CHUỖI LŨY THỪA potx

Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa... Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa tt... Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.. Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy th

n an( x x0)

) ( x x0

ta đưa chuỗi trên về dạng

IV CHUỖI LŨY THỪA

Do đó các kết quả về chuỗi lũy thừa chỉ cần xét cho

 Khoảng (-R, R) được gọi là khoảng hội tụ của

chuỗi lũy thừa

2 Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

 Số R > 0 sao cho chuỗi lũy thừa n

n anx

1

R x

x  :

hội tụ với mọi và phân kỳ với mọi

R x

x :  được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi

n

n anx

1

Nếu chuỗi lũy thừa

Nếu chuỗi lũy thừa

phân kỳ x  0 ta cho R = 0.

hội tụ x  R ta cho R = +

2 Định nghĩa bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).

3 Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa

0 ,

0 ,

Xét sự hội tụ của chuỗi tại các đầu mút

của khoảng hội tụ

Từ đó ta sẽ có được miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Bước 2:

Bước 3:

3 Cách tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (tt).

n

nn

x

1 1

VD1 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

Ta có:

Vậy R = 1

4 Một số ví dụ:

 Khoảng hội tụ của chuỗi là -1 <x <1

Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  1

Tại x = 1 ta có chuỗi n11 n phân kỳ

VD2: Tìm miền hội tụ của chuỗi

Đặt X = (x+2) chuỗi ban đầu trở thành

4 Một số ví dụ - VD2(tt):

1 5

( 3

- 3

 1

1 )

Vậy miền hội tụ của chuỗi là: -5 ≤ x <1

Tại x = -5 ta có chuỗi hội tụ.

phân kỳ

4 Một số ví dụ - VD2(tt):

Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x = -5 và

x = 1:

a

9 1

VD3: Tìm miền hội tụ của chuỗi

Đặt X = x2 , chuỗi ban đầu trở thành

Ta có:

Vậy R = 9

4 Một số ví dụ (tt):

x 3

- 3

11

Khoảng hội tụ của chuỗi là

Xét sự hội tụ của chuỗi tại 2 đầu mút x =  3:

VD4: Tìm miền hội tụ của chuỗi

Đặt

Chuỗi ban đầu trở thành

Ta có:

4 Một số ví dụ (tt):

1 1

1 1

- 1

1 -

Khoảng hội tụ của chuỗi là

Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 0 ≤ x < +

  1

1

n

n

nx na

5 Các tính chất của chuỗi lũy thừa:

khi đó chuỗi cũng có bán kính hội tụ là R.

a) Tổng của chuỗi lũy thừa là một hàm số liên tục trên miền hội tụ của nó

b) Trên khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm từng số hạng của từng chuỗi lũy thừa, nghĩa là

x n

11

khi đó chuỗi cũng có bán kính hội

5 Các tính chất của chuỗi lũy thừa (tt):

tụ là: R

1 2

) 1 (

5 3

) ( x  x  x3  x5    x n2 1 

1 2

) 1 (

VD1: Hãy tính tổng của chuỗi

trong miền hội tụ của chúng

) 1 (

)

('

n

n n

)

1 (

3 2

)

(   2  3     1 

n

x x

x x

x

VD2: Hãy tính tổng của chuỗi

trong miền hội tụ của chúng

S S

(

Mà S(0)= 0 nên S(x) = arctgx

0 arctg arctg 

5 Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD1 (tt):

) 1 (

)

(

n

n n

n

x S

3 2

1 )

( x   x  x2   nxn 1 

S

VD3: Hãy tính tổng của chuỗi

trong miền hội tụ của chúng

5 Các tính chất của chuỗi lũy thừa – VD2 (tt):

Mà S(0) = 0 nên S(x) = ln(1+x)

) 1

ln(

1 1

) ( )

0 ( )

(

0

0 S t dt t dt x

S x

t

6 Chuỗi Taylor

6 Chuỗi Taylor (tt)

7 Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng

7 Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt)

7 Chuỗi Maclaurint của một số hàm thông dụng (tt)