B4 nhi thuc newton

4 NHỊ THỨC NEWTON ❶ Giáo viên Soạn: Đỗ Ngà FB: Đỗ Ngà ❷ Giáo viên phản biện: Nguyễn Thị Thanh Bình FB: Thanh Bình Kiến thức, kĩ Thuật ngữ  Tam giác Pascal  Hệ số  Nhị thức Newton  Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal  Khai triển nhị thức Newton  a  b n cách sử dụng tam giác Pascal sử dụng công thức tổ hợp n  k ax  b  Xác định hệ số x khai triển  thành đa thức Quan sát khai triển nhị thức Newton sau:  a  b  a  b  a  b  a  b  a  b  a  b 1 1a  1b 1a  2ab  1b 1a  3a 2b  3ab  1b 1a  4a 3b  6a 2b  4ab  1b 1a  5a 4b  10a 3b  10a 2b  5ab  1b5 1 1 10 10 …………………………………………………………………………………………………………… a  b Các hệ số khai triển  n tạo thành tam giác hình Có thể xác định hàng tam giác tính hệ số hay không? TAM GIÁC PASCAL HĐ1: Khai triển Trong Bài 25 SGK Toán 10 (Bộ sách Kết nối tri thức với sống), ta biết:  a  b a  b  a  b a  2ab  b  a  b a  3a 2b  3ab  b Với n   1; 2;3; 4;5  a  b a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b  a  b a  5a 4b  10a 3b  10a 2b3  5ab  b a  b , khai triển nhị thức  n : a) Có số hạng? b) Tổng số mũ a b số hạng bao nhiêu? c) Số mũ a b thay đổi chuyển từ số hạng đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải? a  b Trong khai triển  n (với n 1, 2, 3, 4,5 ): n n Có n  số hạng, số hạng a số hạng cuối b Tổng số mũ a b số hạng n Số mũ a giảm đơn vị số mũ b tăng đơn vị chuyển từ số hạng đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải Từ quan sát ta dự đốn, chẳng hạn:  a  b a  ? a 5b  ? a 4b  ? a 3b3  ? a 2b  ? ab5  b Ở dấu “?” để hệ số chưa biết Để hoàn thành khai triển, ta cần xác định hệ số HĐ2: Tam giác Pascal Viết hệ số khai triển gọi tam giác Pascal  a  b  a  b  a  b  a  b  a  b  a  b  a  b n với số giá trị n bảng tam giác sau đây, 1 1 1 1 10 1+1=2 10 1+2=3 + = 4, + = n a  b Hàng đầu quy ước gọi hàng Hàng n ứng với hệ số khai triển nhị thức  Trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) tổng hai số phía Từ tính chất ta tìm hàng tam giác Pascal từ hàng phía Chẳng hạn ta tìm hàng từ hàng sau:  a  b  a  b 1 10 15 10 20 15 35 35 + =6, + 10 = 15, 10 + 10 = 20 Tìm hàng tam giác Pascal Lời giải  a  b  a  b 1 21 28 56 70 21 56 28 Ví dụ Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển  a  b Lời giải Khai triển  a  b  a  b 6 có dạng a  ? a 5b  ? a 4b  ? a 3b  ? a 2b  ? ab  b Các hệ số khai triển hệ số hàng tam giác Pascal Do ta có  a  b a  6a 5b  15a 4b  20a 3b  15a 2b  6ab5  b Ví dụ 3 Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển  2x  Lời giải a  b Ta viết khai triển  sau thay a 3, b  x vào khai triển nhận Dựa vào hàng tam giác Pascal, ta có  a  b a  5a 4b  10a 3b  10a 2b  5ab  b Với a 3, b  x , ta   2x 35  5.34   x   10.33   x   10.32   x   5.3   x     x  243  810 x  1080 x  720 x3  240 x  32 x5 Luyện tập a  b a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển  x  1 