Bài 1: Giải các phươngtrình sau:
1)
1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
x x x x x x+ + + +
+ + = + +
2)
2
2 5 2 1
3 27
x x x+ + +
=
3)
2
5 6 3
5 2
x x x− + −
=
4)
1
2 .5 10
x
x
x
−
=
5)
2
5 4
2 2 4
( 3) ( 3)
x x
x
x x
− +
+
+ = +
6)
5
17
7
3
32 0, 25.128
x
x
x
x
+
+
−
−
=
( x=10).
7)
2x 2
x
3 9 9
.
4 16 16
−
=
÷
8)
1
2 . 27 . 5 180
x
x x x
+
=
.
9)
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
. 10)
2
x x 8 1 3x
2 4
− + −
=
11)
2
5
x 6x
2
2 16 2
− −
=
12)
x x 1 x 2 x x 1 x 2
2 2 2 3 3 3
− − − −
+ + = − +
13)
x x 1 x 2
2 .3 .5 12
− −
=
14)
x x 1 x 2 x x 1 x 2
5 5 5 3 3 3
+ + + +
+ + = + +
2. Các phươngphápgiải PT mũ thường gặp:
2.1. Phươngpháp đặt ẩn phụ
Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, đểgiải PT mũ ta có thể dùng phươngpháp đặt ẩn phụ. Tức là ta thay
thế một biểu thức chứa hàm số mũ bằng một biểu thức chứa ẩn phụ mà ta đặt và chuyển về những
phương trình – bất phươngtrình ma ta đã biết cách giải. Phươngpháp đặt ẩn phụ rất phong phú và đa
dạng, để có được cách đặt ẩn phụ phù hợp thì ta phải nhận xét được quan hệ của các cơ số có trong
phương trình.
*Dạng 1:
(x)
( ) 0
f
F a =
.Với dạng này ta đặt
( )
, 0
f x
t a t= >
(trong đkxđ của f(x)) và chuyển về phương
trình
( ) 0F t =
, giải tìm nghiệm dương t của phương trình, từ đó ta tìm được x.
Ta thường gặp dạng:
2 (x) ( )
. . 0
f f x
m a n a p+ + =
.
Ví dụ 2: Giải các phươngtrình sau:
1) 2.16 15.4 8 0
x x
− − =
2
cos 2 cos
2) 4 4 3 0
x x
+ − =
− − − − −
− =
2 2
2 2 1
3) 9 7.3 2
x x x x x x
−
− =
x 1
4) 2 2 1
x
+
+
+ =
4
4
1
2
5) 2.3 9 9
x
x x x
2 2
2
6) 2 2 3
x x x x− + −
− =
Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
+ + +
− − =
2 4 4
7) 3 8.3 9.9 0
x x x x
3
3( 1)
1 12
8) 2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
.
*Dạng 2:
( ) ( )
. . 0
f x f x
m a n b p+ + =
, trong đó:
1ab =
.
Với phươngtrình dạng này ta đặt
( ) ( )
1
, 0
f x f x
t a t b
t
= > ⇒ =
.
Ví dụ 3: Giải các phươngtrình – bất phươngtrình sau
1) (5 24) (5 24) 10
x x
+ + − =
2) (7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ − − + =
.
+ + − =3) ( 7 48) ( 7 48 ) 14
x x
*Dạng 3:
2 ( ) ( ) 2 ( )
. .( . ) . 0
f x f x f x
m a n a b pb+ + =
. Với dạng này ta giải như sau
Chia 2 vế phươngtrình cho
2 ( )f x
b
và đặt
( )
( ) , 0
f x
a
t t
b
= >
. Ta có PT:
2
0mt nt p+ + =
.
