CHUYÊN đề PHƯƠNG TRÌNH mũ và LOGARIT

phơng trình mũ, logarit A Kiến thức cần nhớ: I Các biến đổi mũ lôgarit II Các phơng tình 1) am = an m = n (a 1) 2) am = b m = log a b 3) m > 0; n > log a m = log a n m = n 4) log a m = b m = ab Ngoài ta dùng công thức đổi số để biến đổi pt logarit 2n Chú ý: Khi a > 0, a 1, n N ta có log a [ f ( x)] = 2n log a f ( x) B Một số phơng pháp giải I Phơng pháp đa số: Nhận xét: Đối với phơng thình lôgarit log a b m log c b ta vận dụng log a b = log c a + Nếu số có quan hệ với dới dạng am ta vận dụng log a b = m + Nếu số quan hệ với dới dạng am Đối với phơng thình mũ + Nếu số có quan hệ với dới dạng am ta vận dụng log a b = m log a b m + Nếu số quan hệ với dới dạng am ta vận dụng log a b = log c b log c a Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: x +7 1) 2x+1 43x+2 = 32 ; 2) x =9 x +1 ; 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 0; 3x+1 3) x + x + 21 x = ( x+1) + ; HD: 1) 2) 2 x +1 ữ ữ ( ) 5+2 x = ( x 9x ữ 27 ; 52 ) x x +1 ; x +1 + 6.5 x 3.5 x = 52 ; 4x 2 52x+1 + 7x+1 - 175x - 35 = 5.52x + 7.7x - 52x.7x - 5.7 = (5.52x - 52x.7x) - (5.7 - 7.7x) = 52x (5 - 7x) - (5 - 7x) = (52x - 7).(5 - 7x) = +x 2 + 21 x = ( x +1) + x = log 25 x = log 2( x + x ) + 21 x = ( x + x ) +(1 x ) + 2 x + x + 21 x = 2 x + x 21 x + 2 x + x + 21 x 2 x + x 21 x = (2 x +2 x 1).21 x (2 x +2 x 2 x = 2; 125 x +1 + x + = x +5 + 2x+1 43x+2 = 32 2x+1 26x+4 = 25 27x+5 = 25 x = 4x x+7 = 27 x 81x +3 ; 4x+4x-24x+1=3x3x-2 + 2 x = ( x +1) + ; +x x = x = 4) = 1) = (2 x +2 x 1).(21 x 1) = 2 x + x = x + x = x = x = 21 x = x = Bài tập 2: Giải phơng trình sau: 2) log ( x + 3) + log ( x 1) = log (4 x ) log ( x 1) log ( x + 1) log (7 x ) = 3) 4) log x + log x = log 15 log x + log x + log x = log13 x 5) log (3 x 1) + 6) 7) log ( x x 1) log ( x + x 1) = log ( x x 1) 1) 2 = + log ( x + 1) log x +3 log (log x) + log (log x ) = HD: 1) log ( x + 3) + log ( x 1) = log (4 x ) Đk: x > (1) (1) log ( x + 3) + log ( x 1) = log ( x) log ( x + 3)( x 1) = log (4 x) x = (x + 3)(x - 1) = 4x x2 - 2x - = x = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 2) log ( x 1) log ( x + 1) log (7 x ) = (2) Đk: < x < (2) log ( x 1) log ( x + 1) + log (7 x) = log 2 log ( x 1) log ( x + 1) + log (7 x) = log 2 log (7 x) = log 2 + log ( x 1) + log ( x + 1) log (7 x ) = log 2( x 1) x = 17 (7 - x)2 = 2.(x2 - 1) x2 + 14x - 51 = x = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log x + log x = log 15 3) (3) Đk: x > (3) log x + log x = log (3.5) log log x + log x = + log (1 + log 3) log x = + log log x = x = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log x + log x + log x = log13 x 4) (4) Đk: x > log x + log log x + log log x = log13 log x (4) (1 + log + log log13 2) log x = log x = x=1 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 5) log (3 x 1) + Đk: (5) log x +3 x > x > x > x x > x + > x + > x + = + log ( x + 1) (5) x> log (3 x 1) + log ( x + 3) = log + log ( x + 1) log (3 x 1)( x + 3) = log 4( x + 1) (3x - 1)(x + 3) = 4(x+1) x = 3x - 4x - = x = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log (log x) + log (log x ) = 6) (2) x > x>1 Đk: log x > log x > 1 1 2 log (log x ) + log log x log (log x) + log log (2) =2 2 2 2 log (log x) + log (log x ) = log (log x) = 2 log (log x) = log x = x = 16 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 16 7) log ( x x 1) log ( x + x 1) = log ( x x 1) Đk: (7) x x x x x > x x > x + x > (7) log ( x + x 1) log ( x + x 1) = log ( x + x 1) log ( x + x 1) log ( x + x 1) = log ( x + x 1) log ( x + x 1) log ( x + x 1) = log ( x + x 1) log log log ( x + x 1) = (7 a ) ( 7b ) log log log ( x + x 1) = 1 x x=1 Giải 7a) x + x = x = x 2 x = x 2x + Giải 7b) log ( x + x 1) = log x + x = 3log6 (*) 1 = log6 = log6 Khi x x = (**) x + x2 x = x x = 3log Do ta có x + x = log6 log (3 + log6 ) x= Rỏ ràng theo Bất đẳng thức Côsi ta có x = (3log + log ) 6 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = (3log + log ) 6 Bài tập 3: Giải phơng trình sau: log ( x + 2) + log x = 1) 2) log ( x + 2) = log (4 x ) + log ( x + 6) 4 3) log ( x + 1) + = log 4) log ( x x + 6) = log HD: 1) x + log ( x + 4) 3 x + log x log ( x + 2) + log x = (1) x + > x > Đk: x x (1) log ( x + 2) + log | x |= log | x | ( x + 2) = | x | ( x + 2) = (1) * TH 1: x > x = (1) x2 + 2x - = x = * TH 2: -2 < x < (1) - x2 - 2x - = (vn) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 2) log ( x + 2) = log (4 x ) + log ( x + 6) 4 Đk: (2) x + x > x + > (loai ) (2) x < x < log | x + | = log (4 x ) + log ( x + 6) 4 log | x + | = log (4 x) + log ( x + 6) log | x + |= log (4 x)( x + 6) | x + |= ( x)( x + 6) 4 4 * TH 1: -2 < x < x = (2) x2 + 6x - 16 = x = * TH 2: -2 < x < x = 33 (loai ) x = + 33 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = 33 log ( x + 1) + = log x + log ( x + 4) (3) (2) x2 - 2x - 32 = 3) (loai ) (2) Đk: x + x > x + > (3) x < x < log | x + | + log = log (4 x ) + log ( x + 4) log | x + |= log (16 x ) | x + |= 16 x * TH 1: -1 < x < x = (3) x2 + 4x - 12 = x = * TH 2: -4 < x < -1 (loai ) x = 21 (loai ) x = + 21 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = 21 x log ( x x + 6) = log + log x (4) 2 x 5x + x 2; x Đk: x > x > x x + log x (4) log [ ( x 2)( x 3)] = log ( x 1) x log ( x 2)( x 3) = log ( x 1) x ( x 2)( x 3) = x ( x 2) = (4) (3) x2 - 4x - 20 = 4) * TH 1: < x (4) 2x - = x - x = ( loại) Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = (3) II Phơng pháp đặt ẩn phụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 1) x x 2+ x x = 2) 4x + 6x = 2.9x 3) 2x + 2-x + 4x + 4-x = 4) x + x 5.2 x 1+ x = 5) x +1 = x + + 6.3 x + x + 2 6) 7) 8) 9) 10) 25 x 6.5 x + = (Đề thi TN 2009) x +1 8.7 x + = (Đề thi TN 2011) 3.8 x + 4.12 x 18x 2.27 x = (ĐH K A - 2006) 2 5.2 x = 10 x 2.5 x 3+ cos x 7.41+ cos x = 41+ln x ln x 2.3ln x + = log 2 x x log = 2.3log ( x ) (2 + ) log x + x.