ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HÀ SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU[.]
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HÀ SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HÀ SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2019 Mục lục Mở đầu Chương Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm sinh 1.2 Phương trình Pell Chương Chương Số đa giác số đa diện 10 2.1 Số đa giác 10 2.2 Một số tính chất 13 2.3 Hàm sinh số đa giác 28 2.4 Số tam giác phương 30 2.5 Tổng bình phương số đa giác 32 2.6 Định lý Cauchy số đa giác 35 2.7 Một số số hình học phẳng khác 37 2.8 Số đa diện 39 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 44 i Mở đầu Các số tượng hình (figurate numbers) hầu hết số đặc biệt khác có lịch sử lâu đời phong phú Các số tượng hình giới thiệu vào khoảng kỷ thứ VI trước công nguyên nỗ lực gắn kết Hình học với Số học Những nhà tốn học thời kỳ Pythagore xem xét số nguyên dương tập điểm mặt phẳng số tượng hình số biểu thị một hình đều: số đa giác số biểu thị đa giác đều, số đa diện số biểu thị đa diện đều, Lý thuyết số tượng hình khơng thể vẻ đẹp toán học mà thâm nhập vào nhiều nghiên cứu toán học, đặc biệt số học nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu (Pythagoras, Hypsicles, Plutarch, Nicomachus, Theon, Diophantus, Fibonacci, Stifel, Cardano, Descartes, Pell, Pascal, Euler, Legendre, Gauss, ) Luận văn tìm hiểu số đa giác, số đa diện số tốn liên quan Tài liệu luận văn sách "Figure Numbers" E Deza, M.M Deza hai báo "A short proof of Cauchy’s polygonal number theorem" M B Nathanson; "Sum of squares of polygonal numbers" A Gnanam, B Anitha Luận văn chia làm chương Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị hàm sinh phương trình Pell Chương trình bày số đa giác, số đa diện số toán liên quan Số đa giác số tính chất trình bày mục đầu Chương Nội dung Chương trình bày số toán quan trọng liên quan số tam giác phương, Định lý Cauchy số đa giác, tổng bình phương số đa giác Một số số hình học phẳng khác số đa giác số âm, số pronic, số gnomonic, số kim cương Aztec giới thiệu chương Cuối luận văn tìm hiểu sơ lược số đa diện: số tứ diện số hình chóp Trong q trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy giảng dạy lớp Cao học khóa Cao học Tốn khóa K11 (2017-2019) - trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu khoa học Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập Thái Nguyên, ngày 30 tháng 01 năm 2019 Tác giả Đinh Thị Thu Hà Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm sinh Các hàm sinh dùng để biểu diễn cách có hiệu dãy cách mã hóa số hạng dãy số hệ số lũy thừa biến x chuỗi lũy thừa hình thức Các hàm sinh dùng để giải nhiều toán đếm, chẳng hạn đếm số cách chọn hay phân phối vật thuộc loại khác nhau, chịu nhiều ràng buộc hay số cách để đổi dollar dùng đồng xu có mệnh giá khác Các hàm sinh dùng để giải hệ thức truy hồi cách dịch hệ thức truy hồi số hạng dãy thành phương trình hàm sinh Các hàm sinh dùng để chứng minh hẳng đẳng thức tổ hợp cách lợi dụng mối liên hệ tương đối đơn giản hàm chuyển dịch mối quan hệ thành đẳng thức liên quan đến số hạng dãy Những lý giải thích ta quan tâm đến hàm sinh Mục chương nhắc lại kiến thức hàm sinh dãy số làm kiến thức sở cho Chương Định nghĩa 1.1.1 Hàm sinh dãy số a0 , a1 , , ak , số thực chuỗi vô hạn k G(x) = a0 + a1 x + + ak x + = ∞ X ak xk k=0 Nhận xét 1.1.2 Hàm sinh dãy {ak } cho Định nghĩa 1.1.1 đơi cịn gọi hàm sinh thông thường {ak } để phân biệt với loại hàm sinh khác dãy Ví dụ Hàm sinh dãy {ak } với ak = 3, ak = k + 1, ak = 2k ∞ X k 3x , ∞ X k (k + 1)x , 2k xk k=0 k=0 k=0 ∞ X Ta định nghĩa hàm sinh cho dãy hữu hạn số thực cách mở rộng dãy hữu hạn a0 , a1 , , an thành dãy vô hạn với an+1 = an+2 = = Hàm sinh G(x) dãy vơ hạn đa thức bậc n khơng có số hạng có dạng aj xj với j > n, tức là, G(x) = a0 + a1 x + + an xn Ví dụ Hàm sinh dãy 1, 1, 1, 1, 1, + x + x2 + x3 + x4 + x5 Ta có x6 − = + x + x2 + x3 + x4 + x5 x−1 Do G(x) = x6 −1 x−1 hàm sinh dãy 1, 1, 1, 1, 1, k với k = 0, 1, 2, , m Ví dụ Giả sử m số nguyên dương ak = Cm Hàm sinh dãy a0 , a1 , , am 2 m m G(x) = Cm + Cm x + Cm x + + Cm x Theo Định lí nhị thức ta thấy G(x) = (1 + x)m Khi dùng để giải toán đếm, hàm sinh thường coi chuỗi lũy thừa hình thức Vấn đề hội tụ chuỗi không xem xét Tuy nhiên, để áp dụng số kết giải tích, đơi việc xem xét giá trị x chuỗi hội tụ điều quan trọng Bây ta nêu số tính chất chuỗi vơ hạn có liên quan đến hàm sinh Ví dụ Hàm f (x) = 1−x hàm sinh dãy 1, 1, = + x + x2 + 1−x với |x| < 1−ax Ví dụ Hàm f (x) = hàm sinh dãy 1, a, a2 , a3 , = + ax + a2 x2 + a3 x3 + − ax |a| với |ax| < 1, hay |x| < với a 6= Chúng ta cần số kết việc cộng nhân hai hàm sinh Định lý 1.1.3 Giả sử f (x) = ∞ X k ak x g(x) = ∞ X bk xk k=0 k=0 Khi f (x) + g(x) = ∞ X (ak + bk )xk f (x)g(x) = ∞ X k=0 k=0 Ví dụ Giả sử f (x) = khai triển f (x) = (1−x)2 Hãy dùng P∞ k k=0 ak x k X aj bk−j xk j=0 Ví dụ để tìm hệ số a0 , a1 , a2 , Lời giải Từ Ví dụ ta có = + x + x2 + 1−x Do theo Định lí 1.1.3, = (1 − x)2 ∞ X k X k=0 ∞ X (k + 1)xk 1 x = k j=0 k=0 Nhận xét 1.1.4 Kết rút từ Ví dụ cách lấy vi phân Lấy đạo hàm kĩ thuật hữu ích để tạo đẳng thức từ đẳng thức có hàm sinh Định nghĩa 1.1.5 Cho u số thực k số ngun khơng âm Khi hệ số nhị thức mở rộng định nghĩa ( u(u−1) (u−k+1) k > 0, k k! Cu = k = Ví dụ Ta có C3−2 = (−2)(−3)(−4) = −4; 3! − − 1/2 = C3 = 3! 16 Ví dụ cho ta cơng thức tiện ích để tính hệ số nhị thức 2 mở rộng tham số (u) số âm Ví dụ Khi tham số (u) số âm, hệ số nhị thức mở rộng biểu diễn qua hệ số nhị thức thông thường Muốn vậy, ý (−n)(−n − 1) (−n − r + 1) r! (−1)r n(n + 1) (n + r − 1) = r! r (−1) (n + r − 1)(n + r − 2) n = r! r (−1) (n + r − 1)! = r!(n − r)! r = (−1)r Cn+r−1 r C−n = Bây phát biểu định lí nhị thức mở rộng Định lý 1.1.6 (Định lí nhị thức mở rộng) Cho x số thực với |x| < Khi u (1 + x) = ∞ X Cuk xk k=1 Định lí 1.1.6 chứng minh cách dùng chuỗi Maclaurin Nhận xét 1.1.7 Khi u số nguyên dương, Định lí nhị thức mở rộng quy Định lí nhị thức, trường hợp Cuk = k > u Ví dụ minh họa cách dùng Định lí nhị thức mở rộng số mũ số nguyên âm Ví dụ Dùng Định lí nhị thức mở rộng tìm hàm sinh (1 + x)−n (1 − x)−n , n số nguyên dương Lời giải Theo Định lí nhị thức mở rộng ta có −n (1 + x) = ∞ X k=0 k C−n xk Dùng cơng thức Ví dụ ta có ∞ X k (−1)k Cn+k−1 xk = −n (1 + x) k=0 Trong biểu thức thay x −x, ta có −n (1 − x) = ∞ X k Cn+k−1 xk k=0 Bảng 1.1: Một số hàm sinh thường gặp G(x) (1 + x)n = ∞ X ak Cnk xk k=0 ∞ X (1 + ax)n = Cnk Cnk ak xk Cnk ak Cnk xrk Cn r | k ; trường hợp khác xk k=0 k ≤ n; trường hợp khác xk k=0 (1 + xr )n = − xn+1 = 1−x = 1−x ∞ X k=0 n X ∞ X k=0 ∞ X = − ax = − xr k/r ak x k ak xrk r | k ; trường hợp khác k=0 ∞ X k=0 ∞ X = (1 − x)2 (k + 1)xk k+1 k=0 ∞ X k = Cn+k−1 xk n (1 − x) k=0 ∞ X k = Cn+k−1 (−1)k xk n (1 + x) k=0 ∞ X k = Cn+k−1 (−1)k ak xk n (1 − ax) k=0 ∞ k X x ex = k! k=0 n−1 k Cn+k−1 = Cn+k−1 n−1 k (−1)k Cn+k−1 = (−1)k Cn+k−1 n−1 k Cn+k−1 ak = (−1)k Cn+k−1 ak k! ... trình bày số tốn quan trọng liên quan số tam giác phương, Định lý Cauchy số đa giác, tổng bình phương số đa giác Một số số hình học phẳng khác số đa giác số âm, số pronic, số gnomonic, số kim cương...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH THỊ THU HÀ SỐ ĐA GIÁC VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG... hình số biểu thị một hình đều: số đa giác số biểu thị đa giác đều, số đa diện số biểu thị đa diện đều, Lý thuyết số tượng hình khơng thể vẻ đẹp toán học mà thâm nhập vào nhiều nghiên cứu toán học,