Ví dụ 4: Giải các phươngtrình sau
1) 6.9 13.6 6.4 0
x x x
− + =
2 2 2
2 1 2 2 1
2) 9 34.15 25 0
x x x x x x− + + − − +
− + =
3 1
3) 125 50 2
x x x +
+ =
4) 3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Bài tập 2: Giải các PT sau
1)
0455
1
=+−
− xx
2)
3 9.3 10 0
x x−
+ − =
3)
01228
332
=+−
+
x
x
x
4)
2 1
5 5 5 5
x x x+
+ = +
5)
16
5
202222
22
=+++
−− xxxx
6)
( ) ( )
10245245 =−++
xx
7)
( ) ( )
3
2531653
+
=−++
x
xx
8)
( ) ( )
02323347 =+−−+
xx
9)
(
)
(
)
7 4 3 7 4 3 14
x x
− + + =
10)
( ) ( )
43232 =++−
xx
11)
( ) ( )
10625625
tantan
=−++
xx
12)
xxx /1/1/1
964 =+
13)
104.66.139.6 =+−
xxx
14)
5.4 2.25 7.10 0
x x x
+ − =
15)
3 3
3
4 15 4 15 8
x
x x
− + + =
16)
2 2 2
2 1 2 2 1
9 34.15 25 0
x x x x x x− + − − +
− + =
17)
( ) ( )
1
1
1
5 2 5 2
x
x
x
−
−
+
+ = −
18)
( ) ( )
2 2
2
2 2
1 2
3 5 3 5 2 0
x x x x
x x
− −
+ −
+ + − − =
19)
( ) ( )
312223 +−=+
xx
20)
2 2 2
2 2 2
6.9 13.6 6.4 0
x x x x x x− − −
− + =
21)
4x 8 2x 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
22)
2x 6 x 7
2 2 17 0
+ +
+ − =
23)
x x
(2 3) (2 3) 4 0+ + − − =
24)
x x
2.16 15.4 8 0− − =
25)
x x x 3
(3 5) 16(3 5) 2
+
+ + − =
26)
x x
(7 4 3) 3(2 3) 2 0+ − − + =
27)
x x x
3.16 2.8 5.36+ =
28)
1 1 1
x x x
2.4 6 9+ =
Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
29)
2 3x 3
x x
8 2 12 0
+
− + =
30)
−
+ − =
x x
3 9.3 10 0
31)
+ − =
x x x
5.4 2.25 7.10 0
32)
+
+ = +
2 x x 1 x
5 5 5 5
33)
+
−
=
− −
x
x 1 x
4.3 3
3 1 1 3
34)
− + =
x x x
25.2 10 5 25
35)
+
− = −
x x 2 x
9 3 3 9
36)
05
10
1
2
1cos2sin2
7lgsincos
1cos2sin2
=+
−
+−
−−
+− xx
xx
xx
2.2. Phươngpháp hàm số
•
Nếu hàm số
( )y f x=
đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên
D
thì phươngtrình
( )f x k=
chỉ
có nhiều nhất một nghiệm.
•
Nếu hai hàm số
( )y f x=
và
( )y g x=
có tính đơn điệu trái ngược nhau và cùng liên tục trên
D
thì
phương trình
( ) ( )f x g x=
chỉ có nhiều nhất một nghiệm.
Hµm sè
x
ay =
®ång biÕn khi a>1 vµ nghÞch biÕn khi 0<a<1.
Hµm sè f(x) ®¬n ®iÖu trªn D vµ u, v thuéc D th× f(u)=f(v) t¬ng ®¬ng u=v.
NÕu hµm sè f(x) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn (a, b) th× ptr×nh f(x)=0 cã tèi ®a 1 nghiÖm trªn ®ã.
