6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ❶ Giáo viên Soạn: Nguyễn Đình Trung FB: Trung Nguyen ❷ Giáo viên phản biện: Bùi Thành Vinh FB: Vinh Chauthao CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ví dụ Cho tam giác có a) Tính Sin A b) Tính diện tích S hai cách khác Giải (H.3.16) a) Áp dụng Định lí cơsin, ta có: b c a 142 152 132 cos A 0, 2bc 420 Do sin A cos A 0,8 S bc sin A 84 Ta có Áp dụng Cơng thức Heron, ta tính S theo cách thứ hai sau: a b c 13 14 15 p 21 2 Tam giác ABC có nửa chu vi là: Khi S ABC p ( p a )( p b)( p c ) 21(21 13) (21 14) (21 15) 218 7 6 84 Vận dụng Công viên Hịa Bình ( Hà Nội) có dạng hình ngũ giác ABCDE Hình 3.17 Dùng chế độ tính khoảng cách hai điểm Google Maps, người xác định khoảng cách hình vẽ Theo số liệu đó, em tính diện tích cơng viên Hịa Bình 3.5 Cho tam giác ABC có a 6, b 5, c 8 Tính cos A, S , r Lời giải Ta có cos A Nửa chu vi b c a 52 82 62 53 2bc 2.5.8 80 P a b c 19 2 Áp dụng cơng thức Heron ta có: Chương Hình học ⓾ S p ( p a)( p b)( p c ) S p.r r Do 19 19 2 19 6 19 5 399 8 S 399 p 38 3.6 Cho tam giác ABC có a 10, A 45 , B 70 Tính R, b, c Lời giải a a 10 2 R R 5 sin A 2sin A 2.sin 45 Áp dụng định lý sin ta có a b a sin B 10.sin 70 b 13, 289 sin A sin 45 Ta có sin A sin B A B C 180 C 180 A B 65 c a sin C 10.sin 65 12,82 sin A sin 45 Vì 3.7 Giải tam giác ABC tính diện tích tam giác đó, biết A 15 , B 130 , c 6 Lời giải Ta có A B C 180 C 180 A B 35 c sin A 6sin15 a 2, 71 sin C sin 35 a b c sin A sin B sin C b c sin B 6sin130 8, 01 sin C sin 35 Áp dụng định lý sin ta có: 1 S a.c.sin B 2, 71.6.sin130 6, 228 2 Diện tích tam giác là: 3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, theo hướng S 70 E với vận tốc 70 km/h Đi 90 phút động tàu bị hỏng nên tàu trôi tự theo hướng nam với vận tốc km/h Sau kể từ động bị hỏng, tàu neo đậu vào đảo a) Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu b) Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu Lời giải a) Theo giả thiết ta có: AB 105 km, BC 16 km, Góc BAD 70 , ABD 20 ABC 160 Chương Hình học ⓾ Khoảng cách từ A tới đảo tàu neo đậu đoạn AC Áp dụng định lý cơsin ta có: AC AB BC AB.BC.cos B 1052 162 2.105.16.cos160 120,16km cos A AB AC BC 0,999 A 2 37 ' NAC 107 23' AB AC Vậy hướng từ b) Ta có cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu hướng Đông 3.9 Trên tịa nhà có cột ăng-ten cao m Từ vị trí quan sát A cao m so với mặt đất nhìn thấy đỉnh B chân C cột ăngten, với góc tương ứng 50 40 so với phương nằm ngang (H.3.18) a) Tính góc tam giác ABC b) Tính chiều cao tịa nhà Lời giải a) Ta có BAC 50 40 10 , ABC 90 BAD 40 ACB 180 ABC BAC 130 b) Áp dụng định lý sin tam giác ABC ta có BC AC BC.sin B 5.sin 40 AC 18,51 sin A sin B sin A sin10 Xét tam giác ACD vuông D có CD AC.sin 40 11, Vậy chiều cao tòa nhà là: 11,9 18,9m 3.10 Từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình, ta ngắm Đảo Yến Hãy đề xuất cách xác định bề rộng đảo (theo chiều ta ngắm được) Đảo Yến nhìn từ bãi biển Vũng Chùa, Quảng Bình Lời giải Gọi A, B hai vị trí ngồi mà ta quan sát nhìn từ bãi biển Chương Hình học ⓾ Từ điểm C bãi biển dùng giác kế ta xác định góc ACB Lấy điểm D bãi biển cho A, C , D thẳng hàng có độ dài đoạn CD a mét Ta xác định ADB Từ áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD ABC ta xác định bề rộng AB đảo 3.11 Để tránh núi, đường giao thông phải vịng