Kntt_C3_B6_P1_He Thuc Luong Trong Tam Giac.docx

Đại số ⓾Chương 1 ❶ Giáo viên Soạn Phạm Thi Út FB Phạm thị Út ❷ Giáo viên phản biện Bùi Thành Vinh FB Vinh Chauthao THUẬT NGỮ  Định lí côsin  Định lí sin  Công thức tính diện tích  Giải tam giác KI[.]

6 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC ❶ Giáo viên Soạn: Phạm Thi Út FB: Phạm thị Út ❷ Giáo viên phản biện : Bùi Thành Vinh FB: Vinh Chauthao THUẬT NGỮ  Định lí cơsin  Định lí sin  Cơng thức tính diện tích  Giải tam giác KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  Hiểu Định lí cơsin, Định lí sin, cơng thức tính diện tích tam giác  Giải tam giác giải số toán đo đạc Ngắm Tháp Rùa từ bờ, với dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa Em có biết sao? Tháp Rùa nằm lịng hồ Hồn Kiếm Thủ Hà Nội ĐỊNH LÍ CƠSIN HĐ1 Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hòa) theo hướng đông với vận tốc 20 km/h Sau giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam giữ nguyên vận tốc tiếp a) Hãy vẽ sơ đồ đường tàu 1,5 kể từ xuất phát (1 km thực tế ứng với cm vẽ) b) Hãy đo trực tiếp vẽ cho biết sau 1,5 kể từ xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong kilômét (số đo gần đúng) c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính xác số đo câu b hay không? Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ; p nửa chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác Lời giải a, Giả sử tàu biển xuất phát từ điểm O hình vẽ Trong giờ, tàu di chuyển từ O đến A với quãng đường là: 20.1 =20 (km) tương ứng với 20 cm sơ đồ Trong 0,5 tiếp theo, tàu di chuyển từ A đến B với quãng Chương Đại số ⓾ đường là: 20.0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm sơ đồ b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu đoạn OB dài khoảng 28 cm Do khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) sơ đồ đường tàu sau: Sau đầu, tàu từ O đến A, với quãng đường 20.2 = 40 (km) tương ứng 40 cm sơ đồ Sau đó, tàu chuyển sang hướng nam, vị trí tàu điểm B Khi ta tính xác khoảng cách từ cảng đến tàu, đoạn OB (do tam giác OAB vuông A) 2 dựa vào định lí Pythagore: OB  OA  AB Đối với tam giác ABC ta thường kí hiệu A, B, C góc tam giác đỉnh tương ứng; a, b, c tương ứng độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ; p chu vi; S diện tích; R, r tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác HĐ2 Trong Hình 3.8, thực bước sau để thiết lập cơng thức tính a theo b, c giá trị lượng giác góc A 2 a) Tính a theo BD CD b) Tính a theo b, c DA c) Tính DA theo c cos A Chương Đại số ⓾ 2 d) Chứng minh a b  c  2bc cos A Hình 3.8 Lời giải 2 a) Tam giác vuông BCD : a BD  CD 2 2 CD  AD  b   AD  AD.b  b b) BD c  AD  a c  AD   AD  b  b  c  AD.b c) Tam giác BAD vng A có : cos A  AD  AD c.cos A c 2 2 d) Theo câu b) ta có : a b  c  AD.b b  c  2.bc.cos A Chú ý Người ta chứng minh kết HĐ2d trường hợp góc A góc vng nhọn Định lí cơsin Trong tam giác ABC : a b  c  2bc cos A , b c  a  2ca cos B , c a  b  2ab cos C Định lí Pythagore có phải trường hợp đặc biệt Định lí cơsin hay khơng? Lời giải Định lí Pythagore có phải trường hợp đặc biệt Định lí cơsin vì: 2 2 2  Khi A 90  cos A 0 : a b  c  2bc cos A  a b  c 2 2 2  Khi B 90  cos B 0 : b a  c  2ac cos B  b a  c 2 2 2  Khi C 90  cos C 0 : c a  b  2ab cos C  c a  b Ví dụ Cho tam giác có Tính độ dài cạnh Giải (H.3.9) Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC , ta có: BC  AB  AC  AB.AC cos120o  52  82  2.5.8    Hình 3.9 1  129 2 Vậy BC  129 Chương Đại số ⓾ Khám phá Từ Định lí cơsin, viết cơng thức tính theo độ dài cạnh tam giác Lời giải a b  c  2bc cos A  cos A  b2  c2  a 2bc b a  c  2ac cos B  cos B  a2  c2  b2 2ac c a  b  2ab cos C  cos C  a2  b2  c2 2ab Luyện tập Cho tam giác có Tính độ dài cạnh độ lớn góc cịn lại tam giác Lời giải Áp dụng định lý cosin : BC  AB  AC  AB AC.cos 45o 52  82  2.5.8 89  40 2  BC  89  40  Áp dụng định lý cosin :  89  40  52  82 a2  c  b2  9109 ' cos B    0, 0202  B 2ac 89  40    1800  450  9109 '26,83'' 43050 '33,17 '' C Trải nghiệm Vẽ tam giác , sau đo độ dài cạnh, số đo góc kiểm tra tính đắn Định lí cơsin đỉnh tam giác Lời giải Xét tam giác ABC hình vẽ sau: Áp dụng Định lí cơsin đỉnh A, ta có: BC  AC  AB  AC AB.cos A  BC 7, 652  4,892  2.7, 65.4,89.cos 92, 61o  BC 85,84  BC 9, 26 Như kết thu từ định lí xấp xỉ với kết đo Vậy định lí cơsin đỉnh A Vận dụng Dùng Định lí cơsin, tính khoảng cách đề cập HĐ1b Lời giải Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, theo thướng Đông với vận tốc 20km/h Sau giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam giữ nguyên vận tốc Chương Đại số ⓾ Giả sử sau 1,5 tàu vị trí điểm B OA 20  km  Ta có quảng đường , quảng đường AB 10  km  Khoảng cách tàu cảng Vân Phong quảng đường OB o  Mặt khác, OAB 135 (do tàu theo hướng đơng nam) Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác OAB đỉnh A, ta có:  OB OA2  AB  2OA AB.cos OAB  OB 202  102  2.20.10.cos135o  OB 782,84  OB 27,98 Vậy khoảng cách từ tài đến cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98  km  ĐỊNH LÍ SIN Hình 3.10 HĐ3 Trong hình đây, tính theo Lời giải sin M  BC a a   R BM R 2sin M Xét tam giác MBC vuông C ta có:   Từ Hình 3.10 a ta có: A M (cùng chắn cung nhỏ BC) a R  sin A sin M Do 2sin A o   Hình 3.10 b ta có: A  M 180 (tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R) a R  sin A sin M Do 2sin A a R 2sin A Vậy hai hình ta có Chương Đại số ⓾ a b c   2 R Định lí sin Trong tam giác ABC : sin A sin B sin C Cho tam giác có Tính số đo góc Ví dụ Giải ( H.3.11) o o o o o    Ta có: B 180  ( A  C ) 180  (135  15 ) 30 a 12 c   2 R 0 sin 30 sin150 Áp dụng Định lí sin, ta có: sin135 Suy c a 12 sin1350 12 sin 30 Hình 3.11 12 12 sin150 24sin150 ( 6, 21); R  12 sin 30 2sin 300 Luyện tập Cho tam giác có Tính số đo góc, bán kính đường trịn ngoại tiếp độ dài cạnh lại tam giác Giải Áp dụng Định lí sin cho tam giác ABC ta có:  c.sin B 5.sin 800 sin C   0, 62  b c b  2R   sin B sin C R  b  4, 06  2sin B 2.sin 80 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Việc tính độ dài cạnh số đo góc tam giác biết số yếu tố tam giác gọi giải tam giác Ví dụ Giải tam giác , biết Giải o o o o o    Ta có C 180  ( A  B ) 180  (60  40 ) 80 a b 14   0 sin 40 sin 800 Áp dụng Định lí sin ta có: sin 60 14.sin 600 14.sin 400 a  12, 31; b  9,14 sin 800 sin 800 Suy Luyện tập Giải tam giác , biết Chương Đại số ⓾ Giải Áp dụng Định lí cơsin cho tam giác ABC , ta có: a b  c  2bc.cos A 322  452  2.32.45.cos870 2898, 27 Suy a 53,84 53,84 32  sinB Áp dụng Định lí sin cho tam giác ABC , ta có: sin 87 sin B  Suy 32.sin 87 0,59  B 360 ' 53,84 o o o o    Ta có C 180  ( A  B) 180  (36 ' 87 ) 56 51' Chú ý Áp dụng Định lí cơsin, sin sử dụng máy tính cầm tay, ta tính ( gần đúng) cạnh góc tam