(2 ) log x = + x x x 11) + + = 10 ( ) 2 ( x ) ( x ) x 12) 26 + 15 + + 2 = HD: 1) x x 2+ x x = x x 4.2 x x = x x x2 x =3 Đặt t = x x > Khi ta có phơng trình t = t = t2 - 3t - = t t = (loai ) x = Với t = ta có x x = x2 - x - = x = Vậy pt có nghiệm pt x = x = -1 2) 4x + 6x = 2.9x 2x x + = x Đặt t = > Khi ta có phơng trình t = t2 + t - = t = (loai ) x =1 x=0 Với t = ta có Vậy pt có nghiệm pt x = 4) x + x 5.2 x 1+ x = Đk: Ta có (4) (4) x > x < 2( x + x ) x+ x 2 = Đặt t = x + x > Khi ta có phơng trình t = t t = 2t 5.t 12 = t = (loai ) 2 Với t = ta có x + x = x + x = x = 2 x 2 x = x 4x + Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x= 5) (5) x +1 = x + + 6.3 x + x + Ta có (5) 3.3 x = 9.3 x + 6.3 x + 9.3 x Đặt t = x > Khi ta có phơng trình 3.t = 9.t + 6.t + 9.t * TH 1: t 3.t 9.t = (3t 1) 3.t 9.t = 3t + 33 t = 2 (5) 3.t 9.t = 3t 3t 12t + = 33 t = * TH 2: < t < + 12 t = 2 (5) 3.t 9.t = 3t + 3t 6t = 12 t = + 33 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt (5) t = + 33 + 33 + 33 Với t = ta có x = x = log 3 3 + 33 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log 3 6) 5.2 x = 10 x 2.5 x (6) Chia hai vế cho 10 x = x x ta có x (6) x + 2. 5. = x Đặt t = > Khi ta có phơng trình t = 1 5.t + = 5t - 7t + = t = t (5) (loai ) (loai ) (loai ) x + Với t = ta có = x = x 2 x=2 = + Với t = ta có Vậy nghiệm pt x = x = 7) 3+ cos x 7.41+ cos x = Đặt t = cos x +1 > 4.4 2+ cos x 7.41+cos x = t = Khi ta có phơng trình 4.t 7t = t = (loai ) 1 cosx = - x = + k Với t = ta có cos x +1 = cosx + = 2 + k Vậy nghiệm pt x = 8) 41+ln x ln x 2.3ln x + = (8) Đk: x > (8) 4.2 ln x ln x 18.3 ln x = ln x 18. 2 ln x =0 ln x Đặt t = >0 Khi ta có phơng trình 18t2 + t - = t 18t = Với t = ta có ln x = lnx = - x = e Vậy nghiệm pt x = e 9) log x x log = 2.3log ( x ) Đk: x > (9) 41+log x x log = 2.3 2+ log 2 2 2 4.4 log x log x = 18.9 log x Đặt t = 17 t = 36 = (loai ) t = + 17 = 36 log x 18. 2 log x x =0 log x >0 Khi ta có phơng trình 17 t = = 36 (loai ) t 18t = 18t2 + t - = t = + 17 = 36 log x 4 log x = - x = 2 = Với t = ta có = 9 + x.(2 ) log x = + x Vậy nghiệm pt x = 10) (2 + ) log x Đk: x > Đặt t = log x x = 2t Khi ta có phơng trình (2 + ) t + t (2 ) t = + 2t Nhân vào vế với (2 + ) t ta có phơng trình (2 + ) 2t + t t = (2 + ) t + 2t (2 + ) t (2 + ) 2t ( + ) t = 2t (2 + ) t 2t (2 + ) t (2 + ) t = 2t (2 + ) t [ ] [2 (2 + ) t = t t (2 + ) = 2t ][ (2 + ) t ( + ) t [ 1] = ] t=0 Với t = ta có x = Vậy nghiệm pt x = 11) x x + + = 10 x Do + = nên ta đặt t = + > Khi ta có phơng trình t = t + = 10 t2 - 10t + = t t = + x + Với t = ta có + = x = - x + Với t = + ta có + = + x = Vậy nghiệm pt x = x x x 12) 26 + 15 + + 2 = Đặt t = (2 + ) x > ta có (7 + ) x = t ; (26 + 15 ) x = t Khi ta có phơng trình ( ) ( ) ( ) = t4 + 2t3 - t - = (t - 2)(t3 - 1) = t