chuyên đề phương trình mũ và logarit

T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s S GIO DC & AO TO ANG NAI Trng THPT BC Lờ Hng Phong Giỏo viờn thc hin NGUYN TT THU N m nờn ta cú m = / m = l = 25 Vy cú 25 huy chng 8c phỏt v phỏt ngy - 38 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s Vớ d 3.16: Cú bao nhiờu xõu nh phõn di m 8ú khụng cú hai bit 8ng cnh nhau? Gii: Gi bm l s xõu nh phõn di n tha 8iu kin 8u bi Ta cú b0 = ; b1 = Xột xõu nh phõn di n tha 8iu kin 8u bi cú dng `m`m 0`m `1`0 Cú hai trng hp ọ `m = Khi 8ú `m = / v `m `1`0 cú th chn l mt xõu bt k di m tha 8iu kin Cú bm xõu nh vy, suy trng hp ny cú bm xõu ọ `m = / Khi 8ú `m `1`0 cú th chn l mt xõu bt k di m tha 8iu kin Cú bm xõu nh vy, suy trng hp ny cú bm xõu Vy tng cng xõy dng 8c bm + bm ọ xõu, hay bm = bm + bm m m ễ + ễ bm = + ế ế ế ế 1 ệ ệ Vớ d 3.17: Cho s nguyờn dng m Tỡm tt c cỏc @ ca W = 0+1+ 2+ -+1m cho khụng tn ti hai phn t w + x @ tha món: w + x = 1m + { } (Thy S 2006) Gii: A gii bi toỏn ny ta s 8i 8m s @ ca W tha luụn tụn ti hai phn t w + x @ cho w + x = 1m + (ta gi @ cú tớnh cht S ) { } Gi `m l s @ ca 0+1+ -+1m cú tớnh cht S { } Khi 8ú cỏc @ 0+1+ -+1m+1m + 0+1m + xy hai trng hp TH1: Trong @ cha hai phn t v 1m + , trng hp ny s @ cú tớnh cht S chỡnh bng s ca gm 1m phn t 1+ 2+ 3+ -+1m+1m + v s { } ca ny bng 11m TH2: Trong @ khụng cha 8y hai phn t v 1m + Khi 8ú @ phi cha mt @ & l ca 1+ 2+ 3+ -+1m+1m + cho cú hai phn t w &+ x & @ & { } w & + x & = 1m + Ta thy s @ & nh trờn chớnh bng s ca { } z0+1+ -+1m | cú tớnh cht S (Vỡ ta tr cỏc phn t ca 1+ 2+ 3+ -+1m+1m + 8i mt 8n v ta 8c z0+1+ -+1m| v w &+ x & @ & w & + x & = 1m + ) - 39 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s Hn na vi mi @ & ta cú 8c ba @ (bng cỏch ta chn @ l @ & hoc z0| @ & hoc z1m + 1| @ & ) Do vy: `m +0 = 2`m + 11m `m = 3m 2m Vy s tha yờu cu bi toỏn l: 3m `m = 2m - 40 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s Bi ỏp dng Bi 1: Tỡm CTTQ ca cỏc dóy s sau 1) t0 = 0: t1 = /+ tm + 1tm + tm = m + 0+ m 2) t0 = /: t1 = /+ tm +0 1tm + tm = 2-1m + m 3) t0 = /: t1 = /+ tm + 1tm 2tm = m + 1m + m 4) t0 = /+ t1 = 0+ t2 = 2+ tm = 6tm 00-tm + 4-tm + m ấ t0 = 5) ậ tm + t = ọọm m ' 1(t m è { } Bi 2: Cho dóy s am ấa = 1-a + am m xỏc 8nh bi : ậ m èa0 = 0+ a1 = m M (m ) m 4ễ Chng minh rng am ế + m M 1ệ { } Bi 3: Cho dóy s tm ất Y + + M m tho nh sau : ật / = 0+ t0 = t = 0/-t tm ọọm M + ọm m è m Chng minh : j M + j 0(ọtj1 + tj1 0/tj -tj = 1(ọ4-tj tj B v 2-tj1 0B ấw = 0: w0 = / Bi 4: Cho dóy s w m xỏc 8nh nh sau: ậ / + = w w w 1ọọ m è m m m Xỏc 8nh s t nhiờn m cho : w m + + w m = 11574 - 41 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s ấw = 0: w0 = Bi 5: Cho dóy 'w m ( 8c xỏc 8nh bi ậ / = w w w m ọọ è m + m m Tỡm khl w m { 1w } m (TH&TT T7/253) '0 ` (1 m ễ ế v `m + = ế ọm 1 ế ế ệ Chng minh rng: `0 + `1 + - + `1//4 < 0+ /2 (TH&TT T10/335) Bi 6: Xột dóy '`m ( `0 = Bi 7: Cho dóy '`m ( ` / = 1:`m +0 = 3`m + 04`m1 5/ ọm Hóy xỏc 8nh CTTQ '` + 7( cú th biu din thnh tng bỡnh phng ca 1m ba s nguyờn liờn tip vi m (TH&TT T6/262) Bi 8: Cho dóy s o'm ( 8c xỏc 8nh nh sau: o'0( = 0: ca `m v chng minh rng s { } o'm ( = o'0( + 1o'1( + - + 'm 0(o'm 0( m Xỏc 8nh o'm ( (TH&TT T7/244) ất0 = Chng minh rng Bi 9: Xột dóy 'tm ( ậ t t m m m 2ọọ m = + + è m m o vi mi s nguyờn t o thỡ 1/// th chia ht cho o (TH&TT T6/286) h =0 ấw / = ` Bi 10: Dóy s thc 'wm ( ậ w w m 0ọọ / = è m +0 m Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca ` w m < /ọọm / (TH&TT T10/313) Bi 11: Dóy s 'wm ( w / = 0+ w0 = w m +0-wm v w m + = 1//1w m +0 + 1//0w m + 1///w m +0wm m / Hóy tỡm CTTQ ca w m (TH&TT T8/298) ấ `0 = Bi 12: Cho dóy s '`m ( 8c xỏc 8nh nh sau: '`m ( ậ `m `m = ọm 1m`m + è Tớnh tng `0 + `1 + - + `0887 - 42 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s Bi 13: Cho dóy s '`m ( 8c xỏc 8nh bi : `0 = 0-1-2+ ọ`1 = 1-2-3+ ọ -+ `m = m'm + 0('m + 1( At Rm = `0 + `1 + - + `m Chng minh rng 3Rm + l s chớnh phng (HSG Quc Gia 1991 Bng B ) Bi 14: Cho hai dóy s '`m (+'am ( 8c xỏc 8nh nh sau: ` / = 1:a/ = v `m + = 1`mam `m + am + ọam + = `m + 0am ọọọm / Chng minh rng cỏc dóy '`m ( v 'am ( cú cựng mt gii hn chung m + Tỡm gii hn chung 8ú ( HSG Quc Gia 1993 Bng A ngy th 2) Bai 15: Cho cỏc s nguyờn `+ a Xột dóy s nguyờn '`m ( 8c xỏc 8nh nh sau ` / = `: `0 = a: `1 = 1a ` + 1: ọ`m + = 2`m + 2`m +0 + `m ọm / ` (ọ Tỡm CTTQ ca dóy '`m ( a(ọ Tỡm cỏc s nguyờn `+ a `m l s chớnh phng vi m 0887 (HSG Quc Gia 1998 Bng B) m ấ` = Bi 16: Cho dóy s '`m ( ậ / Tớnh h =0 `h è'2 `m ('5 + `m ( = 07ọọm (Trung Quc 2004 ) ấ` / = Bi 17: Cho dóy s '`m ( ậ Chng minh 6`m + 34`m1 25 `m = ọọm è 0(ọ`m l s nguyờn dng vi m / 1(ọ`m +0`m l s chớnh phng m / ( Trung Quc 2005 ) ất0 = 0: t1 = tm1 Bi 18: Cho dóy s 'tm ( ậ Chng minh rng l s = t t t ọ m 2 è m m m chớnh phng ( Chn 8i tuyn Ngh an 2007 ) ấ 1//6 a/ = 01:a0 = Bi 19: Cho dóy s 'am ( ậ Tớnh ah ( Moldova 2007) h =/ a + a = am - ọọm m èm - 43 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s Bi 20: Cú m tm th 8c 8ỏnh s t 8n m Cú bao nhiờu cỏch chn mt s th (ớt nht tm) cho tt c cỏc s vit trờn cỏc tm th ny 8u ln hn hoc bng s tm th 8c chn ất0 = 0: ọtm > /ọm Bi 21: Cho dóy 'tm ( 8c xỏc 8nh bi: ậ Chng minh + tm1 ọọm tm = tm è ầ rng t0 + t1 + - + tm + ẩ0 ' (m (HSG Qung Bỡnh 2008 2009 ) 3ẫ Bi 22: Cho dóy 8a thc : O 'w ( = w 5w + v Om 'w ( = O 'O ' -'O 'w (((( m ln Tỡm s nghim cu O 'w ( v Om 'w ( ? (D tuyn Olympic) Bi 23: Xỏc 8nh h s w khai trin chớnh quy ca 8a thc Pj 'w ( = ' -'''w 1(1 1(1 1(1 -(1 1(1 (cú j du ngoc) Bi 24: Cho dóy w m w / = 0+ w0 = 0+ w m + = 3w m w m ọọm v dóy s (xm ) x/ = 0+ x0 = 1+ xm +0 = 3xm xm ọọm Chng minh rng: xm1 = 2wm1 + 0ọọm / (Canada 1998 ) Bi 25: Cú bao nhiờu tam giỏc cú di cỏc cnh l cỏc s t nhiờn khụng vt quỏ 1m (Macedonian 1997 ) Bi 26: Cho dóy s 'tm ( 8c xỏc 8nh nh sau: t/ = t0 = v tm +0 = 03tm tm vi m Chng minh rng vi m / thỡ 1`m l mt s chớnh phng (Chn 8i tuyn Romania 2002) - 44 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s KT LUN KIN NGH Tri qua thc tin ging dy, ni dung liờn quan 8n chuyờn vi s gúp ý ca 8ng nghip dng chuyờn vo ging dy 8ó thu 8c mt s kt qu sau 1) Hc sinh trung bỡnh tr lờn cú th dng mt s kt qu c bn chuyờn vo gii bi toỏn xỏc 8nh CTTQ ca mt s dng dóy s cú dng truy hi 8c bit 2) Hc sinh gii cú th dng cỏc kt qu chuyờn 8 tham kho phc v nhng kỡ thi hc sinh gii cp Tnh v cp Quc Gia 3) To 8c s hng thỳ cho hc sinh hc v bi toỏn dóy s 4) L ti liu tham kho cho hc sinh v giỏo viờn 5) Qua ti giỏo viờn cú th xõy dng cỏc bi toỏn v dóy s Bờn cnh nhng kt qu thu 8c, chuyờn cũn mt s hn ch sau: 1) Trong chuyờn cha xõy dng 8c phng phỏp xỏc 8nh CTTQ ca mt s dóy s m cỏc h s cụng thc truy hi bin thiờn 2) Cha 8a vo mt s phng phỏp xỏc 8nh CTTQ ca dóy s da vo mt s kin thc liờn quan 8n Toỏn cao cp nh phng phỏp hm sinh Hy vng cỏc 8ng nghip s phỏt trin, m rng v khc phc mt s hn ch núi trờn - 45 - T m ti li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com Mt s phng phỏp xỏc 8nh cụng thc tng quỏt ca dóy s TI LIU THAM KHO [1] Ai S v Gii Tớch lp 11 Nõng Cao [2] Cỏc bi thi Olympic Toỏn THPT Vit Nam, T sỏch TH&TT NXB GD 2007 [3] Mt s bi toỏn chn lc v dóy s , Nguyn V