mơ hình Hình 3.19 Để rút ngắn khoảng cách tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ A tới D Hỏi độ dài đường giảm kilômét so với đường cũ? Lời giải Dựng CE , BF vng góc với AD Xét tam giác CDE vng E có D C 45 DE CD.sin 45 6 km Xét tam giác ABF vng F có B 15 AF AB.sin15 2 km Mặt khác EF BC 6km AD DE EF FA 6 16,56 km Vậy độ dài đường giảm 9, 44 km so với đường cũ Cách 2: Nối BD AC từ áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD ABD ta tìm AD Em có biết? Heron (Heron of Alexandria) nhà phát minh, nhà toán học Hy Lạp, sống vào khoảng kỉ I Mặc dù cỗ máy với động nước giới đời kỉ XVIII – kiện quan trọng góp phần tạo nên cách mạng cơng nghiệp lần thứ nhất, Heron người mơ tả mơ hình đơn giản cho phép biến nước thành chuyển động quay Chương Hình học ⓾ Trong tốn học, Heron mơ tả cách tính diện tích đa giác từ tới 12 cạnh, diện tích số mặt thể tích số hình khơng gian BÀI TẬP THÊM Câu 1: Cho tam giác ABC có a 8, b 10 , góc C 60 Độ dài cạnh c là? A c 3 21 B c 7 C c 2 11 Lời giải D c 2 21 2 2 Ta có: c a b 2a.b.cos C 8 10 2.8.10.cos60 84 c 2 21 Câu 2: ˆ Cho ABC có b 6, c 8, A 60 Độ dài cạnh a là: A 13 C 37 Lời giải B 12 D 20 2 Ta có: a b c 2bc cos A 36 64 2.6.8.cos 60 52 a 2 13 Câu 3: Cho ABC có B 60 , a 8, c 5 Độ dài cạnh b bằng: A B 129 C 49 Lời giải D 129 2 2 Ta có: b a c 2ac cos B 8 2.8.5.cos60 49 b 7 Câu 4: Cho ABC có AB 9 ; BC 8 ; B 60 Tính độ dài AC A 73 B 217 C Lời giải D 113 2 Theo định lý cosin có: AC BA BC BA.BC cos ABC 73 AC 73 Vậy AC 73 Câu 5: Cho tam giác ABC có AB 2, AC 1 A 60 Tính độ dài cạnh BC A BC C BC Lời giải B BC 1 D BC 2 2 Theo định lý cosin ta có: BC AB AC AB AC.cos 60 22 12 2.2.1 Câu 6: Tam giác ABC có a 8, c 3, B 60 Độ dài cạnh b bao nhiêu? A 49 B 97 C Chương D 61 Hình học ⓾ Lời giải Ta có: b a c 2ac cos B 8 2.8.3.cos 60 49 b 7 Câu 7: 2 2 Tam giác ABC có C 150 , BC 3, AC 2 Tính cạnh AB ? A 13 B C 10 Lời giải D Theo định lí cosin ABC ta có: 13 AB 13 AB CA2 CB 2CA.CB.cos C Câu 8: Cho tam giác ABC , biết a 24, b 13, c 15 Tính góc A ? A 33 34 ' Ta có: Câu 9: B 117 49' cos A C 28 37 ' Lời giải D 58 24' b c a 132 152 242 A 117 49' 2bc 2.13.15 15 Cho tam giác ABC , biết a 13, b 14, c 15 Tính góc B ? A 59 49' Ta có: C 59 29' Lời giải B 53 7' cos B D 62 22' a c b 132 152 142 33 B 590 29' 2ac 2.13.15 65 Câu 10: Tam giác ABC có AB 9 cm, BC 15 cm, AC 12 cm Khi đường trung tuyến AM tam giác có độ dài A 10 cm C 7,5 cm Lời giải B cm D cm 15 AB AC BC 92 122 152 225 AM AM 4 Ta có Câu 11: Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 độ dài đường trung tuyến BM 13 Tính độ dài AC A 11 C Lời giải B D 10 A M 13 B C Chương Hình học ⓾ Theo cơng thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có: BM BA2 BC AC 13 32 52 AC AC 4 Câu 12: Cho tam giác ABC có góc BAC 60 cạnh BC Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC A R 4 B R 1 BC BC 2 R R sin A 2sin A Ta có: C R 2 Lời giải D R 3 1 2 Câu 13: Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm , góc A 60 , B 45 Độ dài cạnh BC A B C Lời giải D BC 2 BC AC Ta có sin A sin B Câu 14: Cho ABC có AB 5 ; A 40 ; B 60 Độ dài BC gần với kết nào? A 3, B 3,3 C 3,5 Lời giải D 3,1 180 A B 180 40 60 80 C BC AB AB BC sin A sin 40 3,3 sin C sin 80 Áp dụng định lý sin: sin A sin C 0 Câu 15: Tam giác ABC có a 16,8 ; B 56 13' ; C 71 Cạnh c bao nhiêu? A 29,9 B 14,1 C 17,5 Lời giải D 19,9 0 0 Ta