Với t = ta có (2 + ) x = x = t + 2t Vậy nghiệm pt x = Bài tập 2: Giải phơng trình: 1) 3.25 x + (3x 10).5 x + x = 2) 9x + 2(x - 2).3x + 2x - = 3) 25x - 2(3 - x ).3x + 2x - = HD: 3.25 x + (3x 10).5 x + x = 1) Đặt t = 5x-2 > Khi ta có phơng trình 3t2 + (3x - 10).t + - x = (1) 2 Ta có = 9x - 60x + 100 - 36 + 12x = 9x - 48x + 64 = (3x - 8)2 t=1 x + 10 x + = x + t = (1) t = x + 10 + x = 1 + Với t = ta có x = x = log + 3 + Với t = - x + ta có x = x + (1) Vì hàm số y = 5x-2 = f(x) hàm số đồng biến x R hàm số y = - x +3 = g(x) hàm số nghịch biến x R Nên (1) có nghiệm Do f(2) = g(2) nên nghiệm x = Vậy nghiệm pt x = x = log + Bài tập 3: Giải phơng trình: 1) log (4 x +1 + 4) log ( x + 1) = log 2 2) log x + log x = log 3) 4) log x (125 x).[ log 25 x ] = log 2 + log ( x) = 5) log (9 + log x ) = + log (1 log x 4) 6) log 32 x + log 32 x + = 7) log x x 14 log (16 x ) x + 40 log ( x ) x = x + log x + x HD: log ( x +1 + 4) log ( x + 1) = log 1) (1) Đk: D = R (1) log 4.( x + 1) log (4 x + 1) = log [2 + log ] 2 (4 x + 1) log (4 x + 1) = 3 (1) Đặt t = log (4 + 1) x t = t(t + 2) = t2 + 2t - = t = x + Với t = ta có log (4 + 1) = x + = x = x = Khi ta có phơng trình: + Với t = - ta có log (4 x + 1) = - x + = 4x = (vn) 8 Vậy nghiệm pt x = 2) log x + log x = log Đk: x + log x + (2) x > x (2) Đặt t = log3x 1 + log x = + log x + log x log x 2 1 log x + = log x 2 (2) 1 t+ =0 t 2 + Với t = -1 ta có log3x = - x = + Với t = ta có log3x = x=9 Khi ta có phơng trình: Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log x (125 x).[ log 25 x ] = 3) Đk: x > t = t2 - t - = t = x = (3) (1 + log x 125). log x = (1 + log x 5).(log x ) = (1 + ).(log x) = log x (3) Đặt t = log5x (1 + ).t = t + Với t = ta có log5x = x=5 Khi ta có phơng trình: t = t2 + 3t - = t = + Với t = - ta có log5x = - x = 5-4 = 625 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = 4) log 2 + log ( x) = (4) x x > x Đk: (4) 625 log x Đặt t = log2x + log (4 x) = + + log x = log x + t = t + Với t = ta có log2x = x = + Với t = ta có log2x = x = Khi ta có phơng trình: + log x = log x t = t2 - 2t = t = Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = log (9 + log x ) = + log (1 log x 4) 5) (5) x > = 512 x > 0; x x > 512 Đk: + log x > x > 256 log > x > 0; x x log (9 + log x ) = log + log (1 log x 4) (5) log (9 + log x) = log 9(1 log x 4) + log x = 9(1 log x 4) + log x = 9(1 log x 2) ) + log x = 9(1 (5) log x Đặt t = log2x t = (loai ) Khi ta có phơng trình: + t = 9(1 ) t2 - 18t + 72 = t t = 12 Với t = 12 ta có log2x = 12 x = 4096 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 4096 6) (6) log 32 x + log 32 x + = Đk: x > Đặt t = log 32 x + log 32 x = t t = (loai ) Khi ta có phơng trình: t2 - + t - = t2 + t - = t = 2 log 32 x + = log x = log x = x = Với t = ta có Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = log x x 14 log (16 x ) x + 40 log ( x ) x = 7) (7) Đk: (7) x > 1 x 2; x 16 ; x log x x 42 log (16 x ) x + 20 log ( x ) x = log x log x log x 42 + 20 =0 x log (16 x) log (4 x) log 2 log x log x log x 21 + 10 =0 + log x + log x + log x log x = 1 21 + 10 =0 + log x + log x + log x (a ) (b ) + Giải (a) x = + Giải (b) Đặt t = log2x 1; - 4; -2 Ta có (b) 1 21 + 10 =0 t t+4 t+2 (t + 4)(t + 2) - 21.