Ví dụ 5: Giải các phươngtrình sau:
1) 4 3 5
x x x
+ =
2) 3 4
x
x= −
3) 1) 3.4 (3 10)2 3 0
x x
x x+ − + − =
4) 2003 2005 4006 2
x x
x+ = +
cos cos
5) 3 2 cos
x x
x= +
Bài tập 3: Giải các phươngtrình sau:
4 8 2 5
1)3 4.3 27 0
x x+ +
− + =
2 6 7
2)2 2 17 0
x x+ +
+ − =
3)(2 3) (2 3) 4 0
x x
+ + − − =
4)2.16 15.4 8 0
x x
− − =
3
5)(3 5) 16(3 5) 2
x x x +
+ + − =
6)3.16 2.8 5.36
x x x
+ =
2 3 3
7)8 2 12 0
x
x x
+
− + =
8) (7 4 3) 3(2 3) 2 0
x x
+ − − + =
1 1 1
9)2.4 6 9
x x x
+ =
+ − =10)3 4 0
x
x
− − + − =
2
11) (3 2 ) 2(1 2 ) 0
x x
x x
12) 3 2 1
x
x= +
−
−
− =
÷
2
2
2
2
1
13) 9 2 3
3
x x
x x
− + =14) 25 6.5 5 0
x x
+ + − =15) ( 7 48 ) ( 7 48 ) 14
x x
− −
− = −
4 1 2 1
16) 8 ( 8)
x x
x e x x e
.
− −
− = −
2
21
17) 2 2 ( 1)
x x x
x
18)
x
x
4115 =+
19)
132
2
+=
x
x
20)
x
xxx
202459 ++=
Chuyên đề: PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY
21)
2112212
532532
+++−
++=++
xxxxxx
22)
9,2
5
2
2
5
/1
=
+
xx
(*)
23)
1 1
1 2 3 6
x x x+ +
+ + =
24)
x
x
x
x
x
x
2
2
22
22
2
211
−
=−
−−
25)
( ) ( )
021223
2
=−+−−
xx
xx
26)
25.2 10 5 25
x x x
− + =
27)
20515.33.12
1
=−+
+xxx
28)
x x x
3 4 5+ =
29)
2 x x
x (3 2 )x 2(1 2 ) 0− − + − =
30)
2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2
2 3 5 2 3 5
− + + +
+ + = + +
Bài tập 4: Tìm tất cả các cặp số thực (x;y) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau :
2
3
| 2 3| log 5
( 4)
3 5
x x
y
− − −
− +
=
(1) và
2
4 | | | 1 | ( 3) 8y y y− − + + ≤
(2).
Bài tập 5: T×m x > 0 t/m bÊt ph¬ng tr×nh
12
1036
1
−
>
−
+
xx
x
./.
C. ĐỀ TUYỂN SINH ĐH & CĐ
Đ ề 1:(Đại học KhA)
3
x
+5
x
=6x+2
Đ ề 4:
GPT:
21
)1(22
2
−=−
−−
x
xxx
Đ ề 5:
Tìm m để PT sau có nghiệm duy nhất:
mxxx
x
++−=+
22
12
Đ ề 6:
Giải và biện luận:
mmxx
mmxxmxx
++=−
+++++
255
224222
22
Đ ề 10:
GPT:
036
5
7
)3(
6
=− xx
xLog
Đ ề 11:
GPT:
2
222
4log6log2log
3.24
xx
x =−
Đ ề 37:(Đại học Thuỷ sản;Trang-39)
Giải biện luận:
aaa
xx
=−++ 22
Đ ề 38:(Đại học Lâm nghiệp;Trang-40)
Tìm nghiệm PT:
2422
1)16()16(2
2
3
2
3
=+
+−− xLogxLog
Đ ề 59:(Đại học Dân lập Đông đô KB-D ;Trang-
57) GPT: 3
2x-1
=2+3
x-1
Đ ề 69:(CĐ CN HN ;Trang-66)
GPT: 25
x
-2(3-x)5
x
+2x-7=0
Đ ề 77:(Học viện KHQS-KD ;Trang-72)
GPT:
2
543
x
x
=−
Đ ề 85:(Trung học nghiệp vụ Du lịch;Trang-80)
GPT:
022.64
27
399
=+−
LogxLogxLog
Đ ề 94:(Đại học Hồng đức;Trang-88) Giải PT:
1112
93.613.73.5
+−−
+−+−
xxxx
=0
Đ ề 101:(Đại học Dân lập Duy tân-KD;Trang-92)
Cho PT:
0132)23(4)1(
1
=+−−++
+
kkk
xx
1) GPT khi k=3 ?
2) Tìm tất cả các giá trị k để PT trên có 2
nghiệm trái dấu ?
Đ ề 102:(Đại học Dân lập Bình dương-KD;Trang-
92)
Giải PT:
xxx
6.59.24.3 =+
Đ ề 105(Đại học Dân lập KT Công nghệ-
KA+B;Trang-97)
Giải BPT:
68383 =
−+
+
xx
Đ ề 106(Đại học Dân lập KT Công nghệ-
KD;Trang-98)
Giải PT:
12356356 =
−+
−
xx
a) Giải BPT khi m=1?
b) Tìm m để BPT thoả mãn ∀∈R
Đ ề 108(Đại học Dân lập Văn hiến-KD;Trang-100)
Giải PT:
0322.64
1
=+−
+xx
Đ ề 109(Đại học Hùng vương-KD1;Trang-100)
Giải PT:
0173
3
26
9 =+−
xx
Đ ề 114 :(CĐ SP-Đồng Nai ;Trang-105)
Giải PT:
11
34
2
=−
+− xx
x
Đ ề 4:(Trang-422)
Giải:
1
2
1
2
1
22
=
−
−
+
xx
a
a
a
a
Với 0<a<1
Đ ề 9:(Trang-429)
Tìm a để 2 PT sau tương đương:
16224
241
+=+
+++ xxx
;
19.39
12
=+−
−− xx
aa
Đ ề 12:(Trang-)Giải PT:
03)4(2.24
221
=++−+
+
yCosySin
xx
Đ ề 17:(Trang-441)
Giải:
22.24
22
+=+
xCosxSin
Đ ề 21:(Trang-447)
Cho PT:
( ) ( )
x
xx
a 21515 =−++
a) GPT khi a=1/4?
b) Tìm a để PT có đúng 1 nghiệm ?
Đ ề 25:(Trang-452). Tìm k để PT:
0)22(.2)32(4
2
1
222
2
=+−+−−
+−
−−
kxLogxxLog
xx
kx
Có 3 nghiệm phân biệt ?
Đ ề 1:(Đại học QG-HN;Trang-3)Giải PT:
( ) ( )
2
12222
22
xx
xLogxLog
+=−++
Đ ề 3:(Đại học QG HN-KD;Trang-18)
Giải PT:
xxx
6642.33.8 +=+
Đ ề 7:(Đại học SP-HN-KB;Trang-50)
Giải PT:
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − =
Đ ề 16:(Đại học Thuỷ lợi CS II;Trang-115)
Giải PT:
022.92
2212
22
=+−
+++ xxxx
Đ ề 17:(Đại học Y HN;Trang-123)
Giải PT:
1
2
12
2
1
2.62
)1(3
3
=+−−
− xx
xx
Đ ề 19:(Đại học Cần thơ-KD;Trang-137)
GPT:
2625625 =
−+
+
SinxSinx
Đ ề 25:(Đại học Thái nguyên-KD;Trang-168)
Giải BPT:
x
x
231
2
=+
.
Đ ề 30:(Đại học Đà lạt-KD-AV ;Trang-201)
Giải PT:
0239 =−+
CotgxCotgx
Đ ề 34:(Đại học An ninh;Trang-218)
Giải PT:
7)7,0(,6
100
7
2
+=
x
x
x
. Để giải phương trình mũ thì ta phải tìm cách chuyển về các phương trình cơ bản trên. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY Ví dụ 1: Giải các phương trình và bất phương. 3 + + + + + + = + + 2. Các phương pháp giải PT mũ thường gặp: 2.1. Phương pháp đặt ẩn phụ Cũng như PT vô tỉ và lượng giác, để giải PT mũ ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ. Tức là ta thay. Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ GV: NGUYỄN ĐÌNH HUY A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1.Công thức mũ: * Các đẳng thức cơ bản: 1) a a a α β α β + =