có: Trong tam giác ABC : A B C 180 A 180 71 56 13' 52 47 ' a b c a c a.sin C 16,8.sin 710 c 19,9 sin A sin B sin C sin A sin C sin A sin 52 47 ' Mặt khác 0 Câu 16: Tam giác ABC có A 68 12 ' , B 34 44' , AB 117 Tính AC ? A 68 B 168 C 118 Lời giải D 200 0 0 Ta có: Trong tam giác ABC : A B C 180 C 180 68 12' 34 44' 77 4' Hình học ⓾ Chương a b c AC AB AB.sin B 117.sin 340 44' AC 68 sin C sin 77 4' Mặt khác sin A sin B sin C sin B sin C Câu 17: Cho ABC có a 6, b 8, c 10 Diện tích S tam giác là: A 48 B 24 Ta có: Nửa chu vi ABC : p C 12 Lời giải D 30 a b c Áp dụng công thức Hê-rông: S p( p a)( p b)( p c) 12(12 6)(12 8)(12 10) 24 Câu 18: Cho ABC có a 4, c 5, B 150 Diện tích tam giác là: A B D 10 C 10 Lời giải 1 S ABC a.c.sin B 4.5.sin1500 5 2 Ta có: Câu 19: Một tam giác có ba cạnh 13,14,15 Diện tích tam giác bao nhiêu? A 84 B Ta có: p C 42 Lời giải 84 D 168 a b c 13 14 15 21 2 Suy ra: S p( p a)( p b)( p c ) 21(21 13)(21 14)(21 15) 84 Câu 20: Cho điểm A(1; 2), B( 2;3), C (0;4) Diện tích ABC bao nhiêu? 13 A B 13 C 26 Lời giải 13 D AB ( 3;5) AB 34 AC ( 1;6) AC 37 Ta có: , , BC (2;1) BC AB AC BC 37 34 2 Mặt khác 13 S p ( p AB )( p AC )( p BC ) Suy ra: p Câu 21: Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C (6;0) Diện tích ABC A 12 C Lời giải B D AB (2; 2) AB 2 AC (5;1) AC 26 Ta có: , , BC (3;3) BC 3 Mặt khác AB.BC 0 AB BC SABC AB.BC 6 Suy ra: Chương Hình học ⓾ Câu 22: Cho tam giác ABC Biết AB 2 ; BC 3 ABC 60 Tính chu vi diện tích tam giác ABC A 3 3 B C Lời giải D 19 A I K B C J 2 Ta có: AC AB BC AB.BC.c os ABC 4 2.2.3.c os60 13 7 Suy AC Chu vi tam giác ABC AB AC BC 2 1 3 SABC AB.BC.sin ABC 2.3.sin 60 2 Diện tích tam giác ABC Câu 23: Trong khai quật mộ cổ, nhà khảo cổ học tìm đĩa cổ hình trịn bị vỡ, nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng đĩa Để xác định bán kính đĩa, nhà khảo cổ lấy điểm đĩa tiến hành đo đạc thu kết hình vẽ ( AB 4,3 cm; BC 3, cm; CA 7,5 cm) Bán kính đĩa A 5,74cm B 6,01cm C 5,85cm Lời giải D 4,57cm Bán kính R đĩa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Nửa chu vi tam giác ABC là: p AB BC CA 4,3 3, 7,5 31 2 cm S p p AB p BC p CA 5, 2 Diện tích tam giác ABC là: cm Mà S AB.BC.CA AB.BC.CA R 5, 73 4R 4S cm Câu 24: Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Chọn hai điểm A, B mặt đất 0 cho ba điểm A, B, C thẳng hàng Ta đo AB = 24m, CAD 63 ; CBD 48 Chiều cao h khối tháp gần với giá trị sau đây? Chương Hình học ⓾ A 61,4 m Ta có B 18,5 m C 60 m Lời giải D 18 m CAD 630 BAD 1170 ADB 1800 117 480 150 AB BD AB.sin BAD BD sin ADB Áp dụng định lý sin tam giác ABD ta có: sin ADB sin BAD Tam giác BCD vng C nên có: CD Vậy sin CBD CD CD BD.sin CBD BD AB.sin BAD sin CBD 24.sin117 0.sin 480 61, 4m sin150 sin ADB 10 Chương Hình học ⓾ ... 71.6.sin130 6, 228 2 Diện tích tam giác là: 3.8 Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, theo hướng S 70 E với vận tốc 70 km/h Đi 90 phút động tàu bị hỏng nên tàu trôi tự theo hướng nam với vận tốc km/h... 9, 44 km so với đường cũ Cách 2: Nối BD AC từ áp dụng định lí sin cho hai tam giác BCD ABD ta tìm AD Em có biết? Heron (Heron of Alexandria) nhà phát minh, nhà toán học Hy Lạp, sống vào khoảng... nên cách mạng cơng nghiệp lần thứ nhất, Heron người mơ tả mơ hình đơn giản cho phép biến nước thành chuyển động quay Chương Hình học ⓾ Trong tốn học, Heron mơ tả cách tính diện tích đa giác từ