(t -1)(t + 2) +10.(t - 1)(t + 4) = Với t = ta có log2x = x = Với t = ta có log2x = x = Với t = - 1 x= ta có log2x = 2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = 1; 4; Bài tập 4: Giải phơng trình: ( x + 2) log 32 ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) 16 = 1) lg ( x + 1) + ( x 5) lg( x + 1) x = 2) HD: t = t = t = ( x + 2) log 32 ( x + 1) + 4( x + 1) log ( x + 1) 16 = 1) Đk: x > - Đặt t = log ( x + 1) Khi ta có phơng trình (x + 2).t2 + 4.(x + 1).t - 16 = (1) 2 Ta có = 4x + 8x + + 16x + 32 = 4x + 24x + 36 = (2x + 6)2 2x 2x = t = x+2 (1) t = x + x + = x+2 x+2 + Với t = - ta có log ( x + 1) = - x + = 80 x= 81 81 4 ta có log ( x + 1) = (1) x+2 x+2 Vì hàm số y = log ( x + 1) = f(x) hàm số đồng biến x > hàm số y = = g(x) hàm số nghịch biến x x+2 + Với t = Nên (1) có nghiệm Do f(2) = g(2) nên nghiệm x = 80 81 lg ( x + 1) + ( x 5) lg( x + 1) x = 2) Đk: x R Đặt t = lg( x + 1) Vậy nghiệm pt x = x = Khi ta có phơng trình t2 + (x2 - 5).t - 5x2 = (2) 2 Ta có = x - 10x + 25 + 20x = x + 10x2 + 25 = (x2 + 5)2 x2 + x2 = x2 t = (2) x2 + + x2 + =5 t = + Với t = ta có lg( x + 1) = x2 + = 100 000 x = 99999 + Với t = - x2 ta có lg( x + 1) = - x2 (1) Vì hàm số y = lg( x + 1) = f(x) hàm số đồng biến x > ; nghịch biến x < hàm số y = - x2 = g(x) hàm số đồng biến x < ; nghịch biến x > Nên (1) có nghiệm Do f(0) = g(0) nên nghiệm x = Vậy nghiệm pt x = 99999 x = III Phơng pháp logarit hóa: Chú ý: Dùng gặp phơng trình có chứa hàm số dạng + Tích nhiều hàm số mũ + Chứa hàm số lũy thừa mũ y = [ f ( x)] ( x ) f ( x) > Đk: ( x) co nghia Bài tập 1: Giải phơng trình: x +1 = lg x x = 1000.x 1) 2) 3) lg x + x x2 = 10 5+ lg x log log 4) x 5) 6) 7) x log x = 3(log4 x 1) lg x = 50 x lg ( x 2) log3 ( x ) = 9( x 2) x = 11 11 HD: 1) x +1 = x2 (4 x + 1) lg = (3 x 2) lg 35 (4 x + 1).(lg lg 5) = (3 x 2).( lg 7) x = 16.7 lg 625 lg 2) (2) x lg x = 1000.x Đk: x > (2) lg( x lg x ) = lg(1000.x ) lg x lg x = + lg x lg x = lg x = 3) x lg x + Đk: x > (3) = 10 5+ lg x lg x3+5 = lg(10 5+lg x ) lg x (3) lg x lg x + = + lg x lg x = lg x = 4) x log x lg x lg x = x = 10 x = 1000 log5 = 11 11 lg x + lg x 15 = x = 100000 x = 1000 (4) Đk: x > 0; x Dể thấy log5 11 (4) 11 = 55 ta có log 1x log 1x log x x = log ( ) + log x x = log x log log x = x 5) x 2+log x = 3( 1+log x ) Đk: x > (5) log x = log x = (5) log ( x 2+log x ) = log (2 3( 1+log x ) ) x = x = 6) (2 + log x ) log x = 3.