giác trường hợp sau: Ví dụ  Biết hai cạnh góc xen giữa;  Biết ba cạnh;  Biết cạnh hai góc kề Trở lại tình mở đầu, theo bước sau, ta tiến hành đo khoảng cách từ vị trí A bờ hồ Hồn Kiếm đến Tháp Rùa (H.3.12): Bước Trên bờ, đặt cọc tiêu vị trí A cọc tiêu vị trí B Đo khoảng cách AB Bước Đứng A, ngắm Tháp Rùa cọc tiêu B để đo góc tạo hai hướng ngắm Bước Đứng B, ngắm cọc tiêu A Tháp Rùa để đo góc tạo hai hướng ngắm Bước Gọi C vị trí Tháp Rùa Áp dụng Định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC Cọc tiêu A Cọc tiêu B Hình 3.12 Vận dụng Từ khu vực quan sát hai đỉnh núi, ta ngắm đo để xác định khoảng cách hai đỉnh núi Hãy thảo luận để đưa bước cho cách đo Lời giải - Giả sử đặt điểm A đỉnh núi thứ điểm B đỉnh núi thứ hai Bước Trên mặt đất, đặt cọc tiêu vị trí C Bước Đứng vị trí C, ngắm đỉnh núi thứ để đo khoảng cách AC Bước Đứng vị trí C, ngắm đỉnh núi thứ để đo khoảng cách CB đo góc tạo hai hướng ngắm CA CB Chương Đại số ⓾ Bước Áp dụng Định lí cosin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AB CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ta biết tính diện tích tam giác theo chiều cao độ dài cạnh đáy tương ứng Liệu cịn cơng thức khác để tính diện tích tam giác hay khơng? HĐ4 Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Nêu mối liên hệ diện tích tam giác ABC diện tích tam giác IBC , ICA, IAB b) Tính diện tích tam giác ABC theo r , a, b, c Lời giải a) Hình 3.13 Ta có S ABC S IBC  S IAB  S IAC S ABC  SIBC  S IAB  SIAC b) 1  r.BC  r A C  r.AB 2 AB  BC  AC r  p.r Cơng thức tính diện tích tam giác ABC : S  pr   a  b  c r HĐ5 Chương Đại số ⓾ Cho tam giác ABC với đường cao BD a) Biểu thị BD theo AB sin A b) Viết cơng thức tính diện tích S tam giác ABC theo b, c,sin A Hình 3.14 1 S  bc sin A  ca sinB  ab sinC 2 Cơng thức tính diện tích tam giác ABC : Ví dụ o  Tính diện tích S tam giác ABC có c 4, b 6, A 150 Giải (H.3.15) 1 S  bc sin A  6.4.sin1500 6 2 Ta có: Hình 3.15 Luyện tập Tính diện tích tam giác có Giải o o o o o    Ta có A 180  (C  B) 180  (30  45 ) 105 c 2.sin 450   c  2 sin 300 sin 300 Áp dụng Định lí sin cho tam giác ABC ta có: sin 45 1 S  bc sin A  2.2 2.sin1050 1  2 Ta có: Chú ý Do sin A= a S  bc sin A 2R nên từ cơng thức ta có: Cơng thức tính diện tích tam giác ABC : S abc 4R Thảo luận Ta biết tính theo độ dài cạnh tam giác Liệu diện tích tính theo cạnh tam giác hay khơng? tam giác có Lời giải Ta có: Chương Đại số ⓾ sin A   cos A  b2  c  a   1   2bc        2bc  2   b2  c2  a2  2bc  2bc  b  c  a   2bc  b  c  a  2bc a   b  c    b  c  a2  2bc p  p  a   p  b  p  c  2bc S  bc sin A Nên từ cơng thức ta có: S  p ( p  a )( p  b)( p  c ) Công thức Heron Trong tam giác ABC : S  p ( p  a)( p  b)( p  c ) 10 Chương Đại số ⓾ ... b  4, 06  2sin B 2.sin 80 GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ Việc tính độ dài cạnh số đo góc tam giác biết số yếu tố tam giác gọi giải tam giác Ví dụ Giải tam giác , biết Giải o o o o o  ... giác hay khơng? HĐ4 Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Nêu mối liên hệ diện tích tam giác ABC diện tích tam giác IBC , ICA, IAB b) Tính diện tích tam giác ABC theo r ,... cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AB CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ta biết tính diện tích tam giác theo chiều cao độ dài cạnh đáy tương ứng Liệu cịn cơng thức khác để tính diện tích tam