b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển  Lời giải a) Dựa vào hàng tam giác Pascal, ta có  a  b a  7a 6b  21a 5b  35a 4b  35a 3b  21a 2b5  7ab  a a  b b) Ta viết khai triển  sau thay a 2 x, b  vào khai triển nhận Dựa vào hàng tam giác Pascal, ta có  a  b a  4a 3b  6a 2b  4ab  b Với a 2 x, b  , ta  x  1 4  x    x    1   x    1   x    1    1 16 x  32 x  24 x  x  Dưới ta xây dựng công thức cho phép xác định trực tiếp hệ số khai triển  a  b n HĐ3: Tính chất số a) Quan sát ba dòng đầu, hồn thành tiếp hai dịng cuối theo mẫu:  a  b a  b C10 a  C11b  a  b a  2ab  b C20 a  C21ab  C22b  a  b a  3a 2b  3ab  b3 C30 a  C31a 2b  C32 ab  C33b3  a  b a  4a 3b  6a 2b  4ab3  b   a  b a  5a 4b  10a3b  10a 2b  5ab  b  Nhận xét hệ số khai triển hai số hạng cách số hạng đầu số hạng cuối 3 k Hãy so sánh, chẳng hạn, C4 C4 , C5 C5 Từ dự đốn hệ thức Cn Cnn  k  k n  Lời giải  a  b a  4a 3b  6a 2b  4ab  b C40 a  C 41a 3b  C 42 a 2b  C 43ab  C 44b  a  b a  5a 4b  10a 3b  10a 2b  5ab  b C50 a  C51a 4b  C52 a 3b  C53a 2b3  C54 ab  C54b5 k n k  k n  : Cnk Cnn k Hệ thức Cn Cn  k n  b) Dựa vào kết HĐ3a, ta viết hàng đầu tam giác Pascal dạng: 1 1 Từ tính chất tam giác Pascal, so sánh C1  C1 C2 , C2  C2 C3 ,…Từ dự đốn hệ k n k k thức Cn   Cn Cn k Tính chất số Cn :  Cnk Cnn  k  k n   Cnk11  Cnk Cnk  k n  (Tính chất đối xứng) (Hệ thức Pascal) Hãy chứng minh công thức cách sử dụng cơng thức tính số tổ hợp Lời giải Chứng minh Cnk Cnn  k  k n  Với k n , ta có Chứng minh Cnn k  n! n!  Cnk n  k ! n  n  k ! n  k ! k !      (đẳng thức chứng minh) Cnk11  Cnk Cnk  k n  Với k n , ta có  n  1 !  n  1 !   k  1 ! n   k  1 ! k ! n   k  !  n  1 !   n  1 !   k  1 ! n  k  ! k ! n  k  1 !  n  1 !  n  1 !    k  1 ! n  k   n  k  1 ! k  k  1 ! n  k  1 ! k  n  1 !  n  k   n  1 !  k ! n  k  ! n  n  1 ! n!   Cnk VP k ! n  k  ! k !  n  k  ! VT Cnk11  Cnk  (đẳng thức chứng minh) NHỊ THỨC NEWTON ❶ Giáo viên Soạn: MINH HẢI FB: Minh Hải Bùi ❷ Giáo viên phản biện : Nguyễn Thị Hiên FB: Nguyễn Hiên CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON HĐ Quan sát khai triển nhị thức triển trường hợp tổng quát  a  b n  a  b n với n   1; 2;3; 4;5 HĐ3, dự đốn cơng thức khai Cn0 a n  Cn1a n  1b  Cn2 a n  2b   Cnk a n  k b k   Cnnb n  1 Chứng minh Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp theo n  a  b Khi n 1 , ta có :  a  b C10 a  C11b Vậy công thức (1) với n 1 Với giả thiết (1) với n m , tức ta có :   a  b m Cm0 a m  Cm1 a m  1b   Cmm  1ab m   Cmmb m Ta chứng minh  a  b m 1 Cm0 1a m 1  Cm1 1a mb   Cmm1ab m  Cmm11b m1 (2) Thật vậy, ta có  a  b m 1  a  b  m  a  b  Cm0 a m  Cm1 a m  1b   Cmm  1ab m   Cmmb m   a  b   Cm0 a m  Cm1 a m  1b   Cmm  1ab m   Cmmb m  a   Cm0 a m  Cm1 a m  1b   Cmm  1ab m  Cmm b m  b Cm0 a m 1   Cm1  Cm0  a mb    Cmk  Cmk   a m 1 k b k    Cmm  Cmm  ab m  Cmmb m 1 0 m m 1 k k1 k Vì Cm 1 Cm 1 , Cm 1 Cm 1 , Cm  Cm Cm 