( + log x) log (2 + log x ) log x = (1 + log x) log x = log x log x + = log x = lg x lg (6) = 50 x x = 64 x = Đk: x > áp dụng công thức a log c = c log a ta có (6) lg x = 50 lg x lg x = 25 lgx = x = 100 ( x 2) log ( x ) = 9( x 2) 7) (7) Đk: x > (7) log [ 9( x 2)] log ( x 2) = log [9( x 2) ] b b [ + log ( x 2)] log ( x 2) = + log ( x 2) t = log ( x 2) Đặt Khi ta có phơng trình (t + 2).t = + 3t t2 - t - = Với t = - ta có log ( x 2) = x = Với t = - ta có log ( x 2) = t = t = x = 11 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm pt x = x = 11 IV Phơng pháp hàm số: Bổ đề: 1) Xét hàm số f(x) = g(x) (1) Nếu hàm só f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến (1) có nghiệm Nếu hàm só f(x) nghịch biến, g(x) đồng biến (1) có nghiệm HQ: Xét hàm số f(x) = a (2) Nếu hàm só f(x) đồng biến (2) có nghiệm Nếu hàm só f(x) nghịch biến (2) có nghiệm 2) Hàm só f(x) đồng biến f(x) nghịch biến K Thì f(x1) = f(x2) x1 = x2 Bài tập 1: Giải phơng trình: 1) x + 4x = 5x 2) 3) x 2x = + Bài tập 2: Giải phơng trình: log ( x + 7) = log x 1) 2) 3) 4) log ( x + 2) = log x 5) log (1 + x + x ) = log x log ( x + log x ) = log x log (1 + x ) = log x HD: 1) log ( x + 7) = log x Đk: x > Đặt x = 24t > x = t ; x = 2t Khi (1) log (2 t + 7) = log 2 2t 2t + = 9t t t (1) log (2 t + 7) = 2t t t + 7. = 9 t (1) t 2 Xét hàm số f (t ) = + 7. có f ' (t ) = ln + 7. ln < f(x) nghịch biến 9 9 9 Do (1) có nghiệm nhất, f(1) = nên nghiệm t = Với t = ta có x = 24 = 16 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = 16 log ( x + 2) = log x 2) Đk: x > Đặt x = 72t > x = t Khi (2) t = log (7 t + 2) t t +2=9 t t t t (2) t + 2. = 9 t (2) 7 Xét hàm số f (t ) = + 2. có f ' (t ) = ln + 2. ln < f(x) nghịch biến 9 9 9 Do (2) có nghiệm nhất, f(1) = nên nghiệm t = Với t = ta có x = 72 = 49 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = 49 log ( x + log x ) = log x 3) Đặt t = log x x = 6t > log (1 + x ) = log x 4) Đặt t = log x x = 3t > log (1 + x + x ) = log x 5) (3) Đk: x > Đặt x = 212t > x = 4t ; x = 6t Khi (3) log (1 + 6t + 4t ) = log 2 6t log (1 + 6t + 4t ) = 12t log (1 + 6t + 4t ) = 4t + 6t + 4t = 4t t t t Xét hàm số t t t t 64 16 + + =1 81 81 81 + 64 + 16 = 81 t t t t (3) t 64 64 16 16 64 16 Vì f(x) > nên f(x) đồng biến tức f(x) = có nghiệm Khi phơng trình f(x) = có không hai nghiệm Do ta có f(0) = f(1) = nên pt (1) có nghiệm x = x = 2x + 5x = 2) Đk: 2+ x 131 + 44 log + x 5x 3 (2) 131 x 5x > 131 131 x + 44 log + x 5x 3 131 131 x + 44 x = + x x + 44 log + x 5x 3 x x (2) + = 44 x + + + 44 x = x 131 log + x x 131 + 44 log + x 5x (2) Xét hàm số f(t) = 2t + 44t ta có f(t) = 2t ln2 + 44 > f(t) đồng biến 131 131 x x x = log + x 5x Từ (2) ta có f ( x) = f log + 3 2+ Xét hàm số h( x) = x + x 131 x 5x = 2x 131 131 x ta có h' ( x) = x ln + x ln 3 x x h' ' ( x) = (ln 2) + (ln 5) > Vì h(x) > nên f(x) đồng biến tức h(x) = có nghiệm Khi phơng trình h(x) = có không hai nghiệm Do ta có h(0) = h(3) = nên pt (1) có nghiệm x = x = Bài tập 5: Giải phơng trình: 4( x 2).