THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ 23 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa : Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k hay xy = k x ( với k số khác ) ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k Từ công thức y = k k suy x = x y Chú ý : - Khi đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ k x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k , ta nói hai đại lượng tỉ lệ nghịch với - Với số k , giá trị x tăng lên m lần giá trị y giảm m lần ngược lại k - Nếu viết y = k x ( k ) có tương ứng y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k x Tính chất k ( k ) với giá trị x có tương ứng giá trị y Trong x x nhận giá trị x1 , x2 , x3 , … y nhận giá trị tương ứng y1 , y2 , y3 , … - Từ cơng thức y = - Tích hai giá trị tương ứng chúng không đổi hệ số tỉ lệ: x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = = k - Tỉ số hai giá trị đại lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng kia: y1 x2 y1 x3 = = y2 x1 ; y3 x1 ; … Một số toán tỉ lệ nghịch a.Bài toán hai đại lượng tỉ lệ nghịch Để giải toán dạng ta thực theo bước sau: - Bước 1: Xác định rõ đại lượng đặt ẩn phụ cho đại lượng cần - Bước 2: Xác định quan hệ tỉ lệ nghịch hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Bước 2: Áp dụng công thức liên hệ tính chất hai đại lượng tỉ lệ nghịch, tính chất dãy tỉ số để giải tốn b Bài tốn tìm hai số biết chúng tỉ lệ nghịch với a b Giả sử cần tìm hai số x y biết chúng tỉ lệ nghịch với a b ( a b số biết) Khi ta có ax = by Từ dựa vào điều kiện x y ta áp dụng tính chất dãy tỉ số cách hợp lý để giải toán Chú ý: Nếu hai số x y tỉ lệ nghịch với a b hai số x y tỉ lệ thuận với 1 a b PHẦN II CÁC DẠNG BÀI Dạng Bài tốn áp dụng cơng thức đại lượng tỉ lệ nghịch dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch để tìm đại lượng Dạng 1.1 Biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ nghịch, xác định hệ số I Phương pháp giải: k hay xy = k x k ( với k số khác ) đồng thời x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k x = y - Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số k ( k ) y = - Nếu viết y = k x ( k ) có tương ứng y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k x - Hệ số tỉ lệ k k = x y II Bài toán Bài Biểu diễn mối quan hệ hai đại lượng x y biết : a y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? b y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 0,5 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? Lời giải a Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = nên y = Vậy x tỉ lệ nghịch với y x theo hệ số tỉ lệ k = b Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 0,5 nên y = với y theo hệ số tỉ lệ k = 0,5 0,5 = Vậy x tỉ lệ nghịch x 2x Bài Biểu diễn mối quan hệ hai đại lượng x y biết : a y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k = Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ x nào? b y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k = −6 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ x lệ nào? Lời giải a Vì y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k = nên y = Nên x tỉ lệ nghịch với y x x theo hệ số tỉ lệ k = b y tỉ lệ thuận với −6 theo hệ số tỉ lệ k = −6 nên y = Nên x tỉ lệ nghịch với y x x theo hệ số tỉ lệ k = −6 Bài Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = −8 y = 12 a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch y x b) Hãy biểu diễn y theo x c) Tính giá trị y x = −16; x = −32 d) Tính giá trị x y = 4; y = Lời giải Hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch nên x y = a −8 −8 y = 12 nên a = 12 = −32 3 a −32 b) y = mà a = −32 nên y = x x −32 c) Khi x = −16 y = = −16 −32 = −80 Khi x = y = 5 a) Khi x = −32 = −8 −32 −32 = Khi y = x = −32 7 d) Khi y = x = Bài