Bài giảng Chuyên đề: Phương trình mũ và logarit

Chuyờn 3 Chuyờn 3 HM S LY THA, HM S M V HM S LễGART HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN Trung Lai Trng THPT Tõn Chõu H THNG Lí THUYT: Hm s ly tha: Tớnh cht ca ly tha: V c s; khi xột ly tha a : + : ẻ Ơ a xỏc nh a Ă . + : - ẻ Â a xỏc nh khi a 0 + \ : ẻ Ă Â a xỏc nh khi a > 0. Tớnh cht: Vi a, b > 0; m,n Ă : ; * m m n m n m n n a a a a a a + - = = . ( ) . n m m n a a= ; ( ) . . m m m a b a b= m m m a a b b ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . ( 0; , ; 0) m n m n a a a m n n= > ẻ >Â 2k x xỏc nh khi 0x (k Ơ ) 2 1k x + xỏc nh x Ă (k Ơ ) o hm ( ) / 1 . ( 0, )x x x - = > ẻ Ă ; ( ) / 1 / . . ( 0, )u u u u - = > ẻ Ă ( ) / 1 1 ( , 2, 0 , 0 ) . khi n chẵn khi n lẻ n n n x n n x x n x - = ẻ > ạƠ ; ( ) / / 1 ( , 2, 0 , 0 ) . khi n chẵn khi n lẻ n n n u u n n u u n u - = ẻ > ạƠ Hm s m: Hm s m y = a x (a > 0, a 1) cú tp xỏc nh l Ă ; tp giỏ tr l * + Ă (tc l a x > 0, x Ă chỳ ý tớnh cht ny t iu kin ca n ph sau ny); liờn tc trờn Ă . o hm ( ) / ln x x a a a= (a > 0, a 1) Khi a > 1 hm s y = a x ng bin trờn Ă . Khi 0 < a < 1 hm s y = a x nghch bin trờn Ă . a 0 = 1 a 0 , a 1 = a. Khi a > 1: lim x x a đ+Ơ =+Ơ ; lim 0 x x a đ- Ơ = . Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 21 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN ▪ Khi 0 < a < 1: lim 0 x x a ®+¥ = ; lim x x a ®- ¥ =+¥ . ▪ Với a > b > 0 ta có: a x > b x ⇔ x > 0 và a x < b x ⇔ x < 0. (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 1a< < để nhớ các tính chất) ◙ Hàm số logarit:  Chú ý: Khi xét log a x phải chú ý điều kiện 0; 1 0.vµa a x> ¹ > Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương). ▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: log a x = y ⇔ a y = x. ▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: log a n a n= ( n > 0 ); log m a a m= ( ∀ m ∈ ¡ ); log a 1 = 0; log 1 a a = . ▪ log a (x 1 .x 2 ) = log a x 1 + log a x 2 ; 1 2 log a x x = log a x 1 - log a x 2 ( x 1 ; x 2 > 0 ). ▪ log a x α = α.log a x (x > 0) và 1 log .log a a x x α α = (x > 0, α ≠ 0). ▪ Đổi cơ số: log log log b a b x x a = hay log a x = log a b.log b x ▪ log a b = 1 log b a và log .log 1 a b b a = . ▪ Hàm số y = log a x xác định và liên tục trên (0 ; + ∞ ). ▪ Đạo hàm ( ) / 1 log .ln a x x a = ▪ Khi a > 1 hàm số y = log a x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ). ▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log a x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ). ▪ Nếu a > 1: lim log ; lim log a a x x x x ®+¥ ®- ¥ =+¥ =- ¥ ▪ Nếu 0 < a < 1: lim log ; lim log a a x x x x ®+¥ ®- ¥ =- ¥ =+¥ . (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất ) ▪ Chú ý đến các công thức: log (0 1; 0) a b b a a b= < ¹ > và log (0 1) b a b a a= < ¹ ◙ Phương trình, bất phương trình mũ: ▪ Phương trình a x = b có nghiệm ⇔ b > 0. ▪ a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x). ▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x). ▪ a f(x) = b ⇔ f(x) = log a b. ▪ a f(x) < b (với b > 0) ⇔ ( ) log a f x b< nếu a > 1; ( ) log a f x b> nếu 0 < a < 1. Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 22 HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN a f(x) > b 0 ( ) 0 ( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi a a b f x R b f x b a f x b a ộ ỡ Ê ù ù ờ ớ ờ ù ẻ ù ợ ờ ờ ỡ > ù ờ ù ớ ờ ù > > < < < ờ ù ợ ở Phng trỡnh, bt phng trỡnh logarit: Trc ht ta cn t iu kin phng trỡnh cú ngha. log a b cú ngha 0 < a 1 v b > 0 log log n m a a m b b n = ( b > 0 ; 0 < a 1 ) . log a b 2k = 2k.log a |b| vi k . log a f(x) = log a g(x) f(x) = g(x). log a f(x) log a g(x) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 khi khi f x g x a f x g x a ỡ > ù ù ớ ù Ê < < ù ợ ( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 1. log ( ) log ( ) ( ) ( ) g x g x g x g x f x h x f x h x ỡ > ạ ù ù = ớ ù = ù ợ . H NG DN HC SINH GII BI TP : Cho hc sinh nm cỏc bc gii nh: + Yờu cu hc sinh phõn tớch bi xem gi thit v kt lun l gỡ? cú liờn quan n cỏc cụng thc no v hm s ly tha, hm s m v hm s lụgaritxem bi toỏn thuc dng chng minh, tớnh toỏn, gii phng trỡnh hay bt phng trỡnh. + Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii. + Cho hc sinh lờn bng thc hin chng trỡnh gii t ú yờu cu cỏc hc sinh khỏc nghiờn cu li gii hc sinh nm chc kin thc, khc phc cỏc sai sút vỡ chng ny cỏc cụng thc cú dng gn ging nhau nờn hc sinh hay ỏp dng sai v mc nhiu sai lm. Phõn loi cỏc dng toỏn cng nh cỏc cỏch gii; c th: Loi tớnh toỏn: Vớ d 1: Tớnh 25 log 15 theo a khi bit 3 log 15 a= . Hng dn hc sinh phõn tớch: ( ) ( ) 2 25 5 5 5 5 1 1 log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1 2 2 = = + = + 3 3 3 3 3 log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + = M 3 5 1 log 5 log 3 = vy 3 log 5 l cu ni gia hai s cn tớnh. Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii: Tớnh 3 log 5 theo a sau ú thay vo tớnh 25 log 15 . Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh hai s 2,5 12 1 2 2 và - ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a v cựng mt c s ( bi ny l 2) sau ú da vo tớnh n iu ca hm s m so sỏnh. Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 23 HBM Toỏn An Giang Ti liu tham kho ễn tp thi TN 2,5 2,5 1 2 2 - ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ m 2,5 12- >- nờn 2,5 12 1 2 2 - ổử ữ ỗ < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Loi chng minh: Vớ d 1: Chng minh 4 2 3 4 2 3 2x = + - - = . Cỏch 1: Phõn tớch (d thy x > 0) 2 2 4x x= = do trong biu thc cha cn bc hai nờn ta s bỡnh phng hai v; nu cha cn bc ba thỡ cú th lp phng. Yờu cu hc sinh bỡnh phng ri rỳt gn kt qu cn tỡm. Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng 4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = = Cú th tớnh 4 2 3 4 2 3và+ - bng cỏch xem chỳng l hai nghim ca h 2 2 x y xy ỡ - = ù ù ớ ù = ù ợ 3 1 3 1 x y ỡ ù = + ù ớ ù = - ù ợ T ú ta phõn tớch 2 4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = + cũn 4 2 3- tớnh tng t. T ú ta chng minh c bi toỏn. Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh log log c c b a a b= p dng tớnh cht log log m m x y x y= = nờn ta ly logarit c s m dng khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi. ( ) ( ) log log log log .log log .log log c c b c c c c c a c a b a a b b = = = Nờn log log c c b a a b= . Loi gii phng trỡnh m v lụgarit: Nờu cỏc phng phỏp gii nh: Phng phỏp a v cựng mt c s: gii phng trỡnh, bt phng trỡnh m, lụgarit ta bin i chỳng v dng: ( ) ( ) , , log ( ) , log ( ) . u x u x a a a b a b u x b u x b= > = > Phng phỏp lụgarit húa: lm cho n khụng nm s m ta cú th lụgarit theo cựng mt c s c hai v ca mt phng trỡnh, bt phng trỡnh (Chỳ ý khi lụgarit hai v mt bt phng trỡnh cn so sỏnh c s vi s 1 cú du bt ng thc ỳng) Phng phỏp t n ph: Khi bin i phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng ( ) ( ) u x f a b= , ( ) ( ) . u x f a b n gin trong thao tỏc ta t ( )u x t a= chỳ ý t iu kin cho tham s t. Phng phỏp s dng tớnh n iu ca hm s: Phng phỏp ny da vo tớnh ng bin, nghch bin v th ca hm s. Chỳ ý l phi nhn xột xem trong bi toỏn cú bao nhiờu c s. Phi lu ý hc sinh trc khi gii phng trỡnh phi tỡm iu kin xỏc nh. Trung Lai THPT Tõn Chõu Trang 24 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN Vdụ: + Phương trình 2 x + 3 = 5 x có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi 3 2 2 5 8 1 5 x x x+ æö ÷ ç = Û = ÷ ç ÷ ç è ø . + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 x x x x - + + = Û - + = - từ đó đặt ẩn phụ t = ( ) 2 3 x - + Phương trình 3 4 5 x x x + = chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên phải dùng tính đơn điệu của hàm số để giải. + Phương trình 1 1 2.4 9 6 x x x+ + + = có thể biến đổi thành 8.4 9 6.6 x x x + = nhận xét rằng 4 = 2 2 , 9 = 3 2 và 6 = 2.3 nên PT trở thành ( ) ( ) 2 2 8 2 3 6.2 .3 x x x x + = chia hai vế cho 2 .3 x x sẽ đưa pt về một cơ số.  Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải được. + Giải phương trình 2 2 1 2 log 2log (3 4)x x=- +  Nhận xét 1 1 2 2 - = nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng cơ số 2 để giải.  Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi 2 2 2 log 2logx x= chỉ đúng khi x > 0; nên phải sử dụng đúng công thức 2 2 2 log 2log | |x x= để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm. ● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit: Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit nhưng bắt buộc phải so sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức: ▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x). ▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x). ▪ Nếu 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x> > Û > ▪ Nếu 0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x< < > Û <  Ví dụ: + Giải bất phương trình: 2 3 7 3 1 (1) 6 2 .3 x x x+ + - < . Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x sau đó biến đổi cơ số.  (1)  ( ) ( ) 3 2 7 3 2 7 3 3 3 6 2 6 . 6 2 .2 . 3 2.3 3.6 x x x x æ ö ÷ ç ÷ < Û < ç ÷ ç ÷ ç è ø  4 2 2 3 3 x æö æö ÷ ÷ ç ç < ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø  x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1). + Giải bất phương trình: 4 1 3 log 0 1 x x æ ö + ÷ ç ³ ÷ ç ÷ ç è ø - . Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 25 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN HDẫn cho học sinh phân tích đề: Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau đó áp dụng công thức 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x> > Û > với chú ý 4 0 log 1= và khi giải BPT 1 3 1 1 x x + ³ - cần biến đổi về 1 3 1 0 1 x x + - ³ - sau đó quy đồng và xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng. + Có thể biến đổi trực tiếp 2 2 0,8 0,8 1 2 5 log ( 1) log (2 5) 2 5 0 x x x x x x x ì ï + + > + ï + + < + Û í ï + > ï î . ● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao) + Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính bỏ túi; các hệ đặc biệt như đối xứng… + Đầu tiên cần quan tâm đến đặt điều kiện nghiệm.  Ví dụ: Giải hệ: 9 2 (1) log (2) 1 4 2 3 3 y x x y - ì ï æö ï ÷ ç = ï ÷ ç ï ÷ ç è ø ï í ï ï ï = ï ï î  Biến đổi (1) thành 2 2x y= - và (2) thành 3 y x = . Ta được hệ: 2 2 0 3 x y y x ì ï - =- ï ï ï í ï - = ï ï ï î Giải hệ này tìm được nghiệm. ● Loại toán liên quan đến đạo hàm: Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số ; log ; ; x n a y a y x y x y x α = = = = và đạo hàm của hàm số hợp của các hàm số này.  Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức: ( ) / ln x x a a a= và ( ) / 1 .x x α α α - = vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như ( ) / 1 2 .2 x x x - = Ví dụ: + Tìm đạo hàm của hàm số x y x π π = .  Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v) / = u / v + uv / với x u π = ; v x π = ta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không sai lầm. ⓒ Chú ý: ▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức: Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 26 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN Ví dụ khi xét hàm số y = a x có ( ) / ln (0 1) x x a a a a= < ¹ → khi 0 < a < 1 ta có lna < 0 nên y’ < 0, x  hàm số giảm trên ¡ ; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ > 0, x  hàm số tăng trên ¡ . ▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong chương này như: + Không đặt điều kiện xác định của phương trình. + Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit. + Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit… ▪ Đối với học sinh khá giỏi có thể soạn thêm các bài toán nâng cao như: Giải phương trình 2 2 5 3 log ( 2 2) log ( 2 )x x x x+ + = +  Đặt 2 3 log ( 2 )x x t+ = thì ta có 2 2 3 t x x+ = ; thay vào phương trình đã cho ta được 5 log (3 2) t t+ = biến đổi thành 3 1 3 2 5 2 1 5 5 t t t t æö æö ÷ ÷ ç ç + = Û + = ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Sử dụng phương pháp hàm số ta giải PT này tìm được nghiệm.  