[ log ( x 3) + log ( x 2)]15.( x + 1) 1) 2) x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12 3) x2.3x - + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1) HD: 4( x 2).[ log ( x 3) + log ( x 2)]15.( x + 1) 1) Đk: x > Chia vế cho x - > Khi ta có (1) log ( x 3) + log ( x 2) = 15( x + 1) 4( x 2) + Hàm số vế trái đồng biến + Hàm số vế phải nghịch biến Nh (2) có nghiệm Vì f(11) = g(11) nên ta có nghiệm x = 11 2) x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12 3x (x2- 7x + 12) + (x - 1) (x2- 7x + 12) 3) x x + 12 = x = x x2.3x - + x.(3x - 2x) = 2(2x - 3x - 1) 3x-1 (x + 1).(x + 2) - 2x (x + 2) = x + = x x + = nghiệm x = - x = V Phơng pháp bất đẳng thức: Bổ đề: Xét hàm số f(x) = g(x) Nếu (1) f ( x) k f ( x) k (1) có nghiệmkhi f(x) = g(x) = k g ( x) k g ( x) k Bài tập 1: Giải phơng trình: 1) 1 = lg( x 2) + x 2) log 22 ( x 1) + 3x 54 x + 247 = log (2 x x + 2) (2) log 22 ( x 1) log ( x 1) + x x + 18 = 3) HD: 1 = lg( x 2) + x 1) (1) Đk: x > 1 = lg( x 2) 2x + TH 1: x VT VP (1) (1) Phơng trình (1) xảy VT = tức x = + TH2: < x < VT > VP < Phơng trình (1) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x = 2) log 22 ( x 1) + 3x 54 x + 247 = log ( x x + 2) (2) x > Đk: x 54 x + 247 x>1 x x + > (2) 3( x 18 x + 81) + = log (2 x x + 2) log 22 ( x 1) 3( x 9) + = log 2( x x + 1) log 22 ( x 1) 3( x 9) + = + log ( x 1) log 22 ( x 1) 3( x 9) + = + log ( x 1) log 22 ( x 1) 3( x 9) + = [1 log ( x 1)] (2) Ta có VT VP x = x = x=3 Khi (2) xảy VT = VP = hay log ( x 1) = 1 log ( x 1) = Vậy phơng trình có nghiệm x = log 22 ( x 1) log ( x 1) + x x + 18 = 3) Đk: x > x < x2 - > (3) log 22 ( x 1) log ( x 1) + + x x + = [3 log log ( x 1) = x = x = ] ( x 1) + ( x 3) = Vậy phơng trình có nghiệm x = (3) [...]... nghiệm duy nhất Do f(0) = g(0) nên nghiệm duy nhất là x = 0 Vậy nghiệm của pt là x = 99999 và x = 0 III Phơng pháp logarit hóa: Chú ý: Dùng khi gặp phơng trình có chứa các hàm số dạng + Tích của nhiều hàm số mũ + Chứa hàm số lũy thừa mũ y = [ f ( x)] ( x ) f ( x) > 0 Đk: ( x) co nghia Bài tập 1: Giải các phơng trình: 4 x +1 2 1 = 5 7 lg x x = 1000.x 2 1) 2) 3) lg x + 5 3 x 3 x2 = 10 5+ lg x log... nghiệm của pt là x = 5 và x = 4) log 2 2 + log 2 ( 4 x) = 3 (4) x x > 0 x 2 Đk: 1 (4) 1 625 2 log 2 x Đặt t = log2x 1 + log 2 (4 x) = 3 1 + 2 + log 2 x = 3 1 log 2 x 1 + t 1 = 0 1 t + Với t = 0 ta có log2x = 0 x = 1 + Với t = 2 ta có log2x = 2 x = 4 Khi đó ta có phơng trình: 1 + log 2 x 1 = 0 1 log 2 x t = 0 t2 - 2t = 0 t = 2 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 1 và x = 4 log 3 (9... = 2 x=9 Khi đó ta có phơng trình: Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 2 log x (125 x).[ log 25 x ] = 1 3) Đk: x > 0 t = 1 t2 - t - 2 = 0 t = 2 1 và x = 9 3 (3) 2 1 (1 + log x 125). log 5 x = 1 2 1 (1 + 3 log x 5).(log 5 x ) 2 = 1 4 3 (1 + ).