ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THU VỀ CÁC SỐ t CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THU VỀ CÁC SỐ t CÂN BẰNG LUẬN[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THU VỀ CÁC SỐ t-CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THU VỀ CÁC SỐ t-CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2019 Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách kí hiệu iii Mở đầu Chương Khái niệm số t-cân 1.1 Khái niệm số t-cân 1.2 Một số đẳng thức đơn giản 10 1.3 Một số tính chất số học 14 Chương Một số vấn đề liên quan đến số t-cân 23 2.1 Tổng số t-cân 23 2.2 Đa thức cân 29 2.3 Đạo hàm đa thức cân 37 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 i Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Ngô Văn Định, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Ngun Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Ngô Văn Định, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Đào tạo, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ suốt q trình học tập hồn thành luận văn tốt nghiệp Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 Tác giả Lê Thị Thu ii Danh sách kí hiệu Bn Số cân thứ n bn Số đối cân thứ n Cn Số Lucas-cân thứ n cn Số Lucas-đối cân thứ n Bnt Số t-cân thứ n btn Số t-đối cân thứ n Cnt Số Lucas t-cân thứ n ctn Số Lucas t-đối cân thứ n Bn (x) Đa thức cân thứ n (r) Bn (x) Đạo hàm cấp r Bn (x) α Số thực α có giá trị α = 3t + β Số thực β có giá trị β = 3t − (a, b) n Ước chung lớn a b k √ √ 9t2 − 9t2 − Tổ hợp chập k n iii Mở đầu Một số tự nhiên n gọi số cân với hệ số cân r nghiệm phương trình Diophant + + · · · + (n − 1) = (n + 1) + (n + 2) + · · · + (n + r) Hệ số cân r gọi số đối cân Khái niệm số cân tìm nghiên cứu Behera Panda Sau đó, nhiều tính chất đẹp số cân tìm thấy (xem [2]) Đặc biệt kí hiệu Bn bn số cân số đối cân thứ n ta có cơng thức truy hồi Bn+1 = 6Bn − Bn−1 bn+1 = 6bn − bn−1 + 2, với B1 = 1, B2 = 6, b1 = b2 = Ngoài ra, số 8Bn2 + 8b2n + 8bn + số phương Hơn nữa, số nguyên p p Cn = 8Bn2 + cn = 8b2n + 8bn + thỏa mãn phương trình sai phân xn+1 = 6xn − xn−1 Các số gọi số Lucas-cân số Lucas-đối cõn bng th n ă Tng quỏt húa cỏc s trên, Ozkoc ¸ [3] giới thiệu nghiên cứu tính chất số t-cân Bnt , số t-đối cân btn , số Lucas t-cân Cnt số Lucas t-đối cân ctn , với t số nguyên không âm (xem Định nghĩa 1.1.1, để thuận tiện ta gọi chung số t-cân bằng) Sau nhiều tính chất thú vị số tìm nhiều nhà toán học Đặc biệt, tiếp tục mở rộng khái niệm số t-cân bằng cách xem t biến số thực, Ray [5] nghiên cứu đa thức cân Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại cách hệ thống khái niệm số tính chất số t-cân bằng, số vấn đề liên quan dựa theo báo Ray [5] v ca ă Ozkoc v Tekcan [4] Cấu trúc luận văn Luận văn trình bày thành chương: • Chương Khái niệm số t-cõn bng Mc ớch ca Chng ă v mt giới thiệu lại khái niệm số t-cân Okoc số tính chất bản, số tính chất số học số t-cân • Chương Một số vấn đề liên quan đến số t-cân Mục đích Chương trình bày lại số kết tổng số t-cân bằng, đa thức cân đạo hàm đa thức Chương Khái niệm số t-cân Chương dự kiến giới thiệu khái niệm số t-cân bằng, số đẳng thức số tính chất số học liên quan đến số t-cân 1.1 Khái niệm số t-cân Năm 1999, báo “On the Square Roots of Triangular Numbers” đăng tạp chí The Fibonacci Quarterly, hai tác giả Behera Panda giới thiệu khái niệm số cân số đối cân Sau đó, nhiều nhà tốn học khác nghiên cứu tiếp khái niệm số Lucas-cân số Lucas-đối cân đời Khái niệm số số tính chất chúng trình bày luận văn [1, 2] Ở đây, để nêu khái niệm số t-cân bằng, nêu lại khái niệm công thức truy hồi số cân Một số nguyên dương n gọi số cân tồn số nguyên không âm r cho + + · · · + n = n + (n + 1) + · · · + (n + r) Số nguyên dương r gọi số đối cân Ví dụ 1, 6, 35, 204, 1189 6930 sáu số cân Tương ứng, sáu số đối cân 0, 2, 14, 84, 492 2870 Kí hiệu Bn số cân thứ n bn số đối cân thứ n Khi ta có B1 = 1, B2 = 6, Bn+1 = 6Bn − Bn−1 , với n ≥ 2, b1 = 0, b2 = 2, bn+1 = 6bn − bn−1 + 2, với n ≥ Hơn nữa, số nguyên dương Bn số cân 8Bn2 + số phương Tương tự, số nguyên không âm bn số đối cân 8b2n + 8bn + số phương Đặt p p Cn = 8Bn + cn = 8b2n + 8bn + Các số Cn cn gọi số Lucas-cân thứ n số Lucas-đối cân thứ n Các số xác định C1 = 3, C2 = 17, Cn+1 = 6Cn − Cn−1 , n ≥ 2, c1 = 1, c2 = 7, cn+1 = 6cn − cn−1 , n ≥ ¨ Tổng quát hóa khái niệm này, năm 2015, Ozkoc ¸ [3] giới thiệu khái niệm số t-cân bằng, số t-đối cân bằng, số Lucas tcân số Lucas t-đối cân Cụ thể, với số nguyên dương t cố định, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.1 Ta định nghĩa (i) số t-cân bằng, kí hiệu Bnt , n = 0, 1, 2, , số xác định t t B0t = 0, B1t = Bn+1 = 6tBnt − Bn−1 với n ≥ 1; (ii) số t-đối cân bằng, kí hiệu btn , n = 1, 2, , số xác định bt1 = 0, bt2 = btn+1 = 6tbtn − btn−1 + với n ≥ 2; (iii) số Lucas t-cân bằng, kí hiệu Cnt , n = 0, 1, 2, , số xác định t t = 6tCnt − Cn−1 với n ≥ 1; C0t = 1, C1t = Cn+1 (iv) số Lucas t-đối cân bằng, kí hiệu ctn , n = 1, 2, , số xác định ct1 = 1, ct2 = ctn+1 = 6tctn − ctn−1 với n ≥ Áp dụng lý thuyết phương trình sai phân, ta xét phương trình đặc trưng x2 − 6tx + = ... thành luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2019 T? ?c giả Lê Thị Thu ii Danh sách kí hiệu Bn Số cân thứ n bn Số đối cân thứ n Cn Số Lucas -cân thứ n cn Số Lucas-đối cân thứ n Bnt Số t- cân thứ n btn Số. .. thuận tiện ta gọi chung số t- cân bằng) Sau nhiều t? ?nh ch? ?t thú vị số t? ?m nhiều nhà toán học Đặc bi? ?t, tiếp t? ??c mở rộng khái niệm số t- cân bằng cách xem t biến số thực, Ray [5] nghiên cứu đa thức cân. ..ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ THU VỀ CÁC SỐ t- CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ T? ??N HỌC Chun ngành: Phương pháp T? ??n sơ cấp Mã số: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGÔ VĂN ĐỊNH Thái