Học sinh dễ sai lầm khi thấy x = 1 là nghiệm từ đó kết luận nghiệm duy nhất. Ⓓ. M ỘT SỐ BÀI TẬ P : 1) Tính giá trị của biểu thức 1 1 ( 1) ( 1)A a b - - = + + + khi ( ) ( ) 1 1 2 3 2 3µa v b - - = + = - 2) Biết 27 8 2 log 5 , log 7 , log 3a b c= = = . Tính 6 log 35 theo a, b, c. 3) Tính 2 3 4 2000 1 1 1 1 . log log log log A x x x x = + + + + với x = 2000! 4) Rút gọn biểu thức 4 2 4 : ( 0)B x x x x π π = > . 5) Vẽ đồ thị của các hàm số: a) 2 x y = b) 2 logy x= c) 1 2 x y æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø d) 1 2 logy x= 6) Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? a) 3 3 2 x y æ ö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø + ; b) 2 x y e æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø ; c) 1 3 3 2 x x y - æ ö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø - . 7) Chứng minh rằng ( ) 3 3 3 3 3 2 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b a a b+ + + = + 8) Chứng minh 1 log 1 1 1 1 log log log log abcd a b c d x x x x x = + + + với a, b, c, d, x, abcd dương khác 1. Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 27 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 9) Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức 3 3 7 5 2 7 5 2 2+ + - = . 10) Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau: a) ( ) ( ) 6 log 3 1 log 2 1íiv π π - - . b) 2 5 log 3 log 3íiv . c) 5 8 7 11 7 3 log log 9 4 íiv . d) 4 5 log 5 log 6íiv 11) Giải các phương trình sau: a) 5 3 7 x- = , b) |3 4| 2 2 3 9 x x- - = c) ( ) 3 4 log 1 3 3 x- + = d) 1 2 1 4.9 3. 2 x x- + = e) 2 2 3 2 .3 2 x x x- = f) ( ) ( ) 10 5 10 3 3 84 x x- + = . g) 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34.15 x x x x x x- + - + - + = h) ( ) ( ) 5(7 2) 6 5(7 2 7 x x - + + = i) ( ) ( ) 5 1 5 log 1 log 2 0x x- - + = j) ( ) ( ) 9 3 log 8 log 26 2x x+ - + =- k) log 5 4 log 1 2 log0,18x x- + + = + l) 3 9 27 11 log log log 2 x x x+ + = . m) ( ) 2 3 3 2log ( 2) log 4 0x x- + - = n) 2 2 1 2 2 log 3log log 2x x x+ + = o) 2 2 3 log log 4 0x x- = p) 3 4 5 6 x x x x + + = q)* ( ) ( ) tan tan 3 2 2 3 2 2 6. x x + + - = r)* 2 2 3 2 log ( 2 1) log ( 2 )x x x x+ + = + 12) Giải các bất phương trình sau: a) 9 2 1 log 1 2 x x > + . b) 2 2 2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - + . c) 3 4 2 log log 2x x- > . d) 1 4 5 log log 1x x+ ³ e) 6.9 13.6 6.4 0 x x x - + £ . 13) Giải các hệ phương trình: a) log 1 log (3 5 ) 2 x y y y x ì = ï ï í ï + = ï î b) 2 2 . 1 log log 2 x y x y ì = ï ï í ï + = ï î c) 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + - - ì ï = ï í ï = ï î d) log log 2 15 x y x y ì + = ï ï í ï - = ï î Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 28 HĐBM Toán An Giang Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN e) 3 3 3 3 log log 2 log 2 log ( ) 2 x y x y ì + = + ï ï í ï + = ï î f) 2 2 3 2 10 (3 1)log 1 27 y y x x + ì ï + = ï ï í ï = ï ï î Đỗ Trung Lai THPT Tân Châu Trang 29 . để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm. ● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit: Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit. + > ï î . ● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao) + Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy