Tài liệu Chuyên đề phương trình mũ và logarit cơ bản pptx

Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm tiếp như trên... Phương pháp lôgarit hóa Nhận dạ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH MŨ CƠ BẢN

Lý thuyết:

Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng

· f x( ) g x( ) ( ) ( )

a =a Û f x =g x

· a f x( ) = Ûc f x( )=loga c, với a>0,a¹1,c>0

Một số Phương pháp giải các phương trình mũ cơ bản:

1 Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số

Dạng 1.1: Biến đổi về dạng f x( ) g x( )

a =a

Lưu ý các công thức a a x y =a x y+ ; ( ) ( )x y y x xy

a = a =a ;

x

x y y

a a a

-= ; a x 1x

a

- =

· Bài tập 1: Giải các phương trình sau:

a)

2

7 12

3

5

x

c) 2 5x x-1=0, 2.102-x d) 2 2 ( )4

5

1

6

x - x - = x

-e)

1

ç ÷ ç ÷

5x- =10 2 5x -x x+

g)

2 1

2

x

- +

32 0, 25.128

-i) ( 4) 2 ( ) 4 ( ) 24

2

5 0, 2 125 0, 04

x

x x

x

-+ + = - j) 4 5x x+1=5.202-x

k) 2x 4 0,125x( )1x =4 23 l) 43 2 cos 2+ x -7.41 cos 2+ x-41/ 2=0

Dạng 1.2: Biến đổi về dạng f x( )

a =c

a)

4

x x

+

2 x+ -3.2x- =7 c) 2 33x x-23x+1.3x-1 =192 d)

2

x

x- - x- + =

Dạng 1.3: Biến đổi về dạng ( ) ( )

f x f x

m a =n b (m, n là các số thực)

Sau đó đưa về dạng ( )( )

( )

f x

b

æ ö

è ø (Có Dạng 1.2)

Nhận dạng: Loại này có 2 cơ số khác nhau Hãy chuyển các số hạng chứa lũy thừa với cơ số

bằng nhau về cùng một vế, sau đó biến đổi cho số mũ của các lũy thừa đó bằng nhau và làm tiếp như trên

a) 3x+4 -5x+3 =3x-5x+2 b) 7.3x+1-5x+2 =3x+4 -5x+3

Trang 2

c) 22 lg 4x-1-7lg 4x =7lg 4x-1-3.4lg 4x d) 1 2 1 1 1

x+ x+ = x+ - x+

e)

2x - -3x =3x - -2x + f) 9x -2x+0,5 =2x+3,5-32x-1

Dạng 1.4: Biến đổi về phương trình tích

· Bài tập : Giải các phương trình sau:

a) 52x =32x+2.5x+2.3x b) x2.2x+ =8 2x2 +2x+2

c) x2.6-x+6 x+2 =x2.6 x +62-x d) 8-x.2x+23-x- =x 0

5 x-3 x = 5x-3x 5x+3x

2 Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ)

Dạng 2.1: Biến đổi về dạng 2 ( ) ( )

m a +n a + =p (1)

Phương pháp:

Trước khi giải cần lưu ý “điều kiện xác định” của (1)

Bước 1: Đặt t=a f x( ),t>0 Ta có ( )( ) 2 ( )

2

PT đã cho trở thành

2

0 (*) 0

m t n t p t

í

>

Bước 2: Giải (*), tìm nghiệm t>0

Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình f x( )

a = để tìm x t Bước 4: Kết luận (nghiệm của (1))

a) 32x+5 =3x+2+2 b)

9x - -36.3x - + =3 0 c) 3.22 7.24 20

- = d) 27x-13.9x+13.3x+1-27=0

e)

3

64x 2 +x 12 0

x

+

g) ( ) ( ) 10

53 x + 103 x- =84 h) 34x+8 -4.32x+5+28=2 log2 2

3 x+ =3x+ + 1 6.3- x+3 x+ k)

Dạng 2.2: Biến đổi về dạng m a f x( )+n a -f x( )+ =p 0 hay m a f x( ) n 1f x( ) p 0

a

Phương pháp:

Bước 1: Đặt t=a f x( ),t>0 Ta có ( )

( )

f x

f x a

t a

PT đã cho trở thành ( ) 2 0 (*)

0, 0

0

m t p t n n

+ + = > Û í

>

Bước 3: Với t tìm được, giải phương trình f x( )

a = để tìm x t Bước 4: Kết luận (nghiệm của (2))

Trang 3

a) 3x+1+18.3-x =29 b) 22+x-22-x =15

c) 5x-1+5.0, 2x-2 =26 d)

2 x +4.2 x =6 e) ( 5 24) ( 5 24) 10

g)

2

x

h)

10 +x -10 -x =99

x+

5- 21 x +7 5+ 21 x =2x+ l) (7-4 3) (x-3 2- 3)x+ =2 0

Dạng 2.3: Biến đổi về dạng 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( )

f x f x f x 0

m a +n a b +p b = (m, n, p là các số thực) (3)

Phương pháp:

Bước 1: Chia cả hai vế của (3) cho 2 f x( )

b , (hoặc 2 f x( )

a ), ta được:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x f x f x f x

2

f x f x

f x

æ ö

è ø

2

0

Phương trình này có Dạng 2.1, đã biết cách giải

Bước 2: Đặt

( )

f x a

b

æ ö

=ç ÷ >

è ø Ta có

2

t

ææ ö ö æ ö

=ççç ÷ ÷÷ =ç ÷

PT đã cho trở thành

2

0 (*) 0

m t n t p t

í >

Bước 4: Với t tìm được, giải phương trình

( )

f x a

t b

ç ÷

è ø để tìm x

Bước 5: Kết luận (nghiệm của (3))

a) 32x+4 +45.6x-9.22x+2 =0 b)

4-x 6-x 9-x

c)

7.4x -9.14x +2.49x =0 d) 9x +6x =22x+1

e)

10x +25x =4, 25.50x f)

3 x - +x +4.15x + -x =3.5 x - +x

3 Phương pháp lôgarit hóa

Nhận dạng: Phương trình loại này thường có dạng f x( ). g x( ) ( ). h x

Nói chung, là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau

Cách giải: Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b, hoặc c) cả hai vế

Trang 4

Ta được loga(a f x( ).b g x( ) ( ).c h x )=loga d

loga a f x loga b g x loga c h x loga d

Biết loga b;loga c;loga d là các số thực Giải phương trình thu được theo ẩn x

· Bài tập: Giải các phương trình sau:

a)

2

1

c) 3 8 2 6

x

4 Phương pháp sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số

(Phương pháp đánh giá hai vế)

· Dạng “sử dụng tính đơn điệu”

- Thường biến đổi phương trình đã cho về dạng f x( )=g x( ), hay f x( )= c

Với phương trình f x( )=g x( ), chúng ta thường gặp trường hợp x a= là nghiệm của phương trình, còn với mọi x¹a thì f x( )> và b g x( )< Nghĩa là mọi b x¹a không phải là nghiệm của phương trình f x( )=g x( )

Việc chứng minh f x( )> và b g x( )< ta sử dụng tính đơn điệu của hàm b y= f x( ) và hàm ( )

y=g x

Ví dụ: Giải phương trình

a)

2

3x - +x = +2 2x-x b) 1

4 3

x

æ ö = +

ç ÷

è ø

a) Nhận xét:

Thông thường để đánh giá các tam thức bậc hai chúng ta thường biến đổi nó về dạng tổng của các bình phương Ở đây ta biến đổi 2 ( 2 ) ( )2

x - + = x - + + = x- +

Lời giải:

Vì ( )2

x- ³ nên 2 ( )2

x - x+ = x- + ³ Suy ra 2

3x - +x ³3 =3 (1)

2 2+ x-x = -3 x -2x+ = - -1 3 x 1 £ 3 (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đã cho ( )

2

2 2

x x

- +

ï

ïî Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

b) Nhận xét: Hàm số 1

3

x

y æ ö

= ç ÷è ø nghịch biến trên ¡, còn hàm số y= +x 4 đồng biển trên ¡ Nếu dùng đồ thị chúng ta co thể nhận thấy hai đồ thị này chỉ cắt nhau tại nhiều nhất 1 điểm nên phương trình đã cho có nhiều nhất 1 nghiệm

Lời giải:

Dễ nhận thấy x= -1 là một nghiệm của phương trình, ta sẽ chứng minh nghiệm này duy nhất

Trang 5

Với mọi x> -1 ta có :

1

3

-æ ö <æ ö =

ç ÷ ç ÷

è ø è ø (1) (do hàm số

1 3

x

y æ ö

= ç ÷è ø nghịch biến trên ¡)

x+ > - + = (2)

So sánh (1) và (2) ta nhận thấy mọi x> -1 không thỏa mãn phương trình đã cho Nghĩa là mọi x> -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho

Tương tự ta chứng minh được, mọi x< -1 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Vậy, x= -1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

· Bài tập: Giải các phương trình sau:

4

x

æ ö = +

-ç ÷

2

3 x = +3 x

c) 2 2 1

2 x x x

x

·© Một số bài toán có cách giải khác

Bài toán đưa được về dạng f u( )= f v( )Û =u v, trong đó f là hàm luôn đồng biến hoặc

nghịch biến trên tập xác định của nó

· Bài tập: Giải các phương trình sau

a) 1 2 ( )2

2x- -2x -x = x-1 b) 2 1 2 ( )2

4x +x -2-x = x+1 c) 2 2 ( )2

1 1

4x +x +2-x =2 x+ +1 d) ( 5- 3) (x + 5- 3)x =4x

Trang 6

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT CƠ BẢN

Lý thuyết:

Đa số các phương trình mũ cơ bản đều biến đổi về dạng

( ) ( )

loga f x loga g x f x g x

f x g x

ï

= ïî

hoÆc

· loga f x( )= Ûc f x( )=a c, với a>0,a¹1

Ngoài ra cần hcọ thuộc và sử dụng đúng các công thức biến đổi lôgarit

Một số Phương pháp giải các phương trình lôgarit cơ bản:

1 Phương pháp Đưa (biến đổi) về cùng một cơ số

Dạng 1.1: Biến đổi về dạng loga f x( )=loga g x( )

Lưu ý: Nếu các em học sinh tìm điều kiện xác định của phương trình loga f x( )=loga g x( )

thì cần giải hệ (hoặc nêu ra) ( )

( )

0 0

f x

g x

ì >

ï í

>

Còn nếu giải theo phép biến đổi ( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( ) ( )

loga f x loga g x f x g x

f x g x

ï

= ïî

hoÆc

thì

không cần nêu hệ điều kiện xác định ở trên

Khuyến khích: Thường các em dễ mắc lỗi và hiểu không kỹ về phép biên đổi, do vậy khuyên

các em nên nêu ra hệ điều kiện xác định của phương trình trước khi giải Vì có nhiều

phương trình chứa nhiều lôgarit

· Bài tập 1: Giải các phương trình sau

2

2 log x+log x+log x=9

3

log x+log x+log x=6 d) log3(x-2)+log1/3 2x- =1 0

2 log 36 log 1 log 6 2 log 3 log 2

3

log lg 2 log 2 1 log 6

-h) log 1+ +x 3log 1- =x log 1-x2 -2

3

log 2x -54 +log x+3 =2 log x-4

log 3x +12x+19 -log 3x+4 =1 k) log3(x- -5) log 2 log3 - 3 3x-20 =0 m) log 2( 19) log 3( 20)

1 log

x

=

Trang 7

2 Phương pháp đặt ẩn số phụ (đưa phương trình mũ về phương trình đại số bậc hai, bậc 3 theo ẩn số phụ)

Lưu ý: Ngoài việc đặt điều kiện để biểu thức loga f x( ) có nghĩa là f x( )>0, chúng ta cần chú ý đến đặc điểm của phương trình đang xét (chứa căn bậc hai, chứa ẩn ở mẫu) và phải đặt điều kiện cho phương trình có nghĩa

Các phép biến đổi cần chú ý: loga x2n =2 logn a x với điều kiện x¹0

· Bài tập 2: Giải các phương trình sau

2

log x+3log x+log x=2 c)

2

1

x

-=

x

-=

log 3x-1 log 3x+ - =3 6 f) 1 log+ 2x+ 4 log4x- =2 4

2

x

x x

4

4 log log 9 2 log 1

log

x

i) log2x-logx6 =log 3 92 - j) ( ) ( ) 3

log 10x log 0,1x =logx -3

log 100x log 10x 14 log

x

m) ( 2 )

2

6

7 log

x x

-æ + ö

2

x

2log x=log x.log 2x+ -1 1

3 Phương pháp mũ hóa

· Bài tập 3 : Giải các phương trình sau:

a) log2x+log3x=1 b) log3x+log5x=lg15

c) log3(x+ +1) log5(2x+ =1) 2 d) log2x=log5(x+3)

Gợi ý: a) Đặt x=2t, ta có log3x=log 23 t =tlog 23

Phương trình đã cho trở thành log 22 t +log 23 t =1

log 2 1 1 log 2 1

log 3

1 log 2 log 6

t

Vậy phương trình a) có nghiệm log 3 6

2

Trang 8

4 Phương trình lôgarit nhiều cấp (tầng)

Phương pháp: Hạ từng cấp một từ ngoài vào trong theo tính chất loga f x( )= Ûc f x( )=a c

a) log log log( ( x) )=0 b) ( ( 2( ) ) )

log log log x-3 =0 c) 4( 3( 2( 3 ) ) )

1 log 2 log 1 log 1 3log

2

x

log æçlog x-3log x+5ö÷=2

e) ( 2( ) )

log log x-4 =0 f) log4(log2x)+log2(log4x)=2

5 Phương pháp biến đổi về phương trình tích

a) 3 logx 3x+ =6 6x+log27 x b) 2 logx 2x2+ =2 4x+4 log4x

6 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số

Chú ý dạng: loga u- =u loga v-v, có dạng f u( )= f v( )Û =u v trong trường hợp f là hàm số đồng biến (hoặc nghịc biến) trên tập xác định của nó Và phương pháp đánh giá hai vế

của phương trình

c) 1

3

2

3

log x - -x 12 + =x log x+ +3 5 f) ( 2 ) 2

log x + + -x 1 log x=2x-x

Gợi ý:

a) Điều kiện xác định: x>0

Nhận thấy x=2 là nghiệm của phương trình a) Ta chứng minh nghiệm này duy nhất Thật vậy, với mọi x>2, ta có :

· log2x>log 22 =1 (do hàm số y=log2x đồng biến trên khoảng (0;+¥)) (1)

So sánh (1) và (2) suy ra mọi x>2 đều không thỏa mãn phương trình a), nên không phải là nghiệm của phương trình

Làm tương tự ta chứng minh được mọi 0< <x 2 cũng không phải là nghiệm của phương trình

Vậy, phương trình có nghiệm duy nhất x=2

vào dịp tới Chúc các em học và ôn tập tốt !

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	279,59 KB