1 , nên ta có (2) Vậy cơng thức nhị thức Newton với số nguyên dương n Chú ý:  k  1 Số hạng thứ a  b khai triển  n k n k k thành dạng (1) Tk 1 Cn a b Ví dụ Viết khai triển nhị thức Newton  a  b Lời giải  a  b Ta có : C60 a  C61a 5b  C62a 4b  C63a 3b  C64 a 2b  C65ab  C66b a  6a 5b  15a 4b  20a 3b3  15a 2b  6ab5  b6 Như ta tìm lại kết Ví dụ 1, phương pháp khác C k C6k  k  k 6  Chú ý: Vì nên ta cần tính C6 , C6 , C6 , C6 dùng tính chất để suy C64 , C65 , C66 Ví dụ Khai triển biểu thức  3x   Lời giải Theo cơng thức nhị thức Newton, ta có :  3x   4 C40  x   C41  3x      C42  3x    2  C43  3x      C44    81x  216 x  216 x  96 x  16 Luyện tập Lời giải  x  2y Khai triển biểu thức  x 2y Theo cơng thức nhị thức Newton, ta có: C60 x  C61 x   y   C62 x   y   C63 x   y   C64 x   y   C65 x   y   C66   y   x  121x y  60 x y  160 x y  249 x y  96 xy  16 y n k n k k n k k k ax  b  T Cnn  k  ax  bn  k Số hạng chứa x khai triển  k 1 hay Tk 1 Cn a b x Do n n k k n k k ax  b  hệ số x khai triển  Cn a b Ví dụ Tìm hệ số x khai triển Lời giải  x  2 10 k x  2 Số hạng chứa x khai triển  10 10  k k 10  k Tk 1 C10 x 6 4 Số hạng chứa x ứng với k 4 , tức số hạng C10 x hay 13 440x x  2 Vậy hệ số x khai triển  10 13 440 k  3x  Số hạng chứa x khai triển  Lời giải   3x  Tìm hệ số x khai triển thành đa thức Luyện tập 10 10 Tk 1 C10k 210 k   3x  k 7 C 23  3x   2099 520 x Số hạng chứa x ứng với k 7 , tức số hạng 10   3x  Vậy hệ số x khai triển  10  099520 Ví dụ n n n n Tìm số nguyên dương n thỏa mãn Cn  Cn   Cn  Cn 64 Lời giải Nhận thấy vế trái đẳng thức cóa chứa lũy thừa nên áp dụng khai triển nhị thức Newton cho  x  3 n ta  x  3 n Cn0 3n  Cn1 3n  x   Cnn  x n   Cnn x n n 4n   3 Cn0 3n  Cn1 3n    Cnn   Cnn 64 43 Cho x 1 ta Vậy số nguyên dương cần tìm n 3 Vận dụng (Số tập tập hợp có n phần tử) a) 1 x Viết khai triển nhị thức Newton  n b) Cho x 1 khai triển câu a), viết đẳng thức nhận Giải thích ý nghĩa đẳng thức với lưu ý Cnk  k n  số tập gồm k phần tử tập hợp có n phần tử c) Tương tự, cho x 1 khai triển câu a), viết đẳng thức nhận Giải thích ý nghĩa đẳng thức BÀI TẬP 2.9 Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a)  x  1 ; b)  2x  y  2.10 Viết khai triển theo nhị thức Newton: x  y a)  ; 2.11 Tìm hệ số x khai triển b)  x  3 10   2x  n  3x  2.12 Biết hệ số x khai triển  90 Tìm n 2.13 Từ khai triển biểu thức  3x   thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận 2.14 Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức x   x   x2   3x  10 2.15 Tính tổng sau đây: 2021 C2021  2C2021  22 C2021  23 C2021   22021 C2021 2n 2021 2.16 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2 n  C2 n  C2 n   C2n 2 n n 2.17 Tìm số nguyên dương n cho Cn  2Cn  4Cn   Cn 243 2.18 Biết   x 100 a0  a1 x  a2 x   a100 x100 Với giá trị k  k 100  ak lớn nhất? Em có biết?  Tam giác Pascal đặt theo tên nhà toán học người Pháp Blaise Pascal Ơng người có cơng lớn việc mở hai lĩnh vực toán học Hình học xạ ảnh Lí thuyết xác suất Thật tam giác Pascal nghiên cứu từ nhiều kỉ trước nhà tốn học Ấn Độ, Ba Tư, Trung Hoa, Đức, Ý  Nhị thức Newton đặt theo tên nhà bác học người Anh Isaac Newton Ông biết đến nhà toán học vĩ đại thời đại, đồng thời nhà khoa học có ảnh hưởng lịch sử khoa học Thật cơng thức nói tới biết đến từ trước Newton người có cơng mở rộng cơng thức cho trường hợp n số thực! 10 BÀI TẬP 2.9 Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển: a)  x  1 ; b)  2x  y  Lời giải a) Dựa vào hàng tam giác Pascal, ta có  x  1 1.x  x   1  10 x3   1  10 x   1  x1   1    1  x5  x  10 x3  10 x  x  b) Dựa vào hàng tam giác Pascal, ta có  2x  3y  4 1  x    x    y    x    3y   x    y     y  16 x  96 x y  216 x y  216 xy  81y 2.10 Viết khai triển theo nhị thức Newton: a)  x  y ; b)   2x  Lời giải a) x  y Ta có  C60 x  C61 x y  C62 x y  C63 x y  C64 x y  C65 xy  C66 y  x  x5 y  15 x y  20 x y  15 x y  xy  y b) Ta có 1 2x C50 15  C51.14   x   C52 13   x   C53.12   x   C54 1  x   C55   x  1  10 x  40 x  80 x3  80 x  32 x 2.11 Tìm hệ số x khai triển Lời giải  x  3 10 k x  3 Số hạng chứa x khai triển  10 k 10  k Tk 1 C10  x  310 k 8 C 2 x 32 103680 x8 Số hạng chứa x ứng với k 8 , tức số hạng 10   x  3 Vậy hệ số x khai triển  10 103680 n  3x  2.12 Biết hệ số x khai triển  90 Tìm n Lời giải n k k  3x  T Cnk   x    3 Cnk x k Số hạng chứa x khai triển  k 1  hệ số x khai triển   3x   Có :   3 Cn2 90  n ứng với k 2 n  n  1 90  n  n  1 20  11  n 4  n 5  2.13 Từ khai triển biểu thức Lời giải  3x   thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận Ta có 4 f  x   3x   C40  3x   C41  3x      C42  3x    5  C43  3x      C44     Tổng hệ số khai triển là: 4 S C40 34  C41 33     C42 32     C43     C44     f  1    16 2.14 Tìm hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức x   x   x   3x  Lời giải 10 5 x  x   x2   3x  Ta có hệ số x khai triển thành đa thức biểu thức  10 là: C54     C103 33 3320 2.15 Tính tổng sau đây: 2021 C2021  2C2021  22 C2021  23 C2021   22021 C2021 Lời giải Ta có 2021 C2021  2C2021  22 C2021  23 C2021   22021 C2021    2021  2n 2021 2.16 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn C2 n  C2 n  C2 n   C2n 2 Lời giải Xét khai triển: 22 n   1 2n *  C20n  C21n  C22n   C2kn   C22nn  1 02 n   1 2n * C20n  C21n  C22n     1 C2kn   C22nn   k 2n n n Ta có : C2 n  C2 n  C2 n   C2 n = C2 n  C2 n  C2 n   C2 n =  C20n  C22n  C24n   C22nn 22021  22 n 22021  2n  2021  n 1011 n n 2.17 Tìm số nguyên dương n cho Cn  2Cn  4Cn   Cn 243 Lời giải n n n     243  3n 35  n 5 Ta có : Cn  2Cn  4Cn   Cn 243 2.18 Biết   x 100 a0  a1 x  a2 x   a100 x100 Với giá trị k  k 100  lớn nhất? Lời giải Ta có :   x 100 99 100 100 C100 2100  C100 299 x  C100 298 x   C100 x 99  C100 x k  ak C100 2100 k 12 ak k k  100  k 1 C100 2100 k C100 ak ak    k 100 k  k 1 100 k  C100 ak lớn ak ak 1 C100 100! 100!  100 k  2100 k 1 1  k ! 100  k  ! k  ! 100  k  !      k 101  k   100! 100!  2100 k  2100 k     k ! 100  k  ! k  ! 100  k  !    100  k k  101  k 2k 98 101   k   k 33 33 67 3  a33 C100 2  k  1 100  k 13 BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ ❶ Giáo viên Soạn: Hoàng Thị Hà FB: Hà Hoàng ❷ Giáo viên phản biện :Nguyễn Thị Kim Xuyến FB: Kim Xuyến Chứng minh với số tự nhiên n 1 , ta có 19 2.21  3.22  4.23    n  1 2n n.2n 1 (1) Lời giải Ta chứng minh (1) quy nạp theo n 11 - Với n 1 mệnh đề trở thành: 2.2 1.2 Vậy (1) với n 1 - Giả sử (1) với n k 1,  k   , tức 2.21  3.2  4.23     k  1 k k k 1 Ta cần chứng minh (1) với n k  , tức 2.21  3.22  4.23    k  1 2k   k   k 1  k  1 2k 2 (3) Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, ta có VT 3 VT 2   k   2k 1 k 2k 1   k   2k 1  2k   k 1  k  1 k 2 VP 3 Vậy (1) với số tự nhiên n 1 20 Đặt 1 Sn    1.3 3.5  2n  1  2n 1 a) Tính S1 , S2 , S3 b) Dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh quy nạp Lời giải 1 1 1 S1   S    S3     1.3 ; 1.3 3.5 ; 1.3 3.5 5.7 a) Ta có: b) Dự đoán Sn  n 2n  Ta chứng minh quy nạp 1 S1   1.3 2.1  , tức công thức với n 1 - Rõ ràng - Giả sử 1 k Sk      1.3 3.5  2k  1  2k  1 2k  14 với k 1, k   (2) S k 1  - Ta cần chứng minh - Ta có k 1  k  1  1 1 1 S k 1      S k  1.3 3.5  2k  1  2k  1  2k 1  2k  3  2k 1  2k    k  2k     k 1  2k 1  k 1  k 1 k    2k   2k  1  2k  3  2k 1  2k    2k  1  2k   2k  2(k  1)  Vậy ta có công thức Sn  n 2n  n1 Chứng minh với số tự nhiên n , ta có 10  chia hết cho 11 21 Lời giải Ta chứng minh P  n  : 102 n1 1 “ chia hết cho 11 ” quy nạp P  1 :"103  - Với n 1 chia hết cho 11 ” (đúng 10  1001 91.11 ) - Giả sử P k k 1  11m với m   với k 1, k   Khi 10 P  k  1 - Ta chứng Thật vậy, ta có k 3 k 1 10  100.10 1 100  11m  1  100.11.m  99 Vậy ta có chia hết cho 11 P  n  : 102 n1  “ chia hết cho 11 ” với số tự nhiên n n n n Chứng minh với số tự nhiên n 2 , ta có 3  (*) 22 Lời giải Ta chứng minh quy nạp 2 - Với n 2 ta có 3  (đúng) k k k - Giả sử (*) với k 2, k   , tức 3  , ta cần chứng minh (*) với n k  Thật vậy, ta có: 5k 1 5.5k 5  3k  4k  3.3k  4.4k k 1 k 1 k 1 hay 3  n n n Vậy 3  với số tự nhiên n 2 23 a) Khai triển 1 x 10 b) So sánh  1,1 10 Lời giải 10 a)   x  C100 x  C101 x  C102 x  C103 x  C104 x  C105 x  C106 x  C107 x  C108 x8  C109 x9  C1010 x10 1  10 x  45 x  120 x3  210 x  252 x  210 x  120 x  45 x8  10 x9  x10 b) Theo câu a) ta có 1 x 10   10 x, x  Suy ra, 15  1,1 10 10   0,1   10.0,1 hay  1,1 10 2 24 Tìm hệ số x x  3 khai triển thành đa thức  11 Giải: Số hạng chứa x k x  3 khai triển  11 C11k 2k x k   3 11 k 9 C 29  x Số hạng chứa x tương ứng với k 9 tức số hạng 11   hay 253440x Vậy hệ số x 25 x  3 khai triển   2x  Khai triển thành đa thức  11 253440 12 thành dạng a0  a1 x  a2 x   a12 x12 Tìm hệ số ak lớn Lời giải  2x  Số hạng tổng quát khai triển  ak  ak 1  C12k 2k  C12k 1.2k 1  Xét Tương tự, C12k  x  k k k nên có hệ số ak C12 12! 12! 2k  2k 1 k ! 12  k  !  k  1 ! 11  k  !  k    12  k   k  ak  ak 1  k  12 23 23 Do đó, ak ak 1 a0  a1  a2    a7  a8  a9  a10  a11  a12 8 Vậy hệ số lớn là: a8 C12 126720 26 2n n Chứng minh C2 n  C2 n  C2 n   C2 n C2 n  C2n  C2 n   C2n n Áp dụng : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn C2 n  C2 n  C2 n  C2 n 2048 Lời giải Ta có 22 n   1   1 Suy 2n 2n C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn   C22nn C20n  C21n  C22n  C23n   C22nn   C22nn 22 n  2  C20n  C22n  C24n   C22nn  22 n  2  C21n  C23n  C25n   C22nn   , 2n 2n hay C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 2 ; 2n 2n hay C2 n  C2 n  C2 n    C2 n 2 ; 2n 2n Vậy C2 n  C2 n  C2 n   C2 n C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 16 2n 2n 2048  22 n  211  n 6 Ta có C2 n  C2 n  C2 n   C2 n 2048  Vậy n 6 n Tìm giá trị lớn giá trị Cn , Cn , , Cn 27 Áp dụng: Tìm hệ số lớn khai triển  a  b n , biết tổng hệ số khai triển 4096 Lời giải Cnk   Cnk  a) Xét n! n! n 1   k  n  k   k   k  1 ! n  k 1 ! k ! n  k  ! k1 k m m 1 m2 m 3 m 2m + Nếu n 2m, C2 m C2 m C2 m  C2 m  C2 m    C2 m  C2 m  C2 m  C2 m    C2 m  C2 m m m 1 m 2 2m m 1 + Nếu n 2m  1, C2 m 1  C2 m 1  C2 m 1    C2 m 1 C2 m1  C2 m 1    C2 m 1  C2 m 1 n n n n Vậy giá trị lớn giá trị C , C ,, C C a  b b) Số hạng tổng quát khai triển  n  n  2   n , với  x phần nguyên số x k k n k k Cn a b , nên có hệ số Cn n Tổng hệ số S Cn0  Cn1    Cnn   1 2n 4096  n 12 Áp dụng kết trên, hệ số lớn khai triển 28  a  b 12 Tìm số hạng có giá trị lớn khaị triển C12 924  p  q n với p  0, q  0, p  q 1 Lời giải Số hạng tổng quát khai triển  p  q n k k n k ak Cn p q , k n max  p, q Nếu n 1 số hạng lớn Nếu n 2 : ak ak 1  Cnk p k q n k Cnk 1 p k 1q n  k   Xét n! n! p k q n k  p k 1q n k  k ! n  k  !  k 1 ! n  k  1 !   k  1 q  p  n  k    k  1 q   q   n  k   k n  nq  q  k  n 1 p   n 1 p  np  q  n Vì p  0, q  0, p  q 1 nên - Nếu - Nếu  n  1 p    p n n  ak  ak 1 , k Do đó, max ak a0  p  n  1 p  0  p n  gọi k0 số nguyên lớn không vượt  n  1 p  17 Khi theo trên, a0 a1  ak0 ak0 1  ak0 2   an 18 Suy max ak ak0 1 Cnk0 1 p k0 1q n  k0  ... suất Thật tam giác Pascal nghiên cứu từ nhi? ??u kỉ trước nhà toán học Ấn Độ, Ba Tư, Trung Hoa, Đức, Ý  Nhị thức Newton đặt theo tên nhà bác học người Anh Isaac Newton Ông biết đến nhà toán học vĩ... Vậy cơng thức nhị thức Newton với số nguyên dương n Chú ý:  k  1 Số hạng thứ a  b khai triển  n k n k k thành dạng (1) Tk 1 Cn a b Ví dụ Viết khai triển nhị thức Newton  a  b Lời... (đẳng thức chứng minh) NHỊ THỨC NEWTON ❶ Giáo viên Soạn: MINH HẢI FB: Minh Hải Bùi ❷ Giáo viên phản biện : Nguyễn Thị Hiên FB: Nguyễn Hiên CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON HĐ Quan sát khai triển nhị