(log 5 x) 2 = 4 log 5 x (3) Đặt t = log5x 0 3 (1 + ).t 2 = 4 t + Với t = 1 ta có log5x = 1 x=5 Khi đó ta có phơng trình: t = 1 t2 + 3t - 4... ( x 2)] log 3 ( x 2) = 2 + 3 log 3 ( x 2) t = log 3 ( x 2) Đặt Khi đó ta có phơng trình (t + 2).t = 2 + 3t t2 - t - 2 = 0 Với t = - 1 ta có log 3 ( x 2) = 1 x = Với t = - 1 ta có log 3 ( x 2) = 2 t = 1 t = 2 7 3 x = 11 Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của pt là x = 7 và x = 11 3 IV Phơng pháp hàm số: Bổ đề: 1) Xét hàm số f(x) = g(x) (1) Nếu hàm só f(x) đồng biến, g(x) nghịch biến thì (1) có... biến Từ (1) ta có f ( x 1) = f ( x 2 x) x - 1 = x2 - x x = 1 Vậy phơng trình có nghiệm x = 1 t t Bài tập 4: Giải các phơng trình: 1) 2010 x + 2012 x = 4020 x + 2 x 131 2 x + 5 x = 2 + 44 log 2 2 + x 5x 2) 3 3 HD: 1) (1) 2010 x + 2012 x = 4020 x + 2 Xét hàm số f ( x) = 2010 x + 2012 x 4020 x 2 ta có f(x) liên tục và xác định trên R Ta có f ' ( x) = 2010 x ln 2010 + 2012 x ln 2012 4020... ln 5 3 3 x 2 x 2 h' ' ( x) = 2 (ln 2) + 5 (ln 5) > 0 Vì h(x) > 0 nên f(x) đồng biến tức h(x) = 0 có duy nhất một nghiệm Khi đó phơng trình h(x) = 0 có không quá hai nghiệm Do ta có h(0) = h(3) = 0 nên pt (1) có 2 nghiệm là x = 0 và x = 3 Bài tập 5: Giải các phơng trình: 4( x 2).[ log 2 ( x 3) + log 3 ( x 2)]15.( x + 1) 1) 2) x2.3x + 3x.(12 - 7x) = - x3 + 8x2 - 19x + 12 3) x2.3x - 1 + x.(3x - 2x)... 2x) = 2(2x - 3x - 1) 3x-1 (x + 1).(x + 2) - 2x (x + 2) = 0 x + 2 = 0 2 x x + 1 = 3 3 nghiệm x = - 2 và x = 1 V Phơng pháp bất đẳng thức: Bổ đề: Xét hàm số f(x) = g(x) Nếu (1) f ( x) k f ( x) k hoặc thì (1) có nghiệmkhi f(x) = g(x) = k g ( x) k g ( x) k Bài tập 1: Giải các phơng trình: 1) 1 1 = lg( x 2) + x 8 2 2) log 22 ( x 1) + 3x 4 54 x 2 + 247 = log 2 (2 x 2 4 x + 2) (2) log... 6 log 2 ( x 2 1) + x 2 6 x + 18 = 0 3) HD: 1 1 = lg( x 2) + x 8 2 1) (1) Đk: x > 2 1 1 = lg( x 2) 2x 8 + TH 1: x 3 VT 0 VP 0 (1) (1) Phơng trình (1) xảy ra khi VT = 0 tức x = 3 + TH2: 2 < x < 3 VT > 0 VP < 0 Phơng trình (1) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x = 3 2) log 22 ( x 1) + 3x 4 54 x 2 + 247 = log 2 ( 2 x 2 4 x + 2) (2) x 1 > 0 4 2 Đk: 3 x 54 x + 247 0 x>1 2 x 2 4 x + 2... phơng trình (1) có nghiệm x = 16 log 3 ( x + 2) = log 7 x 2) Đk: x > 0 Đặt x = 72t > 0 x = 7 t Khi đó (2) 2 t = log 3 (7 t + 2) t t 7 +2=9 t t t t (2) t 7 1 + 2. = 1 9 9 t (2) 7 1 7 1 7 1 Xét hàm số f (t ) = + 2. có f ' (t ) = ln + 2. ln < 0 f(x) nghịch biến 9 9 9 9 9 9 Do đó (2) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1 Với t = 1 ta có x = 72 = 49 Vậy phơng trình. .. 81 f(x) nghịch biến Do đó (3) có nghiệm duy nhất, vì f(1) = 1 nên nghiệm duy nhất là t = 1 Với t = 1 ta có x = 212 = 4096 Vậy phơng trình (1) có nghiệm x = 4096 Bài tập 3: HD: 1) Giải x 1 x2 x các 1) 2 2) 34 x 4 3 x = ( x 2) 2 3) 3 x 2 3 x 2 = ( x 1) phơng trình: 2 2 2 x 1 2 x 2 x 2 2 x = x 2 3x + 2 (1) = ( x 1) 2 (1) 2 x 1 2 x x = ( x 2 x) ( x 1) 2 2 x 1 + ( x 1) = 2 x 2 x + (