Cho biết y tỉ lệ nghịch với x x = y = a Tìm hệ số tỉ lệ b Biểu diễn x theo y c Tính giá trị x y = , y = −2 Lời giải a Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên hệ số tỉ lệ x y = b Biểu diễn x theo y x = c.Với y = 4 3y x = Với y = −2 x = −2 Bài Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = 1,5 y = −4 a) Tìm hệ số tỉ lệ y x b) Hãy biểu diễn y theo x c) Tính giá trị y x = 12; x = −2 Lời giải Hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch nên hệ số tỉ lệ y x x y = a a) Khi x = 1,5 y = −4 nên a = 1,5 ( −4 ) = −6 b) y = a −6 mà a = −6 nên y = x x c) Khi x = 12 y = Khi x = −6 −1 = 12 −6 −2 =9 y = −2 3 Dạng 1.2 Tìm đại lượng chưa biết I.Phương pháp giải: - - k hay x xy = k ( với k số khác ) đông thời x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ k k x = y k Dùng công thức y = để xác định tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng x Nếu đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số k ( k ) y = xác định hệ số tỉ lệ - Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì: x1 y2 x1 y3 = ; = ; x1 y1 = x2 y2 = = k x2 y1 x3 y2 II Bài toán Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3; x2 = y1 + y2 = −26 a) Tính y1 , y2 Viết cơng thức liên hệ x y b) Biểu diễn y theo x d) Tính giá trị y x = −4 c) Tính giá trị x y = − Lời giải a) Vì x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên : y1 x2 y y y 3y y + y2 −26 = = 1= = 1= = = = −2 y2 x1 3 4+9 13 y1 = −2 y1 = −4 Suy hệ số tỉ lệ : a = x1 y1 = ( −4 ) = −12 Công thức liên hệ x y : x y = −12 −12 x 3 3 c Khi y = − thì: x − = −12 x = −12 : − = 2 2 y= b Biểu diễn y theo x d x = −4 thì: ( −4 ) y = −12 y = −12 : ( −4 ) = Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3, x2 = , y1 − y2 = , b) Biểu diễn y theo x a ) Tính y1 ; y2 Lời giải: a Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x1 y2 y y = hay = Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có x2 y1 y1 y2 y1 − y2 = = = =2 5−3 Tìm y1 = 10; y2 = b) Ta có a=x1.y1 = 3.10 = 30 y = 30 x Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y a Biết x1 y1 = 72 , x = , tìm y2 b Biết x = , x1 + y2 = 39 , y1 = 24 tìm x1 , y2 Lời giải: a Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x1 y2 x y 72 = hay x1 y1 = x2 y2 y2 = 1 = = x2 x2 y1 b Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x1 y2 x 3y x + y2 39 39 1= 2= = = = = x2 y1 x2 + y1 + 72 78 x2 y1 2 Suy x1 = = ; y2 = 24 = 12 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3, , x = 5, 5y1 − y2 = 35, Hãy tìm y1 y2 hệ số tỉ lệ Lời giải: Bài Do x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên x1 y2 y y y y y − y2 35, 35, = = = = hay = = = = x2 x1 x2 3x1 x2 − 3x1 5.5, − 3.3, 17,8 x2 y1 Suy y1 = x2 = 5, 6.2 = 11, ; y2 = 2.3, = 6,8 Hệ số tỉ lệ x1 y1 = 3, 4.11, = 38, 08 Bài 10 Tìm hai số x, y biết x, y tỉ lệ nghịch với 4;5 x + y = 18 Lời giải Ta có hai số x y tỉ lệ nghịch với 4;5 nên x = y x y = Mà x + y = 18 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y x + y 18 = = = =2 5+ x = x = 10 y = y =2 Vậy x = 10 y = Bài 11 Tìm ba số x, y, z biết x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 4;5 x + y + z = 38 Lời giải Ta có ba số x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 4; nên x = y = 5z Mà x + y + z = 38 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 38 = = = = =2 10 10 + + 19 x = 20 y = 10 z = x y z = = 10 Vậy x = 20 ; y = 10 z = Dạng 1.3 Kiểm tra xem đại lượng có tỉ lệ nghịch với không ? I.Phương pháp giải: Trong công thức y = k ( k ) , với giá trị x cho tương ứng giá x trị y Kiểm tra , có tỉ lệ - x1 y1 = x2 y2 = = k hai đại lượng y x tỉ lệ nghịch với II Bài toán Bài 12 Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Lời giải Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nên ta có z = y Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = x x x Suy z = = Vậy z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ Bài 13 Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Lời giải y Vì z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nên ta có z = Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = 3x Suy z = Bài 14 Vậy 3x z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ , hai đại lượng y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ Hỏi x z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch Tìm hệ số tỉ lệ? Lời giải Hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên x y = y = x (1) Hai đại lượng y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên y.z = (2) Thay (1) vào (2) ta z = z = x x Vậy x z tỉ lệ thuận Hệ số tỉ lệ Bài 15 Xác định đại lượng cho câu sau có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch với khơng? Nếu có xác định hệ số tỉ lệ? a) Chiều dài x chiều rộng y hình chữ nhật có diện tích 32cm2 b) Vận tốc v thời gian t quãng đường s ; Lời giải a) Vì x y = 32 nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 32 b) Vì v.t = s nên v t hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ s c) S = R2 nên S R hai đại lượng tỉ lệ nghịch d) a = n.t nên n t hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a Bài 16 Xác định đại lượng cho câu sau có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch với không? Nếu có xác định hệ số tỉ lệ? a) Diện tích S bán kính R hình trịn; b) Năng suất lao động n thời gian thực t để làm xong lượng công việc a Lời giải a) S = R2 nên S R hai đại lượng tỉ lệ nghịch b) a = n.t nên n t hai đại lượng tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ a Dạng 1.4 Lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ nghịch xét tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng I Phương pháp giải: Để lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ nghịch ta thực theo hai bước sau: Bước Xác định hệ số tỉ lệ k Bước Dùng cơng thức xy = k , tìm giá trị tương ứng x y Để xét tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng Ta xét xem tất tích giá trị tương ứng hai đại lượng có hay khơng: - Nếu tích đại lượng tỉ lệ nghịch - Nếu tích khơng đại lượng khơng tỉ lệ nghịch II Bài tốn Bài 17 Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch bảng sau: a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào trống Lời giải Vì x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nên x y = a ( a ) hệ số tỉ lệ a = x1 y1 = 6.7 = 42 Do ta điền giá trị vào cịn trống bảng sau: Bài 18 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, điền giá trị thích hợp vào cịn trống bảng sau Lời giải k Vì x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nên ta có y = k = xy x 3 thay vào k = xy ta được: k = 12 = 18 2 18 18 Vậy y = x = , từ ta có bảng sau y x Với x = 12, y = Bài 19 Các giá trị x y cho bảng sau: a.Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Lời giải a b.Ta thấy cột tích xy −48 nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 20 Các giá trị x y cho bảng sau: a Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Lời giải b.Ta thấy cột tích xy khơng nên x y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 21 Các giá trị x y cho bảng sau: a Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Lời giải a b.Ta thấy cột tích xy nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Tìm hệ số tỉ lệ y x 10 ĐS : Vậy x = 70 ; y = 42 z = 30 Bài 10.Tìm số đo góc tam giác, biết chúng tỉ lệ nghịch với 3; 4;6 ĐS : Vậy x = 80 ; y = 60 z = 40 Dạng 1.3 Kiểm tra xem đại lượng có tỉ lệ nghịch với khơng ? Bài 1.Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Lời giải Vì z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nên ta có z = y Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = x 12 Vậy z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ 12 x x Suy z = = Bài 2.Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ −3 y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Lời giải Vì z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ −3 nên ta có z = −3 y a Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = x b Suy z = −3 −3 Vậy z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ z = 5x Bài 3.Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ , hai đại lượng y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ Hỏi x z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch Tìm hệ số tỉ lệ? Lời giải Hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên x y = y = x (1) Hai đại lượng y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nên y.z = (2) Thay (1) vào (2) ta z = z = x x Vậy x z tỉ lệ thuận Hệ số tỉ lệ Bài 4.a.Cho biết đội dùng x máy cày (cùng suất) để cày xong cánh đồng hết y Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay không? b.Cho biết x số trang đọc y số trang chưa đọc sách Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay khơng? c.Cho biết x (m) chu vi bánh xe, y số vòng quay bánh xe đoạn đường xe lăn từ A đến B Hai đại lượng x y có tỉ lệ nghịch với hay không? DS a) c) x y tỉ lệ nghịch với 27 b) Chỉ có x + y tổng số trang sách số x y số nên hai đại lượng x y không tỉ lệ nghịch với Bài 5.Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Lời giải y Vì z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nên ta có z = Vì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nên ta có y = x Suy z = Vậy z có tỉ lệ nghịch với x với hệ số tỉ lệ 2x Dạng 1.4 Lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ nghịch xét tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng Bài a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào trống Lời giải k Vì x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nên ta có y = k = xy x Với x = 2, y = thay vào k = xy ta được: k = 2.2 = 4 Vậy y = x = , từ ta có bảng sau y x Bài 2.Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch bảng sau: a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào trống Lời giải k Vì x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nên ta có y = k = xy x Với x = 3, y = thay vào k = xy ta được: k = 3.4 = 12 28 Vậy y = 12 12 x = , từ ta có bảng sau y x Bài Các giá trị x y cho bảng sau: a.Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) ĐS: Ta thấy cột tích xy 12 nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 4.Các giá trị x y cho bảng sau: a Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) ĐS: b.Ta thấy cột tích xy không nên x y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 5.Các giá trị x y cho bảng sau: 29 a Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Lời giải a b.Ta thấy cột tích xy xy = 20 nên x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Dạng Một số toán tỉ lệ nghịch Dạng 2.1 Bài toán hai đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 1.Cho biết máy cày cần 40 để cày hết cánh đồng Vậy để cày xong cánh đồng ngày cần dung máy cày? Lời giải Gọi số máy cày cần dung để cày xong cánh đồng 24 x (máy)( x , x ) Do số máy thời gian làm việc đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 24 = x = ( tm ) x 40 Vậy để cày xong cánh đồng ngày cần dùng máy cày Bài 2.Cho biết 56 cơng nhân hồn thành cơng việc 21 ngày Biết suất công nhân nhau, hỏi phải cần tăng thêm cơng nhân để hồn thành cơng việc 14 ngày? Lời giải Gọi số cơng nhân để hồn thành cơng việc 14 ngày x (người) ( x * ) Ta có 56 cơng nhân hồn thành cơng việc 21 ngày Giả sử x cơng nhân hồn thành cơng việc 14 ngày Vì số công nhân thời gian đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có 56 14 56.3 = = x= = 84 x 21 Vậy phải cần tăng thêm số cơng nhân để hồn thành cơng việc 14 ngày là: 84 − 56 = 28 (công nhân) 30 Bài 3.Bạn Linh từ trường đến nhà với vận tốc 20 km/h hết Nếu Linh với vận tốc 12 km/h hết thời gian? Lời giải Gọi vận tốc bạn Linh từ trường đến nhà v1 , có v1 = 20 km/h, thời gian t1 , có t1 = Vận tốc bạn Linh từ trường đến nhà v2 , có v2 = 12 km/h, thời gian t2 Do thời gian vận tốc hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có tỉ lệ thức sau 20 v1 t2 20 t2 = (giờ) = = t2 = v2 t1 12 12 12 = 25 phút 12 a 4.Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Xe thứ từ A đến B hết Bài giờ, xe thứ hai từ B đến A hết Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai quãng đường dài xe thứ 35 km Tính quãng đường AB Vậy Linh với vận tốc 12 km/h hết Lời giải Gọi quãng đường xe thứ từ A đến chỗ gặp x (km) ( x ) Gọi quãng đường xe thứ hai từ B đến chỗ gặp y (km) ( y ) Trong thời gian quãng đường vận tốc hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên 4x = y x = y Mà quãng đường xe thứ hai dài xe thứ 35 km nên y − x = 35 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y y − x 35 = = = = 35 4−3 x = 35 x = 105 (thỏa mãn) y = 35 y = 140 (thỏa mãn) Quãng đường AB dài 105 + 140 = 245 (km) Vậy quãng đường AB dài 245 (km) Bài 5.Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 40km/h 30 phút Hỏi ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 50 km/h thời gian? Lời giải Đổi 30 phút = Gọi x thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 50km/h ( x , giờ) Vì vận tốc tỉ lệ nghịch với thời gian nên ta có: 31 40 = 50.x 140 = 50.x x= 140 14 x= 50 (thỏa mãn) Vậy thời gian ô tô từ A đến B với vận tốc 60km/h 14 hay 48 phút Bài 6.Với số tiền để mua 60 m vải loại I mua mét vải loại II, biết giá tiền vải loại II 80% giá tiền vải loại I Lời giải Gọi x số mét vải loại II mua ( x , mét) Vì có số tiền nên số mét vải loại mua tỉ lệ nghịch với giá tiền mét, ta có: 60 80 = x = 75 x 100 (thỏa mãn) Vậy số mét vải loại II mua 75 m Bài 7.Một đội công nhân làm đường lúc đầu gồm 50 người định làm xong cơng trình 30 ngày Nhưng sau đội tăng cường thêm 25 người Hỏi để làm xong cơng trình đó, đội phải làm việc ngày? (năng suất làm việc cơng nhân nhau) Lời giải Vì khối lượng công việc không đổi, suất công nhân nên số công nhân số ngày hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x số ngày đội làm xong cơng trình Khi đó, ta có: x 50 = 30 50 + 25 x 50 x = 20 = 30 75 Vậy đội cần 20 ngày để hồn thành xong cơng trình Bài 8.Một đội cơng nhân gồm 21 người dự định hoàn thành đường 30 ngày, muốn hồn thành đường 18 ngày đội cần tăng cường thêm công nhân ? (Giả sử suất lao động công nhân nhau) Lời giải Ta có 21 cơng nhân hồn thành công việc 30 ngày Giả sử x công nhân hồn thành cơng việc 18 ngày Vì số công nhân thời gian đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có x.18 = 21.30 x = 21.30 = 35 18 32 Vậy phải cần tăng thêm số cơng nhân để hồn thành cơng việc 18 ngày là: 35 − 21 = 14 (cơng nhân) Dạng 2.2 Bài tốn nhiều đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 1.Chia số 520 thành số tỉ lệ nghịch với 2,3, Tìm số Lời giải Gọi ba phần phải tìm x, y, z Do x, y, z tỉ lệ nghịch với 2,3, nên x = y = z theo giả thiết ta có x + y + z = 520 BCNN ( 2;3; ) = 12 Chia cho 12 ta được: 2x y 4z x y z = = = = 12 12 12 x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: = y z x + y + z 520 = = = = 40 + + 13 Ta tìm được: x = 240, y = 160, z = 120 Vậy ba số cần tìm : 240, 160, 120 Bài Tìm số a, b, c biết 2a – 3b + 4c = −54 ; a b tỉ lệ nghịch với 3; b c tỉ lệ nghịch với 10 Lời giải Vì a b tỉ lệ nghịch với nên 5a = 3b a b a b = = 10 (1) Vì b c tỉ lệ thuận với 10 nên Từ (1) (2) suy b c = 10 a b c 2a 3b 4c 2a – 3b + 4c = −54 = = = = 10 12 30 12 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: a b c 2a 3b 4c 2a − 3b + 4c −54 = = = = = = = =9 10 12 30 12 12 − 30 + 12 −6 a 6 = a = 54 b = b = 90 10 c = 27 c 3 = Vậy a = 54; b = 90; c = 27 Bài Tìm số x, y, z biết chúng tỉ lệ nghịch với 2;3; −4 x − z = 33 (2) Lời giải Vì x x, y , z tỉ lệ nghịch với 2;3; −4 nên ta có: x = y = −4 z x y z x−z = = = = −3 9 * = 2 x = = 9 * y 2 = y = = 9 * z 2 −2 = z = −3 = −3 9 Vậy x = ; y = ; z = −2 Bài 4.Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc Đội công nhân thứ nhất, thứ hai, thứ ba hồn thành cơng việc với thời gian ngày ; 10 ngày 12 ngày Hỏi đội cơng nhân có người ( suất lao động người nhau), biết đội thứ ba đội thứ công nhân Lời giải Gọi số công nhân đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba x, y, z (người) ( x, y , z ) * Vì khối lượng cơng việc nên số người tỉ lệ nghịch với thời gian Theo giả thiết x, y, z tỉ lệ nghịch với 8,10,12 nên 8x = 10 y = 12 z x − z = BCNN ( 8,10,12 ) = 120 Chia cho 120 ta : Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 8x 10 y 12 z x y z = = = = 120 120 120 15 12 10 x y z x−z = = = = =1 15 12 10 15 − 10 Ta tìm được: x = 15, y = 12, z = 10 Vậy số công nhân đội thứ nhất, thứ hai, thứ ba 15,12,10 người Bài 5.Một người mua vải để may ba áo sơ mi kích cỡ (coi diện tích nhau) Người mua ba loại vải khổ rộng 0, m; 0,8 m 1, m với tổng số vải dài 5, m Tính số mét vải loại người mua Lời giải Gọi số mét vải loại khổ 0,7 m; 0,8 m; 1, m x, y, z (m) ( x, y, z ) Vì ba áo sơ mi nên số mét vải khổ vải tỉ lệ nghịch với 0,7 x = 0,8 y = 1, z x = y = 14 z BCNN ( 7;8;14 ) = 56 Chia cho 56 ta được: 34 x y 14 z = = 56 56 56 x y z = = Mà tổng số vải dài 5, m nên x + y + z = 5,7 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: x y z x + y + z 5,7 = = = = = 0,3 8 + + 19 x = 0,3 x = 2, (thỏa mãn) y = 0,3 y = 2,1 (thỏa mãn) z = 0,3 z = 1, (thỏa mãn) Vậy số mét vải loại khổ 0,7 m; 0,8 m; 1, m 2, m; 2,1 m; 1, m Bài 6.Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng củng diện tích Đội thứ cày ngày, đội thứ hai cày ngày đội thứ ba cày ngày Hỏi mổi đội có máy cày, biết ba đội có tất 37 máy? (Năng suất máy nhau) Lời giải Gọi số máy cày ba đội x, y, z (máy, x, y, z * ) Ba cánh đồng có diện tích nên số máy tỉ lệ nghịch với số ngày, ta có: 5x = y = z BCNN ( 4;5;6 ) = 60 Chia cho 60 ta được: Do ta có: x y z = = 12 15 10 Mà ba đội có tất 37 máy cày nên ta có: x + y + z = 37 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: b x y z x+ y+z 37 = = = = =1 12 15 10 12 + 15 + 10 37 Do đó: x = x = 12 (Thỏa mãn ĐK) 12 y = y = 15 (Thỏa mãn ĐK) 15 z = z = 10 (Thỏa mãn ĐK) 10 Vậy số máy cày ba đội 12;15;10 máy Bài 7.Hưởng ứng phong trào kế hoạch nhỏ, ba lớp A,7 B,7C có 130 học sinh tham gia Mỗi học sinh lóp 7A góp ki-lơ-gam, học sinh B góp ki- lơ- gam, học sinh lớp 7C góp ki- lơ -gam Tính số học sinh tham gia phong trào lớp đó, biết số giấy thu ba lớp Lời giải Gọi số học sinh ba lớp 7A, 7B, 7C x, y, z (học sinh, x, y, z * ) Tổng số học sinh lớp 130 học sinh nên ta có: x + y + z = 130 35 Vì số giấy thu ba lớp nên số giấy học sinh tỉ lệ nghịch x với số học sinh, ta có: x = y = z = y z = Áp dụng tính chất dãy tỉ số nên ta có: x c = y z x + y + z 130 = = = = 10 + + 13 Do ta có: x = 10 x = 60 (Thỏa mãn ĐK) y = 10 y = 40 (Thỏa mãn ĐK) z = 10 z = 30 (Thỏa mãn ĐK) Vậy số học sinh tham gia phong trào lớp 7A, 7B, 7C 60; 40;30 học sinh Bài 8.Ba đội công nhân làm ba khối lượng cơng việc Đội thứ hồn thành cơng việc ngày, đội thứ hai ngày Hỏi đội thứ ba hồn thành cơng việc ngày? Biết tổng số người đội đội hai gấp năm lần số người đội ba Lời giải Gọi số công nhân ba đội x, y, z (công nhân, x, y, z * ) Gọi số ngày đội thứ ba hồn thành cơng việc a (ngày, a N * ) Khối lượng làm việc ba đội công nhân là: x; y; az Khối lượng công việc ba đội nên ta có: x = y = az (1) Mà tổng số người đội đội hai gấp năm lần số người đội ba nên ta có: x + y = 5z 4x = y x y x + y 5z = = = =z 5 Áp dụng tính chất dãy tỉ số nên ta có: x y x + y 5z = = = =z 5 x y = =z 2x = y = 6z x = y = 12 z ( 2) Từ (1) ( ) a = 12 Vậy đội ba hồn thành cơng việc 12 ngày Bài 9.Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc Đội thứ hồn thành cơng việc ngày, đội thứ hai hồn thành cơng việc ngày, đội thứ ba hồn thành cơng việc ngày Tính số người đội, biết đội thứ ba nhiều đội thứ hai 20 người (năng suất người nhau) Lời giải 36 * x, y , z ) ( Gọi số người đội 1, đội 2, đội x, y , z (công nhân) Đội thứ nhiều đội 20 người nên z − y = 20 Vì ba khối lượng cơng việc nhau, số công nhân số ngày tỉ lệ nghịch với nên : 5x = y = z 5x 60 = 6y 60 = 4z 60 x 12 = y 10 = z 15 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có : x y z z−y 20 = = = = =4 12 10 15 15 − 10 x = x = 4.12 = 48 12 (Thỏa mãn) y = y = 4.10 = 40 10 (Thỏa mãn) z = z = 4.15 = 60 15 (Thỏa mãn) Vậy số người ba đội 48; 40;60 máy PHIẾU BÀI TẬP ( Nội dung tồn tập có ) CHUYÊN ĐỀ 23 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH Dạng Bài tốn áp dụng cơng thức đại lượng tỉ lệ nghịch dựa vào tính chất tỉ lệ nghịch để tìm đại lượng Dạng 1.1 Biểu diễn mối quan hệ tỉ lệ nghịch, xác định hệ số Bài Biểu diễn mối quan hệ hai đại lượng x y biết : a y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? b y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ k = 0,5 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ nào? Bài Biểu diễn mối quan hệ hai đại lượng x y biết : 37 a y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k = Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ x lệ nào? b y tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ k = −6 Hỏi x tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ x lệ nào? Bài Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = −8 y = 12 a) Tìm hệ số tỉ lệ nghịch y x b) Hãy biểu diễn y theo x c) Tính giá trị y x = −16; x = d) Tính giá trị x y = 4; y = −32 Bài Cho biết y tỉ lệ nghịch với x x = y = a b Tìm hệ số tỉ lệ Biểu diễn x theo y c Tính giá trị x y = , y = −2 Bài Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch với x = 1,5 y = −4 a) Tìm hệ số tỉ lệ y x b) Hãy biểu diễn y theo x c) Tính giá trị y x = 12; x = −2 Dạng 1.2 Tìm đại lượng chưa biết Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3; x2 = y1 + y2 = −26 a Tính y1 , y2 Viết công thức liên hệ x y b.Biểu diễn y theo x d.Tính giá trị y x = −4 c.Tính giá trị x y = − Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3, x2 = , y1 − y2 = , a ) Tính y1 ; y2 b) Biểu diễn y theo x Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y 38 a.Biết x1 y1 = 72 , x = , tìm y2 b.Biết x = , x1 + y2 = 39 , y1 = 24 tìm x1 , y2 Bài Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch Gọi x1 , x2 hai giá trị x y1 , y2 hai giá trị tương ứng y Biết x1 = 3, , x = 5, 5y1 − y2 = 35, Hãy tìm y1 y2 hệ số tỉ lệ Bài 10 Tìm hai số x, y biết x, y tỉ lệ nghịch với 4;5 x + y = 18 Bài 11 Tìm ba số x, y, z biết x, y, z tỉ lệ nghịch với 2; 4; x + y + z = 38 Dạng 1.3 Kiểm tra xem đại lượng có tỉ lệ nghịch với không ? Bài 12 Cho biết z tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Bài 13 Cho biết z tỉ lệ nghịch với y theo hệ số tỉ lệ y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ Hỏi z có tỉ lệ nghịch với x hay khơng tìm hệ số ( có ) ? Bài 14 Cho biết hai đại lượng x y tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ 5, hai đại lượng y z tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ Hỏi x z tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch Tìm hệ số tỉ lệ? Bài 15 Xác định đại lượng cho câu sau có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch với khơng? Nếu có xác định hệ số tỉ lệ? a) Chiều dài x chiều rộng y hình chữ nhật có diện tích 32cm2 b) Vận tốc v thời gian t quãng đường s ; Bài 16 Xác định đại lượng cho câu sau có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch với khơng? Nếu có xác định hệ số tỉ lệ? a) Diện tích S bán kính R hình trịn; b) Năng suất lao động n thời gian thực t để làm xong lượng công việc a Dạng 1.4 Lập bảng giá trị tương ứng hai đại lượng tỉ lệ nghịch xét tương quan tỉ lệ nghịch hai đại lượng biết bảng giá trị tương ứng chúng Bài 17 Cho biết x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch bảng sau: a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ y x b) Điền số thích hợp vào trống Bài 18 Cho x y hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, điền giá trị thích hợp vào cịn trống bảng sau Bài 19 Các giá trị x y cho bảng sau: 39 a.Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Bài 20 Các giá trị x y cho bảng sau: a Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Bài 21 Các giá trị x y cho bảng sau: b Điền số thích hợp vào trống bảng cho b Hai đại lượng x y cho có phải hai đại lượng tỉ lệ nghịch khơng ? Vì sao? Tìm hệ số tỉ lệ y x (nếu có) Dạng Một số toán tỉ lệ nghịch Bài 22 Cho biết bốn máy cày, cày xong cánh đồng hết 25 Hỏi máy cày cày xong cánh đồng hết giờ? Bài 23 Cho biết 12 cơng nhân hồn thành công việc 16 ngày Hỏi cần phải tăng thêm cơng nhân để hồn thành cơng việc 12 ngày (năng suất công nhân nhau) Bài 24 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Xe thứ từ A đến B hết giờ, xe thứ hai từ B đến A hết Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai quãng đường dài xe thứ 54 km Tính quãng đường AB Bài 25 Một ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 72 km/h Hỏi ô tô chạy từ A đến B với vận tốc 60 km/h khoảng thời gian? Bài 26 Với số tiền để mua 80 m vải lại I mua mét vải loại II, biết giá tiền vải loại II 120% giá tiền vải loại I 40 Bài 27 Một đội cơng nhân làm đường lúc đầu gồm có 60 người dự định làm xong cơng trình 25 ngày Nhưng sau đội giảm 15 người Hỏi để làm xong cơng trình đó, đội phải làm việc ngày? (năng suất làm việc cơng nhân nhau) Dạng 2.2 Bài tốn nhiều đại lượng tỉ lệ nghịch Bài 28 Chia số 790 thành ba phần tỉ lệ nghịch với 3;5;8 Tính giá trị phần Bài 29 Tìm số a, b, c biết a – b + c = 34 ; a b tỉ lệ thuận với 5; b c tỉ lệ nghịch với Bài 30 Tìm số x, y, z biết chúng tỉ lệ nghịch với 1 hiệu số thứ II với số ; ; 12 30 42 thứ I Bài 31 Ba đội máy cày ba cánh đồng có diện tích Đội I hồn thành cơng việc ngày, đội II ngày, đội III ngày Hỏi đội có máy cày, biết đội II nhiều đội III máy công suất máy Bài 32 Ba đội y tế tiêm ngừa vaccine Covid-19 trường THCS quận có số lượng học sinh đăng ký tiêm chủng Đội thứ tiêm xong ngày, đội thứ hai tiêm xong ngày đội thứ ba tiêm xong ngày Hỏi đội có cán y tế, biết ba đội y tế có tất 37 cán y tế ? (Năng suất làm việc cán y tế nhau) Bài 33 Hai ô tô khởi hành lúc từ A đến B Xe thứ từ A đến B hết giờ, xe thứ hai từ B đến A hết Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai quãng đường dài xe thứ 35km Tính quãng đường AB 41 ... máy Bài 32 Ba đội y tế ti? ?m ngừa vaccine Covid-19 trường THCS quận có số lượng học sinh đăng ký ti? ?m chủng Đội thứ ti? ?m xong ngày, đội thứ hai ti? ?m xong ngày đội thứ ba ti? ?m xong ngày Hỏi đội... máy Bài 32 Ba đội y tế ti? ?m ngừa vaccine Covid-19 trường THCS quận có số lượng học sinh đăng ký ti? ?m chủng Đội thứ ti? ?m xong ngày, đội thứ hai ti? ?m xong ngày đội thứ ba ti? ?m xong ngày Hỏi đội... phút Bài 6.Với số ti? ??n để mua 60 m vải loại I mua mét vải loại II, biết giá ti? ??n vải loại II 80% giá ti? ??n vải loại I Lời giải Gọi x số mét vải loại II mua ( x , mét) Vì có số ti? ??n nên số mét
Ngày đăng: 23/02/2023, 09:10
Xem thêm: